- 365 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 13:43:48.89 ]
- ネットサーフィンをしていると、こんなのが
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五次方程式とガロア群論を理解するための“単純な”たとえ話(サイエンス＋数学) / ヒロさん日記 ：2009/8/10
（抜粋）
数学の進歩を100年早めたといわれるガロアの群論は、ときどき気になっている。とりわけ「5次以上の方程式は代数的な一般解が存在しない」という話は、せめて大まかな流れぐらいは理解できないものか。
もっとも薄手の本は133頁からなる『ガロアと群論』（リリアン・リーバー）。冒頭はとてもわかりやすく読めるが、50頁の「不変部分群（正規部分群）」と55頁の「可解群」は頭にスッ〜と入ってこない。結局は、
１つの方程式は、その群が、その方程式の係数を含む体に対して、可解群であるとき、かつ、そのときに限って、ベキ根によって、解くことができる（81頁）
ということが理解できればいいらしいが、この１冊だけでは埒が開けそうにない。翻訳調でわかりにくいところもある。そこで次に求めたのが『群論への30講』（志賀浩二）。
これは実にわかりやすく読める。11講以降の記号だらけの証明は読み飛ばしたくなるが、各講の最後にあるTea Timeという休憩コラムがこれまた面白く、なんとか先に進める。
で、問題の5次以上方程式に関しては、
5次以上の方程式にはべき根による代数的解法は一般には存在しないことを示した根拠は、ｎ＞＝５のときに、交代群Ａnは単純群であるという事実であった。（129頁）
「可解群でない」＝「交代群が単純群になる」と因数分解してくれたので、１歩前進だ。
方程式の問題をどのように群論に置き換えているのか、という全体像はチャートでも描いてみないとわからない。私が探した範囲では＜こちらのページの最後にあるチャートマップ＞が全体像をもっともよく俯瞰しているように思える。
このマップを見て、ピンと来ない人はいったん下山したほうがよさそうだ。私もこの夏休みで山越えができると期待して軽装備で歩き回ってきたが、山の怖さを知っているので、ここでいったん引き返したい。
ガロアが証明したのは1820年なので、200周年の2020年までに何とかしよう（笑）。
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