- 1 名前：名無しさん [2012/01/31(火) 22:32:36.78 ID:LTM9xtnu]
- ベストアンサー：”が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。”ですか？
detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1371534513
数学の歴史に興味ある方にお尋ねします。「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、...noranekokuma2004さん 質問日時： 2011/9/18
「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」にチャレンジしております。
アーベル、ガロアとも、方程式の根の有理式を説明しています。
両者の説明とも、帰着するところは、根の有理式はいわゆるラグランジュの分解式のかたちをとるというところにあると、私は考えています。
ラグランジュは、３次方程式の根、α、β、γと1の3乗根によって
u=α+βω+γω＾2
v=α+βω＾2+γω
という式をつくることによって、3次方程式が解けることを示しました。
彼は、それを一般化し、素数次数の方程式の根と1の累乗根と組み合わせた、いわゆる、ラグランジュの分解式を提起しました。
皆さまの見解を伺いたいと思います。
ベストアンサーに選ばれた回答siolaglebaさん 回答日時：2011/9/21
ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。
高名な数学者さえ理解出来なかった論文とは、一体何がどのように書かれているのか興味があったからです。すでにガロア理論を知っていたので、軽く考えていました。
が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。
自分には、読みたい数学は一杯あるし、ガロア理論も知っている。他の数学書に取りかかった方が良いと。諦めるのが早かったかもしれません。
ラグランジュの分解式は、方程式の可解性を議論するなかで、べき根拡大を考えるとき、使ったように記憶しています。
ラグランジュは、３次・４次方程式の解明に成功しましたが、５次方程式は失敗しました。が、ラグランジュの研究は無駄ではなかったことの証が、ラグランジュ分解式と思います。
- 435 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 08:01:14.76 ]
- >>430-432
A5（５次交代群）が、正20面体群に同型というのは有名だが、詳しい説明を探していたんだ
下記が良いね
図があるので、それを見ながら読んでください
hooktail.sub.jp/algebra/PolyhedronGroup2/
正多面体群２ [物理のかぎしっぽ]
（抜粋）
正十二面体と正二十面体
正十二面体や正二十面体でも，(正四面体で先に示したように)頂点の動きに着目すれば，5次の交代群に同型だということが分かります．
P(20)〜P(12)〜A5
（つづく）
- 436 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 08:02:12.91 ]
- >>435 つづき
hooktail.sub.jp/algebra/PolyhedronGroup2/
正多面体群２ [物理のかぎしっぽ]
（抜粋）
正十二面体が 次の交代群に対応することは，当初面倒なので結果しか示さなかったのですが，要望があったのでここに補足します．
正十二面体の面は正五角形をしていますので，星型に五本の対角線が引けます．
この対角線の一つを一辺とする正六面体を正十二面体の中に内接させることができます．次図のように，これには五種類あります．
正十二面体はちょうど，正六面体の一つの面に切妻屋根を乗せたような形になっているわけですね．
さて，上の図のうちの一つだけに注目しましょう．正十二面体群の元のうち，内接する正六面体を正六面体自身に移す変換は，もちろん正十二面体も正十二面体自身に移します．
そこで，正十二面体群の元で，内接する正六面体をも保つものをまず考えます．左から四番目のものが見やすいと思います．
まず正六面体の頂点を通る対角線を軸に，120度もしくは240度回す変換があります．対角線は4本ありますので，この種類の変換が計8個あります．
次に，正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換があります(この軸は，切妻屋根の稜線の中心を通ります)．これが計3本あります．
P(6)と違うのは，正六面体の各辺の中点を結んだ線を中心に回す変換が無いことです．このような回転は正十二面体の対称性を崩してしまうことがわかるでしょう．
結局，上記の二種類に恒等置換を加えて，正十二面体群のうち，正十二面体も内接する立方体も両方不変に保つものには8+3+1=12種類あることが分かりました．
24のちょうど半分ですから，位数からだけでもこれが交代群であることが証明できそうですが，念のため，頂点に番号を振って，ここで求めた変換が偶置換であることを示しましょう．
正十二面体に正六面体を内接させるさせ方には 種類ありましたから，次式が成り立ちます．
P(12)〜5xA4=A5
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