- 373 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/02/26(日) 16:59:42.77 ]
- >>372
つづき
５．繰り返しになるが、Vを変えない置換は恒等置換eのみだから、Vはどんな根の有理式を持ってきても、それは必ずVの有理式で表されるという構造になっている
で、ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）で、代数的可解性の原則から根a,b,c・・・の有理式を持ってきても、全部Vとガロア（分解）方程式F(x)の土俵の上に乗っている
つまり、ガロアはVとF(x)で、根の有理式が全部乗る土俵を作った。代数的可解性の原則を認めれば、ここからこぼれるものはない
６．そして、根の有理式から補助方程式を作ってF(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*の因数分解（可約性）を見るとガロア群Gの正規部分群になるように分解するしかない
つまり、ガロア群Gが正規部分群を持つという良い群としての性質を持っていないと、いくら補助方程式を作ろうと思っても、それは元々無理だと
７．これを具体例で見ると、>>323-342だ
>>280のように３次方程式の根の有理式(α-β)^2 を考える。根の置換を考えると、
補助方程式 g(x)={ x - (α-β)^2 } { x - (β-γ)^2 } { x - (γ-α)^2 } = 0ができる
ここで、有理式(α-β)^2 だけなら２次式で簡単だけど、置換をすると、共役な(β-γ)^2、 (γ-α)^2達が出現する
で、補助方程式は３次式で根は３つになる
この補助方程式の根全てを添加するとは、>>328補助方程式 g(x)のガロア分解式V’＝A’(α-β)^2＋B’(β-γ)^2＋C’ (γ-α)^2 を作って（係数A、B、Cは置換で値が異なるように取る）
V’を添加することと同じ
ところが、ガロア分解式V’は、根α、β、γの置換全てで異なる値を取り、６つの異なる値を取ることに
８．上記７を要約すると、簡単な有理式をとってきても、そこから補助方程式を作るときに、共役な仲間達が出てきて次数が上がる。
そして、ガロア分解式V’＝A’(α-β)^2＋B’(β-γ)^2＋C’ (γ-α)^2 を作ってその取る値を見ると、また次数が上がる場合がある。
この場合は、結局６次まで次数が上がってしまって、VとV’は同じ分解能力を持つってことになってしまった（つまり、方程式を解く視点からは役に立たないと）
つづく
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