代数的整数論

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代数的整数論

1 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/12(月) 16:30:31 ]: 代数的整数論に関するスレッドです。
159 名前：208 [2005/09/27(火) 16:25:22 ]: 補題
A をネーター環とし、Mを有限生成 A-加群とする。
f ∈ Hom(M, M) とする。
ある整数 n > 0 に対して f^n(M) ∩ Ker(f) = 0 となる。

証明
M の部分加群の昇列 Ker(f) ⊂ Ker(f^2) ⊂ ...
を考える。M はネーターだから、Ker(f^n) = Ker(f^(n+1)) となる
整数 n > 0 がある。この n が求めるものである。
証明終
160 名前：208 [2005/09/27(火) 17:03:07 ]: A を環、I を A のイデアルとする。
V(I) = {p ∈ Spec(A); I ⊂ p } と定義する。
V(I) の形の Spec(A) の部分集合を閉集合と定義することにより、
Spec(A) に位相が入る。この位相を Spec(A) のZariski位相という。
161 名前：208 [2005/09/27(火) 17:04:58 ]: 補題
A を環とし、Mを有限生成 A-加群とする。
Supp(M) = V(Ann(M)) となる。

証明は演習とする。
162 名前：208 [2005/09/27(火) 17:17:27 ]: A を環、f ∈ A とする。S = {f^n; n = 0, 1, 2, ...} とする。
S は積閉集合である。A_S を A[1/f] または A_f と書く。
A[1/f] が零環となるのは f がべき零のときに限る。
よって、Spec(A[1/f]) が空となるのは、f がべき零のときに限る。
Spec(A[1/f]) は、集合 D(f) = {p ∈ Spec(A); f は p に含まれない}
と同一視される(>>81)。
163 名前：208 [2005/09/27(火) 17:20:32 ]: 命題
A を環とする。A のすべての素イデアルの共通部分は A のべき零元の
全体と一致する。

証明は>>162より明らか。

A のべき零元の全体を Nil(A) と書く。
164 名前：208 [2005/09/27(火) 17:35:13 ]: A を環、I を A のイデアルとする。Nil(A/I) の標準射 A → A/I
による逆像を I の根基(radical)とよび、rad(I) と書く。
これは、mod I でベキ零となる A の元全体である。
>>163より、rad(I) は I を含む素イデアル全体の共通部分である。
165 名前：208 [2005/09/27(火) 17:50:11 ]: ネーター環 A の Nil(A) はベキ零である。

証明は演習
166 名前：208 [2005/09/27(火) 17:58:15 ]: A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
Ass(M) と Supp(M) のそれぞれの極小元の集合は一致する。

証明
Ass(M) ⊂ Supp(M) (>>99) と >>146 からわかる
167 名前：208 [2005/09/27(火) 18:02:21 ]: 命題
A をネーター環とし、Mを有限生成 A-加群とする。
rad(Ann(M)) は p ∈ Ass(M) 全体の共通部分と一致する。

証明
>>161 と >>166 よりわかる。
168 名前：208 [2005/09/27(火) 18:07:01 ]: A をネーター環とし、Mを有限生成 A-加群で余準素(>>157)とする。
このとき、定義より、Ass(M) は一個の素イデアル p よりなるから
>>167より p = rad(Ann(M)) である。>>165 より、p^n ⊂ Ann(M)
となる整数 n > 0 がある。よって、(p^n)M = 0 となる。
169 名前：208 [2005/09/28(水) 09:11:33 ]: 現代数学概説Ｉの悪口を書いたけど、俺はあれで集合論を勉強した。
束論も意識してないけどジョルダン・ヘルダーの定理なんかで、
無意識に使ってるかもしれない。若い頃に読んだものって結構
影響力がある。因みにあのシリ－ズはいい本があるね。
岩沢の代数関数論とか。あの本はいいらしいけど超難しい。
俺も学部のころ仲間で読もうとしたけど、最初の付値論の
近似定理あたりで皆おだぶつ。
170 名前：208 [2005/09/28(水) 09:29:13 ]: 今やってる随伴素イデアルとか今後やる予定の殆ど(全部ではない)
はBourbakiの可換代数に書いてあるんで、それを参照してくれと
言えばお終いだけどね。その本が手元にない人も多いだろうから
こっちの復習もかねてここに書いてる。
171 名前：208 [2005/09/28(水) 09:36:20 ]: 前に数回書いてるけどBourbakiの可換代数はいいよ。なんで皆、
Ati-Macとか松村で勉強するんだろ。松村はBourbakiが書いて
ないこともあるからいいけど。Bourbakiのいいところは、すべて
証明をつけてあるところ。しかもほとんどの命題の証明が比較的簡単
なんだな。だから、根気さえあれば読める。これはGrothendieck
のEGAにもある程度言える。
172 名前：208 [2005/09/28(水) 12:35:52 ]: A を環、M を A-加群、N をその部分加群とする。
Supp(M) = Supp(N) ∪ Supp(M/N) となる。

証明
完全系列 0 → N → M → M/N → 0
より、p ∈ Spec(A) に対して
完全系列 0 → N_p → M_p → (M/N)_p → 0
が得られる。
これより明らか
173 名前：208 [2005/09/28(水) 12:43:00 ]: A を環、M を A-加群、(M_i), i ∈ I をその部分加群の族で
M = ΣM_i とする。ここで、Σは直和ではなく単なる和をあらわす。
つまり、M は(M_i)で生成される。
S を A の積閉集合としたとき、
M_S = Σ(M_i)_S となる。

証明は演習。っていうか明らかだろう。
174 名前：208 [2005/09/28(水) 12:46:58 ]: A を環、M を A-加群、(M_i), i ∈ I をその部分加群の族で
M = ΣM_i とする。ここで、Σは直和ではなく単なる和をあらわす。
Supp(M) = ∪Supp(M_i) となる。

証明は>>173より明らかだろう。
175 名前：208 [2005/09/30(金) 16:01:36 ]: 定義
Aを環とし、MをA-加群とする。
Aの元 a が M に関して概べき零であるとは、各 x ∈ M に対して、
整数 n(x) > 0 が存在して、a^(n(x))x = 0 となることを言う。
n(x) が x によらないとき、つまり、ある整数 n > 0 に対して、
(a^n)M = 0 となるとき、a を M に関してべき零であるという。
176 名前：208 [2005/09/30(金) 16:52:47 ]: Aを環とし、I をそのイデアルとする。
Supp(A/I) = V(I) である。

証明は演習とする。
177 名前：208 [2005/09/30(金) 17:13:43 ]: A を環とし、Mを A-加群とする。
Supp(M) に属す全ての素イデアルの共通部分は、M に関して概べき零な
元全体と一致する。

証明
>>174より、Supp(M) = ∪{Supp(Ax); x ∈ M} である。
Ax は A/Ann(x) と同型であるから、>>176より、Supp(Ax) = V(Ann(x))
となる。>>164より、Supp(Ax) に属す素イデアルの共通部分は、
rad(Ann(x)) である。
証明終
178 名前：208 [2005/09/30(金) 17:22:25 ]: A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
Ass(M) に属す全ての素イデアルの共通部分は、M に関して概べき零な
元全体と一致する。

証明
>>166と>177より。
証明終
179 名前：208 [2005/09/30(金) 17:32:47 ]: 定義
Aを環とし、MをA-加群とする。
Aの元 a が M に関して正則であるとは、
u(x) = ax により定義される射 u: M → M が単射であることをいう。
M に関して正則であることを M-正則と言うこともある。
180 名前：208 [2005/09/30(金) 17:35:35 ]: A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
Ass(M) に属す全ての素イデアルの合併部分は、M に関して非正則な元
全体と一致する。

証明
>>89と>>90より。
証明終
181 名前：208 [2005/09/30(金) 17:50:59 ]: A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
次の条件は同値である。
1)Ass(M) が１個の素イデアルのみからなる。
2)A の元で M に関して非正則なものは概べき零である。

証明
>>178と>>180より。
証明終
182 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/30(金) 18:20:07 ]: A をネーター環とし、Mを有限生成 A-加群とする。
N を M の真部分加群とする。
N は有限個の準素部分加群の共通集合となる。

証明
M の部分加群のなす順序集合は極大条件を満たすから、
N は有限個の既約部分加群(>>157)の共通集合となる。
既約部分加群は準素部分加群である(>>158)。
証明終
183 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/03(月) 10:00:08 ]: >>166は暗黙に次の命題を使用していた。

A を環、p をその素イデアルとすると、p に含まれる極少素イデアルが
存在する。

証明は、Zornの補題より簡単に得られる。

A がネーターの場合は、零イデアルの準素イデアル分解が存在すること
を使えば、Zornの補題は必要ない。
因みに、ネーター環においては、素イデアルの降鎖列は有限で停留する。
184 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/03(月) 11:23:43 ]: A をネーター環、M を A-加群、(M_i) を M の部分加群の族で、
M = ∪M_i とする。このとき、 Ass(M) = ∪Ass(M_i) となる。

証明
明らか。
185 名前：208 [2005/10/03(月) 11:32:46 ]: A をネーター環、M を A-加群、N をその部分加群とする。
Ass(M) ⊂ Ass(N) ∪ Ass(M/N) となる。

証明
p ∈ Ass(M) とする。M の部分加群 L で A/p と同型になるものが
ある。 L ∩ N が空でなければ、p ∈ Ass(L ∩ N) ⊂ Ass(N)
となる。L ∩ N が空なら、L は (L + N)/N ⊂ M/N と同型。
よって、p ∈ Ass(M/N) となる。
証明終
186 名前：208 [2005/10/03(月) 11:38:28 ]: A をネーター環、M を A-加群、(M_i) を M の部分加群の族で、
M = ΣM_i (直和)とする。このとき、 Ass(M) = ∪Ass(M_i) となる。

証明
>>184より(M_i)は有限個の族、特に２個の場合を証明すればよい。
M = M_1 + M_2 (直和)とする。
>>185 より、Ass(M) ⊂ Ass(M_1) ∪ Ass(M_2) となる。
逆の包含関係は明らか。
証明終
187 名前：208 [2005/10/03(月) 11:46:19 ]: A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
N を M の部分加群とする。
N = Q_1 ∩ Q_2 とする。ここで、Q_1, Q_2 は準素部分加群であり、
{p} = Ass(M/Q_1) = Ass(M/Q_2) とする。
このとき、N は準素であり、{p} = Ass(M/N) となる。

証明
M/N は M/Q_1 + M/Q_2 (直和)の部分加群に同型である。
よって>>186より、 Ass(M/N) ⊂ Ass(M/Q_1) ∪ Ass(M/Q_2)
証明終
188 名前：208 [2005/10/03(月) 11:59:08 ]: 定義
A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
M の部分加群 N が有限個の準素部分加群の共通集合となっている
とする。N = Q_1 ∩ Q_2 ... ∩ Q_n
各 i に対して N ≠ ∩{Q_j; j ≠ i} となっているとき、
これを N の無駄のない準素分解と言う。
さらに、{p_i} = Ass(M/Q_i} としたとき、各 p_i が互いに異なって
いるとき、これを、N の最短準素分解と言う。
189 名前：208 [2005/10/03(月) 12:04:07 ]: ところで、かなりかったるいな。随伴素イデアルとか準素分解が
こんなに長くなるとは思ってなかった。早くDedekind環に行きたい
んだけど。まあ、もう少しで終わるから辛抱して。
190 名前：208 [2005/10/03(月) 14:21:29 ]: A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
M の部分加群 N の最短準素分解
N = Q_1 ∩ Q_2 ... ∩ Q_n があるとする。
各i に対して {p_i} = Ass(M/Q_i) とすると、
Ass(M/N) = {p_1, p_2, ... , p_n} となる。

証明
M/N は Σ(M/Q_i) （直和）の部分加群に同型だから、
>>186 より、Ass(M) ⊂ {p_1, p_2, ... , p_n} となる。
各i に対して P_i = ∩{Q_j; j ≠ i} とおく。
N = Q_1 ∩ Q_2 ... ∩ Q_n は無駄がないから、
P_i/N ≠ 0 である。P_i/N は (P_i + Q_i)/Q_i に同型であり、
(P_i + Q_i)/Q_i は M/Q_i の部分加群だから、
Ass(P_i/N) = {p_i} となる。P_i/N は M/N の部分加群だから
p_i ∈ Ass(M/N) となる。
証明終
191 名前：208 [2005/10/03(月) 14:34:30 ]: >>175
Mが有限生成なら、A の元が M に関して概べき零であることと、
べき零であることは同値である。
192 名前：208 [2005/10/03(月) 14:51:49 ]: Mが有限生成の場合に、>>158の別証を述べる。
この証明はネーター自身の証明と本質的には同じである。

命題
A をネーター環とし、Mを有限生成 A-加群とする。
N を M の部分加群とする。
N が準素部分加群でなければ、N は可約である。

証明
M を M/N に置き換えることにより、 N = 0 と仮定してよい。
0 が準素でないとする。>>181より、A の元 a で M に関して非正則かつ
(M に関して)べき零でないものがある。A-加群としての自己準同型 f
を f(x) = ax により定義する。仮定より、f は単射でもべき零でもない。
>>159 より、0 は可約になる。
証明終
193 名前：208 [2005/10/03(月) 15:04:02 ]: 次の命題はしばしば使われる。

命題
A をネーター環とし、Mを有限生成 A-加群とする。
M の部分群の列
0 = M_0 ⊂ M_1 ⊂ ... ⊂ M_n = M で各 M_i/M_(i-1) が A/p_i
と同型になるものが存在する。p_i は素イデアル。

証明
p_1 ∈ Ass(M) とすると、A/p_1 と同型な M の部分群 M_1 がある。
M/M_1 ≠ 0 なら、p_2 ∈ Ass(M/M_1) をとり同様にする。
M はネーターなのでこの操作は有限回で終わる。
証明終
194 名前：208 [2005/10/03(月) 16:45:49 ]: A を環、Mを A-加群、
N, L を M の部分加群とする。
S を A の積閉集合とする。
M_S の部分加群として、(N ∩ L)_S = N_S ∩ L_S となる。

証明
完全列
0 → N ∩ L → M → M/N + M/L(直和)
より、完全列
0 → (N ∩ L)_S → M_S → M_S/N_S + M_S/L_S(直和)
が得られる(>>86)。
証明終
195 名前：208 [2005/10/03(月) 17:13:36 ]: A をネーター環とし、Mを A-加群、
Q を M の準素部分加群、Ass(M/Q) = {p} とする。
S を A の積閉集合とする。p ∩ S が空なら、Q_S は M_S の
準素部分加群であり、Ass(M_S/Q_S) = {pA_S} となる。
さらに、φ^(-1)(Q_S) = Q となる。ここで、φ: A → A_S は
標準射。
p ∩ S が空でないなら Q_S = M_S となる。

証明
p ∩ S が空とする。
>>95より、
Ass(M_S/Q_S) = Ass(M/Q) ∩ Spec(A_S) となる。
よって、Ass(M_S/Q_S) = {pA_S} となる。
s ∈ S、x ∈ M、 sx ∈ Q とする。>>180より s は
M/Q に関して正則元だから x ∈ Q となる。
これは、φ^(-1)(Q_S) = Q を意味する。

次に、p ∩ S が空でないとする。
Ass(M_S/Q_S) = Ass(M/Q) ∩ Spec(A_S) は空となるから、
M_S/Q_S = 0 である。
証明終
196 名前：208 [2005/10/03(月) 17:31:40 ]: A をネーター環とし、Mを A-加群、
N = Q_1 ∩ Q_2 ... ∩ Q_n を M の部分加群 N の最短準素分解
各i に対して {p_i} = Ass(M/Q_i)、
S を A の積閉集合とする。
0 < r < n, i = 1, ... , r に対して
p_i ∩ S は空、j = r+1, ... , n に対して p_j ∩ S は空でない
とする。このとき、N_S = (Q_1)_S ∩ (Q_2)_S ... ∩ (Q_r)_S
となり、これは N_S の M_S における最短準素分解である。

証明
>>194と>>195より。
証明終
197 名前：208 [2005/10/03(月) 17:44:20 ]: >>195
>ここで、φ: A → A_S は標準射。

ここで、φ: M → M_S は標準射。
198 名前：208 [2005/10/03(月) 17:45:20 ]: A をネーター環とし、Mを A-加群、
N = Q_1 ∩ Q_2 ... ∩ Q_n を M の部分加群 N の最短準素分解
各i に対して {p_i} = Ass(M/Q_i) とする。
ある i に対して p_i が極小素イデアルとすると、
Q_i = φ^(-1)(N_p_i) となる。よって、 Q_i は、N と p_i により
一意に決まる。
ここで、N_p_i は、いつものように積閉集合 S = A - p_i による局所化。
φ: M → M_p_i は標準射。
証明
>>196より。
証明終
199 名前：208 [2005/10/04(火) 11:25:15 ]: ネーター加群における準素加群分解(>>182)は、既約部分加群が
準素であるという事実(>>158または>>192)に基づいていた。
しかし、準素部分加群は既約とは限らない。既約とは限らない
準素部分加群による分解は次の結果から得られる。

命題
A をネーター環とし、Mを有限生成 A-加群とする。
p ∈ Ass(M) とすると、M の部分加群 N で、
Ass(M/N) = {p}, Ass(N) = Ass(M) - {p} となるものが存在する。

証明
Ass(M) = {p} なら命題は自明なので、Ass(M) ≠ {p} と仮定する。
M の部分加群 N で、Ass(N) に p を含まないものの中で極大なもの
とする。このようなものが存在することは、M がネーター加群である
ことからわかる。Ass(M) ⊂ Ass(N) ∪ Ass(M/N) だから、
p ∈ Ass(M/N) となる。q ∈ Ass(M/N) で p ≠ q となるものがある
とする。N ⊂ L で L/N が A/q と同型になるような部分加群 L が
存在する。Ass(L/N) = {q} で Ass(L) ⊂ Ass(N) ∪ Ass(L/N) だから
Ass(L) は p を含まない。これは N の極大性に反する。
よって、Ass(M/N) = {p} である。Ass(N) = Ass(M) - {p} は、これと
Ass(N) ⊂ Ass(M) および、Ass(M) ⊂ Ass(N) ∪ Ass(M/N) からわかる。
証明終
200 名前：208 [2005/10/04(火) 12:23:14 ]: A をネーター環とし、Mを有限生成 A-加群とする。
各 p ∈ Ass(M) に対して、M の部分加群 Q(p) で、
Ass(M/Q(p)) = {p}, Ass(Q(p)) = Ass(M) - {p} となる
とする(>>199)。
このとき、0 = ∩{Q(p); p ∈ Ass(M)} となり、
これは、0 の最短準素分解である。

証明
N = ∩{Q(p); p ∈ Ass(M)} とおく。Ass(N) ⊂ Ass(Q(p))
だから、Ass(N) は空である。よって N = 0 である(>>90)。
0 = ∩{Q(p); p ∈ Ass(M)} は最短準素分解である。
何故なら、もしあるp ∈ Ass(M) に対して
0 = ∩{Q(q); q ∈ Ass(M), q ≠ p} とすると、
M は、直和 ΣM/Q(q) に埋め込まれて、
Ass(M) ⊂ ∪Ass(M/Q(q)) となり矛盾する。
証明終
201 名前：208 [2005/10/04(火) 12:59:11 ]: A をネーター環とし、Mを有限生成 A-加群とする。
Ass(M) に属す素イデアル全体の共通集合は、Mに関してべき零
となる元全体からなる(>>178)。
Ass(M) に属す素イデアル全体の合併集合は、Mに関して非正則
な元全体からなる(>>180)。

特に、A を A-加群とみると、これは有限生成だから、
Ass(A) に属す素イデアル全体の共通集合は、A のべき零元全体と
一致する。つまり、Nil(A) である(>>163)。
Ass(A) に属す素イデアル全体の合併集合は、A の非零因子全体と
一致する。
202 名前：208 [2005/10/04(火) 17:50:56 ]: A をネーター環とし、Mを有限生成 A-加群とする。
M の部分加群 N が準素であるためには、M/N に関して非正則な
A の元は、M/N に関してべき零であることが必要十分である。

証明
>>181と>>191より明らかだろう。
203 名前：208 [2005/10/04(火) 18:03:34 ]: 命題
A を環、I, J を A のイデアル、p を A の素イデアルとし、
IJ ⊂ p とする。
このとき、 I ⊂ p または、J ⊂ p となる。

証明は明らかだろう。
204 名前：208 [2005/10/04(火) 18:18:37 ]: 命題
A をネーター環とする。
Ass(A) = {p_1, p_2, ... , p_r} とする。
p を A の任意の素イデアルとすると、
ある i に対して p_i ⊂ p となる。

証明
A の零イデアルの最短準素分解を
0 = q_1 ∩ q_2 ∩ ... ∩ q_r とし、Ass(A/q_i) = {p_i} とする。
(q_1)(q_2)...(q_r) ⊂ q_1 ∩ q_2 ∩ ... ∩ q_r
だから、>>208 より、q_i ⊂ p となる i がある。
>>178より、p_i = rad(q_i) である。
よって、>>165より、(p_i)^(n) ⊂ q_i となる整数 n がある。
よって、(p_i)^n ⊂ p となる。
再び、>>208 より p_i ⊂ p となる。
証明終
205 名前：208 [2005/10/06(木) 11:39:25 ]: ネーター環において極小素イデアルは有限個しかないということは、
>>204からわかるが、これは、 A がネーター環のとき、Spec(A) の
閉部分集合全体が極小条件を満たすことからもわかる。
これを以下に説明する。

定義
位相空間 X が可約とは、 X = F_1 ∪ F_2 となる、X の閉部分集合
F_1, F_2 で X ≠ F_1, X ≠ F_2 となるものが存在することをいう。
空集合でない位相空間が可約でないとき既約という。

位相空間 X の部分集合 A が既約とは、A に部分空間としての位相を
いれたときに、既約なことをいう。
206 名前：208 [2005/10/06(木) 12:05:53 ]: u: A → B を環の射とすると、位相空間としての射
u~: Spec(B) → Spec(A) が、u~(p) = u^(-1)(p) で定まる。
u~が写像として定まり、連続であることを確かめるのは
読者にまかす。

u: A → A/Nil(A) を標準射とすると、
u~: Spec(A/Nil(A) ) → Spec(A) は、位相空間としての同型射となる。
これを確かめるのも、読者にまかす。
ここで、Nil(A) は A のべき零元の全体である(>>163)。
よって、Spec(A) の位相を考えるときは、Nil(A) = 0 と仮定してよい。

Nil(A) = 0 となるとき、A を被約という。
207 名前：208 [2005/10/06(木) 12:33:54 ]: 空でない位相空間 X が既約なためには、X の任意の空でない開集合
が稠密であることが必要十分である。これは、２個の空でない開集合の
共通集合が空でないことと同値である。
208 名前：208 [2005/10/06(木) 12:40:21 ]: A を環とする。
Spec(A) の開集合は、D(f) (>>162) の形の開集合の合併集合になる。
よって、Spec(A) が既約なためには、任意の D(f) と D(g) が空で
なければ、D(f) ∩ D(g) = D(fg) が空でないことが必要十分である(>>207)。

D(f) が空であることと、f がベキ零であることは同値である(>>162)。
よって、A が被約なら、D(f) が空でないことは、f ≠ 0 と同値である。
よって、A が被約なら、Spec(A) が既約であることと、A が整域で
あることは、同値である。

これから、被約とは限らない A については、Spec(A) が既約であることと、
Nil(A) が素イデアルであることは同値である(>>206)。
209 名前：208 [2005/10/07(金) 10:16:08 ]: 位相空間 X の空でない部分集合 E が既約なことと、以下の条件が成立つ
ことは同値である。

E ⊂ F_1 ∪ F_2 となる X の閉部分集合 F_1, F_2 があるとすると、
E ⊂ F_1 または E ⊂ F_2 となる。

証明は定義(>>205)から明らかだろう。
210 名前：208 [2005/10/07(金) 10:48:33 ]: 位相空間 X の部分集合 E が既約なことと、その閉包 cl(E) が既約
なことは同値である。

証明
証明は>>209から明らかだろう。
211 名前：208 [2005/10/07(金) 10:50:59 ]: 演習問題
ハウスドルフ空間が既約なのは、それが１点よりなる場合のみである。
212 名前：208 [2005/10/07(金) 11:12:55 ]: 命題
位相空間 X の既約部分集合の集合 {E} が包含関係に関して全順序
集合となっているものとする。この合併集合 ∪E は既約である。

証明は>>209から明らかだろう。
213 名前：208 [2005/10/07(金) 11:48:58 ]: 定義
位相空間 X の既約部分集合 E が包含関係に関して極大なとき、
つまり、E を真に含む既約部分集合が存在しないとき、
E を X の既約成分という。

既約成分は>>210より閉部分集合である。

>>212とZornの補題より任意の既約部分集合に対して、それを含む
既約成分が存在する。

位相空間の任意の点 p に対して {p} は、既約である。
よって、任意の位相空間はその既約成分の合併集合になる。
214 名前：208 [2005/10/07(金) 19:13:37 ]: 定義
位相空間 X の閉部分集合を要素とする空でない任意の集合に包含関係に
関しての極小元が存在するとき、つまり、閉部分集合に関して極小条件
が成立つとき、X をネーター空間と呼ぶ。
これは閉部分集合の降鎖列が途中で停留することと同値である。
さらに、これは開部分集合に関して極大条件が成立つことと同値である。
215 名前：208 [2005/10/11(火) 10:49:44 ]: 定義
位相空間 X の任意の開被覆が有限部分開被覆を持つとき、X を
準コンパクト(quasi-compact)という。位相空間がハウスドルフかつ
準コンパクトなときコンパクトという。
216 名前：208 [2005/10/11(火) 10:58:31 ]: ネーター空間は準コンパクトである。

証明
X をネーター空間とし、X の開被覆 {U_i} があるとする。
有限個の U_i の合併となる開部分集合全体を考える。
X はネーターだから、この中に極大なものがある。
これを U とすると、U の極大性から、任意の
U_i ⊂ U となる。よって X = U となる。
証明終
217 名前：208 [2005/10/11(火) 11:09:44 ]: 位相空間がネーターであるためには、その任意の開部分集合が
準コンパクトであることが必要十分である。

証明は各自にまかす。
218 名前：208 [2005/10/11(火) 11:21:25 ]: ネーター空間の既約成分は有限個である。

証明
X をネーター空間とし、X の空でない閉部分集合で有限個の
既約閉部分集合の合併とならないものがあるとする。
X はネーターだから、このようなもののなかに極小なものがある。
これを F とする。F は既約ではないから、 F = F_1 ∪ F_2 となる
閉部分集合 F_1, F_2 で F と異なるものがある。F の極小性から
これらは有限個の既約閉部分集合の合併となる。よって F も
有限個の既約閉部分集合の合併となる。これは矛盾。
よって X の任意の空でない閉部分集合は有限個の既約閉部分集合の
合併となる。とくに X がそうなる。
証明終

(注) このような論法は今までにも暗黙に使った。例えば>>182。
この論法をネーター帰納法と呼ぶ。
219 名前：208 [2005/10/11(火) 11:47:45 ]: A を環、E を Spec(A) の部分集合とする。
E に属すすべての素イデアルの共通部分を I(E) と書く。

I を A のイデアルとすると、 I(V(I)) = rad(I) となる(>>164)。
I = rad(I) となるイデアルを根基イデアルという。

Spec(A) の閉部分集合の集合と A の根基イデアルの集合は
F に I(F) を対応させることにより１対１に対応する。
220 名前：208 [2005/10/11(火) 11:49:36 ]: A を環、E を Spec(A) の部分集合とする。
cl(E) = V(I(E)) となる。ここで、cl(E) は E の閉包をあらわす。

証明
E ⊂ V(I(E)) は明らか。E ⊂ V(J) とする。ここで J は A のイデアル。
I(V(J)) ⊂ I(E) である。I(V(J)) = rad(J) だから(>>219)、
rad(J) ⊂ I(E) となる。よって V(I(E)) ⊂ V(rad(J)) = V(J)
つまり V(I(E)) は E を含む最小の閉部分集合である。
よって、cl(E) = V(I(E)) となる。
証明終
221 名前：208 [2005/10/11(火) 12:02:42 ]: A をネーター環とすると、Spec(A) はネーター空間である。

証明
>>219 より Spec(A) の閉部分集合の集合と A の根基イデアルの集合は
１対１に対応する。これより明らか。
222 名前：208 [2005/10/11(火) 12:09:19 ]: A を環とする。Spec(A) の既約部分集合の集合は Spec(A) と１対１に
対応する。

証明
>>208 より V(I) が既約なためには rad(I) が素イデアルであることが
必要十分である。これより明らか。
223 名前：208 [2005/10/11(火) 12:13:06 ]: 環 A の極小素イデアルと Spec(A) の既約成分は１対１に対応する。

証明
既約成分の定義(>>213) と>>222 より明らか。
224 名前：208 [2005/10/11(火) 12:15:25 ]: 命題
ネーター環の極小素イデアルは有限個である。

証明
>>218 と>>223 より。
225 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/11(火) 12:17:36 ]: おもしろいスレじゃのう。
よっ、この208！仕事人！！ｶﾞﾝｶﾞﾚ
226 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/11(火) 12:42:45 ]: Hand book of K-theory , Springer (Eric Friedlander & Dan Grayson)

kore yondahitoiru??
227 名前：208 [2005/10/11(火) 12:45:57 ]: Thanks(>>225).

これを書くのにBourbakiの可換代数を参考にしてることは前に書いた。
私見によれば、現在のところ可換代数の入門書としてはBourbakiの
可換代数がトップだろうな。８、９、１０章が数年前に出たことにより
松村を抜いた。８章は次元論。９章は完備局所環の構造定理とその応用。
１０章は、ホモロジー代数の応用とCM環。
228 名前：208 [2005/10/11(火) 12:52:39 ]: Bourbakiの可換代数の８章の次元論は、Atiyah-MacDonald とか
EGA とか松村と違って Krull の次元定理を Hilbert-Samuel の
特性多項式を使わないで直接に証明している。Krullのオリジナル
の証明に近い。これは、俺も賛成。他の証明は迂回しすぎ。
229 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/11(火) 14:42:30 ]: >>Bourbakiの８、９、１０章

French version, or English version?
230 名前：208 [2005/10/11(火) 17:08:19 ]: ８、９、１０章の英語版はないはず
231 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/13(木) 09:50:46 ]: ところで、環 A の素イデアルの集合を何故 Spec(A) (Spec というのは
Spectrum(スペクトル)の略)と書くか。
これを追求するのは結構面白いと思う。
スペクトルというのは虹の７色に代表されるように光を周波数で
分けたもの。これは、突き詰めると原子内の電子がエネルギー
を放出することによって特定の周波数の光を放出する現象
だろう(多分)。
だから、Spec(A) は量子力学からきたものと思う。
聞きかじりによると、Hilbert空間のエルミート作用素の固有値が
原子の出す光の振動数に対応するらしい(間違ってる可能性もある)。

空間が有限次の場合は、>>147 の例が示唆的だろう。
V は K[X]-加群となり、Ass(V) は、線形写像 u の固有値の集合
とみなされる。この場合、Ass(V) = Supp(V) であり(>>166)
Supp(V) = V(Ann(V)) = Spec(A/Ann(V)) である(>>161, >>176)。
つまり、Spec(A/Ann(V)) は u の固有値の集合とみなされる。
232 名前：208 [2005/10/13(木) 11:06:51 ]: >>231
>Supp(V) = V(Ann(V)) = Spec(A/Ann(V)) である

この A は体 K 上の多項式環 K[X] をあらわす。
Ann(V) は線形写像 u の固有多項式で生成される。
233 名前：208 [2005/10/13(木) 11:21:49 ]: >>199
>しかし、準素部分加群は既約とは限らない。

この例を Zariski-Samuel から引用しよう。
そのために、次の命題がいる。

命題
A をネーター環、 m をその極大イデアルとする。
整数 n > 0 に対して Ass(A/m^n) = {m} である。

証明
Supp(A/m^n) = V(m^n) である(>>176)。
一方、V(m^n) = {m} である(>>203)。
よって、Ass(A/m^n) = {m} である(>>99)。
証明終
234 名前：208 [2005/10/13(木) 11:42:19 ]: 準素部分加群が既約とならない例(Zariski-Samuel)：

K を体、 A = K[X, Y] を K 上の２変数多項式環とする。
A は Hilbert の基底定理よりネーター環である。
m = (X, Y) は A の極大イデアルである(何故か？)。
m^2 = (X^2, XY, Y^2) は A の準素イデアルである(>>233)。
m^2 = (m^2 + AX) ∩ (m^2 + AY) となる(演習問題とする)。
m^2 ≠ m^2 + AX, m^2 ≠ m^2 + AY であるから、
m^2 は可約である。
235 名前：208 [2005/10/13(木) 12:37:38 ]: Artin環について述べる前に、可換環論において頻繁に使われる
中山の補題を証明する。私の知る限りこの証明は３種ある。
その全部を紹介しよう。
236 名前：208 [2005/10/13(木) 12:38:51 ]: 補題
A を環、M を A-加群とする。
n > 0 を整数。
a_(i,j), 0≦i, j≦n を A の元の列。
x_1, x_2, ... , x_n を M の元の列とする。

これ等の間に次の関係式：

a_(1,1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = 0
a_(2,1) x_1 + a_(2,2) x_2 + ... + a_(2,n) x_n = 0
.
.
.
a_(n,1) x_1 + a_(n,2) x_2 + ... + a_(n,n) x_n = 0

があるとする。
このとき、det(T)x_i = 0 が各 i で成立つ。
ここで、 T = (a_(i,j)) であり、det(T) は T の行列式。

(注) 行列式は可換環でも普通と同様に定義される。
237 名前：208 [2005/10/13(木) 12:42:13 ]: >>236の補題の証明

上の関係式を行列記法で書くと、TX^t = 0 となる。
ここで、 X = (x_1, x_2, ... , x_n)
X^t は X の転置行列。

T~ を T の余因子行列とする。
線形代数でよく知られているように
T~T = det(T)E となる。ここで、E は n-次の単位行列。
よって、T~TX^t = det(T)X^t = 0 となる。
つまり、det(T)x_i = 0 が各 i で成立つ。

証明終
238 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/13(木) 13:11:57 ]: 定義
環 A のすべての極大イデアルの共通集合を A の Jacobson根基といい、
rad(A) と書く。Jacobson根基を省略して J-根基ということもある。
239 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/13(木) 14:09:07 ]: よく恥ずかしげもなくassなんて書けるな
240 名前：208 [2005/10/13(木) 17:26:14 ]: 補題
A を環、x を A の元で x = 1 (mod rad(A)) とする。
このとき、 x は可逆元である。

証明
x ∈ m となる A の極大イデアルがあるとする。
rad(A) ⊂ m だから x = 1 (mod m) である。
当然、x = 0 (mod m) だから 1 = 0 (mod m) となって矛盾。
よって、Ax = A でなければならない。
何故なら、Ax ≠ A とすると Zornの補題より、Ax を含む極大イデアル
が存在するから。
証明終
241 名前：208 [2005/10/13(木) 17:27:04 ]: 補題
A を環、E, F を A の元を成分とする n-次の正方行列とする。
I を A のイデアルとする。
E = F (mod I) とは、行列の成分毎の mod I での合同を意味する
とする。このとき、det(E) = det(F) (mod I) である。

証明
明らか。
242 名前：208 [2005/10/13(木) 17:36:29 ]: 中山の補題
A を環、I を A のイデアルで I ⊂ rad(A) とする。
M を有限生成 A-加群とする。
IM = M なら M = 0 である。

証明
M の A-加群としての生成元を x_1, ... , x_n とする。
IM = M より、I の元の列 a_(i,j), 0≦i, j≦n があり、
これ等の間に次の関係式が成立つ：

a_(1,1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = x_1
a_(2,1) x_1 + a_(2,2) x_2 + ... + a_(2,n) x_n = x_2
.
.
.
a_(n,1) x_1 + a_(n,2) x_2 + ... + a_(n,n) x_n = x_n

つまり、TX^t = X^t となる。
よって、(E - T)X^t = 0 となる。
ここで、T = (a_(i,j))、
X = (x_1, x_2, ... , x_n)
X^t は X の転置行列。 E は n-次の単位行列。

よって det(E - T)x_i = 0 が各 i で成立つ(>>236)。
よって、det(E - T)M = 0 となる。
一方、E - T = E (mod I) となるから、
det(E - T) = 1 (mod I) となる(>>241)。
よって、det(E - T) は可逆元である(>>240)。
よって、M = 0 となる。
証明終
243 名前：208 [2005/10/13(木) 17:47:48 ]: 中山の補題(>>242)の別証１

>>242の記号を使う。
a_(1,1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = x_1 より、
(a_(1,1) - 1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = 0
a_(1,1) - 1 は可逆(>>240)だから、
x_1 ∈ Ax_2 + ... + A x_n となる。
よって、M = Ax_2 + ... + A x_n となる。
これから、n に関する帰納法より、M = 0 となる。
証明終
244 名前：208 [2005/10/13(木) 17:58:50 ]: 補題
A を環、M を有限生成 A-加群とする。
N を M の部分加群で N ≠ M とする。
N を含む M の極大部分加群が存在する。

証明
N を含む M の部分加群で M と異なるものから構成される
全順序集合(包含関係による) S があるとする。
S の要素全体の和集合 L は M の部分加群で M と異なる。
何故なら M = L とすると L は M の有限個の生成元を含むから
S の要素で M と一致するものがあることになり矛盾。
よって Zorn の補題より N を含む M の極大部分加群が存在する。
証明終
245 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/14(金) 08:33:28 ]: >>244
明らかな事を証明するな馬鹿
246 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/14(金) 08:51:11 ]: >>244
明らかな事を証明するな馬鹿

omae usero BOKE!!!
247 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/14(金) 09:07:51 ]: >208

O-BOKE!!! !!!
248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/14(金) 09:20:45 ]: >>245-247 寝た子を起こすな。
249 名前：208 [2005/10/14(金) 10:24:13 ]: 補題
A を環、I を A のイデアル、M を A-加群とする。
(A/I)(x)M は M/IM と標準的に同型である。

証明
A-加群の完全列
0 → I → A → A/I → 0
より完全列
I(x)M → A(x)M → (A/I)(x)M → 0
が得られる。これより明らか。
証明終
250 名前：208 [2005/10/14(金) 10:29:27 ]: 中山の補題(>>242)の別証２

M ≠ 0 とする。
>>244 より、M の極大部分加群 N が存在する。
M/N は 0 以外に真の部分加群を持たない。つまり単純加群である。
よって M/N は１個の元で生成されるから、A の適当なイデアル m に
対して A/m と同型である。N は極大だから m は極大イデアルである。
よって、完全列
M → A/m → 0
が得られる。
よって、完全列
M(x)(A/I) → (A/m)(x)(A/I) → 0
が得られる。
一方、>>249より、
M(x)A/I = M/IM
(A/m)(x)(A/I) = A/m (I ⊂ m に注意)
と見なされる。つまり、完全列
M/IM → A/m → 0
が得られる。
よって、M/IM ≠ 0
証明終
251 名前：208 [2005/10/14(金) 10:38:20 ]: 個人的には、>>250の証明が中山の補題の本質を突いてると思う。
どの証明もZornの補題を本質的に使っていることに注意。
A がネーター環ならZornの補題はいらないが。
252 名前：208 [2005/10/14(金) 11:23:43 ]: 中山の補題と準素イデアル分解の応用として「Krullの共通イデアル定理」
を証明する。

定理(Krull)
A をネーター局所環、m をその極大イデアルとすると、
∩m^n = 0 となる。ここで n はすべての正の整数 n > 0 を動く。

証明
I = ∩m^n とおく。
mI = I を示せば、中山の補題より I = 0 となる。
mI ⊂ I は明らかだから I ⊂ mI を示す。
mI = q_1 ∩ ... ∩ q_r とする。ここで、各 q_i は準素イデアル。
ある i に対して、I ⊂ q_i とならないと仮定する。
mI ⊂ q_i だから m の各元は mod q_i で零因子となる。
よって、{m} = Ass(A/q_i) である。
よって、m^n ⊂ q_i となる整数 n > 0 がある(>>168)。
一方、I = ∩m^n だから I ⊂ m^n である。
よって、I ⊂ q_i となって矛盾。
証明終
253 名前：208 [2005/10/14(金) 12:05:02 ]: 定義
A を環、M を A-加群とする。
M ≠ 0 で
M ≠ N かつ N ≠ 0 となる部分加群 N が存在しないとき
M を単純加群と呼ぶ。
254 名前：208 [2005/10/14(金) 12:06:05 ]: 定義
A を環、M を A-加群とする。
M の部分加群の列
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0
があり、各 i に対して M_i/M_(i+1) が単純とする。
このとき、列 (M_i) を M の組成列と呼ぶ。
n をこの組成列の長さという。
255 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/14(金) 14:26:25 ]: アホかお前
256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/14(金) 14:27:57 ]: >>255
たのむからこのスレに文句つけるのやめてくれ。
257 名前：208 [2005/10/14(金) 18:45:16 ]: 可換環論においてネーター環が重要なことは当然だし、ネーター環は
色々、好都合な性質を持っている。だから、常にネーター性を
仮定出来れば、すっきりする。ところが、そうは問屋がおろしてくれない。
ネーター環でない重要な環がある。例えば離散付値でない付値環。
それに、不幸なことにネーター整域のその商体における整閉包は必ずしも
ネーター環ではない。
258 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/14(金) 19:34:24 ]: そ　れ　が　な　に　か　？
259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/14(金) 19:44:55 ]: >>256
260 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/15(土) 10:11:17 ]: 可換環論においてネーター環が重要なことは当然だし、ネーター環は
色々、好都合な性質を持っている。だから、常にネーター性を
仮定出来れば、すっきりする。ところが、そうは問屋がおろしてくれない。
ネーター環でない重要な環がある。例えば離散付値でない付値環。
それに、不幸なことにネーター整域のその商体における整閉包は必ずしも
ネーター環ではない。

tatoeba hokaniaru?
261 名前：感想 mailto:sage [2005/10/15(土) 12:28:52 ]: おつかれさま。これからもがんばって。
いや、なんだか大変そうだから。読んで文句をいうだけなら楽でも書くのは大変かと。

以下愚痴：素人というのはつまり、今はどんな状態からどんな状態へとつなぐ為に
こんなことをしています、っていうイメージがわかないひとのことかな、って思った。
たどれる（なぞれる）だけでは意味がなくてそれぞれの場面でどこを目指せばいいか
そんなレベルで知りたくて見てる私は素人なので、途中の道に目印だけ置かれて
途中で迷子にならないように何とかとりあえずついていくだけだと、ちょっとさびしく。

原語がわかるから言語的イメージを持てるのかもしれないけれど、
図形などの視覚的イメージや同じ～類似の形式的性質を持つモデルがあったらな。
でもわかるひとには長くてくどくなるし、かくのにも面倒だから、無理なんだろうな…。

たとえば？えーと上の局所化って内部相互差の一部の同一視なのかな、とか、
それによって扱うべき差異に注目して、本題以外の情報を視野から外せるかなとか、
ネイター環なら閉集合縮小時＝限定条件強化＝焦点化に限界があって、
開集合拡大時＝存在条件ゆるめ時の限界と表裏で、操作時いろいろ便利だ、とか。
かなり雑で不正確な気がするけど、ここの文だけだとそんなイメージになったよ。
262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/15(土) 12:52:02 ]: そんな無茶苦茶な理解しても役に立たんよ
数学は基礎からきちんと勉強しないと身につかない

それからネイター環じゃなくてNoether(ネター/ネーター）ね
物理の人とかたまにナーターとか読んでたりするけど
263 名前：感想 mailto:sage [2005/10/15(土) 14:06:13 ]: そうそう、そんな感じで。

何がどう間違ってるか突っ込まない教授って
あまり学習者には役に立たないものだから。
単に不正確とかいうのは、まず無意味。
ちゃんと正しい記述に直してくれてありがとう。

ちなみにこのｏｅは円唇音（≒咽頭開け音でも可、
口腔内前後径延長によって同様の音の変化
＝全フォルマントの低音化が起きるから容認発音）
のエで、やや長めなので、その通りになります。

他で基礎を全部学ぶならこの場はいらない。
半分の理解（＝誤解）の段階が想定対象だから、
軌道修正が中心になるのは当然、でもそれがない
参考書等が多く、このスレッドを頼りに学ぶわけで。

参考文献が入手困難か読みにくい外国語だけ、
または本の記述の細かさのムラのために
初学者が理解困難な場面の解説をしてくれている
そんな親切なひとのスレッドなのです。

だけど一人だと負担が重くなりすぎるので、
焦点が外れていたらスレ主は流すしかない。
こういった親切な人が助けてくれないと、
質問者は「？？？」なままになるわけ。

で、ＲＯＭは気が引けるので、声援・応援レスなのです。
264 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/15(土) 15:46:55 ]: ラのために
初学者が理解困難な場面の解説をしてくれている
そんな親切なひとのスレッドなのです。

だけど一人だと負担が重くなりすぎるので、
焦点が外れていたらスレ主は流すしかない。
こういった親切な人が助けてくれないと、
質問者は「？？？」なままになるわけ。

で、ＲＯＭは気が引けるので、声援・応援レスなのです。

91 KB [ ２ちゃんねるが使っている
265 名前：208 [2005/10/15(土) 16:30:38 ]: >>260
>tatoeba hokaniaru?

例えば、Krull環、例えば、ネーター整域のその商体における整閉包とか
266 名前：208 [2005/10/15(土) 16:35:11 ]: 初学者？　そうね、我慢して証明を追っていく。
そのうち、トンネルを抜けるように見晴らしがパーっと良くなる。
この感覚は言葉でいくら説明してもわからない。
体験するしかない。
267 名前：208 [2005/10/15(土) 16:46:04 ]: まあ、そう突き放すのも何だから、わからないところは質問して
くれればいい。
268 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/15(土) 16:49:10 ]: さて、ここでクリトリスについて考察してみよう。

まず、「リス」を漢字で書くと「栗鼠」、すなわち
　　(リス) = (栗鼠)

ここで、
　　(栗) + (栗鼠) = (栗) (1 + 鼠)

故に、
　　(クリトリス) = (栗) (1 + 鼠)

を得る。
269 名前：208 [2005/10/15(土) 16:55:44 ]: 何なんだろうね。釣りに反応するのもなんだけど。
数学がなんかすごくまじめくさった面白くもなんともないもんだと
誤解してんだろうね。数学ってのは場合によるとセックスより気持ち
いいもんなんだよ。これは知るひとぞ知る公然の秘密
270 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/15(土) 17:15:22 ]: 問題が解けたときって、１００円玉拾ったときと脳波がおなじじぇあねーの？
271 名前：シュリ [2005/10/15(土) 18:26:57 ]: 　今、就職活動中で、もし数学に事を何も知らない面接官に「代数学って何？」ってき
聞かれたら、何て説明しますか！？（素朴な疑問でスミマセン・・・。）
　あとこの掲示板では、代数的整数論の話題以外の分野で質問するのは、マズイですか！？
272 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/15(土) 18:29:15 ]: おでん屋みたいなものですとネタを入れる
273 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/10/15(土) 18:44:30 ]: talk:>>271 集合に、いくつかの演算の構造を入れた空間を考える学問。(もはや「代数」などとは呼べないかもしれないが。)
274 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/15(土) 18:53:07 ]: >>273
それは「数学」の説明では？
275 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/15(土) 19:10:33 ]: 暗号に使える高級数学とでもいっておけば。。。どんな暗号ってって会話が続くかも
営業で代数専攻でっていったら客がぽかーんとするから、そのときどう答えるかを聞いてるんだよ。
代数なんかで商売できる仕事はない
276 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/15(土) 19:14:27 ]: まあとにかく
・好きでやった
・一生懸命やった
・努力する才能はある

という点をアピールするのが目的だから、
説明と言う手段にこだわりすぎないほうがよい。
277 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/16(日) 15:46:59 ]: ・好きでやった
・一生懸命やった
・努力する才能はある
・本質は馬鹿である
・他人に教える才能も無い
・つぶしが利かない
・人生やめたほうが良い
278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/16(日) 16:24:57 ]: もとの話題に戻りましょ。208さん、すみません。
279 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/16(日) 16:37:52 ]: 微分幾何学と数値解析はなにに使えるって聞かれて。。。
リアクターの中のケミカル物質の濃度解析につかえるといったら。。
うちでは使う機会がないといわれた。。。

だったら面接に呼ぶなよな。。。忙しいのに。。。
馬鹿の面接官を出す会社は最初から蹴ったほうがいい
280 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/16(日) 16:41:26 ]: 大手は形式だけ試験受けてくれで。。。即決だった。
判断が速い。格の違いを感じた。
281 名前：208 [2005/10/17(月) 09:48:11 ]: 最近(実はほんの２、３日前)、Kummerの理想数に関して以外な発見を
した。俺だけが気がついたとは思はないが。
足立の「フェルマーの大定理」という本を１ヶ月ほど前にアマゾンで
買った。この本にはKummerの理想数について書いてあると聞いたから。
ところが読んでみるとあまり詳しく書いてない。
ただ、定義は書いてあった。

K を代数体(実は円分体だが一般の代数体でも同様)、A をその主整環、
p を素数とする。p の素因子とは、p と A の元ωの組 (p, ω)
で以下の条件を満たすものである。
1) ω ≠ 0 (mod pA) である。つまり ω ⊂ pA とならない。
2) α、βを A の元で、αβω = 0 (mod pA) なら、
αω = 0 (mod pA) または βω = 0 (mod pA) となる。

このとき、(p, ω) は p の素因子 P を定めるという。

αω = βω (mod pA) のとき α と β は素因子 P を法として
合同といい、α = β (mod P) と書く。

初めこれを読んだとき、なんじゃこれは？奇妙な定義だなと思った。
ところが、２、３日前に読み返してみて気がついた。
皆、もうわかるよね？そう素因子 P とは A/pA の随伴素イデアル、
つまり P ∈ Ass(A/pA) のことだ(>>89)。
これは驚きだよね。随伴素イデアルの概念はやっと１９５０年代の
終わりにBourbakiが定式化したものだ。それを、Kummerが100以上前に
代数体でやっていたとは。
282 名前：208 [2005/10/17(月) 10:24:37 ]: Kummerの定義によると α ∈ A が (p, ω) で定義される素因子 P の
n乗で割れるとは αω^n = 0 (mod (p^n)A) となることをいう。
A がDedekind環であることを使うと、これはイデアルとして
αA ⊂ P^n と同値であることが分かる。
283 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/17(月) 10:54:37 ]: 偉大なり、kummer

拡大スレをあげるんだ！
284 名前：208 [2005/10/17(月) 12:06:11 ]: 補題
A を環、M を A-加群とする。
M が長さ n の組成列(>>254)を持てば、M の任意の部分加群 N は、
長さ ≦ n の組成列を持つ。

証明
n に関する帰納法。
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0 を組成列とする。
(N + M_1)/ M_1 は N/(M_1 ∩ N) と同型である。
N + M_1 = M_1 つまり N ⊂ M_1 の場合は帰納法の仮定より、
N は長さ ≦ n-1 の組成列を持つ。
N + M_1 ≠ M_1 の場合は、N + M_1 = M であり、N/(M_1 ∩ N) は
単純加群(>>253)である。一方、M_1 ∩ N は帰納法の仮定より、
長さ ≦ n-1 の組成列を持つ。よって、N は長さ ≦ n の組成列を持つ。
証明終

(注) 図を書くと証明が良く分かる。
285 名前：208 [2005/10/17(月) 12:22:24 ]: 補題
A を環、M を A-加群とする。
M が長さ n の組成列(>>254)を持てば、M の任意の部分加群 N に
対して、M/N は長さ ≦ n の組成列を持つ。

証明
n に関する帰納法。
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0 を組成列とする。
(N + M_(n-1))/N は M_(n-1)/(N ∩ M_(n-1)) と同型である。
N + M_(n-1) ⊃ M_(n-1) であり、M/M_(n-1) は長さ = n-1 の
組成列を持つ。よって、N + M_(n-1) に帰納法の仮定が使える。
残りの証明は読者に任す。
286 名前：208 [2005/10/17(月) 12:30:31 ]: 定理(Jordan-Holder)
A を環、M を A-加群とする。
M = M_0 ⊃ M_1 ⊃ M_2 ... ⊃ M_n = 0 を組成列とする。
M の任意の組成列の長さは n であり、その剰余群の列は、
順序を別にして列 (M_i/M_(i+1)) と同型である。

証明
n に関する帰納法。
M = N_0 ⊃ N_1 ⊃ N_2 ... ⊃ N_m = 0 を別の組成列とする。
M_1 ∩ N_1 は補題(>>284)より長さ ≦ n-1 の組成列を持つ。
これと、帰納法の仮定を使えばわかる。
詳しくは読者に任す。
287 名前：208 [2005/10/17(月) 12:32:51 ]: >>286から自然数の素因数分解の一意性がすぐに出る(演習)。
だから、>>286は非常に基本的な定理ということが出来る。
288 名前：208 [2005/10/17(月) 12:37:52 ]: 定義
A を環、M を長さ n の組成列を持つ A-加群とする。
>>286より n は組成列の取り方によらない。
n を leng(M) と書き、M の長さと呼ぶ。
一般に組成列をもつ加群を長さ有限の加群と呼ぶ。
289 名前：208 [2005/10/17(月) 12:41:14 ]: 命題
A を環、M を長さ有限の加群、N をその部分加群とする。
このとき、N も M/N も長さ有限であり、
leng(M) = leng(N) + leng(M/N) となる。

証明
>>284と>>285から明らか。
290 名前：208 [2005/10/17(月) 12:45:08 ]: 命題
A を環、M をA-加群とする。
M が長さ有限であるためには、部分加群に関して極大条件と
極小条件を同時に満たすことが必要十分である。

証明
>>286や>>289を使えば簡単なので読者にまかす。
291 名前：208 [2005/10/17(月) 12:49:44 ]: >>281

自画自賛だけど、このスレで随伴素イデアルを扱ったのは正解だね。
なにしろ、Kummerがやってるんだから。
普通は代数的整数論の導入部で随伴素イデアルに関してここまでやらない。
292 名前：208 [2005/10/17(月) 16:00:19 ]: 定義
A を環とする。それをA-加群とみたとき極小条件を満たすなら、それを
Artin環という。
293 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/17(月) 16:03:51 ]: >>286から自然数の素因数分解の一意性がすぐに出る(演習)。
うそつけ
294 名前：208 [2005/10/17(月) 16:06:13 ]: 命題
Artin環が整域なら、それは体である。

証明
a ∈ A を 0 でない元とする。
イデアルの列 aA ⊃ (a^2)A ... ⊃ (a^n)A ⊃ ...
は途中で停留するから、(a^n)A = (a^(n+1))A となる整数 n > 0 が
ある。よって、a^n = a^(n+1)x となる x ∈ A がある。
A は整域だから、1 = ax となる。
証明終
295 名前：208 [2005/10/17(月) 16:15:32 ]: >>293

素直に、わからないから教えてくださいと言えばいいものを。
296 名前：208 [2005/10/17(月) 16:19:35 ]: >>294の系

Artin環の素イデアルは極大である。
297 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/17(月) 16:20:38 ]: >>295

おしえてなんかいらねーよ
298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/17(月) 16:21:46 ]: 208は教えてクンでもあったのか・・・
299 名前：208 [2005/10/17(月) 16:28:42 ]: 命題
Artin環の素イデアルは有限個である。

証明
p_1, p_2, ... , p_n を相異なる素イデアルとする。

p_1 ≠ (p_1)(p_2) である。
何故なら、p_1 = (p_1)(p_2) なら、p_1 ⊂ p_2 となるが、
p_1 は極大イデアルだから(>>296)、p_1 = p_2 となって矛盾。
同様に、(p_1)(p_2) ≠ (p_1)(p_2)(p_3) である。
何故なら、(p_1)(p_2) = (p_1)(p_2)(p_3) なら、p_1 ⊂ p_3
または p_2 ⊂ p_3 となるから。
よって、降鎖列 p_1 ⊃ (p_1)(p_2) ⊃ (p_1)(p_2)(p_3) ...
が得られ、隣合うイデアルは異なる。
極小条件から、この列は無限に続かない。
証明終
300 名前：208 [2005/10/17(月) 16:30:46 ]: >>298

お前はアフォか。
301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/17(月) 16:33:13 ]: おまえの返答、教えてクンの定型そのものだよ。
302 名前：208 [2005/10/17(月) 16:38:47 ]: >>301

だから、素直に謝れ。そしたら答えを教えてやる。
303 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/17(月) 16:40:27 ]: >>302
見当違いだって
うそつけっていったのは俺だよ
304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/17(月) 16:43:13 ]: いや結構。俺は>>293じゃないから。敵は一人症候群、早く治せよ。
305 名前：208 [2005/10/17(月) 16:46:41 ]: >>303

要は、答えが分からないんだろ。
分からないのに、人を嘘つき呼ばわりするんじゃない。
この問題は、そんなに大騒ぎするほどのもんじゃない。
だからこれで終わり。答えは自分で考えろよ。
ヒントは Z/nZ の組成列を考える。
このヒントでほとんど終わりだけどな。
306 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/17(月) 16:48:18 ]: >>305
おまえは馬鹿だね
それでおわりだとおもってるからうそつきなの
307 名前：208 [2005/10/17(月) 17:40:52 ]: >>306

何を悔し紛れに。これで勉強になったろ。
その程度で俺に喧嘩を売るのはまだ早いんだよ。
308 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/17(月) 17:42:56 ]: >>307
あ　まだわからないんだ
いつまでもそうやって自己満足してろ
309 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/17(月) 18:05:32 ]: やっと208らしくなってきたｗ
310 名前：208 [2005/10/17(月) 18:14:21 ]: >>308

こんな簡単な問題につべこべ言ってるならここに来る資格なし。
来るなよ。邪魔だから。
311 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/17(月) 18:15:53 ]: >>310
わからないからって
くやしまぎれ言うんじゃないよ
ま
おまいさんには無理だと思ってたよ
312 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/17(月) 18:17:21 ]: >>310
教えて欲しかったらちゃんと謝れよ
教えてくん
313 名前：208 [2005/10/17(月) 18:36:50 ]: 笑っちゃうね。そんなに説明してもらいたいのか。いじらしいね。
それならもうちょっと言い方があるだろうに。
314 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/17(月) 19:09:32 ]: 抽象論の中で自己完結しているやつらの糞スレだな。
まあ、趣味でやる分にはいいだろうが、実社会では
もっとも使えない連中だｗ
315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/17(月) 19:17:38 ]: >>314
自己完結しない抽象論なんてないよ。
君は実社会で糞でも食べてなさい。
316 名前：208 [2005/10/17(月) 19:22:03 ]: 趣味でやってんだけど。将棋とか野球とかと同じ
上(>>269)にも書いたけど何か勘違いしてんだろうね。
317 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/17(月) 19:38:34 ]: 実社会の甘い果実がわからんとな！
コチコチの自己完結頭の将来には、フリーターかニート
しかないってことかｗ
318 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/17(月) 19:41:21 ]: 数学に関係のない価値を持ち出すなって。
319 名前：208 [2005/10/17(月) 19:47:56 ]: だから勘違い。一種の嫉妬だろ。みっともねえ。
320 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/17(月) 19:51:55 ]: フリーターかニートはもうすぐ捕獲されて収容所に送られます
321 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/17(月) 20:01:44 ]: 208の方こそ数学に（しかも自分が得意なもの限定）すがりついて
るんじゃないか。だから、ささいなことに過剰に反応する。
余裕があるときとないときの落差大きすぎｗ
322 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/17(月) 20:02:51 ]: ニコリのパズルなら良くて数学ならダメというのがわからん。絡むなよ。
323 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/17(月) 21:53:52 ]: >>322
要するに２０８の態度が不快ということだろう？　空気嫁。
324 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/17(月) 21:55:52 ]: >>323
ニコリのパズルについて嬉々として話している人がいたとして、
それを不快がるヤシの気持ちがわからん、という話をしている。
325 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/17(月) 22:10:56 ]: >>324
「嬉々として話している」だけなら誰も文句は言わん。
繰り返す、空気嫁。
326 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/17(月) 22:15:07 ]: >>325
おまいの脳の中だけの空気は読めん。スレを１個消費するだけ。無視すれ。
327 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/17(月) 22:18:01 ]: >>326
自分の脳の中しかわからんか。典型的な自己完結厨だな。
328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/17(月) 22:18:22 ]: >>325
おまえの村の空気だけで地球は覆えない。
329 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/17(月) 22:22:40 ]: >>327
暗に、「数学の価値はニコリのパズル程度と思え」という価値の改革を迫っている。改革しろ。
330 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/17(月) 22:32:21 ]: >>328
君の脳内世界についていけん。

>>329
被害妄想。
331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/17(月) 22:33:03 ]: d一つであぼーんできる2chブラウザを使ってる俺は勝ち組
332 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/18(火) 00:06:58 ]: THAT"S BOTTOM LINE!!!!!!!!!1
THE undertaker takes Tomb Stone PiLe Driver!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1
333 名前：208 [2005/10/18(火) 08:55:00 ]: 俺の態度？バカヤロ。
俺が親切に演習問題を出したのに、それに対して嘘つけと言った奴
の態度はどうなんだよ。そいつが出てくるまではおだやかにやってただろ。
仮にその問題が間違ってたとしても(あの問題に関しては可能性ゼロだが)、
別の言い方があるだろうが。
334 名前：208 [2005/10/18(火) 09:26:34 ]: 補題
体 k 上の加群 V が部分加群に関して極小条件をみたせば、
V はｋ上有限次である。

証明
V が k 上無限個の基底を持つとする。
容易にわかるように、部分加群の無限降鎖列で途中で停滞しないものが
得られる。
証明終
335 名前：208 [2005/10/18(火) 09:30:37 ]: 命題
A を局所Artin環とする。つまりただ１つの極大イデアル m をもつ
Artin環とする。m がべき零なら A は A-加群として長さ有限である。

証明
m^n = 0 とする。
A-加群の降列
A ⊃ m ⊃ m^2 ⊃ ... ⊃ m^(n-1) ⊃ m^n = 0
を考える。
0 ≦ i ≦ n-1 に対して M_i = m^i/m^(i+1) とおく。
m(M_i) = 0 だから、M_i は体 A/m 上のベクトル空間とみなせる。
M_i の A-加群としての部分加群は、A/m 上の部分ベクトル空間でも
あり、逆も成立つ。よって補題(>>334)より M_i は A-加群として
長さ有限である。よって A も長さ有限である。
証明終
336 名前：208 [2005/10/18(火) 09:47:16 ]: 命題
A をArtin環とし、J を A の J-根基(>>238)とする。
J はべき零となる。

証明
A-加群の降列
J ⊃ J^2 ⊃ ... ⊃ J^n ⊃ ...
は途中で停滞するから、J^n = J^(n+1) となる整数 n > 0 がある。
N = J^n とおく。N^2 = N である。
N ≠ 0 として矛盾を導けば証明が終わる。
NI ≠ 0 となるイデアル I の集合 S を考える。N^2 = N だから、
N ∈ S だから S は空でない。よってこの集合に極小なものがある。
それを I とする。NI ≠ 0 だから Na ≠ 0 となる I の元がある。
I の極小性より、I = aA である。(N^2)a = Na だから、
Na ∈ S であり、Na ⊂ aA より再び I の極小性より Na = aA
となる。よって x ∈ N で xa = a となるものがある。
(x^2)a = xa = a を繰り返して (x^n)a = a が任意の n > 0 で
成立つ。
一方、N ⊂ J であり、J = nil(A) でもあるから(>>296 と >>163)、
x はべき零である。よって a = 0 となって矛盾。
証明終
337 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/18(火) 09:49:50 ]: 俺の態度？バカヤロ。
俺が親切に演習問題を出したのに、それに対して嘘つけと言った奴
の態度はどうなんだよ。そいつが出てくるまではおだやかにやってただろ。
仮にその問題が間違ってたとしても(あの問題に関しては可能性ゼロだが)、
別の言い方があるだろうが

Do not worry about it. You do a good job..
338 名前：208 [2005/10/18(火) 09:51:21 ]: 補題
A を環、I, J を A のイデアルで I + J = A とする。
このとき、IJ = I ∩ J となる。

証明
IJ ⊂ I ∩ J は明か。
I ∩ J = (I ∩ J)(I + J) ⊂ IJ + IJ = IJ
証明終
339 名前：208 [2005/10/18(火) 10:01:23 ]: 補題
A を環、I_1, I_2, ... , I_n を A の相異なるイデアルで
I_i + I_j = A が i ≠ j のとき成立つとする。
このとき、(I_1)(I_2)...(I_n) = I_1 ∩ I_2 ∩ ... ∩ I_n となる。

証明
>>338 と帰納法を使う。
340 名前：208 [2005/10/18(火) 10:19:36 ]: すまん。>>339の証明には次の補題がいるな。

補題
A を環、I_1, I_2, ... , I_n を A の相異なるイデアルで
I_i + I_j = A が i ≠ j のとき成立つとする。
各 i に対して J_i を I_1, I_2, .. I_n から I_i を除いた積とする。
このとき I_i + J_i = A となる。

証明
I_i + J_i ⊂ m となる極大イデアルがあったとする。
J_i ⊂ m だから i ≠ j のとき I_j ⊂ m となって、
I_i + I_j = A に矛盾する。
証明終

この補題は極大イデアルを使わなくても証明できる。
341 名前：208 [2005/10/18(火) 10:50:05 ]: 命題(中国式剰余定理)
A を環、I_1, I_2, ... , I_n を A の相異なるイデアルで
I_i + I_j = A が i ≠ j のとき成立つとする。
A/(I_1)(I_2)...(I_n) は (A/I_1) x (A/I_2) x ... x (A/I_n) と
標準的に同型である。

証明
環の射 f
f: A → (A/I_1) x (A/I_2) x ... x (A/I_n)
を f(x) = (x mod I_1) x ... x (x mod I_n) で定義する。
これが全射であることを示せばよい。
何故なら Ker(f) = I_1 ∩ I_2 ∩ ... ∩ I_n だが、>>339
より Ker(f) = (I_1)(I_2)...(I_n) となる。

x_1, x_2, ..., x_n を A のかってな元の列とする。
x = x_1 (mod I_1)
x = x_2 (mod I_2)
...
x = x_n (mod I_n)
となる A の元 x を求めればよい。

>>340 より、各 i に対して I_i + J_i = A
だから、z_i + e_i = 1 となる z_i ∈ I_i と e_i ∈ J_i
がある。
e_i = 1 (mod I_i)
i ≠ j のとき、e_i = 0 (mod I_j)
となる。
x = (x_1)(e_1) + (x_2)(e_2) + ... + (x_n)(e_n)
が求めるもの。
証明終
342 名前：208 [2005/10/18(火) 11:01:55 ]: 定理
Artin環はネーター環でもある。

証明
A を Artin環とする。A の極大イデアルを m_1, ..., m_r とする。
J = m_1 ∩ ... ∩ m_r とする。>>336より J^n = 0 となる整数 n > 0
がある。>>339 より、J = (m_1)...(m_r) であるから、
(m_1)^n...(m_r)^n = 0 である。
>>341 より A は (A/(m_1)^n) x ... x (A/(m_r)^n) と同型である。
各 A/(m_i)^n は Artin 環であるが >>335 よりネーター環でもある。
よって A 自身もネーター環でもある。
証明終
343 名前：208 [2005/10/18(火) 13:50:21 ]: 命題
A をネーター環、M を A-加群で長さ有限とする。
Ass(M) の元はすべて極大イデアルである。

証明
p ∈ Ass(M) とする。A-加群としての単射 A/p → M がある。
よって A/p の長さは有限(>>284)。よって p は極大イデアル(>>296)
証明終
344 名前：208 [2005/10/18(火) 13:51:18 ]: 命題
A をネーター環、M を A-加群で長さ有限とする。
Supp(M) の元はすべて極大イデアルである。

証明
p ∈ Supp(M) とすると定義から M_p ≠ 0 である。
Ass(M_p) は空でない(>>90)。Ass(M_p) は Ass(M) の部分集合
Ass(M) ∩ Spec(A_p)と同一視される(>>95)。
よって、p は Ass(M) の元を含む。
Ass(M) の元は極大(>>343)だから p は極大である。
証明終
345 名前：208 [2005/10/18(火) 13:52:11 ]: 命題
A をネーター環、M を有限生成 A-加群とする。
Ass(M) の元がすべて極大なら M は長さ有限である。

証明
Supp(M) の元はすべて極大イデアルである(>>344)。
一方、>>193 より
M の部分群の列
0 = M_0 ⊂ M_1 ⊂ ... ⊂ M_n = M で各 M_i/M_(i-1) が A/p_i
と同型になるものが存在する。p_i は素イデアル。
各 p_i は Supp(M) に属す(>>172)から極大である。
よって、M_i/M_(i-1) は単純加群、つまり、この列は組成列である。
証明終
346 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/18(火) 13:56:50 ]: >俺が親切に演習問題を出したのに、それに対して嘘つけと言った奴
>の態度はどうなんだよ。そいつが出てくるまではおだやかにやってただろ。
>仮にその問題が間違ってたとしても(あの問題に関しては可能性ゼロだが)、
>別の言い方があるだろうが。

そうだったな
おまえが親切にも(小さな親切大きなお世話)誰も頼んでない
問題を出して自己満足に浸っていたのに
冷や水かけられてアタマにきたわけだな
でもな
おまえこそが問題の本質ががわかってないんだろ
自分で顔でも洗ってろ
っての
347 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/18(火) 13:58:12 ]: いっとくけどな俺は親切でうそつけって言ったんだからな
348 名前：208 [2005/10/18(火) 14:15:55 ]: 定義
A を環、p を A の素イデアル、n > 0 を整数とする。
φ: A → A_p を標準射とする。
(p^n)A_p の φによる逆像を p^(n) と書く。
これを p の記号的 n-乗(symbolic n-th power)という。
349 名前：208 [2005/10/18(火) 14:17:54 ]: >>347

あそ。じゃあ、どこが嘘なのか説明してもらおうか。
説明できないなら、それこそお前が嘘つきってことになる。
350 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/18(火) 14:20:58 ]: うそなのは
簡単ってとこ

あとはおしえたらへん
ひんとは自然数以外にも一意性はなりたつのかな
351 名前：208 [2005/10/18(火) 14:22:12 ]: 命題
A をネーター環、p を A の素イデアル、n > 0 を整数とする。
p の記号的 n-乗 p^(n) は、準素イデアルであり Ass(A/p^(n)) = {p}
となる。

証明
p^n を含む素イデアルは p を含む(>>203)から p は
V(p^n) = Supp(A/p^n) の極小元である。
よって p ∈ Ass(A/p^n) である(>>146)。
p^n = q_1 ∩ ... ∩ q_r を最短準素分解(>>188)とする。
Ass(A/q_i) = {p_i} とする。
p ∈ Ass(A/p^n) だから、p_i = p となる i がただ１つある。
p_1 = p とする。φ: A → A_p を標準射とする。
q_1 は (p^n)A_p のφによる逆像である(>>198)。
証明終
352 名前：208 [2005/10/18(火) 14:27:12 ]: >>350

ｗｗｗ...
笑わせるやろうだ。
そんなことだったのかよ。
もういいから失せろ
353 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/18(火) 14:30:29 ]: おまえな自然数をなめるなよ
354 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/18(火) 14:32:02 ]: >笑わせるやろうだ。
>そんなことだったのかよ。
>もういいから失せろ

しったかこいてるぜ
355 名前：208 [2005/10/18(火) 15:09:28 ]: >>353

じゃあ、どのくらい難しいのか、ここで自然数の素因数分解の一意性を
Jordan-Holderを使って証明してみてくれ。
356 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/18(火) 15:14:28 ]: だからJordan-Holderだけじゃ証明できないだろ
って指摘してるのがわからない
血の巡りのとことん悪いアホの癖に
偉そうにだらだらお勉強ノート書いて
えっ
お前何様なんだよ
どこの教授様なんだよ
教授なら辞表かけ
そうでないならもっと謙虚になれ
このくそったれが
357 名前：208 [2005/10/18(火) 15:27:40 ]: じゃあ他も使っていいから証明してみてくれよ。
358 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/18(火) 15:28:23 ]: やめろよ教えてくん
359 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/18(火) 15:29:22 ]: 結局教えてくんだったね
360 名前：208 [2005/10/18(火) 16:55:47 ]: 命題
A をネーター環、p を A の素イデアルとする。
φ: A → A_p を標準射とする。
∩p^(n) = Ker(φ) である。
ここで n はすべての正の整数を動く。

証明
∩p^(n) = ∩φ^(-1)(p^nA_p) = φ^(-1)(∩p^nA_p)
ここで、∩p^nA_p = 0 である(>>252)。
よって、∩p^(n) = φ^(-1)(0) = Ker(φ)
証明終
361 名前：208 [2005/10/18(火) 17:10:26 ]: >>359

どっちが正しいかはっきりしたいだけ。
だから、証明してみてくれ。
362 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/18(火) 17:18:31 ]: どっちもこっちもありゃしないさ
じょるだんへるだーだけで素因数分解の一意性なんか
証明できるわけないだろって

いくら馬鹿だってそれくらいは理解できるだろ
363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/18(火) 17:57:14 ]: 208の代わりに証明してみる。
Z/pZ が単純⇔pが素数は自明。
したがって、nを自然数とすると、Z/nZの組成列は
Z/nZ ⊃ pZ/nZ ⊃pqZ/nZ ・・・ ⊃pq・・・rZ/nZ = 0 （p、q、・・・r は素数、pq・・・r = 1)
という形をしている。
したがって商群の列の（順序を除いた）一意性から、素因数分解の一意性がでる。
おわり。
364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/18(火) 17:59:36 ]: ｽﾏｿ
「pq・・・r = 1」じゃなくて「pq・・・r = n」
365 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/18(火) 18:09:23 ]: >>363
素直なよい子だね
それを代数体の整数環でやったらどうかな
そこでも素因数分解の一意性はなりたつかな
366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/18(火) 18:16:07 ]: あ！？
代数体の整数環の素イデアル分解の話は最初から誰もしてねーだろ。
大体それは「素因数分解」っていわねーよ、フツー。何言いたいんだおめーは？
367 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/18(火) 18:21:16 ]: いであるのことなんか言ってないよ
数の話をいってるのさ
368 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/18(火) 18:21:50 ]: 208レベル大杉だな
369 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/18(火) 18:22:28 ]: もういいや

すきにやって
370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/18(火) 18:23:06 ]: 「数の話」って何よ。釣りか？
371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/18(火) 18:23:39 ]: 飛んで飛んで飛んで～
372 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/18(火) 21:08:59 ]: イデアルの話じゃないのなら、何の話をしてるの？？

言っとくけど俺、このスレ初カキコだから。イコール厨は勘弁して
くれよな（聞いてるだけなんで、「教えてクン」呼ばわりされるの
は別に構わんが・・・(^^;
373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/18(火) 21:27:14 ]: 出るかもしれないけど自然数の素因数分解の一意性の証明っていうより
素因数分解の一意性の一般化になっているから重要だってことだよね

まあJordan-Holderは
（一般には作用域を持つ）加群の一種の「分解」になってるわけで
素因数分解の一般化だろうが仮にそうでなかろうが重要なのは間違いないね
374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/18(火) 21:35:01 ]: どうでもいい。オナニーさせろや。
375 名前：208 [2005/10/19(水) 09:26:18 ]: >>362

お前には、ここは無理。代数の基礎からやり直してこい。
376 名前：208 [2005/10/19(水) 09:35:41 ]: >>359

しつこいな。お前、アフォだろ。
どっから、俺が教えてくんというのが出てくるんだよ。
演習問題を出して、それを嘘だと言われたら、誰でも
理由を聞くだろうが。それを、教えてくん呼ばわりするってのは(略
377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 09:38:06 ]: 「イデアルのことではなく、数の話である」という主張の意味を、一晩
寝ないで考えてみました（まあ嘘ですけど(w
でも、結局全然分からんかった。

「イデアル」って、「理想数」というほどのニュアンスで命名されたん
だよね？　だったら、「イデアルではなく数の話」っていうのは、つま
りは「理想的でない数」の話ということだ。結局、何言ってんだか全然
分からんということだ！！
378 名前：208 [2005/10/19(水) 10:17:51 ]: >>340 と似たようなものだけど、次の命題を>>340と別の方法で
証明しておく。

命題
A を環、I, J, L を A のイデアルで
I + J = A
I + L = A
とする。
このとき、I + JL = A となる。

証明
A = (I + J)(I + L) = I^2 + IL + JI + JL
⊂ I + JL
証明終

これと帰納法を使って、>>340 が出る。
379 名前：208 [2005/10/19(水) 10:21:50 ]: 定義
A を環、A の素イデアルの列
p_0 ⊃ p_1 ⊃ p_2 ⊃ ... ⊃ p_n
で各p_i が異なるものを長さ n の素イデアル鎖と呼ぶ。
長さ n の素イデアル鎖が存在し、長さ n + 1 の素イデアル鎖が
存在しないとき、n を A の Krull次元と呼ぶ。
A の Krull次元を、dim(A) または dim A と書く。

p を A 素イデアルとしたとき、dim A_p を p の高さといい、
ht(p) または ht p と書く。
これは、p = p_0 ⊃ p_1 ⊃ p_2 ⊃ ... ⊃ p_n
となる素イデアル鎖の長さの最大である。

I をイデアルとしたとき inf{ht(p); I ⊂ p, p ∈ Spec(A)}
を I の高さといい、ht(I) または ht I と書く。
380 名前：208 [2005/10/19(水) 10:56:05 ]: 中山の補題(>>242)の系
A を環、I を A のイデアルで I ⊂ rad(A) とする。
M を有限生成 A-加群とする。 N を M の部分加群で、
M = N + IM とすると、M = N である。

証明
I(M/N) = (IM + N)/N = M/N
よって、中山の補題より M/N = 0
証明終
381 名前：208 [2005/10/19(水) 11:08:56 ]: 定理(Krullの単項イデアル定理)
A をネーター整域、a を A の 0 でなく可逆でもない元とする。
p を Supp(A/aA) の極小元とする。
このとき、ht(p) = 1 となる。

証明
Supp(A/aA) = V(aA) であるから(>>176)、これの極小元というのは、
aA を含む素イデアルの集合の極小元ということである。
A を A_p で置き換えて A を局所環と仮定してよい。
よって、p は A の極大イデアルである。
よって、Supp(A/aA) = {p} となる。
Ass(A/aA) ⊂ Supp(A/aA) だから(>>99)、Ass(A/aA) = {p} となる。
q を A 素イデアルで、q ⊂ p かつ q ≠ p とする。
q = 0 を示せばよい。
イデアルの列
q + aA ⊃ q^(2) + aA ⊃ q^(n) + aA ⊃ ...
を考える。ここで q^(n) は q の記号的 n-乗(>>348)。
Supp(A/aA) = {p} で p は極大だから、A/aA は長さ有限である(>>345)。
よって、q^(n) + aA = q^(n+1) + aA となる n がある。
q^(n) ⊂ q^(n+1) + aA である。x ∈ q^(n) とすると、
x = y + az となる、y ∈ q^(n+1) と z ∈ A がある。
az = x - y ∈ q^(n) であり、Ass(A/q^(n)) = {q} で(>>351) a は q に
含まれないから、a は A/q^(n) に関して正則である(>>180)。
よって、z ∈ q^(n) となる。つまり、q^(n) ⊂ q^(n+1) + aq^(n)
である。逆の包含関係は明らかだから、q^(n) = q^(n+1) + aq^(n)
となる。よって、中山の補題の系(>>380)より q^(n) = q^(n+1)
となる。同様に、q^(n+1) = q^(n+2) = ... である。
一方 >>360 より ∩q^(n) = 0 である。よって q^(n) = 0
である。q^n ⊂ q^(n) だから q^n = 0、A は整域だから q = 0 である。
証明終
382 名前：208 [2005/10/19(水) 11:20:29 ]: Krullの単項イデアル定理(>>381) はネーター環の準素イデアル分解、
共通イデアル定理(>>252)、中山の補題、環の局所化など可換代数に
おける基本的な道具や結果を動員して証明された。
だから今までの命題と較べてやや深い結果といえるだろう。
これは、Krullの次元定理の特別な場合だが、次元定理は、これを
利用して帰納法により証明される。
383 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 12:49:59 ]: >>375
やっぱり無理だったなお前にはな
やっぱり染みついた馬鹿はとれないな
顔にケチャップついてますよといわれても
余計なお世話だって道歩いてんだろうな

まっこれ以上ヒント出しても無駄だから
アホは死んでね
クルルの次元定理なんて偉そうにいっても自然数の
素因数分解が理解できないのじゃ意味無いね
384 名前：208 [2005/10/19(水) 13:14:25 ]: >>383

ヒントって何のヒントだよ。Jordan-Holderから自然数の素因数分解の
一意性がすぐ出るんだよ。それは動かせない事実。
それを否定してるお前は初歩の代数の基礎がわかってないの。
これも動かせない事実。頭を冷やせ。
385 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 13:34:18 ]: 「Bが部分環A上、忠実平坦とする。
このとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」

ことを証明してくれ。
386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 15:57:50 ]: クルルの次元定理って、偉そうなの？(hagewara
387 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 17:05:32 ]: >Jordan-Holderから自然数の素因数分解の
>一意性がすぐ出るんだよ。それは動かせない事実。

でないよ
自然数の素因数分解の本質は割り算にあるというのが
動かせない事実
それを使わない限り証明できるわけがない
おまえこそアタマを冷やせ

ここまで言ってわからなきゃ死ね
388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 17:33:51 ]: あんたが「何も使わないで」というのを、割り算も使わないでって意味だと
勝手に思い込んでただけじゃないのか？
>>208も別に割り算を使わないで証明できるとか
そんな極端なこと言ってなかったと思うけど、、

お前は微積の授業で、平均値の定理からRolleの定理から何も使わないで出ます、
と先生が言ったら、
「先生！平均値の定理は一次函数の微分を使わないと出て来ません！
平均値の定理は一次函数の微分が根幹にあるから、、、
ここまで言えば莫迦な先生でも理解できるでしょ？出来なきゃ死ね」とか言って噛み付くのか？
389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 17:35:09 ]: ヒントってどのレスのこと？
馬鹿な私には分かんないんだけど

あんたはただ出ない出ないと鸚鵡みたいに繰り返してただけだろ
390 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 17:41:54 ]: >「先生！平均値の定理は一次函数の微分を使わないと出て来ません！
>平均値の定理は一次函数の微分が根幹にあるから、、、
>ここまで言えば莫迦な先生でも理解できるでしょ？出来なきゃ死ね」とか言って噛み付くのか？

噛みつくね
391 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 17:43:55 ]: ＞>>208も別に割り算を使わないで証明できるとか
＞そんな極端なこと言ってなかったと思うけど、、

だからお前も同類の馬鹿なんだよ
な
ジョルダンヘルダーから簡単にでるって
じゃあどういう意味なんだよ
392 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 17:44:54 ]: >あんたはただ出ない出ないと鸚鵡みたいに繰り返してただけだろ
ばかよくレス読んでこい
393 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 17:55:03 ]: >平均値の定理

そういうのよく思いつくね
394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 17:58:13 ]: 単に難しい道具を用意したりしなくても直接に出るって言ってるだけだろ？
割り算くらい代数学の勉強してる人間は理解しているとして話してるんじゃないのか？

そうすると難しい道具、の定義が無いとか言うのか？

>>208は別に今、数学を集合論から論理的に構築しているわけではないだろ？
395 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:00:30 ]: はなしにならん
396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 18:24:12 ]: 俺は>>390にビックリしたよｗ
大学生の頃余程変な学生だったんだろうなあｗ
397 名前：208 [2005/10/19(水) 18:26:05 ]: 初めからアフォだと思ってたけどこれほどとは。
珍しい奴だな
398 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:28:57 ]: >珍しい奴
はお前だよ
>俺は>>390にビックリしたよｗ
冗談を真に受けるな
399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 18:30:45 ]: 都合が悪くなると冗談にしちゃうのか
400 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:31:28 ]: >大学生の頃余程変な学生だったんだろうなあｗ

普通の学生だったら208みたいに平凡になってるってか
おまえおもしろいね
401 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:32:35 ]: >>399
ばか都合の問題でこまかしてんのはどっちだよ
402 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:33:53 ]: ともかくだ
おまえらは教育のし甲斐の無い奴らだってことが
よくわかった
破門だ
403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 18:34:06 ]: そんなことより。
割算も使っちゃいけないってのは、なんでなの？
404 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:35:12 ]: >>399
いっとくが冗談だというのは冗談だよ
405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 18:39:26 ]: あのね、俺、別に煽ってる訳じゃないんだけど。

俺はヘヴィな2cherではないし、正直この数板くらいしか覗かないんだ
けど、でも俺の知る限りでは、アンタみたいな思わせぶり炸裂の奴って、
経験的に言って馬鹿が多いんだよね。

俺はさ、208でも何でもないから（っていうか俺は>>372ね）、既出の
通り「教えてクン」呼ばわりされるのは全然構わないんだ。だから、ご
ちゃごちゃ誤魔化してないで、はっきり教えて欲しいんだけど。

割算を使うということが、どのように問題なワケ？
406 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:41:25 ]: >>403
あのね
割り算を使っちゃいけないとは誰も言ってないよ
割り算をつかわなくてはいけないといっているのよ
必須アイテムは「わりざん」でジョルダンヘルダーじゃない
ジョルダンヘルダーだけで素因数分解の一意性がでるかのように
いってるといってるの
割り算が簡単でそれくらいだれでもわかるでしょというなら
その段階でおわってるわけ
407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 18:43:49 ]: >>405
雑魚は引っ込んでろ。208が出てくればいい。
ちなみ、俺402じゃないからね。
408 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:44:25 ]: >>405
これだけ言ってわからないってのはね
>経験的に言って馬鹿が多いんだよね。
>>406
でわからないかね
409 名前：405 mailto:sage [2005/10/19(水) 18:47:58 ]: ・・・なんか、つまんない話っぽいなぁ。

うーん、あくまでも俺が馬鹿だから理解できないのかなぁ？　いやね、
内容を見る限り、>>406その他が馬鹿で無知であるとは、あんまし思え
ないんだけど。

でも、>>406の言ってることって、あまり面白い話ではなさそうだね。

それとも、あれかい？　ジョルダンヘルダーは、実は本質的に素因数分
解の一意性を使っているのかい？　そういう話なら、得るところも大き
いんだけど・・・。
410 名前：405 mailto:sage [2005/10/19(水) 18:49:52 ]: >>407
じゃあ、君は雑魚じゃないんだね？
それなら、君が分かるように解説したらどうなん？？
411 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:52:43 ]: >それとも、あれかい？　ジョルダンヘルダーは、実は本質的に素因数分
>解の一意性を使っているのかい？　そういう話なら、得るところも大き
>いんだけど・・・。

そうそう　そう考えなくちゃね　あんたは208より数等上のアタマの使い方
知ってるよ
412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/19(水) 18:55:11 ]: >>411
>>286のどこで本質的に使ってるの？
413 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:55:30 ]: >>409
つまらない話にもっていったのは208だからな
しかたがないね
ジョルダンヘルダー使って素因数分解の一意性証明した
そのどこで割り算使ってるか208にはわかってるのかね
414 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 18:56:53 ]: >>412
使ってないよ
だからどこに隠れてるのかって
415 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:01:55 ]: >>409
それでもまだつまらないってのか
416 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:11:07 ]: >>410
ぺちゃくちゃうるさい。黙ってろ。
417 名前：208 [2005/10/19(水) 19:30:34 ]: >>387の話が分かったひと(>>387以外)いたら説明してくれ。
俺にはさっぱりわからん。割り算を使わないと証明出来ないと
してそれで俺が嘘をついたことになるのか？
俺は割り算は使わないとは言ってない。
418 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:34:52 ]: >>417
もういいから
>俺は割り算は使わないとは言ってない。
そのとおりだよ
何度もいうように「すぐに」がうそだって言ったの

でどこで割り算つかったんだよ
419 名前：208 [2005/10/19(水) 19:37:36 ]: >>418
>もういいから

もういいからじゃねえよ。
きっちり決着つけようじゃないか。
割り算のどこが難しいんだよ。
420 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:39:55 ]: >>417
嘘の問題じゃないんだよ
おまえが自分に誠実かが問われているんだよ
421 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:39:56 ]: 割り算はすらすらなんだけど、文章題になると突然思考が止まるんですが。。。
422 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:41:24 ]: >割り算のどこが難しいんだよ。
だれが難しいって言ったの
423 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:42:25 ]: >きっちり決着つけようじゃないか。

だからどこで使ってるんだよ
424 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:43:23 ]: >もういいからじゃねえよ。

だったら謝れよ
425 名前：363 [2005/10/19(水) 19:44:46 ]: ちなみに>>363では、「Z/pZ が単純⇔pが素数は自明」ってとこに
「割り算」使ってる。
>>387は単に>>208にイチャモンつけたいだけだと思われ。無視しよう。
426 名前：208 [2005/10/19(水) 19:45:30 ]: >>420
>嘘の問題じゃないんだよ

>>293でお前が「うそつけ」と言ったのがこの騒ぎの発端なんだよ。
今更、嘘の問題じゃないもないだろ。
427 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:46:09 ]: >>425
まちがい
428 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:47:40 ]: >>426
この期におよんで自分の理解が浅はかだったことを
そういう態度でごまかすのは見苦しいね
429 名前：363 [2005/10/19(水) 19:48:51 ]: >>427
427=387か？
どこが間違い？
また最初から同じような話が繰り返されそうな悪寒・・・　
430 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:49:19 ]: >>363
は208よりちょっとだけ賢いが
もうちょっと素直にならないといけないな
431 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:50:28 ]: あとは自分で勉強しなさい
お父さんは帰るから
432 名前：208 [2005/10/19(水) 19:50:31 ]: >>422
>だれが難しいって言ったの

簡単に出るといったら、嘘つき呼ばわりされた。
その理由は、割り算を使うからだと。
つまり、割り算は簡単でないと思ってんだろ。
簡単でないとは（ほぼ）イコール難しいだろ。
433 名前：363 [2005/10/19(水) 19:50:55 ]: みなさん427=387=430はスルーしましょう。
434 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:51:55 ]: >>432
見苦しい言い訳すんなよ
435 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:53:03 ]: >>363
雑魚が
436 名前：208 [2005/10/19(水) 19:54:39 ]: だめだこりゃ。話しにならない。
割り算が簡単でないだと。キ印だな
437 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 19:56:44 ]: >>436
だからどこでつかってんだよ
438 名前：208 [2005/10/19(水) 20:03:19 ]: >>437

そんなのどっちでもいいだろ。
割り算を使うにしろ、使わないにしろ簡単なことに変わりないんだから。
お前の、割り算にこだわるところが病的なんだよ。
トラウマでもあるのか。小学生のときに割り算がわからなくて
先生にどやしつけられて皆の前で恥を書いたとかｗ
439 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 20:04:13 ]: >割り算が簡単でないだと。キ印だな

おれはき印でいい
おまえは嘘つきだ
440 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/19(水) 20:07:25 ]: >そんなのどっちでもいいだろ。
>使わないにしろ

よくわかった
やっぱりお前はわかっていないんだ
証明を完全に書ききってみることをおすすめする
そしてお前が不誠実であることもよくわかった

素因数分解に割り算をつかわないならお前は大発見をしたことに
なるよ
441 名前：208 [2005/10/19(水) 20:29:12 ]: >>440

しょうがねえな。俺が答えたら演習にならないだろうが。
ほれ

命題
自然数の素因数分解は順序を除いて一意的である。

証明
n を自然数として、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r)
を n の素因数分解とする。
G を位数 n の巡回群とし、それが組成列の剰余群として、n_1 個の Z/(p_1)Z,
... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つことを n に関する帰納法で証明する
(各 Z/(p_i)Z は単純なのは明らか)。
G = Z/nZ の位数を p_1 は割るから G は位数 p_1 の部分群 H を
持つ。G/H は巡回群であり、その位数は
n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r)
で n より小さいから、帰納法の仮定より、G/H は、組成列の剰余群
として (n_1 - 1) 個の Z/(p_1)Z, ... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つ。
よって、G は、最初の主張の剰余群列を持つ。
これからJordan-Holderより、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r)
の分解は一意に決まる。
証明終
442 名前：208 [2005/10/19(水) 20:43:44 ]: >>440

使わないなんて言ってないだろ。
お前、日本語も駄目なんだな
443 名前：208 [2005/10/19(水) 20:45:27 ]: >>439
>おまえは嘘つきだ

何故なのか、とっくりと聞こうじゃないか。
444 名前：208 [2005/10/20(木) 12:22:52 ]: Krullの単項イデアル定理(>>381)の系

A をネーター環、
p ⊃ p_1 ⊃ p_2 を A の長さ２の素イデアル鎖(>>379)とする
(よって、この３個の素イデアルは互いに異なる)。
x を p の元で、p_1 に含まれないものとする。
このとき x を含む素イデアル q で
p ⊃ q ⊃ p_2 が長さ２の素イデアル鎖となるものが存在する。

証明
A を A_p で置き換えて、A は局所環で p はその極大イデアルと
してよい。
Supp(A/(xA + p_2)) の極小元を q とする。つまり、q は xA + p_2
を含む素イデアルの中で極小である。
A は局所環だから、p ⊃ q となる。q ⊃ p_2 は明らか。
ネーター整域 B = A/p_2 と x' = x (mod p_2) に単項イデアル定理
(>>381)を適用すると、q/p_2 の高さは１であることが分かる。
よって p = q では有り得ない。何故なら、 p = q とすると、
q ⊃ p_1 ⊃ p_2 が長さ２の素イデアル鎖となって、q/p_2 の高さが１
であることに矛盾するから。
よって、 p ⊃ q ⊃ p_2 は長さ２の素イデアル鎖である
(q ≠ p_2 は明らか)。
証明終
445 名前：208 [2005/10/20(木) 12:24:43 ]: 補題
A をネーター環、
p ⊃ p_1 ⊃ ... ⊃ p_n を A の長さ n ≧ 2 の素イデアル鎖(>>379)
とする。x を p の元で、p_1 に含まれないものとする。
n - 1 個の素イデアル q_1, ... , q_(n-1) で
p ⊃ q_1 ⊃ ... ⊃ q_(n-1) ⊃ p_n が長さ n の素イデアル鎖
となり、x ∈ q_(n-1) となるものが存在する。

証明
n に関する帰納法と >>444 を使う。
446 名前：208 [2005/10/20(木) 12:32:43 ]: 命題
A をネーター環、x を rad(A) (>>238) の元とすれば。
dim(A) ≦ dim(A/xA) + 1 となる。

証明
dim(A) が 0 または 1 のときは明らか。
よって、
p_0 ⊃ p_1 ⊃ ... ⊃ p_n を A の長さ n ≧ 2 の素イデアル鎖で
x ∈ p_0 なら、長さ n-1 の素イデアル鎖
p_0 ⊃ q_1 ⊃ ... ⊃ q_(n-1) で x ∈ q_(n-1) となるものが存在
することを示せばよい。n に関する帰納法を使う。
x ∈ p_1 なら帰納法の仮定を使えばよいから、x は p_1 に含まれない
とする。よって、補題(>>445)を使えばよい。
証明終
447 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/20(木) 13:56:07 ]: >>440

>使わないなんて言ってないだろ。
>お前、日本語も駄目なんだな

お前こそが日本語だめだろ
しかも
使うか使わないかもわかりもしないで
証明したことにしてるんだし
448 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/20(木) 14:00:00 ]: ま　ともかくだ
問題点をつきつけられてわからぬバカは
うそつき以上にたちがわるい
いえばわかる程度の奴だとおもうから
うそつきで我慢してやったがな
君にはがっかりだ
449 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/20(木) 14:02:12 ]: 代数的整数論と解析的整数論とはどちらが成功したといえるのでしょうか？
450 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/20(木) 14:13:16 ]: [問]
π＝３．１４１５・・・＝３．p1p2p3p4・・・pn・・・
{p_i}_[i=1,∞]の内、素数であるものの集合をＸ、それ以外をＹ
とした時に、Ｘ，Ｙの元の数を｜Ｘ｜、｜Ｙ｜とした時に、
｜Ｘ｜/｛｜Ｘ｜＋｜Ｙ｜｝を見積もれ。
451 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/20(木) 14:20:53 ]: π＝３．１４１５・・・＝３．p1p2p3p4・・・pn・・・
{p_i}_[i=1,∞]という数列が、完全にランダムである、つまり、
乱数であるか否かを示せ、また、もし乱数である場合、πという
数はどんな性質を持つ事になるか？更に、πを用いて乱数を順次
発生するプログラムを作るとするとどんなプログラムになるか？
452 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/20(木) 14:27:46 ]: [問２]
完全にランダムな数列{q_i}_[i=1,∞]が存在した時に、別の
完全にランダムな数列{r_i}_[i-1,∞]が存在しうるか？
453 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/20(木) 14:31:55 ]: 存在し得るならば、それは唯一か？それとも任意に別の
完全にランダムな数列{q_i}_[i=1,∞]が存在するのか？
存在するとした時に、それを生成するプログラムを具体
的に書き下せるのか？それとも存在はするあ具体的には
書き下せいないのか？それを検討、証明せよ。
454 名前：208 [2005/10/20(木) 14:39:02 ]: 命題
A をネーター環、x_1, ... , x_r を rad(A) (>>238) の元とすれば。
dim(A) ≦ dim(A/x_1A + ... + x_rA) + r となる。

証明
r に関する帰納法。r = 1 のときは、>>446 そのもの。
r > 1 とし、B = dim(A/x_2A + ... + x_rA) とする。
x_1 の B における像を y とすると、再び >>446 より
dim(B) ≦ dim(B/yB) + 1
B/yB は、A/x_1A + ... + x_rA に同型である。
よって、
dim(A/x_2A + ... + x_rA) ≦ dim(A/x_1A + ... + x_rA) + 1 となる。
一方、帰納法の仮定より、
dim(A) ≦ dim(A/x_2A + ... + x_rA) + r - 1 となる。
よって、dim(A) ≦ dim(A/x_1A + ... + x_rA) + r となる。
証明終
455 名前：208 [2005/10/20(木) 14:48:43 ]: Krullの次元定理
A をネーター環、I をそのイデアルで、r 個の元 x_1, ... , x_r
で生成されるものとする。p を I を含む素イデアルの中で極小な
ものとすると、ht(p) ≦ r である。

証明
A を A_p で置き換えて、A は局所環で、p はその極大イデアル
としてよい。>>454 より dim(A) ≦ dim(A/I) + r である。
I を含む素イデアルは、p だけだから、dim(A/I) = 0 である。
よって、dim(A) ≦ r である。
あとは、dim(A) = ht(p) に注意すればよい。
証明終
456 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/20(木) 17:32:35 ]: どこで使ってんだよって、、
そんなの割り算を使うから簡単には出ないって主張してる側が探して
ここからここに行くときにどうしても使わざるを得ない、って主張するべきじゃねえのか？

もう基地外は無視しようぜ
457 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/20(木) 18:08:33 ]: >>456
できないやつがごまかすなよ
降参しろよばーか
こんなかんたんなことなのにな
ほんとにおまえらってなさけない
いっしょうじべたをはいずってろって
458 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/20(木) 18:14:08 ]: >>456
いいか雑魚おれは基地概でもなんでもいい
答えをしっている
おまえは答えがわからない単なるアホなんだよ
無視してくれるのがありがたいね
459 名前：208 [2005/10/20(木) 19:44:37 ]: >>447
>使うか使わないかもわかりもしないで

どっから、そういう結論になるんだよ。
俺は、使う使わないは問題が簡単かどうかに関係ないだろ
って言ったんだよ。

素因数分解は自然数の整除が関係してんだから割り算くらい使うだろ
現に >>441 で n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r) を使ってる。
で、使ったからどうだっていうの？
460 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 00:49:41 ]: 「Bが部分環A上、忠実平坦とする。
このとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」

これが証明できるレベルの奴は折らんのか？
461 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 08:38:08 ]: しょうがねえな。俺が答えたら演習にならないだろうが。
ほれ

命題
自然数の素因数分解は順序を除いて一意的である。

証明
n を自然数として、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r)
を n の素因数分解とする。
G を位数 n の巡回群とし、それが組成列の剰余群として、n_1 個の Z/(p_1)Z,
... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つことを n に関する帰納法で証明する
(各 Z/(p_i)Z は単純なのは明らか)。
G = Z/nZ の位数を p_1 は割るから G は位数 p_1 の部分群 H を
持つ。G/H は巡回群であり、その位数は
n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r)
で n より小さいから、帰納法の仮定より、G/H は、組成列の剰余群
として (n_1 - 1) 個の Z/(p_1)Z, ... n_r 個の Z/(p_r)Z を持つ。
よって、G は、最初の主張の剰余群列を持つ。
これからJordan-Holderより、n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r)
の分解は一意に決まる。
証明終

Thanks. This is interesting.
462 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 08:39:36 ]: >>「Bが部分環A上、忠実平坦とする。
このとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」

Is this easy when $A$ is Noetherian?
463 名前：208 [2005/10/21(金) 09:12:20 ]: >>460

ちょっと考えたけどわからん。
ところで、質問するならその背景を少し説明してくれ。
その問題のソースとか。
大体、それが成立つ保障はあるのか？
成立たない問題をいくら証明しようとしても無駄だからな。
464 名前：208 [2005/10/21(金) 09:26:22 ]: Krullの次元定理(>>455)の別証

r に関する帰納法を使う。
A を A_p で置き換えて、A は局所環で、p はその極大イデアル
としてよい。
dim(A) ≦ 0 のときは明らかだから dim(A) ≧ 1 とする。
p ⊃ p_1 ⊃ ... ⊃ p_s を長さ s の素イデアル鎖とする。
p_1 は、 p に含まれ p と異なる素イデアルの中で極大とする。
このような素イデアルが存在するのは、A がネーター環であること
により保障される。
I は p_1 に含まれないから、p_1 に含まれない x_i がある。
x_1 が p_1 に含まれないとしてよい。
(x_1)A + p_1 を含む素イデアルは p のみだから、
Ass(A/x_1A + p_1) = {p} である。よって p^n ⊂ (x_1)A + p_1
となる n > 0 がある。
I ⊂ p だから、各 i ≧ 2 で (x_i)^n ∈ (x_1)A + (y_i)A となる
p_１の元 y_i がある。
J = (y_2, ... , y_r) とおく。I の生成元 x_1, ... , x_r は
mod (x_1)A + J で、べき零だから、I の十分高いべきは、(x_1)A + J
に含まれる。よって、(x_1)A + J を含む素イデアルは p のみである。
さて、p_1 ⊃ q ⊃ J となる素イデアルがあるとする。
(x_1)A + q ⊃ (x_1)A + J だから、(x_1)A + q を含む素イデアルも
p のみである。よって、単項イデアル定理(>>381)により整域 A/q
において x_1 mod q で生成される単項イデアルの高さは 1 である。
よって、dim(A/q) = 1 である。これは、p_1 = q を意味する。
よって、p_1 は J を含む素イデアルの中で極小である。
J は r - 1 個の元で生成されるから、帰納法の仮定より、
ht(p_1) ≦ r -1 である。つまり、s - 1 ≦ r -1 である。
よって、s ≦ r である。これは、ht(p) ≦ r を意味する。
証明終
465 名前：208 [2005/10/21(金) 09:36:17 ]: Krullの次元定理(>>455)は、可換代数においてネーター環における
準素イデアル分解定理の次に得られた大定理だろう。
代数的整数論では１次元の環、とくにDedekind環を扱うので、
表面的には高次元の環はあまり関係ないとも言える(実は関係はある)。
しかし、Krullの次元定理は、このスレの今までの知識で証明
出来るので述べてみた。
466 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 11:53:57 ]: Raynaud「Anneaux Locaux Henseliens」の第８章94ページの定理３の（２）
「局所環Bが局所環A上local-ind-etaleのとき、Bが整閉整域ならAもそうである。」
とある。
証明は、Aが整閉整域ならBもそうであることはBがA上local-ind-etaleであることから分かる。と書いている。これは俺も納得している。
逆は明らかなのか説明は書いてない。おそらく一般的に成り立つと思われる。
たとえば、AがBの部分環であることは次のようにして分かる．
ｆ：A->Bをstructure morphismとして，I=Ker(f)とおく．
すると，（A/I）○B＝A○Bであることから，I○B=0であることが分かるが,
BはA上local-ind-etaleであるから，A上忠実平坦であるので，I=0である．
但し，○はテンソル積の意味．

最後に，A上local-ind-etaleとは次のように定義される：
局所環（A,m）上etale環Cをｍの上にlie-overする素イデアルpで局所化した環C_pをlocal-etale環と呼び，
local-etale環のfiltrant帰納系（morphismはlocal　morphism，すなわち極大イデアルの逆増が極大イデアル）の極限をA上local-ind-etaleと呼ぶ．

だから，上の主張は，Bがlocal-etaleの場合でも成り立つのでそれが手がかりにもなる．
467 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 12:14:45 ]: >> 466

Olivier, J.-P. Going up along absolutely flat morphisms. J. Pure Appl. Algebra 30 (1983), no. 1, 47--59.

I think your question is related to the content of this paper
and not so trivial. So I strongly recommend you to read it.
Absolutely flat morphism is more general than ind-etale maps.
468 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 13:29:21 ]: >>459
わははははははっは
わははははははっは

これは大笑いだね
大恥さらしだね
こんなバカみたことないね
「割り算」の意味すら理解してないんだな

ここまでバカだとは信じられないね
もうあんまり嬉しがらせないでよね
笑い死にしたらどうすんだよ

ついでだけど>>461の証明もみっともないよ

もういいわ
喋っても無駄なバカの集まりだった
Ass の集まりだよ
469 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 13:44:20 ]: >>459
の回答はいつまでも晒しておきたいくらい愚かだな
470 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 15:03:36 ]: >>60
亀レスながら…　
Weber の代数学教程第3巻のみ邦訳有。
（ただし、代数関数の部分は省略されています）
片山氏が邦訳したものが私家版で出版されています。
在庫の有無は津田塾に尋ねると良いでしょう。
確か送料込みで４ｋ弱だったはず。
（紙代＋製本代を実費負担、という感じです）
471 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 15:38:07 ]: >>467

本当にありがとうございます。早速手に入れて読んでみます。
467さんは、この代数幾何・整数論・可換環論などの専門家なのですね。
恐れ入りました。

Raynaudの本はもう８章で終わらそうと思っています。
なんか８章の最後が飛びすぎてて、９章以降読んでも完全に分かりそうな気がしなくなった。
472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/21(金) 16:00:15 ]: >>468
こんなに痛いやつは次世代のワイルズ以来だが、
同一人物か？
473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/21(金) 16:05:08 ]: そんな事を言っても208の自演だと言い出すに決まっている。
相手をすると病状が悪くなるらしい。俺はこのスレ好きだから
無視してやって欲しい。オネガイ。
474 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 16:37:03 ]: >>472 >>473
おまえらも同レベルのバカなのね
おまえらも一緒にさらしてやるわ
475 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 16:44:13 ]: >>472 >>473
ねんのため言っておいてやろう
たとえば>>425 >>363
は「割り算」の意味を理解してるね
>>459が冗談で言ってるんじゃなかったら
真性のアホだよ
それがわからないｵﾏｴﾗは同類ということだよ
476 名前：208 [2005/10/21(金) 16:49:02 ]: 整数論ってのはトンデモを引き寄せるんだよな。
自然数という素朴な対象を相手にしてるからとっつきやすいんだろうな。
奴もJordan-Holderなんて頭素通りなんだろうね。
分かるのは四則演算くらい。だから、素因数分解と聞いて飛びついた。
ところが、期待してた証明と違うんで八つ当たり。
こんなとこだろ。
477 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 16:56:40 ]: >>476
おまえが何を言おうと今回は大恥かいてるよ
それすらわからないんだな
重症だな

>>459というﾊﾞｶ丸出しを引き出せて俺は心底満足してる

しかしおまえの名誉のためつけ加えてやろう
他の数学の書き方はまあちゃんとしてるから
症状は自閉症だろ
478 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 16:59:42 ]: >>476
ところで今更>>459が冗談だなんて言わないよな
479 名前：208 [2005/10/21(金) 17:31:59 ]: はっきりさせようじゃないか。
普通の人間にわかるように説明してみろ。
お前のいう割り算とはどういう意味で、それが何故簡単じゃないのか。
480 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 17:46:49 ]: おいおい
>>425でも読んでアタマ冷やせよ
これ以上恥の上塗りするのかね
とんでもない教えてくんだね

いままでの罵詈雑言を考えたらね
おれはおまえのようなバカに教えてやる義理はないよ
おまえはエライからなんでもわかってるんだろ

しかしヒントだけいってやろう
おまえだって素因数分解の一意性の普通の証明しってるだろ
それを反省してみなよ
481 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 17:53:11 ]: >>479
いっとくがおれは>>459が出たから
ここで引き下がって痛くも痒くもない
わかる人間がよめばはっきりするからな

悔し紛れに逃げたとかほざいても
恥の上塗りだって覚えておきなよ

おれはその方がおもしろいけど
482 名前：208 [2005/10/21(金) 17:54:24 ]: ヒントじゃねえよ。
いいから、説明しろよ、この野郎。
説明出来ないなら初めから引っ込んでろ。
483 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 18:00:13 ]: やだよ
恥かき男が強がり言うな
わからなきゃはじめから演習だなんて
偉そうなこと書くんじゃねえよ
ばか

やっぱりおまえは教えて君そのものだったな
484 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 18:03:08 ]: 自閉症をからかっちゃいけないよ
485 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 18:11:24 ]: >>485
そうだね好きでなったわけじゃないし
486 名前：208 [2005/10/21(金) 18:14:18 ]: お前さあ、俺の証明にケチつけたんだろ。
だったら、その理由を説明しろよ。
それを、やだよって、気は確かかよ（キ印クンにこう聞くのは、
我ながら書いてて可笑しいが）。
理由を説明するのは、お前の名誉の為なんだよ。
説明出来ないのは、お前がトンデモだってこと。
487 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 18:18:13 ]: いいか
もう終わってるの
終わってないのはおまえだけ
俺がトンデモでも何でもいいの
恥をかいてるのは　お　ま　え

強がりしかいわないおまえなんかに誰がおしえてやるかよバカ
488 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 18:21:01 ]: おれはもうおまえが
あがけばあがくほど愉快になってきてるよ
ホントに>>459は傑作
世の中にこんなバカがいるなんて
楽しいことだね

いくらでも罵詈雑言いってもいいからね
おまえの>>459は不滅の金字塔だよ
489 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 18:23:00 ]: 208
のおかげですく
1000
行きそうだなｗ
490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/21(金) 18:24:40 ]: つまり、「分数は割り算とは違う」という主張かね。
491 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 18:25:43 ]: とことん人が悪いね
492 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 18:30:13 ]: 208は小学校で割り算習わなかったのかな
493 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/21(金) 18:35:02 ]: 分かったら赤面するか、青ざめるか、どっちだ。
494 名前：208 [2005/10/21(金) 19:46:27 ]: n/p_1 = (p_1)^(n_1 - 1)...(p_r)^(n_r)
これは割り算だろ。
例えば、10/2 = 5 というのは、１０を２で割ったら５という意味だ。
これが割り算でないって、どういう頭してんだ？？？
495 名前：208 [2005/10/21(金) 20:04:31 ]: >>488

とにかく、お前の考えはわかってんだよ。素因数分解の普通の
証明のことを言ってんだろ。それが、お前には、難しいんだよな。
だから、俺が、Jordan-Holderを使えばすぐ出ると言ったことに
カチンときたわけだ。そんな、はずはないとな。
Jordan-Holderは、お前の理解を超えてんだよ。
だから、見当違いのレスを書く。
496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/21(金) 21:51:29 ]: >>495
上の方の人が言ってる割り算ってのは多分剰余付きの割り算の事でしょ。
a=qb+rみたいな。
「有理整数環Zでは『割り算』が出来る、つまりZはEuclid整域である」
という事を本質的に使ってる、と言ってるんじゃないの?

『割り算』を本質的に用いなければ
素因数分解はおろかZ/nZの性質のほとんどは導けないかと。
例えばZ/nZがn個の元からなる事とか。
497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/22(土) 01:55:14 ]: >>208
もうキチガイは無視しようよ
言っても通じないって

どっか頭のネジが緩んでるみたいだし
498 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/22(土) 04:10:21 ]: >>471

In case all rings are local Noetherian, you can use Serre's
criterion of normality ((R_{1}) and (S_{2})) to solve
the problem. See Matsumura.
499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/22(土) 04:16:39 ]: キチガイの勘違いのヒントは>>365にあり、だな。
500 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/22(土) 15:52:01 ]: どっか頭のネジが緩んでる!!
501 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/22(土) 21:10:53 ]: age
502 名前：208 [2005/10/24(月) 09:42:45 ]: 496
>「有理整数環Zでは『割り算』が出来る、つまりZはEuclid整域である」
>という事を本質的に使ってる、と言ってるんじゃないの?

それ(代数の初歩で習うこと)を俺に説教しようと思ってるんだろうなw
たぶん、奴には別証という概念がないんだろうな。
つまり、素因数分解の証明はただ１種類しかないと思ってるんだろう。

>>441の証明の G は位数 n の巡回群であればいい。Z/nZ である
必要ない。俺は、分かりやすくしようと、Z/nZ を例にしただけ。
例えば、G として対称群における長さ n の巡回置換の生成する部分群
をとればいい。
だとすると、剰余付きの割り算 a=qb+r は必ずしも必要ないだろう
(詳しく検討したわけではないが)。
さらに、G は巡回群でなくても有限アーベル群ならいい。
503 名前：208 [2005/10/24(月) 10:24:00 ]: 定義
A を環、B を A-代数とする。つまり、環としての射 A → B
があるとする。B が A-代数として有限生成または有限型であるとは、
A 上の多項式環 A[X_1, ... , X_n] から B への A-代数としての
全射 A[X_1, ... , X_n] → B があることをいう。
つまり、B に有限個の元の列 b_1, ... , b_n があり、
B は A-代数として、これらで生成される。
このとき、B = A[b_1, ... , b_n] と書く。

この射の核が A[X_1, ... , X_n] のイデアルとして
有限生成であるとき、B を強有限生成または有限表示
(finite presentation)をもつという。
A がネーター環のときは、A[X_1, ... , X_n] もネーター環だから
B が A 上有限生成であるなら強有限生成でもある。
504 名前：208 [2005/10/24(月) 10:26:32 ]: 定義
A を環、B を A-代数とする。
B が A-加群として有限生成のとき、B を A 上有限な代数という。
505 名前：208 [2005/10/24(月) 10:42:46 ]: 命題
A を環、B を有限なA-代数とする。
このとき、B の各元 x に対してモニックな多項式 f(X) ∈ A[X]
があり、f(x) = 0 となる。

証明
B の A-加群としての生成元を ω_1, ... , ω_n とする。
以下の関係式が成立つ。

xω_1 = a_(1,1) ω_1 + a_(1,2) ω_2 + ... + a_(1,n) ω_n
xω_2 = a_(2,1) ω_1 + a_(2,2) ω_2 + ... + a_(2,n) ω_n
.
.
.
xω_n = a_(n,1) ω_1 + a_(n,2) ω_2 + ... + a_(n,n) ω_n

ここで、各 a(i,j) は A の元。
行列 (a_(i,j)) を T とおく。
>>236 より det(xE - T)B = 0 となる。E は n-次の単位行列。
よって、det(xE - T) = 0 である。
この行列式を展開すると、命題の主張が得られる。
証明終
506 名前：208 [2005/10/24(月) 12:42:46 ]: 定義
A を環、B を A-代数とする。
B の x に対してモニックな多項式 f(X) ∈ A[X] があり、
f(x) = 0 となるとき、x を A 上、整(integral)であるという。
B のすべての元が A 上整のとき、B を A 上整であるという。

(注意) この定義における A-代数 B の構造射 A → B は必ずしも
単射でなくともよい。
507 名前：208 [2005/10/24(月) 12:43:19 ]: 命題
A を環、B を A-代数とする。
B の x が A 上整であるなら A[x] は A-加群として有限生成である。

証明
A の元の列 a_1, ... , a_n で、
x^n + a_1x^(n-1) + ... + a_n = 0
となるものがある。
よって、x^n ∈ A+ Ax + ... + Ax^(n-1) である。
これから帰納法で任意の m に対して
x^m ∈ A+ Ax + ... + Ax^(n-1) となることがわかる。
よって、A[x] = A+ Ax + ... + Ax^(n-1)
証明終
508 名前：208 [2005/10/24(月) 12:44:27 ]: 命題(有限代数の推移律)
環の射 A → B → C において、
B は A 上有限、C は B 上有限とする
このとき、C は A 上有限である。

証明
B = Ax_1 + ... + Ax_n
C = By_1 + ... + By_m
とする。
C = ΣA(x_i)(y_j)
となる。ここに、和は i, j のすべての組み合わせを渡る。
証明終
509 名前：208 [2005/10/24(月) 12:51:59 ]: 命題
A を環、B を有限生成かつ整な A-代数とする。
B は A 上有限である。

証明
>>507 と >>508よりわかる。
証明終
510 名前：208 [2005/10/24(月) 12:58:00 ]: 命題
A を環、B を A-代数とする。
A 上整な B の元全体は B の部分 A-代数となる。

証明
x, y を B の元で A 上整とする。
>>509 より A[x, y] は、A 上有限である。
よって、>>505 より、A[x, y] は、A 上整である。
証明終
511 名前：208 [2005/10/24(月) 13:05:44 ]: 命題(整代数の推移律)
環の射 A → B → C において、
B は A 上整、C は B 上整とする
このとき、C は A 上整である。

証明
C の元 y は
y^n + b_1y^(n-1) + ... + b_n = 0
の形の関係式を満たす。
ここで、b_1, ... , b_n は、B の元の列。
よって、y は A[b_1, ... , b_n] 上整である。
よって、A[b_1, ... , b_n, y] は A 上有限代数である(>>507, >>508)。
よって、y は A 上整である(>>505)。
証明終
512 名前：208 [2005/10/24(月) 13:21:58 ]: 命題
環の射 A → B → C において、
B は A 上整とする
B → C が全射なら、C は A 上整である。

証明
明らか。
513 名前：208 [2005/10/24(月) 13:30:13 ]: 命題(整代数の係数拡大)
A を環、B を A 上整な代数とする。
A → C を環の射とする。
B(x)C は C 上整である。
ここで、B(x)C は B と C の A 上のテンソル積。

証明
B → B(x)C を x に x(x)1 を対応させる標準射とする。
この射の像を B' とする。
B' の元は A 上整である(>>512)から C 上整でもある。
よって、B(x)C は C 上整である。
証明終
514 名前：208 [2005/10/24(月) 13:34:53 ]: 命題(整代数の局所化)
A を環、B を A 上整な代数とする。
S を A の積閉集合(>>63)とする。
B_S は A_S 上整である。

証明
B_S = B(x)A_S である(>>85)。
よって、これは >>513 の特別な場合である。
証明終
515 名前：208 [2005/10/24(月) 13:47:43 ]: 命題
B を整域で、k をその部分体とする。
B が k 上整なら、B は体である。

証明
y ≠ 0 を B の元とする。
k[y] は k 上有限代数である(>>507)。よってこれは Artin環である。
よって、これは体である(>>294)。よって、1/y ∈ k[y] ⊂ B
証明終
516 名前：208 [2005/10/24(月) 13:54:11 ]: 命題
K を体、A をその部分環とする。
K が A 上整なら、A は体である。

証明
x ≠ 0 を A の元とする。
(1/x)^n + a_1(1/x)^(n-1) + ... + a_n = 0
ここで、a_1, ... , a_n は、A の元の列。
この式の両辺に x^(n-1) を掛けると、
1/x ∈ A となる。
証明終
517 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/24(月) 13:59:59 ]: >だとすると、剰余付きの割り算 a=qb+r は必ずしも必要ないだろう

ようやくここまできたか
俺がキチガイであっても
アタマのネジはゆるんでいない
ゆるんでるのはおまえらのほうだよ

よく反省して見ろ

もっともバカだから反省の概念はないんだろうけど
518 名前：208 [2005/10/24(月) 14:07:21 ]: 補題
A を局所環、B を A 上整な代数とする。
m を A の極大イデアルとする。
B の任意の極大イデアル q に対して φ^(-1)(q) = m である。
ここで、φは構造射 A → B である。

証明
環の射 A → B → B/q の合成 A → B/q を考える。
この射の核は、φ^(-1)(q) である。
よって、単射 A/φ^(-1)(q) → B/q が得られる。
B/q は A 上整である(>>512)から、A/φ^(-1)(q) 上整でもある。
よって、A/φ^(-1)(q) は体である(>>516)。
よって、φ^(-1)(q)は、極大イデアルである。
A は局所環だから、φ^(-1)(q) = m である。
証明終
519 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/24(月) 14:10:39 ]: >ようやくここまできたか

ここまで来るのに一週間。バカの巣窟。
520 名前：208 [2005/10/24(月) 14:26:10 ]: 定理(Cohen-Seidenberg)
φ: A → B を環の射で単射とする。
q に φ^(-1)(q) を対応させることにより、
標準射 Spec(B) → Spec(A) が得られるが(>>206)、
B が A 上整なら、これは全射である。

証明
p ∈ Spec(A) に対して S = A - p とおく。
A_S → B_S は単射である(>>86)。
よって、B_S は空でない。よって Spec(B_S) も空でない。
B_S は A_S 上整(>>514)であり、A_S は局所環だから、
B_S の極大イデアル q' の射 A_S → B_S による逆像は
A_S の極大イデアル pA_S である(>>518)。
q' に対応する B の素イデアルを q とすれば、
φ^(-1)(q) = p となる(適当な可換図式を描けば分かる)。
証明終
521 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/24(月) 14:37:14 ]: >>496
が親切に助け船だしてくれたのに
無視する208ってホントに自信過剰で
それゆえにホントの真性バカだと証明されたね
ちょっと前までは
>例えば、10/2 = 5 というのは、１０を２で割ったら５という意味だ。
>これが割り算でないって、どういう頭してんだ？？？
などと噴飯ものの恥の上塗りを繰り返しておきながら
>たぶん、奴には別証という概念がないんだろうな。
などと無反省にくりかえす哀れな奴だね
>(詳しく検討したわけではないが)。
といいながら相手をキチガイ扱いする
これが208の正体だよ
522 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/24(月) 14:43:12 ]: >俺に説教しようと思ってるんだろうなw

ふふふおまえは説教される値打ちはないよ
あとその取り巻きの雑魚の>>497もね
523 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/24(月) 14:52:47 ]: あのーここはもともと208隔離用のスレなので
208が好き勝手書いていいところなんですよ
524 名前：208 [2005/10/24(月) 16:18:19 ]: >>520
>よって、B_S は空でない。

よって、B_S は 0 でない。
525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/24(月) 23:58:37 ]: 長さnの巡回置換が位数n(ここでは「n乗して始めて1になる」と定義)
ってのは特に何も使わずに示せるけど、
「位数nの元の生成する部分群の位数はn」ってのは『割り算』しないと導けないかと。

aを位数nの元として、{a^i|i=0, 1, ..., n-1}が部分群となる事を示すには、
任意のi, j=0, 1, ..., n-1に対しあるk=0, 1, ..., n-1が存在して
a^i・a^j=a^kである事を示せなきゃいけない。
このkとしては、i+jをnで『割った』余りとするか、
i+jとnの大小関係で場合分け(実質的に『割り算』するのと同じ)する事になる。
ここで『割り算』が必要になる。

あと、
＞G は巡回群でなくても有限アーベル群ならいい。
にしても、位数nのAbel群の存在を示さなきゃいけない。

また、あの証明はあんまり一般化出来ない。
例えばEuclid整域であるZ[√(-1)]にさえ適用できない。
最後の部分で「Z/pZの同型類からpが(可逆元倍を除いて)一意に定まる」って事実を使ってる。
けど、Z[√(-1)]/(2+√(-1))とZ[√(-1)]/(2-√(-1))は同型なので、
これはZ[√(-1)]には適用できない。
なので、一般の整域において成り立つ事実「素元分解の一意性」の証明に使える訳じゃない。

やっぱりJordan-Holderの定理は、素因数分解の一意性とは
方向性が微妙にずれてる気がする(本質を捉えてない気がする)。
「ZはEuclid整域」ってのを認めた時点で、
「Euclid整域はUFD」っていう一般的事実から素因数分解の一意性が出る訳だし。
上記の通り、「Euclid整域はUFD」の証明に>>441の証明が流用できる訳じゃないし。
無茶苦茶細かい論点だけどね。
526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/25(火) 00:13:55 ]: 書き忘れたけど、>>525においては「素元:=生成する単項イデアルが素イデアル≠既約元」ね(素数:=Zの既約元)。
527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/25(火) 00:30:33 ]: 一般化になっている、ってことじゃ駄目なの？
あるいは同種の状況、とか

ってかこんなどうでも良いことでも昔々ののメンバーたちは多分
528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/25(火) 00:32:39 ]: 小指がEnterに当たって送信しちゃったよorz

ってかこんなどうでも良いことでも昔々のBourbakiのメンバーたちは
多分喧々諤々の物凄い議論をして、数学原論をつくったんだろうな

まあ彼らの中に論点を無駄に隠して引っ張ったり矢鱈偉そうに俺が出したヒントがどうの、
というキチガイは居なかっただろうが
529 名前：208 [2005/10/25(火) 10:12:10 ]: >>525
>i+jとnの大小関係で場合分け(実質的に『割り算』するのと同じ)する事になる。
>ここで『割り算』が必要になる。

君の言ってることは、百も承知してるけど(そういう意見が出るのは予想して>>502を書いた)、
それは見方によると思うが。
i + j から n を引けば n 以下になるのは明らか(i、ｊが n 以下のとき)。
これは、割り算っていうより引き算だろう(見方によるが)。

>また、あの証明はあんまり一般化出来ない。

俺はあの証明が一般化出来るとか既存の証明より優れているとか
一言も言ってないよ。
530 名前：208 [2005/10/25(火) 10:58:49 ]: >>528
>ってかこんなどうでも良いことでも昔々のBourbakiのメンバーたちは
>多分喧々諤々の物凄い議論をして、数学原論をつくったんだろうな

ないってw
Bourbakiに失礼だよ。
Jordan-Holderから素因数分解の一意性が出るというのはBourbakiも書いてるけどな。
531 名前：208 [2005/10/25(火) 12:44:44 ]: >>515 は次の命題を使ったほうがいいだろう。

命題
A を環、M を長さ有限の A-加群、
f ∈ Hom(M, M) とする。
f が単射なら全射である。

証明
leng(M) = leng(Im(M)) である。
よって M = Im(M) でなければならない(>>289)。
証明終

>>515 の k[y] において、この命題を写像 f(x) = yx に適用すればよい。
532 名前：208 [2005/10/25(火) 12:50:54 ]: >>520
>φ^(-1)(q) = p となる(適当な可換図式を描けば分かる)。

以下の図が、その可換図式

A → A_S
| |
v v
B → B_S

これの各環に Spec を作用させて得られる可換図式を考えてもいい。
この場合、矢印の向きが逆になる。
533 名前：208 [2005/10/25(火) 12:52:20 ]: >>532

半角の空白は駄目だったな。

A → A_S
|　　　|
v　　　v
B → B_S
534 名前：208 [2005/10/25(火) 13:02:55 ]: 命題
A を環、p ∈ Spec(A) とする。
A_p/pA_p は A/p の商体に標準的に同型である。

証明
S = A - p とおく。
完全列 0 → p → A → A/p → 0 より、
0 → p_S → A_S → (A/p)_S → 0
は完全。よって、(A/p)_S = A_S/pA_S。
一方、(A/p)_S は、A/p の商体に同型である。
証明終
535 名前：208 [2005/10/25(火) 13:08:12 ]: 定義
A を環、p ∈ Spec(A) とする。
A_p/pA_p を k(p) またはκ(p)と書く。

EGA などはκ(p) を使ってるが、k(p)のほうが書きやすいので
このスレではk(p)を使う。ただし、k は体の記号としてよく使う
ので、紛らわしい場合はκ(p)を使うことにする。
536 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/25(火) 13:54:16 ]: >525
がいろいろ言ってくれたおかげで
208とそのとりまきのアホにも問題点がようやくわかったわけだ
そして結局208はJordan-Holderと書いてはみたが本質はわかっていないから
ここまで到達するのに教えて君をかましつづけて1週間ほどかかった
1週間かかることは208にとって簡単なことじゃない
簡単なことならただちにわかるはず
それなのに>529のように割り算じゃなくてむしろ引き算だとか
みぐるしいったらありゃしないね
他人のことをキチガイだとか非難する前に
自分の言ったことに責任もてよ

おまえはここに隔離されててしかるべきアホだったよ
537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/25(火) 16:56:34 ]: >208はほんとに自閉症なのか。
538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/25(火) 18:21:58 ]: >>530
例えば「積分」をどう書くかでかなり議論してて、
議論のたびにもう辞めてやる！とか言う人が居たとか居なかったとかｗ
ってか知ってるだろうけど

多分代数なんか書くのにすごい時間が掛かってるはずだと思うよ
今では群、環、体の順番に書き始めるのは当たり前で何の創意も要らないが
そもそもこれを創めたのはBourbakiな訳で、彼らが草稿を議論するときには
いろんな書き方の選択肢があって議論したはず

Jordan-Holderで議論したかどうかは知らんよ
539 名前：208 [2005/10/25(火) 18:40:38 ]: 命題
φ: A → B を環の射、p ∈ Spec(A) とする。
f: Spec(B) → Spec(A) をφから誘導された射とする。
つまり、f(q) = φ^(-1)(q) とする。
S = A - p とおいたとき、B_S を B_p と書く。
Spec(B_p/pB_p) は Spec(B_p) の部分集合と同一視される(これは明らか)。
さらに、Spec(B_p) は Spec(B) の部分集合と同一視される(>>81)。
この同一視により、f^(-1)(p) は集合としてSpec(B_p/pB_p)と同一視される。

証明
まず、B_p は B の積閉集合 φ(S) に関する局所化 B_φ(S) に一致
することに注意する。
f(q) = p のとき、q ∩ φ(S) であり pB_p ⊂ qB_p となることは明らか。
よって、f^(-1)(p) ⊂ Spec(B_p/pB_p) とみなされる。

逆に、q ∈ Spec(B) で、q ∩ φ(S) かつ pB_p ⊂ qB_p とする。
x ∈ p とすると、φ(x)/1 ∈ qB_p となるから、φ(s)φ(x) ∈ q
となる s ∈ A - p がある。φ(s) は q に含まれないから、
φ(x) ∈ q となる。よって、p ⊂ φ^(-1)(q) である。
逆に、x ∈ φ^(-1)(q) とする。φ(x) ∈ q だから、x ∈ A - p では
ありえない。つまり、x ∈ p。よって、p = φ^(-1)(q) である。
証明終
540 名前：208 [2005/10/25(火) 18:45:11 ]: >>537

いや、どっちかっていうとお前が自閉症なんだよ。なぜって、空気が読めないから。
おかしい、おかしいと皆が言ってるのは俺のことじゃない。
541 名前：208 [2005/10/26(水) 09:21:01 ]: 完全列 0 → pA_p → A_p → A_p/pA_p → 0 より、
B(x)pA_p → B(x)A_p → B(x)(A_p/pA_p) → 0 は完全
(ただし、B(x)pA_p → B(x)A_p は単射とは限らない)。
よって、B(x)(A_p/pA_p) = B(x)k(p) は
(B(x)A_p)/Im(B(x)pA_p) = B_p/pB_p に同型。
この同型により、B(x)k(p) と B_p/pB_p を同一視する。

Spec(B(x)k(p)) を f: Spec(B) → Spec(A) の p におけるファイバー
という。これは f^(-1)(p)(にSpec(B)の部分空間としての位相を
いれたもの)と位相同型である(証明はまかす)。
542 名前：208 [2005/10/26(水) 09:23:55 ]: >>538

Bourbakiが彼らの本を書く前にいろいろ議論していることは
知ってるし当然だろう。だけど、こんなくだらない議論(議論ともいえないが)は
してないだろうっていう意味だよ。
543 名前：208 [2005/10/26(水) 09:36:17 ]: φ: A → B を環の射、p ∈ Spec(A)、q ∈ Spec(B) とする。
p = φ^(-1)(q) のとき、q は p の上にあるという。
p は q の下にあるという。このとき、この関係を
p = A ∩ q と書く場合もある。これは A ⊂ B のとき以外は
不適当であるが便利。これは、いわゆる「記法の濫用」
(abuse of notation) の一種だが、数学では適切な「記法の濫用」は
しばしば有用である。ただ、諸刃の剣であり使用には注意がいるが。
544 名前：208 [2005/10/26(水) 09:46:35 ]: >>538
>今では群、環、体の順番に書き始めるのは当たり前で何の創意も
>要らないがそもそもこれを創めたのはBourbakiな訳で、

Van der Wearden の教科書はBourbakiの前に出版されたが、
彼もその順番でやってる。
まあ、その順番は普通だれが考えても同じと思うが。
545 名前：208 [2005/10/26(水) 10:25:25 ]: φ: A → B を環の射、p ∈ Spec(A) とする。
f: Spec(B) → Spec(A) をφから誘導された射とする。
Spec(B(x)k(p)) はスキーム論的には Spec(B) と Spec(k(p)) の
Spec(A) 上のファイバー積である。
これからも、圏論およびスキーム論的に Spec(B(x)k(p)) が f^(-1)(p)
と位相同型になることが出る。
可換環論はアフィンスキーム論とみなせるので、可換環論を学ぶ上で
スキーム論は必須に近いと思うが入門の段階でこれをやるのは適当でないだろう。
546 名前：208 [2005/10/26(水) 10:54:11 ]: 話は変わるけど、最近Hilbertの代数的整数論の報文(Zahlbericht)の
英訳をamazon.comで買った。それに現代の数学者二人(名前は忘れた)
によるイントロが書いてある。それに、Weilが1975年に編集出版した
Kummerの全集におけるWeilの序文の抜粋が載っている。
それによると、報文の最後の2章(円分体とKummer体における相互律)
のほとんどはKummerの仕事の紹介にすぎないとある。
Weilの言うことだから本当だろう。これは驚くべきことだろう。
Hilbertの報文が出たのが１９世紀の終わり頃。
それから３０年近く、その本は影響力をもったし、Hecke, 高木、
Artin, Hasse などはこれで代数的整数論を勉強した。
その最も重要な部分が約４０年前にKummerによってなされていた。
つまり、Kummerは代数的整数論の創始者のみならず、
Dedekindさえ超えた高みに到達していたことになる。
547 名前：208 [2005/10/26(水) 11:37:14 ]: 前にもどっかに書いたけど、KummerがFermatの最終定理を証明しようと
して理想数の発見に到達したというのは伝説にすぎないらしい。
KummerはGaussに影響されて高次の相互律を探求していた。
それが、彼を円分体に向かわせた。彼は、Fermatの最終定理に関しては
当初はGaussと同じ立場、つまり、Fermatの最終定理は、重要なものでない
と考えていたらしい。
548 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/26(水) 12:46:21 ]: >>542
おまえが議論から取り残されてるだけだよ
空気っていうけどおまえは数学が読めてない
549 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/26(水) 12:48:18 ]: 割り算の意味すら取り違えた奴がなにえらそうに相互律だよ
Weilの受け売りならちゃんとそう書け
550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/26(水) 13:30:08 ]: 割り算の意味についてはここでじっくり語れ。

分数の割り算はどうして逆数を掛ければいいのか
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1124193537/l50
551 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/26(水) 13:32:05 ]: >>547
「・・・らしい」じゃ意味ない
552 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/26(水) 13:35:47 ]: 愚痴聞いてあげるから「哲学と数学」というスレに書き込んでごらん。
553 名前：208 [2005/10/26(水) 14:43:00 ]: >>551

(その言い方をなんとかしろよ)。

ソースはEdwardsのFermat's Last Theorem
実はまだ読んでない。もうすぐamazon.comで注文するつもり。
この本は、評判いい「らしい」。
554 名前：208 [2005/10/26(水) 14:57:48 ]: >>552

なんか勘違いしてるな。そういうのは興味ないんだよ
555 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/26(水) 17:36:03 ]: 数学関係者の悩み１１０番数学関係者の悩み１１０番
556 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/26(水) 19:44:19 ]: >>530
>Jordan-Holderから素因数分解の一意性が出るというのはBourbakiも書いてるけどな。

なんだ、結局ブルバキの受け売りだったのね。
まあこのスレ全体がそうだけど。
557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/26(水) 20:02:50 ]: >>544
良く考えるとそうでしたorz
van der Weardenが先に出てることは知ってたんだけどなあ、、
558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/26(水) 20:03:47 ]: >>553
まだ読んでないのか、
数学の本スレに書いてあったの見てもう読んだのかと思ってた
559 名前：208 [2005/10/27(木) 09:12:25 ]: >>556

あんなもんはBourbakiでなくても簡単に思いつくんだよ。
群論を少し齧ってればな。

だけどこのスレがBourbakiをもとにしているのは本当だよ。
初めにそう断ってあるだろ。今さら驚くんじゃない。
だが、丸コピーじゃないし、俺のアイデアも少し入ってる。
この際、はっきりしておくけど、ソースはBourbakiだけじゃない。
例えば、Atiyah-MacDonald, Zariski-Samuel, 松村,
他にも少しある。
560 名前：208 [2005/10/27(木) 09:14:03 ]: おっと、大物を忘れてた。SerreのLocal Algebra と Local Fields
も参考にしてある。
561 名前：208 [2005/10/27(木) 09:24:02 ]: >>558

別の数学者の書いた代数的整数論の本にその本が引用されていて、
それで知った。足立の「フェルマーの大定理」にもそれらしきことが
書いてある。他にも状況証拠があるから俺はその説を信じている。
大体、Kummerともあろう数学者がFermatの問題に最初から
入れあげていたとは考えにくい。Fermatの問題はGaussも高木も
書いているように、問題それ自体からは、何ら重要性が見出されない。
Wilesが解いて、初めてその重要性が理解されたと言っていい。
562 名前：208 [2005/10/27(木) 09:51:17 ]: 話をぶり返すようだけど、>>461の証明に使われた位数 n の群は
アーベル群でなくても次の性質をもてばいい。

(*) 素数べき p^m が n を割れば G は位数 p^m の正規部分群をもつ。

これから G の任意のSylow部分群は正規なことがわかる。
だから、G はべき零群である。逆に、べき零群は (*) の性質を持つ。

可解群の組成剰余群も素数位数の群だけど、この性質を持つとは
限らない。
563 名前：208 [2005/10/27(木) 10:18:12 ]: この際だから、有理整数環 Z で素因子分解の一意性が成立つことの
(ほぼ)普通の証明しよう。

a と b が Z の元のとき a と b で生成されるイデアルを
(a, b) と書く。つまり、(a, b) = Za + Zb である。
元の数がいくつになっても同様。

補題
(a, b) = (a, b + at) となる。
ここで、a, b, t は任意の有理整数

証明
明らか。
564 名前：208 [2005/10/27(木) 10:19:18 ]: 命題
a と b が Z の元のとき (a, b) = (r) となる r ∈ Z がある。

証明
a ≧ 0, b ≧ 0 と仮定してよい。
a と b の最大値を max(a, b) と書く。
max(a, b) に関する帰納法を使う。
a = b ならこの命題は明らかだから、b > a とする。
b = aq + r, 0 < r < a となる q, r ∈ Z がある。
補題(>>563)より、(a, b) = (a, r) となる。max(a, r) = a
だから、帰納法の仮定より (a, r) = (s) となる s ∈ Z がある。
証明終
565 名前：208 [2005/10/27(木) 10:20:39 ]: 命題
p を素数とし、a ≠ 0 (mod p) とする。
このとき、a は mod p で可逆である。
つまり、ax = 1 (mod p) となる x がある。

証明
(a, p) = (r) となる r > 0 がある(>>564)。
p は素数だから r = 1 でなければならない。
つまり、ax + py = 1 となる x, y がある。
よって、ax = 1 (mod p)
証明終
566 名前：208 [2005/10/27(木) 10:21:26 ]: 命題
p を素数とし a ≠ 0 (mod p) かつ ab = 0 (mod p) とすると、
b = 0 (mod p) となる。

証明
>>565 よりあきらか。
567 名前：208 [2005/10/27(木) 10:26:55 ]: 定理
有理整数環 Z では素因数分解の一意性が成立つ。

証明。
n > 0 を整数とし、
n = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) = (q_1)^(m_1)...(p_s)^(m_s)
を n の２通りの素因数分解とする。
n = 0 (mod p_1) だから >>566 より q_i = p_1 となる q_i
がある。これと帰納法を使えばよい。
証明終
568 名前：208 [2005/10/27(木) 10:34:35 ]: >>564
>b = aq + r, 0 < r < a となる q, r ∈ Z がある。

b = aq + r, 0 ≦ r < a となる q, r ∈ Z がある。
569 名前：208 [2005/10/27(木) 10:37:05 ]: >>567 では有限生成イデアル (a, b) が単項となりことを使ったが、
Z では任意のイデアル I が単項となる。

証明
I に含まれる最小の正数をa とすると、b ∈ I なら、
b = aq + r, 0 ≦ r < a となる q, r ∈ Z がある。
r ∈ I だから a の最小性より r = 0
よって、I = (r) となる。
証明終
570 名前：208 [2005/10/27(木) 10:40:36 ]: >>569 を使ったほうが >>564 の証明はすっきりするが、
>>564 の証明は構成的であるという利点がある。
571 名前：208 [2005/10/27(木) 10:41:35 ]: >>569
>よって、I = (r) となる。

よって、I = (a) となる。
572 名前：208 [2005/10/27(木) 11:35:24 ]: >>565の証明は、次のようにしても証明できる。

Z/pZ が体であることを示せばよい。

証明
Z/pZ の加法群は位数 p の群であるから単純群である。
よって pZ ⊂ I ⊂ Z となる non-trivial なイデアル I は
存在しない。よって、Z/pZ は体である。
証明終
573 名前：208 [2005/10/27(木) 12:01:44 ]: 命題
φ: A → B を環の射、I = Ker(φ) とする。
f: Spec(B) → Spec(A) をφから誘導された射とする。
B が A 上整なら、Im(f) = V(I) である。

証明
A/I ⊂ B と見なせるから、V(I) ⊂ Im(f) は、>>520 殻出る。
p ∈ Spec(A) - V(I) とする。
s ∈ I - p となる元 s がある。φ(s) = 0 だから、
S = A - p としたとき、φ(S) は 0 を含む。
よって、B_p = 0 である。よって、f^(-1)(p) は空(>>539)。
証明終
574 名前：208 [2005/10/27(木) 12:12:23 ]: 命題
A, B を環で、A ⊂ B とし、B は A 上整とする。
p ∈ Spec(A), q_1, q_2 ∈ Spec(A) で、
q_1 ⊂ q_2 かつ p = q_1 ∩ A = q_2 ∩ A とする。
このとき、q_1 = q_2 である。

証明
A_p ⊂ B_p だから、A, B を A_p, B_p で置き換えてよい(>>514)。
よって、p は極大としてよい。よって q_1, q_2 は極大となる(>>515)。
よって、q_1 ⊂ q_2 なら q_1 = q_2 である。
証明終
575 名前：208 [2005/10/27(木) 12:13:21 ]: >>574
>p ∈ Spec(A), q_1, q_2 ∈ Spec(A) で、

p ∈ Spec(A), q_1, q_2 ∈ Spec(B) で、
576 名前：208 [2005/10/27(木) 12:18:40 ]: 定義
A, B を環で、A ⊂ B とする。
B の元で A 上整なもの全体は B の部分環となる(>>510)。
これを A の B における整閉包という。
577 名前：208 [2005/10/27(木) 12:21:31 ]: 注意：
環の部分環というときは断らない限り単位元を共有するものと
仮定している。環の射も単位元を単位元に写すものとする。
578 名前：208 [2005/10/27(木) 12:24:14 ]: 定義
A を整域とする。A のその商体における整閉包が A と一致するとき、
A を整閉整域という。
579 名前：208 [2005/10/27(木) 12:45:07 ]: 補題
A を環、I をそのイデアル、p_1, ... , p_n ∈ Spec(A)、
I ⊂ p_1 ∪ ... ∪ p_ n とする。
このとき、I ⊂ p_i となる p_i が存在する。

証明
p_i ⊂ p_j なら p_i を除いて考えればよいから、
p_1, ... , p_n の間には包含関係はないと仮定してよい。

I ⊂ p_i がどの i でも成立たないとして矛盾を導けばよい。
J_i を集合{p_1, ... , p_n} から p_i を除いたものの積イデアル
とする。IJ_i ⊂ p_i とはならないから、
元 x_i ∈ IJ_i - p_i が存在する。
x = x_1 + ... + x_n とおく。
j ≠ i のとき、x_j = 0 (mod p_i) だから、x = x_i (mod p_i)
となる。一方 x_i ≠ 0 (mod p_i) だから、x ≠ 0 (mod p_i)
が任意の i で成立つ。
一方、x ∈ I だから I ⊂ p_1 ∪ ... ∪ p_ n より、
x ∈ p_i となる i がある。これは矛盾。
証明終
580 名前：208 [2005/10/27(木) 12:49:13 ]: >>579 の証明は中国式剰余定理(>>341)の証明と似ている。
581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/27(木) 14:52:05 ]: 哲学と数学
582 名前：208 [2005/10/27(木) 16:22:06 ]: ついでに、>>579 と形式上、似たような命題を証明する。
その前に次の補題を用意する。

補題
K を無限体、X を K-加群、V, W_1, ... , W_n をその部分加群、
V ⊂ W_1 ∪ ... ∪ W_n とする。
x, y ∈ V なら、x, y ∈ W_i となる i がある。

証明
t ∈ K とすると、x + ty ∈ W_i となる i がある。
t にこの i を対応させることにより、集合としての写像
K → {1, ..., n} が得られる。K は無限体だから、この写像は
単射ではありえない。よって、x + ty = x + sy ∈ W_i となる
t, s ∈ K で t ≠ s となるものがある。
よって、(t - s)y ∈ W_i となる。これから、y ∈ W_i となり、
x ∈ W_i ともなる。
証明終
583 名前：208 [2005/10/27(木) 16:23:10 ]: 命題
K を無限体、X を K-加群、V, W_1, ... , W_n をその部分加群、
V ⊂ W_1 ∪ ... ∪ W_n とする。
このとき、V ⊂ W_i となる i が存在する。

証明
V が W_n に含まれないとする。x ∈ V - W_n をとる。
y ∈ V を任意にとる。補題(>>582)より x, y ∈ W_i となる i があるが
i = n では有り得ない。よって、V ⊂ W_1 ∪ ... ∪ W_(n-1) となる。
帰納法より、証明が終わる。
証明終

系
無限体上のベクトル空間はその真の部分空間の有限個の和集合には
ならない。
584 名前：208 [2005/10/27(木) 16:24:38 ]: 命題
K を無限体、L/K を体の拡大とする。L/K の中間体が有限個なら
L = K(c) となる元 c がある。

証明
L/K の中間体で L と異なるものを L_1, ..., L_n とする。
L は K-加群とみなされ、L_1, ..., L_n はその部分加群となる。
よって命題(>>583)より L ≠ L_1 ∪ ... ∪ L_n である。
よって、c ∈ L - (L_1 ∪ ... ∪ L_n) が存在する。
K(c) はどの L_i とも一致しないから、L = K(c) である。
証明終
585 名前：208 [2005/10/27(木) 17:00:38 ]: 気がついた人も多いと思うけど、俺の証明のスタイルは、non-trivialな
命題であっても、それをなるべくtrivialな命題に分割して証明していく。
これは言うのは簡単だけど、ある程度の思考とコツを必要とする。
しかし、これがうまくいった場合は、あまりにもその証明が簡単なので
読者は、最終的に得られた結果さえtrivialと勘違いする場合もある。
べつにそれでかまわないが。

これは、BourbakiやGrothendieck などのスタイルでもある。
Atiyah-MacDonald は、その序文にもあるように明確にこのスタイルを
意識して書かれている。
586 名前：208 [2005/10/27(木) 18:09:16 ]: 定義
K を体、L/K を K の代数拡大体とする。
L の任意の元α の K 上の最小多項式が K において１次式の
積に完全に分解するとき、L/K を準ガロワ(quasi-Galois)拡大という。
因みにquasiは強いてカタカナで書くと英語読みでクェイザイと発音する。
L/K が準ガロワ拡大で分離的なとき L/K をガロワ拡大という。
準ガロワ拡大は昔(今も?)は正規拡大と呼んでいたが、Bourbaki流の
準ガロワのほうがよいと思う。
587 名前：208 [2005/10/27(木) 18:14:02 ]: >>586
quasiの発音を聞きたい人はMerriam-Webster Online Dictionary
をGoogleで検索して、そこに行き、quasiを検索すると２通りの
発音が聞ける。
588 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/27(木) 18:55:43 ]: どこの何様が知らぬが、ご親切なことで。
589 名前：208 [2005/10/28(金) 08:56:09 ]: >>586
>L の任意の元α の K 上の最小多項式が K において１次式の
>積に完全に分解するとき、L/K を準ガロワ(quasi-Galois)拡大という。

L の任意の元α の K 上の最小多項式が L において１次式の
積に完全に分解するとき、L/K を準ガロワ(quasi-Galois)拡大という。
590 名前：208 [2005/10/28(金) 09:01:54 ]: >>547 には反応あるけど　>>546 にはないね。
俺なんか、>>546 の事実のほうが数倍衝撃的だけどな。
研究の動機よりもその過程と結果がもっと重要だろう。
591 名前：208 [2005/10/28(金) 09:08:17 ]: >>588

皮肉のつもりだろうが、わからんな。
親切のどこが気にくわないんだ？
592 名前：208 [2005/10/28(金) 09:16:53 ]: ああ、わかった。
例のよくある自分の知ってることを丁寧に教えられると腹が立つという、
劣等感からくるやつね。くだらねえ奴。
593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/28(金) 09:17:56 ]: 善意か悪意か灰色の文面は善意に取ろう。てぃむぽと面の皮は多少は厚くないと。
594 名前：208 [2005/10/28(金) 09:33:04 ]: 「どこの何様が知らぬが、」
これは灰色じゃなくて黒だよ。
595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/28(金) 09:37:21 ]: 人間に関する事は結局全部灰色だよ。そうじゃない部分で白黒つけてさよ。
596 名前：208 [2005/10/28(金) 09:55:10 ]: >>584
>命題
>K を無限体、L/K を体の拡大とする。L/K の中間体が有限個なら
>L = K(c) となる元 c がある。

L/K が有限次と仮定すると、以下のような簡単な別証がある。
L = K(α, β) と２個の元で生成される場合を考えればよい。
t ∈ K として、中間体 K(α + tβ) を考える。K は無限体だから、
K(α + tβ) = K(α + sβ) となる、t, s ∈ K で t ≠ s となる
ものがある。よって、(α + tβ) - (α + sβ) = (t - s)β は
K(α + tβ) に含まれ、これから β、よってαも K(α + tβ)
に含まれる。よって、 L = K(α + tβ) となる。
597 名前：208 [2005/10/28(金) 10:29:38 ]: 俺は何も諸君が俺の書いてる事柄を知らないと思ってるわけじゃない。
自分の知ってることは読みとばしてくれていい。
こんなことは断るまでもなく当たり前だけど、>>588みたいな
奴もいるからね。
598 名前：208 [2005/10/28(金) 11:06:45 ]: >>559

秋月・永田の近代代数学という古い本(1957年頃が初版)も
少しだが参考にしてる。これは題名からは想像出来ないが
可換代数そのもの。薄いけど内容はわりと高度。
ネーター整域の整閉包がKrull環という、Bourbakiにも松村にも
載ってないことが書かれている。永田の可換環論には載ってる
だろうが。
他には、Dirichletの初等整数論講義にあるDedekindの付録。
この本の邦訳。しかし、この訳はちょっと読みづらい。
いちいち名詞の複数形に達をつけてる。例えば、ｎ個の整数達とか。
599 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/28(金) 13:34:12 ]: どこのお偉いお方か存じませぬがご親切なことでございますね。
600 名前：208 [2005/10/28(金) 16:12:18 ]: 基本的には自分のためにやってる。考えを整理するには書くのが
一番いい。まあノート代わりだな。だけど、読者にも役立つんだから
そう目くじらたてなくてもいいだろ。それに、こちらからの
一方通行というわけでもないし。
601 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/28(金) 16:45:14 ]: 南無阿弥陀仏南無阿弥陀仏南無阿弥陀仏南無阿弥陀仏
602 名前：208 [2005/10/28(金) 16:55:49 ]: あれ、知らなかったの？
おいおい、それは甘すぎだよ。
俺は慈善事業やってるわけじゃない。
だけど、俺が得して諸君も得する。こなにいいことないだろ。
603 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/28(金) 17:12:42 ]: 御陀仏御陀仏御陀仏御陀仏御陀仏御陀仏御陀仏御陀仏御陀仏
604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/28(金) 21:37:55 ]: 色即是空色即是空色即是空色即是空色即是空色即是空色即是空
605 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/29(土) 08:39:45 ]: PaiPPPPaiPaiPaiPaiPaiPaiPaiPaiPaiaiPaiPaiPaiPaiPaiaiPaiPaiPaiPaiPaiPaiai
606 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/29(土) 08:40:27 ]: 　　（＾ω＾）⊃　ｱｳﾄ!!!
　　（⊃　）
　／　　　ヽ

⊂（　＾ω＾）⊃　ｾｰﾌ!!!
　　（　　　）
　／　　　ヽ

　　（　＾ω＾）　ヨヨイの!!
　（⊃⊂　）
　／　　　ヽ

⊂⌒ヽ　　　　　　　　　　(⌒⊃
　　＼＼　　／⌒ヽ　　/　/
　⊂二二二（　＾ω＾）ニニ二⊃
　　　　　＼　＼_∩_／　／
　　　　　　（　　(::)(::)　　）
　　　　　　　ヽ＿,*､＿ノ　　ﾌﾞｰﾝ
　　　／／／
　／／／
607 名前：208 [2005/10/31(月) 09:56:27 ]: Cohen-Seidenbergの第２定理(いわゆるGoing-down定理)に関連して、
無限次ガロワ拡大について述べる。これは数論においても重要である。
位相群の初歩については既知と仮定する。

命題
G を群、S を G の正規部分群の集合で以下の条件(F)を満たすものとする。

(F) N_1, N_2 ∈ S なら N_1 ∩ N_2 ⊃ N_3 となる N_3 ∈ S がある。

x ∈ G に対して、{xN; N ∈ S} を x の基本近傍系と定義することにより、
G は位相群となる。

証明
G の部分集合 U が以下の性質(O)を満たすとき、G の開部分集合と
定義する。

(O) x ∈ U なら xN ⊂ U となる N ∈ S が存在する。

G の開部分集合全体が位相を定めることは、条件 (*) より明らか。
y ∈ xN なら、yN = xN だから xN は開部分集合である。
よって、{xN; N ∈ S} は x の基本近傍系となる。

S の元 N は正規部分群だから、任意の x ∈ G に対して
xN = Nx となることに注意する。よって、
x, y ∈ G, N ∈ S に対して、(xN)(yN) = xyNN = xyN となる。
これから、G の積算法が定める写像 G x G → G は連続である。
(xN)^(-1) = Nx^(-1) = x^(-1)N だから、
x にその逆元 x^(-1) を対応させる写像 G → G も連続である。
よって G はこの位相により位相群となる。
証明終
608 名前：208 [2005/10/31(月) 10:09:51 ]: 命題
>>607 で定義された G の位相がハウスドルフであるためには、
∩{N; N ∈ S} = {e} が必要十分である。ここで e は G の単位元。

証明
{e} の閉包が ∩{N; N ∈ S} となることに注意すればよい。
609 名前：208 [2005/10/31(月) 10:24:26 ]: 命題
f, g: X → Y を位相空間 X から Y への２個の連続写像とする。
Y がハウスドルフなら、X の部分集合 E = {x ∈ X; f(x) = g(x)}
は閉集合である。

証明
Y x Y の対角集合をΔとする。つまり、Δ = {(y, y); y ∈ Y} とする。
Y はハウスドルフだから、Δ は Y x Y の閉集合である。
h(x) = (f(x), g(x)) により、写像 h: X → Y x Y を定義する。
これが連続なことは明らか。E = h^(-1)(Δ) だから、
E は閉である。
証明終
610 名前：208 [2005/10/31(月) 10:33:12 ]: 命題
I を前順序集合、(X_i) を I を添字集合とする位相空間の射影系とする。
各 X_i がハウスドルフなら、射影極限 proj.lim X_i は
直積空間 X = ΠX_i の閉集合である。

証明
pr_i: X → X_i を射影とする。
i ≦ j に対して E_(i,j) = { x ∈ X; pr_i(x) = f_(i,j)pr_j(x) }
と定義する。f_(i,j): X_j → X_i は射影系(X_i)を定義する射である。
E_(i,j) は命題(>>609)より X の閉集合である。
proj.lim X_i は i ≦ j を任意に変化させたときの E_(i,j) の
共通集合だから閉である。
証明終
611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/10/31(月) 14:56:00 ]: Gを代数的数を成分にもつGL(n,C)の有限生成部分群とする。
このときある自然数kがあり、任意のGの元gに対し
g^kの成分が代数的整数になる。

上記のことは成り立つでしょうか？知っている方がいたら
教えて下さい。
612 名前：208 [2005/10/31(月) 15:08:55 ]: >>611

少なくとも n = 1 のときは成り立たないけど。
例えば 1/2 で生成されるGL(1,C)の部分群。1/2 を何乗しても整数にならない。
613 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/31(月) 15:47:43 ]: ASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASASAS
614 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/31(月) 15:54:32 ]: >>612
有理整数でなく代数的整数だから，
2x-1=0⇒x=1/2
でOKなのでは？？
615 名前：208 [2005/10/31(月) 16:23:50 ]: >>614

1/2 は代数的整数じゃない。後でやるけど、有理整数環 Z は整閉
だから、有理数で代数的整数であるものは有理整数しかない。
616 名前：611 mailto:sage [2005/10/31(月) 16:34:47 ]: >>612
確かに…すぐに思いつかなかったのがなさけない…orz
何か適当な（例えば位相的な）条件を追加して
成り立つようにできないでしょうか？
617 名前：208 [2005/10/31(月) 16:50:23 ]: >>616

今、無限次ガロワ拡大について書くのに忙しいんで、これ以上
相手出来ない。悪いが．．．
618 名前：１３２人目の素数さん [2005/10/31(月) 17:18:47 ]: 無限次ガロワ拡大 is full!!!!!!!!!!!1
619 名前：611 mailto:sage [2005/10/31(月) 20:29:28 ]: すみません。正しい主張は、

Gを代数的数を成分にもつGL(n,C)の有限生成部分群とする。
このときGの有限の生成系{g_i}に対しある自然数kがあり、
kg_iの成分が代数的整数になる。

でした。これじゃ説明省いて使うよな…
620 名前：208 [2005/11/01(火) 10:11:07 ]: 命題
I を有向前順序集合、(X_i) を I を添字集合とする位相空間の射影系とする。
射影極限 proj.lim X_i を X とおく。f_i: X → X_i を標準射とする。
X の任意の開集合は、(f_i)^(-1)(U) の形の開集合の合併である。
ここに、 i は I の要素を動き、U は X_i の開集合を動く。

証明
X は直積空間 ΠX_i の部分空間であるから、
X の開集合 U は、f_(i_1)^(-1)(U_1) ∩ ... ∩ f_(i_r)^(-1)(U_r)
の形の開集合の合併である。ここで、i_1, ... , i_r は I の要素で
あり、 U_k は X_i_k の開集合である。
x を U の任意の点とし、
x ∈ f_(i_1)^(-1)(U_1) ∩ ... ∩ f_(i_r)^(-1)(U_r) とする。
I は有向前順序集合だから、i_1 ≦ j, ... i_r ≦ j となる j がある。
V_k = f_(i_k, j)^(-1)(U_k) とおく。
ここで、f_(i_k, j) : X_j → X_i_k は射影系を定義する射。
f_(i_k, j) は連続だから、V_k は X_j の開集合である。
(f_j)^(-1)(V_k) ⊂ f_(i_k)^(-1)(U_k) だから、
V = V_1 ∩ ... ∩ V_r とおけば、
(f_j)^(-1)(V) ⊂ f_(i_1)^(-1)(U_1) ∩ ... ∩ f_(i_r)^(-1)(U_r)
となる。x ∈ (f_j)^(-1)(V) だから、命題の主張が出る。
証明終
621 名前：208 [2005/11/01(火) 10:24:29 ]: >>607 において、各 N ∈ S に対して G/N に離散位相を入れる。
N_1, N_2 ∈ S で N_1 ⊃ N_2 のとき N_1 ≦ N_2 と定義して、
S に順序を入れる。N_1 ≦ N_2 のとき、G/N_2 → G/N_1 が自然に
定義される。よって S を添字集合として、(G/N), N ∈ S は
離散位相群からなる射影系となる。よって、proj.lim G/N が定義
される。
各N ∈ S は開集合だから、標準射 G → G/N は連続である。
さらに、この射は、射影系(G/N)と両立するから、
連続写像 f: G → proj.lim G/N が自然に定義される。
このとき、f(G) は、proj.lim G/N において稠密である。

証明
proj.lim G/N から G/N への標準射を f_N とする。
(f_N)f : G → G/N は標準射である。したがって、全射である。
これと、>>620 からわかる。
証明終
622 名前：208 [2005/11/01(火) 10:45:34 ]: 命題
>>621 において f: G → proj.lim G/N は G から f(G) への全射を
引き起こすが、これは開写像である
(f(G)には proj.lim G/N の部分位相をいれておく）。

証明
G の単位元の基本開近傍の像が f(G) の単位元の開近傍であることを
示せばよい。proj.lim G/N から G/N への標準射を f_N とし、
e を G/N の単位元とする。
f(G) ∩ (f_N)^(-1)(e) = f(N) である。G/N の位相は離散だから{e}
は、開集合である。よって、(f_N)^(-1)(e) も開集合である。
証明終
623 名前：208 [2005/11/01(火) 11:22:15 ]: k を体、K/k を k の準ガロワ拡大(>>586)とする。
K の k-自己同型のなす群を Aut(K/k) と書く。
G = Aut(K/k) とおく。
K/k の中間体 L/k で有限次準ガロワ拡大となるものを考える。
G の元を L に制限することにより、群の射 G → Aut(L/k) が得られる。
これは、全射である。この核を G(L) と書く。G(L) は G の正規部分群
である。このような G(L) の全体は、>>607 の条件 (F) を満たす。
よって、G は >>607 により位相群となる。

命題
G はコンパクトである。

証明
>>621 より連続写像 f: G → proj.lim G/G(L) が定義される。
Ker(f) = ∩G(L) だが、これは明らかに G の単位元のみからなる。
よって、f は単射。G/G(L) = Aut(L/k) とみなされるから、
proj.lim G/G(L) の元 (σ_L)は、各 L/k にその自己同型 σ_L
を引き起こし、L ⊃ L' のときは σ_L' は σ_L の制限となっている。
K はこのような L の合併集合であるから、(σ_L)は G のある元σ
から引き起こされる。よって、f: G → proj.lim G/G(L) は全射である。
G/G(L) は有限群だから、離散位相でコンパクトである。
よってその直積 ΠG/G(L) もコンパクト。
proj.lim G/G(L) は、>>610より閉集合だから、proj.lim G/G(L) も
コンパクトである。f は、>>622 より開写像であるから、
G は、proj.lim G/G(L) と位相同型である。
よって、G もコンパクトである。
証明終
624 名前：208 [2005/11/01(火) 12:20:39 ]: k を体、K/k を k の準ガロワ拡大(>>586)とする。
G = Aut(K/k) とおく。
一般に、K/k の中間体 L/k に対して、K/L は準ガロワ拡大である。
Aut(K/L) を G(L) と書く。G(L) ⊂ G とみなすことにする。
特に、K/k の中間体 L/k で有限次拡大となるものを考える。
L を含むK/k の中間体 L'/k で、有限次準ガロワ拡大となるものがある。
例えば、L/k のすべての共役体で生成される体をとればよい。
G(L) ⊃ G(L') であるから、G(L) も G の単位元の近傍となる。

x_1, ..., x_n を K の元とする。G の元σ に対して
U(σ; x_1, ... , x_n) =
{τ ∈ G; σ(x_1) = τ(x_1), ... , σ(x_n) = τ(x_n)}
とおく。容易にわかるように U(σ; x_1, ... , x_n) は σ の開近傍
であり、x_1, ..., x_n を変化させると、σ の基本開近傍系が得られる。

さて、K から K への集合としての写像全体からなる集合を K^K と書く。
K^K は K を添字集合とする直積集合とみなせる。
K に離散位相を入れ、K^K に直積位相を入れる。
G の位相は、この K^K の部分空間としての位相をいれたものに
他ならない。
625 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/01(火) 12:41:14 ]: What is 準ガロワ拡大?
626 名前：208 [2005/11/01(火) 13:05:17 ]: >>625

>k を体、K/k を k の準ガロワ拡大(>>586)とする。
って書いてあったら普通、>>586 に準ガロワ拡大の説明があるだろう。

わからない用語が出てきたら、このスレ全体をテキストファイルにコピーして
その用語で検索すればいい。前のほうに説明があるはず。
627 名前：208 [2005/11/01(火) 13:17:54 ]: 命題
k を体、K/k を k の準ガロワ拡大とし、L を K/k の中間体とする。
G = Aut(K/k), G(L) = Aut(K/L) とする。
G(L) は G の閉部分群である。

証明
L/k が有限次のときは、G(L) は G の開部分群であるから、
閉部分群でもある。L が有限次でないときは、L は有限次拡大 L_i/k
の合併集合となる。G(L) = ∩G(L_i) で、各 G(L_i) は閉だから、
G(L) も閉である。
証明終
628 名前：208 [2005/11/01(火) 13:25:52 ]: >>627 から有限次ガロワ拡大の基本定理は、無条件では無限次の
ガロワ拡大に拡張出来ないことがわかる。
つまり、G の閉でない部分群 H は K/k の中間体 L をどんなに
とっても H = G(L) とならない。
629 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/01(火) 14:31:26 ]: ASASASASASASASASASASASASASAASASASASASASASASASASASASASAASASASASASASASASASASASASASA
630 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/01(火) 15:48:29 ]: >>625

Sorry, i was a bit stupid.....
631 名前：208 [2005/11/01(火) 16:23:45 ]: 命題
k を体、K/k を k のガロワ拡大、つまり準ガロワで分離的な拡大とし、
G = Aut(K/k) とする。H を G の部分群とする。
K^H = {x ∈ K; 各σ∈H で、σ(x) = x } とおく。
つまり、K^H は H で固定化される K の部分体である。
G(K^H) すなわち Aut(K/K^H) は H の閉包である。

証明
H の閉包を cl(H) とする。
H ⊂ G(K^H) は明らかである。G(K^H) は G の閉部分群である(>>627)
から、cl(H) ⊂ G(K^H) である。よって、σ∈G(K^H) の任意の近傍が
H の元を含むことを示せばよい。L/k を K の中間体で有限次ガロワ拡大
となるものとする。M を L と K^H の合成部分体、すなわち K の部分体で
L と K^H を含む最小のものとする。M/K^H は有限次ガロワ拡大である。
H の元を M に制限することにより射 φ: H → Aut(M/K^H) が得られる。
φ(H) で固定される M の部分体は、K^H である。
よって有限次ガロワ拡大の基本定理より、φ(H) = Aut(M/K^H) である。
つまり、φ は全射である。
σ∈G(K^H) の M への制限をσ|M とすれば、σ|M は Aut(M/K^H)
の元であるから、σ|M = φ(τ) となる τ∈ H がある。
L ⊂ M であるから、σ|L = τ|L となる。これは、τ∈σG(L) を
意味する。σG(L) はσの基本開近傍だから cl(H) = G(K^H) である。
証明終
632 名前：208 [2005/11/01(火) 16:52:43 ]: 命題
k を体、K/k を k のガロワ拡大とし、L/k をその任意の中間体とする。
G(L) すなわち Aut(K/L) で固定される体は L である。
すなわち、K^G(L) = L である。

証明
K/L はガロワ拡大であり、特に分離拡大である。
x を K の元で L に含まれないものとする。x は L 上分離的だから
x の L に関する共役元 y で x と異なるものがある。
x を y に写す Aut(K/L) の元が存在する。
これは、K^G(L) = L を意味する。
証明終
633 名前：208 [2005/11/01(火) 17:04:48 ]: 無限次ガロワ拡大体の基本定理

k を体、K/k を k のガロワ拡大とする。
G = Aut(K/k) とおく。
L/k をその任意の中間体とする。L に G(L) を対応させることにより、
K/k の中間体と G の閉部分群の間に１対１の対応がつく。
この逆対応は、G の閉部分群 H に対して、H で固定される部分体
K^H を対応させるものである。

証明
>>632 より K^G(L) = L であり、>>631 より G(K^H) = H である。
証明終
634 名前：208 [2005/11/02(水) 09:52:53 ]: 環の整拡大の話題に戻ろう。

補題
A ⊂ B を環の包含関係、B は A 上整とする。
p_0 ⊂ p_1 を A の長さ１の素イデアル鎖(>>379)とする。
q_0 を p_0 の上にある B の素イデアルとする。
B の長さ１の素イデアル鎖 q_0 ⊂ q_1 で
q_1 が p_1 の上にあるものが存在する。

証明
A/p_0 ⊂ B/q_0 とみなせる。>>520 の定理(Cohen-Seidenberg)
より、p_1/p_0 の上にある B/q_0 の素イデアル q_1/q_0 がある。
p_1/p_0 ≠ 0 だから q_1/q_0 ≠ 0
証明終
635 名前：208 [2005/11/02(水) 09:54:27 ]: 命題
A ⊂ B を環の包含関係、B は A 上整とする。
p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n を A の素イデアル鎖(>>379)とする。
q_0 を p_0 の上にある B の素イデアルとする。
B の素イデアル鎖 q_0 ⊂ q_1 ⊂ ... ⊂ q_n で
各 q_i が p_i の上にあるものが存在する。

証明
>>634 に帰納法を使う。
証明終
636 名前：208 [2005/11/02(水) 09:58:17 ]: 命題
A ⊂ B を環の包含関係、B は A 上整とする。
q_0 ⊂ q_1 ⊂ ... ⊂ q_n を B の素イデアル鎖(>>379)とする。
各 i で p_i = A ∩ q_i とおく。
p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n は A の素イデアル鎖である。

証明
>>574 より明らか。
637 名前：208 [2005/11/02(水) 10:01:08 ]: 命題
A ⊂ B を環の包含関係、B は A 上整とする。
dim A = dim B である(dim A の定義は、>>379 にある)。

証明
>>635 と >>636 より明らか。
638 名前：208 [2005/11/02(水) 10:05:24 ]: 命題
A ⊂ B を環の包含関係、B は A 上整とする。
q を B の素イデアルとする。
ht(q) ≦ ht(A ∩ q) である。

証明
>>636 より明らか。
639 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/02(水) 10:55:54 ]: 命題
A を整閉整域(>>578)、K をその商体、L/K を有限次準ガロワ拡大(>>586)
とする。B を A の L における整閉包(>>576)とする。
p を A の素イデアル、q_1, q_2 を p の上にある B の素イデアルと
すると、σ(q_1) = q_2 となる σ∈ Aut(L/K) がある。

証明
x ∈ q_1 とする。y = Πσ(x) とおく。ここで、積は Aut(L/K) の
すべての元σを動くものとする。y は Aut(L/K) の元で不変だから、
y^q ∈ K となる整数 q がある。ただし、q は、L/K が分離的なときは
1 であり、そうでないときは、K の標数 p の適当なベキである。
y^q ∈ K ∩ B であり、A は整閉だから、A = K ∩ B となる。
よって、y^q ∈ A となる。一方、明らかに y^q ∈ q_1 だから、
y^q ∈ p となる。p ⊂ q_2 であるから、y^q ∈ q_2 となる。
これから、ある σ(x) ∈ q_2 となる。よって、x ∈ σ^(-1)(q_2)
となる。以上から、q_1 ⊂ ∪σ^(-1)(q_2) となる。ここでσは
Aut(L/K) のすべての元σを動く。よって、>>579 より
q_1 ⊂ σ^(-1)(q_2) となるσがある。σ^(-1)(q_2) は、p の上にあるから、
>>574 より q_1 = σ^(-1)(q_2) である。
証明終
640 名前：208 [2005/11/02(水) 11:26:58 ]: >>639 の命題は L/K が有限次でなくても成立つ。

命題
A を整閉整域(>>578)、K をその商体、L/K を有限次とは限らない
準ガロワ拡大(>>586)とする。
B を A の L における整閉包(>>576)とする。
p を A の素イデアル、q_1, q_2 を p の上にある B の素イデアルと
すると、σ(q_1) = q_2 となる σ∈ Aut(L/K) がある。

証明
M を L/K の中間体で、M/K が有限次準ガロワ拡大とする。
S をこのような M の集合とする。
M ∈ S に対して
F(M) = {σ∈ Aut(L/K); σ(q_1 ∩ M) = q_2 ∩ M} とおく。
σ∈ Aut(L/K) を M に制限することにより、
連続写像 Aut(L/K) → Aut(M/K) が得られる。
F(M) は、この写像による、離散群 Aut(M/K) のある部分集合の逆像だから
閉集合である。一方、>>639 よりこれは空ではない。
M, M' ∈ S のとき、F(M) ∩ F(M') ⊃ F(M(M')) となる。
ここで、M(M') は M と M' から生成される L の部分体で
M(M') ∈ S である。
Aut(L/K) は >>623 よりコンパクトだから、∩F(M) は空でない。
L は M ∈ S の合併集合となるから、σ ∈ ∩F(M) が求めるものである。
証明終
641 名前：208 [2005/11/02(水) 11:42:11 ]: 補題
A を整閉整域(>>578)、K をその商体、L/K を有限次とは限らない
準ガロワ拡大(>>586)とする。
B を A の L における整閉包(>>576)とする。
p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n を A の素イデアル鎖(>>379)とする。
q_n を p_n の上にある B の素イデアルとする。
このとき、B の素イデアル鎖 q_0 ⊂ q_1 ⊂ ... ⊂ q_n で
p_i = A ∩ q_i が各 i で成立つものがある。

証明
>>635 より、p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n の上にある、
B の素イデアル鎖 r_0 ⊂ r_1 ⊂ ... ⊂ r_n がある。
>>640 より、σ(r_n) = q_n となる σ∈ Aut(L/K) がある。
q_i = σ(r_i) とおけばよい。
証明終
642 名前：208 [2005/11/02(水) 11:55:42 ]: 定理(Going-down定理)
A を整閉整域(>>578)、A ⊂ B を整域の包含関係、B は A 上整とする。
p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n を A の素イデアル鎖(>>379)とする。
q_n を p_n の上にある B の素イデアルとする。
このとき、B の素イデアル鎖 q_0 ⊂ q_1 ⊂ ... ⊂ q_n で
p_i = A ∩ q_i が各 i で成立つものがある。

証明
K を A の商体、L を B の商体とする。B は A 上整だから、
L/K は代数拡大である。M/K を L/K を含む準ガロワ拡大とする。
C を M における B の整閉包とする。C は A の整閉包でもある(>>511)。
q_n の上にある C の素イデアル r_n が存在する(>>520)。
>>641 より、C の素イデアル鎖
r_0 ⊂ r_1 ⊂ ... ⊂ r_n で p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n の上に
あるものがある。q_i = B ∩ r_i とおけばよい。
証明終
643 名前：208 [2005/11/02(水) 12:00:41 ]: 命題
A を整閉整域(>>578)、A ⊂ B を整域の包含関係、B は A 上整とする。
q を B の素イデアルとする。
ht(A ∩ q) = ht(q) となる。

証明
>>638 と >>642 から明らか。
644 名前：208 [2005/11/02(水) 12:58:37 ]: 整閉整域については、他にも基本的な事項があるけど後回しにする。
次に離散付値環について述べるが、その前に単項イデアル整域に
ついて基本的なことを述べる。

定義
整域 A において、そのイデアルが常に単項となるとき
単項イデアル整域と呼ぶ。

この定義によると体も単項イデアル整域になるが、
このスレでは特に断らない限り、単項イデアル整域というとき
体でないものを意味するものとする。
645 名前：208 [2005/11/02(水) 13:02:02 ]: 定義
(体でない)単項イデアル整域で局所環であるものを離散付値環と呼ぶ。
646 名前：208 [2005/11/02(水) 13:19:49 ]: 定義
単項イデアル整域 A において極大イデアルを生成する元を素元とよぶ。
647 名前：208 [2005/11/02(水) 13:21:21 ]: 次の命題は、代数の初歩でよく知られているので、ここでは証明しない。

命題
単項イデアル整域においては、任意の０でない元が素元の積に
可逆元(単元)を除いて一意に分解される。
648 名前：208 [2005/11/02(水) 14:44:55 ]: 定義
A を環、
0 → N → M → L → 0 を A-加群の完全列とする。
N → M の像が M の直和因子となるとき、この完全列は分解(split)
するという。

命題
A を環、
0 → N → M → L → 0 を A-加群の完全列とする。
これが分解するためには、f: M → L のとき、
A-加群の射 s: L → M で fs = 1 となるものがあることが
必要十分である。

証明
各自に任せる。
649 名前：208 [2005/11/02(水) 14:51:33 ]: 命題
A を環、
0 → N → M → L → 0 を A-加群の完全列とする。
L が自由加群なら、この完全列は分解する。

証明
>>648より明らか。
650 名前：208 [2005/11/02(水) 15:11:28 ]: 命題
A を単項イデアル整域、L を A 上の有限階数 n の自由加群とする。
L の部分加群は、階数 ≦ n の自由加群である。

証明
n に関する帰納法。
e_1, ... , e_n を L の基底とする。
p_n : L → A を e_n に関する射影とする。
q: M → A を p_n の M への制限とする。
q(M) は A のイデアルだから単項であり、A は整域だから
このイデアルは A-加群として自由である。
Ker(q) = N とおく。
0 → N → M → q(M) → 0 は完全である。
N ⊂ Ae_1 + ... + Ae_(n-1) だから帰納法の仮定より、
階数 ≦ n-1 の自由加群である。
q(M) は自由だから、>>649 よりこの完全列は分解する。
よって、M は自由である。q(M) の階数 ≦ 1 だから、
M の階数 ≦ n である。
証明終
651 名前：208 [2005/11/02(水) 15:36:53 ]: >>650

q(M) = 0 のときは、q(M) は自由加群ではないが、この場合、
N = M となって自明。
652 名前：208 [2005/11/02(水) 16:26:24 ]: 定義
A を整域、M を A-加群とする。
x ∈ M が捩れ元であるとは、A の元 a ≠ 0 があり
ax = 0 となることである。

M のすべての元が捩れ元であるとき、M を捩れ加群(torsion module)という。
M の捩れ元が 0 以外にないとき M を捩れのない(torsion-free)加群という。
653 名前：208 [2005/11/02(水) 16:34:09 ]: 定義
A を整域、M を A-加群とする。
M の捩れ元全体は、部分加群となる。
これを、M の捩れ部分とよび、t(M) と書く。

A の商体を K としたとき、S = A - {0} は積閉集合であり、
M(x)K は M の S による局所化とみなされる。
標準射 : M → M(x)K の核は t(M) に他ならない。
よって、
0 → t(M) → M → M(x)K
は完全である。
654 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/02(水) 16:51:21 ]: ASASASASASASASASASASASASAS
ASASASASASASASASASASASASAS
ASASASASASASASASASASASASAS
ASASASASASASASASASASASASAS
655 名前：208 [2005/11/02(水) 17:01:32 ]: 命題
A を単項イデアル整域、M を A 上の有限生成かつ捩れのない加群
とする。このときM は自由加群である。

証明
M は捩れがないから、A の商体を K としたとき、
標準射: M → M(x)K は単射となる。よって、M ⊂ M(x)K とみなす。
M(x)K は、K-加群として M の元で生成されるから、
M の有限個の元からなる(K-加群としての)基底をもつ。
これらを、x_1, ... , x_n とする。
一方、M の A-加群としての生成元を、y_1, ... , y_m とする。
各 y_i は y_i = Σα(i,j)x_j, α(i,j) ∈ K と表される。
よって、a(y_i) ∈ Ax_1 + ... + Ax_n が全ての i で成立つような
a ∈ A, a ≠ 0 がある。L = Ax_1 + ... + Ax_n とおくと、
L は A-自由加群であり、aM ⊂ L となる。よって、M ⊂ (1/a)L
となる。(1/a)L も自由であるから、>>650 より M も自由である。
証明終
656 名前：208 [2005/11/02(水) 17:09:39 ]: 命題
A を単項イデアル整域、M を A 上の有限生成加群とする。
M は、捩れ部分 t(M) と有限生成自由加群の直和となる。

証明
完全列
0 → t(M) → M → M/t(M) → 0
を考える。
M/t(M) は、明らかに捩れがない。これが有限生成であることは
明らか。よって、>>655 より自由加群である。
よって、>>649 よりこの完全列は分解する。
証明終
657 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/03(木) 00:08:59 ]: 自由加群の部分群は自由であることはどうやって証明する？
658 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/03(木) 04:59:10 ]: 自由加群の部分群は自由であることはどうやって証明する？

Use elementary divisors, since every abelian group is
a $Z$-module.
659 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/03(木) 06:29:28 ]: ??
有限生成とは限らない場合だぞ。
660 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/03(木) 09:29:43 ]: あやまれ、ロリコンにあやまれ（AA略
661 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/03(木) 09:36:50 ]: >> ??有限生成とは限らない場合だぞ。

Perhaps take the direct limit...
662 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/03(木) 11:33:27 ]: Perhaps?
and じゃないのか
663 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/03(木) 17:21:04 ]: 永田他「抽象代数幾何」のｐ２０８のZariskiMainTheoremの証明する過程での次の主張
「Bが整域、AをBの部分環、A[T]もBの部分環でTはA上超越的元。BはA[T]上整拡大。このとき、Bの任意の素イデアルｑはｐ＝A∩ｑ上孤立である。」
を証明するはじめの一行目の次の設定をして良い理由が分からない。

「ｑがｐ上極大なイデアルとして・・・」の仮定を設定して良い理由が分からない。
Raynauldの本でも全く同じ記述になっている。

だれかわかっている人がいたら教えてください。
664 名前：208 [2005/11/04(金) 09:29:24 ]: >>663

q ∩ A[T] で局所化すればいいんでは？
つまり、p' = q ∩ A[T] とおいて、B_p' を考える。
そして、B を B_p' で置き換え、q を qB_p' で置き換える。
A は、当然 A_p に置き換える。
665 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/04(金) 12:00:00 ]: Perhaps?
and じゃないのか

?????
666 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/04(金) 13:20:55 ]: 「Bが整域、AをBの部分環、A[T]もBの部分環でTはA上超越的元。BはA[T]上整拡大。このとき、Bの任意の素イデアルｑはｐ＝A∩ｑ上孤立で　'ない’。」でした。
667 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/04(金) 13:23:06 ]: >>663の記入に誤り。正しくは>>666でした。
668 名前：208 [2005/11/04(金) 13:38:40 ]: 補題
A を単項イデアル整域、M を A-加群とする。
a と b を A の元で互いに素とする。
x ∈ M で、abx = 0 なら、x = y + z, ay = 0, bz = 0
となる M の元 y, z がある。

証明
as + bt =1 となる A の元 s, t がある。
よって、x = asx + btx となる。
y = btx, z = asx とすればよい、。
証明終
669 名前：208 [2005/11/04(金) 15:03:26 ]: 命題
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
A の素元 p に対して M(p) = {x ∈ M; (p^n)x = 0 となる n > 0 がある}
とおく。M = ΣM(p) (直和) となる。ここで p は、Ann(M) を割る素元
全体を動く。

証明
まず、M は有限生成の捩れ加群だから、Ann(M) ≠ 0 である。
x ∈ M, x ≠ 0 とし、Ann(x) = aA とする。M は捩れ加群だから、
a ≠ 0 である。>>668 より x ∈ ΣM(p) となる。ここで p は
a の素因子を渡る。あとは、Ann(M) ⊂ aA に注意すればよい。
証明終
670 名前：208 [2005/11/04(金) 15:08:43 ]: 命題
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
Supp(M) は、極大イデアルのみからなる。

証明
Supp(M) = V(Ann(M)) と Ann(M) ≠ 0 より明らか。
証明終
671 名前：208 [2005/11/04(金) 15:12:58 ]: 命題
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
M は A-加群として長さ有限である。

証明
Ass(M) ⊂ Supp(M) (>>99) と >>670 と >>345 より。
証明終
672 名前：208 [2005/11/04(金) 15:20:40 ]: 定義
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
>>671 より M は長さ有限である。
M の組成列に現れる剰余加群は、A/p と同型である。
ここで、p は A のある極大イデアル。
M の組成列に現れる極大イデアルを重複度もいれて
p_1, ..., p_r としたときそれらの重複を考慮した積
を M の内容(content)とよび、|M| と書く。
673 名前：208 [2005/11/04(金) 15:28:46 ]: >>672 の記号 |M| は、私が勝手に決めたものであり、
一般的ではない。
Serreは χ(M) を使っている。
674 名前：208 [2005/11/04(金) 15:41:30 ]: 命題
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
N を M の部分加群とすると、
|M| = |N||M/N| となる。

証明
明らか。
675 名前：208 [2005/11/04(金) 15:53:07 ]: 命題
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
|M|M = 0 となる。つまり、|M| ⊂ Ann(M) となる。

証明
leng(M) に関する帰納法を使う。
M ≠ 0 とする。
M/N が A/p と同型になるような M の部分加群をとる。
ここで、p は A の極大イデアル。
|M/N| = p だから、帰納法の仮定より p(M/N) = 0 となる。
よって、pM ⊂ N となる。再び帰納法の仮定より |N|N = 0
となるから、p|N|M = 0 となる。
一方、>>674 より、p|N| = |M| である。
証明終
676 名前：208 [2005/11/04(金) 16:01:09 ]: >>675 から Hamilton-Cayley の定理が出る。
これは、前に線形代数スレで書いた。
677 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/04(金) 16:14:22 ]: Omaewa erai!!!!!
678 名前：208 [2005/11/04(金) 16:32:38 ]: 命題
A を単項イデアル整域、I を A のイデアルとする。
|A/I| = I である。

証明
中国式剰余定理(>>341)より、I が極大イデアルのベキ p^n のときに
証明すればよい。しかし、この場合は明らか。
証明終
679 名前：208 [2005/11/04(金) 16:38:42 ]: >>675 の別証

x ∈ M のとき、|M|x = 0 を示せばよい。
Ax は A/Ann(x) に同型である。よって、|Ax| = Ann(x)となる(>>678)。
よって、|Ax|x = 0 となる。
|M| = |Ax||M/Ax| だから(>>674)、当然 |M|x = 0 となる。
証明終
680 名前：208 [2005/11/04(金) 17:07:45 ]: 定義
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の加群とする。
A のある素元 p があり、M の任意の元 x に対して (p^n)x = 0
となる整数 n > 0 があるとき、M を p-加群と呼ぶ。
ここで、n は x に依存する。p の生成する A の極大イデアル
を (p) としたとき、M を (p)-加群とも呼ぶ。
681 名前：208 [2005/11/04(金) 17:20:08 ]: 定義
A を単項イデアル整域、p を A の極大イデアル、M を p-加群とする。
M の任意の元に x 対して Ann(x) = p^n となる整数 n ≧ 0 があるが、
この n を x の指数と呼ぶ。

(注意):
この定義は、ここだけのものであり一般的ではない。
682 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/04(金) 17:22:09 ]: >>676
17 ：１３２人目の素数さん：04/07/31 12:25
>>11-16
well known and trivial
683 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/04(金) 17:47:25 ]: おばかなおりそうもないね
684 名前：208 [2005/11/04(金) 17:57:04 ]: 命題
A を単項イデアル整域、p を A の極大イデアル、M を p-加群とする。
Ann(M) = p^n となる。ここで、n ≧ 0。

証明
定義より M は有限生成である。
M の生成元を x_1, ... , x_r とする。
(p^m)x_i = 0 がすべての x_i について成立つような m > 0 がある。
(p^m)M = 0 となるから、p^m ⊂ Ann(M) である。
これから、命題の主張は明らか。
証明終
685 名前：208 [2005/11/04(金) 18:16:24 ]: >>683

ばかはお前だろ。>>682は線形代数のスレでカタがついてんだよ。
well known じゃないことは確か。Hamilton-Cayleyをtrivial
というのは、度胸がいるだろ。
686 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/04(金) 19:06:12 ]: >>685
17 ：１３２人目の素数さん：04/07/31 12:25
>>11-16
well known and trivial
687 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/04(金) 19:38:16 ]: >>686
まねするな馬鹿！
science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1090754133/17
688 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/04(金) 19:53:16 ]: >>685
17 ：１３２人目の素数さん：04/07/31 12:25
>>11-16
well known and trivial
689 名前：208 [2005/11/07(月) 09:58:44 ]: 補題
A を単項イデアル整域、p を A の素元、M を p-加群(>>680)
とする。 x を M の元でその指数 n が M の元のなかで最大のもの
とする。N = Ax とおく。M/N はあきらかに p-加群である。
y を M の任意の元とする。y (mod N) の M/N における指数(>>681)を
m とすると、M の元 z で、その指数が m となり、y = z (mod N) と
なるものが存在する。

証明
まず、y の指数は m 以上だから m ≦ n に注意する。
(p^m)y = tx となる t ∈ A がある。
(p^n)y = (p^(n-m))tx = 0 であるから、
(p^(n-m))t = sp^n となる s ∈ A がある。
両辺を p^n で割ると、tp^(-m) = s
よって、t = s(p^m)
(p^m)y = tx だから、(p^m)y = s(p^m)x
よって、(p^m)(y - sx) = 0 となる。
z = y - sx とおけばよい。
何故なら、z の指数が m より小さいとすると、
y (mod N) の指数も m より小さいことになって矛盾。
証明終
690 名前：208 [2005/11/07(月) 10:21:05 ]: 命題
A を単項イデアル整域、p を A の素元、M を p-加群(>>680)
とする。 M は、単項 p-加群つまり一個の元で生成される
p-加群の直和となる。

証明
M は長さ有限(>>671)だから、leng(M) に関する帰納法を使う。
x を M の元で、その指数 n が M の元のなかで最大のものとする。
M の各元の指数は>>684より有界だから、このような元は存在する。
leng(M/Ax) < leng(M) だから、帰納法の仮定より、M/Ax は
単項 p-加群の直和となる。これらの単項 p-加群の生成元を
それぞれ y_1 (mod Ax), ... , y_r (mod Ax) とする。
補題(>>689) より、y_i の指数は、y_i (mod Ax) の指数と一致する
としてよい。すると、M は Ax, A(y_1), ... , A(y_r) の直和となる。
何故なら、ax + (b_1)(y_1) + ... + (b_r)(y_r) = 0 とする。
ここで、a, b_1, ... , b_r は A の元。
(b_1)(y_1) + ... + (b_r)(y_r) = 0 (mod Ax) となるから、
各 b_i = 0 (mod p^(m_i))となる。ここで、m_i は y_i の指数。
よって、各 (b_i)(y_i) = 0 である。よって、ax = 0 となる。
これと、leng(M) = leng(Ax + A(y_1) + ... + A(y_r)) に注意
すれば、M = Ax + A(y_1) + ... + A(y_r) (直和)となる。
証明終
691 名前：208 [2005/11/07(月) 10:27:37 ]: >>690 の証明は Burnside の有限群論にある有限アーベル群に対する
同様の命題の証明をやや修正して借りた。この証明をこのように
単項イデアル整域上の加群に適用した例を知らない。
692 名前：208 [2005/11/07(月) 10:52:49 ]: 単因子論を一般の単項イデアル整域上で満足のいく形で展開してる
本はBourbakiくらいしか知らない。もっとも現代の教科書を
全部チェックしたわけではないが。Langだったらやってるかも
しれない。
大抵、有理整数環か多項式環またはせいせいユークリッド整域
しか扱ってないし、たまに単項イデアル整域を扱っていても、
詰めが甘かったりする。
693 名前：208 [2005/11/07(月) 10:59:23 ]: Bourbakiにしたところで、具体的に与えられた行列を一般の単項イデアル整域上で
単因子の標準形に変形する方法については本文ではなくて演習問題に
なってる。だけど、この演習問題はいい。この方法を思いついた人は偉い。
694 名前：208 [2005/11/07(月) 11:11:51 ]: Van der Waerden によると >>690 から単因子論の基本定理、
つまり行列を単因子の対角行列に変形出来るという定理が
出るらしいけど、その方法を知らない。ちょっと考えたけど
わからない。
695 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/07(月) 12:22:44 ]: >>692単因子論を一般の単項イデアル整域上で満足のいく形で展開してる

岩波基礎数学講座「環と加群」だったかにも書かれている。
696 名前：208 [2005/11/07(月) 13:37:47 ]: >>695

Thanks. 岩波の現代数学概説Ｉにも載ってるのを忘れてた。
だけどこれはBourbakiとよく似ている。
697 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/07(月) 14:18:54 ]: おばかなおりそうもないね
698 名前：208 [2005/11/07(月) 15:17:49 ]: 現代数学概説Ｉは、単因子の単因子たる由来の命題(後で述べる)については
書いてない。行列の基本変形についても書いてない。
だから、これも満足のいくものじゃない。
これから、私がBourbakiを参考に単因子論を展開する。
699 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/07(月) 15:24:35 ]: もうすこしいろんなことべんきょうしてもらわねばなるまい
700 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/07(月) 15:25:14 ]: 今日は暖かいね
701 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/08(火) 13:00:43 ]: what is principalization theorem?
702 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/08(火) 16:35:54 ]: Does someone explain what is almost etale extensions by Faltings?
703 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/08(火) 17:18:19 ]: Does ?
704 名前：VIPPER mailto:sage [2005/11/09(水) 10:43:28 ]: ＶＩＰからきますた、数学の天才、ちょっときてくれ(`・ω・´)

開成中の入試過去問題にお手上げ状態┐(´ー｀)┌

【秀才】この問題の解き方教えてくれ【集まれ】
news19.2ch.net/test/read.cgi/news/1131301609/
705 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/09(水) 17:48:17 ]: 208は充電中？
706 名前：208 [2005/11/10(木) 08:59:35 ]: 補題
A を単項イデアル整域、p を A の極大イデアル、M を単項 p-加群
とする。つまり M は、p-加群(>>680)でかつ一個の元で生成される
とする。Ann(M) = p^n とする(>>684)。>>678 より |M| = p^n である。
k ≧ 0 を整数として、(p^k)M を考える。
0 ≦ k ＜ n のとき、|(p^k)M| = p^(n-k) であり、
k ≧ n のとき、(p^k)M = 0 である。

証明
簡単なので読者に任す。
707 名前：208 [2005/11/10(木) 09:12:10 ]: 補題
A を単項イデアル整域、p を A の極大イデアル、M を単項 p-加群
とし、Ann(M) = p^n とする。
k ≧ 0 を整数として、p^(k-1)M/(p^k)M を考える。
0 ＜ k ≦ n のとき、|p^(k-1)M/(p^k)M| = p であり、
k > n のとき、p^(k-1)M/(p^k)M = 0 である。

証明
>>706より明らか。
708 名前：208 [2005/11/10(木) 09:13:36 ]: 命題
A を単項イデアル整域、p を A の極大イデアル、M を単項 p-加群
M_i, i = 1, ..., r の有限個の直和とする。|M_i| = p^(m_i) とする。
n を {m_1, ... , mr} の最大値とする。
0 ＜ k ≦ n のとき、leng(p^(k-1)M/(p^k)M) は、m_i ≧ k となる
i の個数に等しい。

証明
>>707より明らか。
709 名前：208 [2005/11/10(木) 09:24:01 ]: 命題
p を A の極大イデアル、M を p-加群とする。
>>690より M は単項 p-加群 M_i, i = 1, ..., r の有限個の直和となる。
|M_i| = p^(m_i) とする。
m_1 ≧ ... ≧ m_r と仮定してよい。
このとき、整数の組 (m_1, ... , m_r) は、 M により一意に決まる。

証明
Ann(M) = p^n とする。M の部分加群の列
M ⊃ pM ⊃ ... ⊃ p^(n-1)M ⊃ 0
を考える。この列の各剰余加群 p^(k-1)M/(p^k)M の長さを s_k と
する。p の生成元をπとしたとき、πによる乗法により、
全射: p^(k-1)M/(p^k)M → (p^k)M/(p^(k+1))M が得られるから
s_k ≧ s_(k+1) である。つまり、整数の降列
s_1 ≧ ... ≧ s_n が得られる。この列は、明らかに M だけで決まる。
これから、(m_1, ... , m_r) が決まることは、次のような図を書けば
わかる。
まず、>>708 より s_1 = r_1 である。
s_1 個のブロック（レンガをイメージするとよい）を
横に水平に並べる。その上に左詰めに s_2 個のブロックを並べる。
同様にして、最後に s_n 個のブロックを並べる。
この図の左端の縦１列に並んだブロックの数が m_1 である(>>708)。
その隣の縦１列に並んだブロックの数が m_2 である(>>708)。
以下同様。
証明終
710 名前：208 [2005/11/10(木) 09:30:44 ]: 命題
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
M は単項加群 M_i, i = 1, ..., r の有限個の
直和となる。

証明
>>669 と >>690 より明らか。
711 名前：208 [2005/11/10(木) 09:40:03 ]: 命題
A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とする。
>>710 より M は単項加群 M_i, i = 1, ..., r の有限個の
直和となるが、このとき、|M_1| ⊃ ... ⊃ |M_r| と出来る。

証明
>>669 と >>709 から明らか。
712 名前：208 [2005/11/10(木) 09:42:19 ]: 命題
>>711 のイデアルの列 |M_1| ⊃ ... ⊃ |M_r| は M だけで決まり、
単項加群 M_i の取り方によらない。

証明
>>709 より明らか。
713 名前：208 [2005/11/10(木) 09:44:16 ]: 定義
>>712 のイデアルの列 |M_1| ⊃ ... ⊃ |M_r| を M の不変因子と呼ぶ。
714 名前：208 [2005/11/10(木) 11:47:37 ]: >>680

p-加群というより　p-準素加群(p-primary module) と呼んだほうが
よかったかもしれない。さらに有限生成も仮定しないほうがいいかも。
715 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/10(木) 12:54:56 ]: Problem:

A:integral domain
B:A-algebra of finite type
Then there exists an element a(=/=0) of A such that B[1/a] is free A[1/a] module.
716 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/10(木) 15:03:18 ]: ↑はFreitag＆Kiehlに主張されてるけど、一般には成り立たない。

AがBの部分環でなければ成り立たない気がする。
717 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/10(木) 15:45:24 ]: >>716
AがBの部分環でないときはBで0になるa(=/=0)が存在し
B[1/a]は零環だから>>715の主張は自明。
718 名前：208 [2005/11/10(木) 17:13:35 ]: 定義
A を可換環、 M を A-加群とする。
T^n(M) を M の n 重のテンソル積 M(x)...(x)M とする。
T^p(M) (x) T^q(M) は T^(p+q)(M) と同一視出来るから、
２重線形写像 f_(p,q): T^p(M) × T^q(M) → T^(p+q)(M) が
f_(p,q)(x, y) = x(x)y により得られる。
T^0(M) = A と定義して直和 T(M) = ΣT^p(M) を考える。
T(M) は f_(p,q) により成分毎の積を定義することにより、
可換とは限らない A-代数となる。
これを A-加群 M 上のテンソル代数と呼ぶ。
719 名前：208 [2005/11/10(木) 17:15:21 ]: おっと、>>718 の前書きを忘れてた。

Bourbakiによる単因子理論を紹介する前に、その準備として外積代数
について述べる。
720 名前：208 [2005/11/10(木) 17:18:50 ]: 定義
A を必ずしも可換とは限らない環で、次の条件を満たすとする。
1) A = ΣA_p (直和) となる。ここで、p は有理整数全体をわたり、
A_p は A を加法に関してアーベル群とみたときの部分群

2) (A_p)(A_q) ⊂ A_(p+q)

このとき A を(Z型の)次数環という。
p < 0 のとき A_p = 0 となるとき、非負の次数環という。

同様に、Z の n 個の直積を添字集合として、Z^n 型の次数環
も定義される。
721 名前：208 [2005/11/10(木) 17:22:14 ]: 命題
A を次数環とする。
1 ∈ A_0 となる。従って、A_0 は A の部分環である。

証明
読者にまかす。
722 名前：208 [2005/11/10(木) 17:28:03 ]: 定義
A を次数環とする。M を A-加群で次の条件を満たすとする。

1) M = ΣM_p (直和) となる。ここで、p は有理整数全体をわたり、
M_p は M のアーベル群としての部分群

2) (A_p)(M_q) ⊂ M_(p+q)

このとき M を(Z型の)A-次数加群という。
p < 0 のとき M_p = 0 となるとき、非負という。

M_p の元を同次元という。x ∈ M_p のとき p を x の次数と呼び、
p = deg(x) と書く。

同様に、Z^n 型の次数加群も定義される。
723 名前：208 [2005/11/10(木) 17:32:41 ]: 定義
A を次数環とする。M を A-次数加群とする。
N を M の A-加群としての部分加群とする。
N = Σ(N ∩ M_p) となるとき、N を M の同次部分加群という。
724 名前：208 [2005/11/10(木) 17:34:58 ]: 定義
A を次数環とする。M を A-次数加群とする。
x ∈ M で x = Σx_p, x_p ∈ M_p であるとき、各 x_p を x の
p 次の同次成分と呼ぶ。
725 名前：208 [2005/11/10(木) 17:36:33 ]: 命題
A を次数環とする。M を A-次数加群とする。
N を M の A-部分加群とする。
N が M の同次部分加群となるためには、以下が成立つことが必要十分である。

x ∈ N なら、その各同次成分も N に含まれる。

証明
明らか。
726 名前：208 [2005/11/10(木) 17:37:36 ]: 命題
A を次数環とする。M を A-次数加群とする。
N を M の A-部分加群とする。
N が M の同次部分加群となるためには、N が同次元で生成される
ことが必要十分である。

証明
読者にまかす。
727 名前：208 [2005/11/10(木) 17:44:15 ]: 定義
A を可換環、 M を A-加群とする。
T(M) を A 上の M から生成されるテンソル代数とする。
T(M) は明らかに次数 A-代数である。
T(M)の部分集合 {x^2; x ∈ M} から生成される両側イデアルを
I とする。T(M)/I を A 上の M から生成される外積代数と呼び、
ΛM と書く。I は同次元で生成されるから同次イデアルである(>>726)。
よって、(Λ^p)M = T^p(M)/(I ∩ T^p(M)) とおけば、
ΛM = Σ(Λ^p)M (直和) となる。よって ΛM も次数 A-代数である。
(Λ^0)M = A であり、(Λ^1)M = M となる。
ΛM の２元 x, y の積を xΛy と書く。
728 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/10(木) 19:09:40 ]: おろかしい
729 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/10(木) 19:28:08 ]: 1スレッドぐらい私物化しても構わんけどageるな
730 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/10(木) 19:33:39 ]: 208に外積代数がわかるとはおもえん
つっこめばぼろが出るにきまってる
だからつっこむのはやめろよ
731 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/10(木) 19:36:41 ]: でもブルバキ写してるだけだろ
732 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/10(木) 19:44:03 ]: だからつっこむのやめろよ
733 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/10(木) 20:01:48 ]: 対称代数ならもっとやばい
734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/10(木) 20:08:42 ]: 退屈だなここは
もっと殺伐としなくちゃ
割り算もういっかい蒸し返すかな
どうせ208はわかってないし
735 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/10(木) 20:13:10 ]: >読者にまかす。

そこまで写すかね。
736 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/10(木) 20:15:47 ]: とほほすぎるね
737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/10(木) 20:20:22 ]: なんのためにブルバキを写すのか
習字でもやってるのか
738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/10(木) 20:23:29 ]: りはびり
739 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/10(木) 20:31:46 ]: 外積代数というならもっと実質的なこと書いてほしいね
無理か
740 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/10(木) 20:37:39 ]: ブルバキが最新の外積代数らしい

うわっ
741 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/10(木) 20:56:43 ]: >>715を証明してくれ。
B:domain,A上有限生成環
AはBの部分環でいい。
742 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 09:45:37 ]: ：１３２人目の素数さん：2005/11/10(木) 20:56:43
>>715を証明してくれ。
B:domain,A上有限生成環
AはBの部分環でいい。

By generic flatness....
743 名前：208 [2005/11/11(金) 10:18:27 ]: テンソル代数は次の命題で特徴付けられる。

命題
A を可換環、 M を A-加群とする。
B を可換とは限らない A-代数とし、
f: M → B を A-加群としての射とする。
このとき、A-代数としての射 g: T(M) → B で
f = gj となるものが一意に存在する。
ここで、j: M → T(M) は標準単射。

証明
読者に任す。
744 名前：208 [2005/11/11(金) 10:26:57 ]: 命題
A を可換環、M を A-加群とする。
x_1, ... , x_p を M の元とする。
このとき、次の等式が成立つ。
x_σ(1)Λ...Λx_σ(p) = ε(σ)x_1Λ...Λx_p

ここで、両辺は M の外積代数(>>727) ΛM の p-次同次成分 (Λ^p)M
の元である。

証明
x, y ∈ M のとき、(x+y)Λ(x+y) = 0 となる。
これから n = 2 のときの証明が終わる。
n > 2 のときは帰納法を使う。
詳細は読者に任す。
745 名前：208 [2005/11/11(金) 10:28:51 ]: >>744

σは集合{1, ..., n} の任意の順列であり、ε(σ)は、σの符号。
746 名前：208 [2005/11/11(金) 10:36:48 ]: 命題
A を可換環、M を A-加群とする。
x_1, ... , x_p を M の元とする。
i ≠ j のとき x_i = x_j なら、
x_1Λ...Λx_p = 0 となる。

証明
まず、x_1 = x_2 のときは、x_1Λ...Λx_p = 0 となることに注意
する。これは、x_1Λx_2Λ...Λx_p = (x_1Λx_2)Λ...Λx_p
で、x_1Λx_2 = 0 から明らか。
一般の場合は、σを集合{1, ..., n} の順列で σ(i) = 1, σ(j) = 2
とすれば、>>744 より、最初の場合に帰着する。
証明終
747 名前：208 [2005/11/11(金) 10:43:23 ]: 外積代数は次の命題で特徴付けられる。

命題
A を可換環、 M を A-加群とする。
B を可換とは限らない A-代数とし、
f: M → B を A-加群としての射で、
f(x)^2 = 0 が任意の x ∈ M で成立つとする。
このとき、A-代数としての射 g: ΛM → B で
f = gj となるものが一意に存在する。
ここで、j: M → ΛM は標準単射。

証明
読者に任す。
748 名前：208 [2005/11/11(金) 11:03:35 ]: 定義
R を可換環、 A, B を可換とは限らない R-次数代数とする。
Z^2 型の R-次数代数 C を以下のように定義する。
C の (p,q)次の成分を C_(p,q) = A_p(x)B_q とする。
x ∈ A_p, y ∈ B_q
z ∈ A_r, w ∈ B_s
のとき、(x(x)y)(z(x)w) = (-1)^(qr) xz(x)yw
と定義する。
この積が結合律を満たすことは読者に任す。
C を A と B の歪テンソル積と呼び、A(x)'B と書く。
749 名前：208 [2005/11/11(金) 11:48:10 ]: 命題
R を可換環、 A, B を可換とは限らない R-次数代数とする。
C を Z^2 型の R-次数代数とする。
f: A → C
g: B → C
を R-代数の射で、
f(A_p) ⊂ C_(p,0)
g(B_q) ⊂ C_(0,q)
とする。
さらに、x ∈ A_p, y ∈ B_q のとき
f(x)g(y) = (-1)^(pq) g(y)f(x)
とする。
このとき、R-次数代数の(次数を保つ)射
h: A(x)'B → C
で、hu = f, hv = g となるものが一意に存在する。
ここで、A(x)'B は A と B の歪テンソル積(>>748)で
u: A → A(x)'B, v: B → A(x)'B は標準射。

証明
読者に任す。
750 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 12:49:16 ]: >>749
以下のように訂正する。

命題
R を可換環、 A, B, C を可換とは限らない R-次数代数とする。
f: A → C
g: B → C
を R-代数の射で次数を保つ、即ち
f(A_p) ⊂ C_p
g(B_q) ⊂ C_q
とする。
さらに、x ∈ A_p, y ∈ B_q のとき
f(x)g(y) = (-1)^(pq) g(y)f(x)
とする。
このとき、R-代数の射
h: A(x)'B → C で、
h(A_p(x)B_q) ⊂ C_(p+q)
hu = f, hv = g となるものが一意に存在する。
ここで、A(x)'B は A と B の歪テンソル積(>>748)で
u: A → A(x)'B, v: B → A(x)'B は標準射。

証明
読者に任す。
751 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 13:00:42 ]: 命題
A を可換環、 M, N を A-加群とする。
L = M + N (直積)とする。
ΛL は (ΛM)(x)'(ΛN) に A-次数代数として標準的に同型となる。
ただし、(ΛM)(x)'(ΛN) の次数型は全次数 n = p + q により
Z 型と考える。

証明
標準射 f: ΛM → ΛL と g: ΛN → ΛL がある。
これは、>>750 の命題の条件を満たす。
よって、h: (ΛM)(x)'(ΛN) → ΛL が定義される。
一方、標準射 M → (ΛM)(x)'(ΛN) と N → (ΛM)(x)'(ΛN)
から、射 L → (ΛM)(x)'(ΛN) が定義される。
これは、>>747 の命題の条件を満たす。
よって、射 k: ΛL → (ΛM)(x)'(ΛN) が定義される。
h と k が互いに逆射となっていることは読者に任す。
証明終
752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 13:12:43 ]: 208には本質がわかってないね
753 名前：208 [2005/11/11(金) 13:13:59 ]: 命題
A を可換環、 M を階数 n の A-自由加群とする。
(Λ^p)M は階数 nCp の A-自由加群である。
ここで、nCp は n 個の集合から p 個の部分集合を取る組み合わせの数。

証明
M の基底を e_1, ... , e_n とする。
M = ΣAe_i （直和) だから、>>751 より
ΛM = (ΛAe_1)(x)'...(x)' (ΛAe_n) となる。
各 ΛAe_i = A + A_ei に注意すればよい。
証明終
754 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 13:21:28 ]: はずかし
755 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 14:14:54 ]: >>747
先生わかりません！　解答を
> ぜひ教えてください。お願いします。ペコリ
756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 15:31:42 ]: >>755
そうだね
>ここで、j: M → ΛM は標準単射。
は特にわかりにくいね
でも208にきいてもむだだよきっと
本写してるだけだから
757 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 15:35:14 ]: だから
つっこむのやめろよ
またわやくちゃになるぞ
758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 15:36:34 ]: その通り。オナニーは自由にさせるのがいい。途中でやめさせるから、
精液が回復する。
759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 15:45:13 ]: はやく本を写し終わって極楽浄土に成仏してくれないかな
760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 15:49:41 ]: ブルバキ浄土
761 名前：208 [2005/11/11(金) 16:06:22 ]: >>755

教えてほしいならふざけるなよ。
>>743 はいい？
762 名前：756 mailto:sage [2005/11/11(金) 16:12:06 ]: >>781
>>743
のことなんか聞いてないだろ
ごまかすなよ
763 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 16:12:31 ]: ２０８は研究に時間を使ったほうがよくないか
764 名前：208 [2005/11/11(金) 16:13:30 ]: >>743 から出るんだよ、うすらが
765 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 16:14:56 ]: >>764
他人が二人以上いることにはやく気付けよ。
766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:17:05 ]: >>764
だんだん余裕がなくなってきてるな。
767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:18:06 ]: >764
>>756をよく読みましょうね
768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:19:15 ]: こいつも「敵は一人症候群」か。餓鬼は必ずこれを患ってるな。
769 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:23:38 ]: 208には細かい点が理解できないので
それがわかりにくいようにつっこむと
どつぼにはまる
しまいに怒鳴りだして
からかったやつの思うツボ
いまでも割り算で怒鳴ってるし
救いようがない
770 名前：208 [2005/11/11(金) 16:27:05 ]: >こいつも「敵は一人症候群」か。

うすらが
771 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:28:39 ]: うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:31:14 ]: うっすらバブ－
773 名前：208 [2005/11/11(金) 16:32:28 ]: >>756

>>727 の記号を使うと、(Λ^p)M = T^p(M)/(I ∩ T^p(M)) だから、
(Λ^1)M = T^1(M)/(I ∩ T^1(M)) だが、定義より T^1(M) = M で
I ∩ M = 0 だから (Λ^1)M = M となる。
774 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:34:48 ]: そうそう素直にならなくちゃ
775 名前：208 [2005/11/11(金) 16:38:25 ]: なまイキ言うんじゃねえ
776 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:40:26 ]: もっと素直にならなくちゃ
みんなからイヂメラれますよ
777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:41:12 ]: もっと素直にならなくちゃ
みんなからもっとイヂメラれますよ
778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:42:16 ]: もっともっと素直にならなくちゃ
みんなからもっともっとイヂメラれますよ
779 名前：208 [2005/11/11(金) 16:42:44 ]: >>765

他人が一人と決め付けるわけないだろ。>>762に言ってるんだよ。
そいつが誰かなんて関係ねえんだよ。うすらが
780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:45:01 ]: >>779
誰が誰かぐらいは特定しろよorz
781 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:45:43 ]: もっともっともおーっと素直にならなくちゃ
みんなからもっともっともおーっとイヂメラれますよ
782 名前：208 [2005/11/11(金) 16:46:34 ]: 特定出来るわけないだろ。
見当はつくけどな
783 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 16:47:20 ]: >>782
じゃあつけた見当を利用して書き分けろよ。
784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:48:33 ]: 妄想
785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:49:53 ]: >>784
じゃますんな。キチガイ
786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:51:41 ]: じゃあつけた妄想を利用して書き分けろよ。
787 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:53:22 ]: >>786
利用できる結果は利用しろよ。キチガイ
788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 16:57:23 ]: なまイキ言うんじゃねえ
789 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 17:00:41 ]: >>788
おまえはオッカムのかみそりの向いてる方向が逆なんだよ。
790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:02:08 ]: なまイキ言うんじゃねえ
791 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:02:47 ]: 208の迷語録スレはこちらですか？
792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:03:05 ]: > ぜひ教えてください。お願いします。ペコリ

こんな素直な子が、背伸びしてブルバキをやったばかりに、

> じゃますんな。キチガイ
> なまイキ言うんじゃねえ

になってしまうなんて、日本の数学教育って一体・・・
793 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:04:16 ]: >>789
なにか勘違いしてるらしいね
794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:04:51 ]: うすらが
795 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:06:58 ]: うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
うすら208 Ass208 うすら208 Ass208
796 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:08:09 ]: せっかく大学まで行かせてやり
機嫌良く数学やってたんですよ
でもある日
いつも座る席に知らない学生が座っていたので
すねて帰ってきました
それ以来なんです
家にひきこもったきりなんですよ
797 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 17:09:22 ]: >>793
組みあわせて材料を増やしてからオッカムの剃刀で削るんだよ。
組み合わせる材料をオッカムの剃刀で削ってどうする。
798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:10:01 ]: なまイキ言うんじゃねえ
799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:10:21 ]: >>791
208隔離スレでしたが．．．今は．．．あっ
800 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:11:32 ]: >>797
なにか勘違いしてるね
801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:13:51 ]: >オッカムの剃刀

おお新手の言いがかり登場だぞ
でも何が言いたいのか
奥歯にうんこがはさまっているようだ
802 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 17:14:10 ]: >>800
なにがさ？
803 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:15:25 ]: >>801
うんこ美味しいよね
804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:16:11 ]: >>802
だれが何を削ってるってのか？
805 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:17:18 ]: 皆んなぁ！　ケンカはやめて仲良くしようよ！！
806 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 17:17:54 ]: >>804
なにをかんちがいしてるかね？
807 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:18:50 ]: 基地外の巣でしたか。ここは。
808 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:20:02 ]: >806
なにも削ってないだろ
削ってるのは208の脳味噌だけ
809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:21:50 ]: 208がやけ糞になって焦土戦術に出たようです
810 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 17:21:59 ]: >>808
２０８の脳味噌が削っているのかね？
それとも何かが２０８の脳みそを削っているのかね？？？
811 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:23:03 ]: あと200くらいすぐだな
812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:24:18 ]: 焦土戦術は、防御側が効果的な反撃をできないと、ただの敗走だべ
813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:24:38 ]: >>それとも何かが２０８の脳みそを削っているのかね？？？

そんなおそろしいことを！！！
208は狂牛病なのか？？？
814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:25:53 ]: ようするに敗走だった

と後でわかる
815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:26:12 ]: >>811
ということは、ここに封印されていた208が外にあふれ出すのか。
危険！危険！　900を超えたら全スレに警報を発令せよ！
816 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 17:29:38 ]: >>815
それはただの上げ荒らしだからたのむからやめてくれ。
817 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:30:13 ]: 208隔離スレがあらたに必要なのか
でもおとなしく隔離されるかな？
818 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 17:31:56 ]: >>817
ズバリ！「２０８隔離スレ」でスレ立ててくれ。ファンスレという事でゆるす。
819 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:42:01 ]: ガロア理論part2の残骸ものせて
820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:52:51 ]: 新スレが立ってしまったが208はいずこへ？
821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 17:55:52 ]: 208は、最後に「うすらが」という言葉を残して
休眠状態に transfer した。
822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 18:08:50 ]: こうして、208のブルバキ帝国再興の夢は潰えた。
そして千年後の復活に備えて、永い冬眠状態に
入ったのであった・・・（完）

単に、いじけて泣いているだけという説もあるという。
823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 18:09:05 ]: 208泣いてるよ
ほら
824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 18:15:10 ]: 新生208は
ガウスラ
か？
825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 18:37:13 ]: ああ単因子よ外積よ
日の目をみずに眠るのか

どうか安らかに死んだように眠っておいてくれ
826 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 18:43:14 ]: 208軍団指揮官ガウスラ将軍はいまニューロードを進軍中。
827 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 19:00:24 ]: >>826
フロンティアの開拓村がガウスラ将軍指揮下の精鋭部隊によって壊滅する。
ブルバキ帝国再興の夢は叶うのか。
828 名前：１３２人目の素数さん mailto:hage [2005/11/11(金) 19:14:16 ]: 一体いままでなんのために写経してきたんだ
これがあの208の最後の姿なのか
それでいいのか208よ
おまえの子分どもが泣いているぞ

さあガウスラとなって立ち上がるのだ
829 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 19:40:08 ]: ガウスラ帝国　万歳！！
830 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 19:46:20 ]: この荒れようを見ると、ほんと、208って、数学板で嫌われていたんだな。
つくづくそう思う。

>>261のような信者も中にはいるが・・・
831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 20:05:43 ]: >>830
そうそう、あの時が208の絶頂期だったんだよね。今思うと。
数学科を出ていないこの板の普通の住人を侮蔑的に排除するような
言動が結果的に命取りになったかな。ブルバキ帝国を再興したい
なら、まず大義を掲げて一般の住民の支持を得ないとだめだね。
832 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 20:08:16 ]: ↓信者へのお答えがこれじゃあねえ。まさに宗教

初学者？　そうね、我慢して証明を追っていく。
そのうち、トンネルを抜けるように見晴らしがパーっと良くなる。
この感覚は言葉でいくら説明してもわからない。
体験するしかない。
833 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 20:55:49 ]: ＞＞８３１
このスレで数学科出てない人がいる？とは思えないけど
834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 21:25:54 ]: >>833
興味がある人はいたと思うよ。2chのような開かれた掲示板で
玄人だけくるようにさせるのは不可能。

それと、208が出没したのはここだけじゃないからね。
835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 21:28:37 ]: ブルマ履き
836 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 22:10:20 ]: そういえば学会で意味のないらしい内容の発表を５回もするので、本来１５分の発表時間を数分に短縮されていた人がいたけど、２０８ではないよね。
837 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 22:17:56 ]: >>834
＞08が出没したのはここだけじゃないからね。
どこどこ。ほかにはどこ？
838 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 22:41:37 ]: >>837
知ってる範囲で・・・
・オイラーすれで、198と名乗っていた。住人が温厚だったせいか208の独壇場。
・数学の本スレ（すでに1000超えてdat落ち）でブルバキ関係の話題で現れて
荒れたｗ
・線形代数スレで、発言を well known and trivial と指摘されて切れる。
・圏論スレの594以降を見てみん。すさまじく荒れたｗ
・ご存じガロアスレ。このスレの773以降208の没落始まる。

その他、208の陰を感じさせる発言多数。やりとりをした香具師の
ほとんどが気を悪くしている。数学板きっての嫌われ者。
839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/11(金) 22:51:30 ]: オイラースレでの言動
670 ：198：2005/08/08(月) 14:50:28
>>666

お前よりは１００倍以上知ってるよ。
自慢にはならないがｗ
840 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/11(金) 23:23:01 ]: >>838
なるほど。ブルバキ教徒だからすぐわかるってこともあるね。
841 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/12(土) 13:19:29 ]: ガウスラ将軍の軍団はどこに消えたんだ？
842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/14(月) 11:07:31 ]: >>841
ブルバキ帝国正規軍ガウスラ将軍の軍団はただのニートの208に
準同型写像された。
843 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/14(月) 12:21:05 ]: >>715

A がネーターなら EGA IV-2 p.153 に証明がある。
Eisenbud の本(Commutative algebra with a view ...) にも。
844 名前：208 [2005/11/14(月) 13:05:37 ]: >>753 の前に以下を述べるべきだった。

R を可換環、 A_1, ... , A_n を必ずしも可換でない R 上の次数代数とする。
これ等の歪テンソル積 (A_1)(x)'...(x)'(A_n) も >>748 と同様に
定義される。
詳しく述べると、
(x_1)(x)...(x)(x_n) と (y_1)(x)...(x)(y_n) の積は
ε(p,q)(x_1y_1)(x)...(x)(x_ny_n) と定義する。
ここで、各 x_i ∈ (A_i)_(p_i), y_i ∈ (A_i)_(q_i)
ε(p,q) = (-1)^（Σ(p_i)(q_j))
Σは i > j のすべての組合わせを動くものとする。

p、q、r ∈ Z^n のとき、
ε(p+q, r) = ε(p, r)ε(q, r)
ε(p, q+r) = ε(p, q)ε(p, r)
となる。
これから、ε(p, q)ε(p+q, r) = ε(p, q+r)ε(q, r)
となる。
これから、結合律 (xy)z = x(yz) が出る。

歪テンソル積の結合律
(A(x)'B)(x)'C = A(x)'(B(x)'C) = A(x)'B(x)'C も成立つ。
845 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/14(月) 13:07:46 ]: 208さんお帰りなさい。まったく酷い荒れようでした。
846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/14(月) 14:17:48 ]: >>845
jisakujien, jisakujien
847 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/14(月) 14:20:38 ]: >>843
本当にありがとう。Eisenbudの本は読んだことあるんだけどな。読んでも覚えないな。
848 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/14(月) 15:00:50 ]: 熱烈歓迎

>数学板きっての嫌われ者。
849 名前：208 [2005/11/14(月) 15:08:59 ]: 定義
A を可換環、 M, N を A-加群とする。
p > 0 を整数として、M^p から N への多重線形写像 f
が交代的であるとは x_i = x_j, i ≠ j のとき常に
f(x_1, ... x_p) = 0 となることをいう。
850 名前：208 [2005/11/14(月) 15:09:32 ]: 命題
A を可換環、M, N を A-加群とする。
p > 0 を整数として、f を M^p から N への交代的多重線形写像、
x_1, ... , x_p を M の元とし、σを {1, ... , p} の順列とする。
このとき、次の等式が成立つ。
f(x_σ(1), ... , x_σ(p)) = ε(σ)f(x_1, ... , x_p)

証明
>>746と同様。
851 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/14(月) 15:15:30 ]: 関数y=√3x-2sinx(0＜x＜2π)の極値を求めなさい
って問題がどうしても解けません(´;ェ;`)
852 名前：208 [2005/11/14(月) 15:34:56 ]: 命題
A を可換環、M, N を A-加群とする。
p > 0 を整数として、f を M^p から N への交代的多重線形写像とする。
A-加群としての射 g:(Λ^p)M → N で f = gh となるものが一意に
存在する。
ここで h: M^p → N は、h(x_1, ... , x_p) = x_1Λ...Λx_p で定義
される交代的多重線形写像である。

証明
>>727 の記号を使う、
定義より、(Λ^p)M = T^p(M)/(I ∩ T^p(M)) であるから、
I ∩ T^p(M) は T^p(M) の部分加群として、x_1(x)...(x)x_p,
x_i = x_(i+1) の形の元で生成される。
一方、テンソル積の普遍性より、A-加群としての射 φ:T^p(M) → N で
f = φu となるものが一意に存在する。
ここで、u(x_1, ... , x_p) = x_1(x)...(x)x_p である。
よって、I ∩ T^p(M) ⊂ Ker(φ) となる。
よって、g(x_1Λ...Λx_p) = φ(x_1(x)...(x)x_p)
と定義すればよい。g の一意性は明らか。
証明終
853 名前：208 [2005/11/14(月) 15:53:18 ]: >>753 の別証を行う。

補題
A を可換環、 M を階数 n の A-自由加群とする。
n > 0 なら (Λ^n)M ≠ 0 である。

証明
M^n から A への交代的多重線形写像の１つとして行列式 det がある。
つまり、M のある基底により M を縦ベクトル空間 A^n と同一視
して、M^n の元 X を nxn 型の行列と考え det(X) を対応させればよい。
X が単位行列なら det(X) = 1 だから、これは 0 でない。
よって、>>752 より (Λ^n)M ≠ 0 である。
証明終
854 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/14(月) 16:09:47 ]: ぷっ
855 名前：208 [2005/11/14(月) 16:13:40 ]: >>753 の別証
A を可換環、 M を階数 n の A-自由加群とする。
p > n なら (Λ^p)M = 0 であり、
p ≦ n なら (Λ^p)M は階数 nCp の A-自由加群である。

証明
p > n なら (Λ^p)M = 0 は明らか。
p ≦ n なら (Λ^p)M は e_(i_1)Λ...Λe_(i_p), i_1 < ... < i_p
で生成される。この e_(i_1)Λ...Λe_(i_p) を e_I と書く。
I は {1, .... , n} の濃度 p の部分集合 {i_1, ... , i_p} を
表す。e_I の全体が A上一次独立であることを言えばよい。
p = n なら >>853 より明らか。
p < n で Σ(a_I)(e_I) = 0 とする。ここで、a_I ∈ A である。
１つの I をとり、その補集合を J とする。
e_J Λ(Σ(a_I)(e_I)) = (a_I)e_J Λ e_I + Σ(a_K)e_J Λ e_K
= 0 である。ここで、Σ(a_K)e_J Λ e_K は K ≠ I, |K| = p となる
K に関する和である。
e_J Λ e_K = 0 であるから、(a_I)e_J Λ e_I = 0 となる。
>>853 より e_J Λ e_I ≠ 0 であるから、a_I = 0 となる。
証明終
856 名前：208 [2005/11/14(月) 16:23:24 ]: >>753 から、有限階数の A-自由加群 M の階数は基底の取り方に
よらないことが分かる。この事実の別証としては A の極大イデアル
m をとり k = A/m としたとき、M(x)k の体 k 上の次元は
M の A 上の階数に一致することを使う。ただし、この証明は
A がネーターでないとき Zorn の補題が必要である。
857 名前：208 [2005/11/14(月) 16:36:44 ]: 定義
A を可換環、 B を A-加群とする。
A-加群としての射 φ: B → B(x)B があるとき、
組 (B, φ) または B を A-余代数(A-coalgebra)という。
858 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/14(月) 17:57:11 ]: 寒くないのか？
859 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/14(月) 23:14:13 ]: >>857
つつつ?
860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/14(月) 23:44:22 ]: >>855
写すのはいいけど、せめて正確に写そうよｗ
861 名前：208 [2005/11/15(火) 09:28:58 ]: A-余代数(>>857)の例：

A を可換環、 M を A-加群とする。
対角射 Δ: M → M + M を考える。ここで M + M は直和であり、
Δ(x) = (x, x) である。
Δ により、A-代数の射 ΛΔ: ΛM → Λ(M + M) が誘導される。
>>751 より Λ(M + M) = (ΛM)(x)'(ΛM) である。
(ΛM)(x)'(ΛM) は加群としては普通のテンソル積であるから、
ΛΔ により、ΛM は A-余代数となる。
ΛΔ は次数を保つことに注意。
862 名前：208 [2005/11/15(火) 10:02:32 ]: >>861 の ΛΔ: ΛM → (ΛM)(x)'(ΛM) を具体的に求めよう。

x ∈ M のとき ΛΔ(x) = x(x)1 + 1(x)x である。
よって、x_1, ... , x_n が M の元であるとき、

ΛΔ(x_1Λ...Λx_n) =
Σ(-1)^μ (x_(i_i)Λ...Λx_(i_p)) (x) (x_(j_i)Λ...Λx_(j_(n-p)))

となる。ここで μ は i_k > j_l となるペアの個数である。
863 名前：208 [2005/11/15(火) 10:17:12 ]: 外積代数 ΛM が自然に余代数となることは余り知られていない。
このあたりはBourbakiの独壇場だろう。
864 名前：208 [2005/11/15(火) 10:22:09 ]: >>862 の式の訂正

正しくは、
ΛΔ(x_1Λ...Λx_n) =
Σ(-1)^μ (x_(i_1)Λ...Λx_(i_p)) (x) (x_(j_1)Λ...Λx_(j_(n-p)))
865 名前：208 [2005/11/15(火) 10:47:45 ]: A を可換環、 (B, φ) を A-余代数とする。
C を結合的とは限らない A-代数とする。
m: C(x)C → C を乗法から得られる A-加群としての射とする。
u: B → C
v: B → C
を A-加群としての射とする。
φ: B → B(x)B と u(x)v : B(x)B → C(x)C と m: C(x)C → C
の合成 m(u(x)v)φ: B → C を u と v の積と定義することにより、
Hom(B. C) は結合的とは限らない A-代数となる。
866 名前：208 [2005/11/15(火) 15:56:56 ]: >>865 の Hom(B. C) が結合的となる条件を考えよう。

A を可換環、E を結合的な A-代数とする。
μ: E(x)E → E を乗法から得られる A-加群としての射とする。

μ(x)1: (E(x)E)(x)E → E(x)E と μ: E(x)E → E の合成
E(x)E(x)E → E(x)E → E と
1(x)μ: E(x)(E(x)E) → E(x)E と μ: E(x)E → E の合成
E(x)E(x)E → E(x)E → E は結合的より一致する。
ここで、(E(x)E)(x)E と E(x)(E(x)E) を E(x)E(x)E と同一視している。
これの双対として、つまり、矢印の向きを変えることにより次の定義が得られる。

定義
(B, φ) を A-余代数とする。

φ: B → B(x)B と φ(x)1: B → (B(x)B)(x)B の合成
B → B(x)B → B(x)B(x)B と
φ: B → B(x)B と 1(x)φ: B → B(x)(B(x)B) の合成
B → B(x)B → B(x)B(x)B が一致するとき、B は余結合的という。
ここで、(B(x)B)(x)B と B(x)(B(x)B) を B(x)B(x)B と同一視している。
867 名前：208 [2005/11/16(水) 10:07:39 ]: 命題
(B, φ) を A-余代数で余結合的とする。
C を結合的な A-代数とする。
Hom(B, C) は >>865 の乗法により結合的な A-代数となる。

証明
u, v, w を Hom(B, C) の元とする。
u(x)v(x)w: B(x)B(x)B → C(x)C(x)C と
乗法から得られる C(x)C(x)C → C の合成を h とする。
h: B(x)B(x)B → C
これと、φ: B → B(x)B と φ(x)1: B(x)B → B(x)B(x)B の合成
B → B(x)B → B(x)B(x)B → C
は、(uv)w に等しい。
同様に h と φ: B → B(x)B と 1(x)φ: B(x)B → B(x)B(x)B の合成
B → B(x)B → B(x)B(x)B → C
は、u(vw) に等しい。
B は余結合的だから (uv)w = u(vw) となる。
証明終
868 名前：208 [2005/11/16(水) 10:54:15 ]: >>865 の Hom(B. C) が単位元を持つ条件を考えよう。

A を可換環、E を単位元 1 を持つ A-代数とする。
ν: A → E を 1 を 1 に写す A-加群としての射とする。
μ(ν(x)1): A(x)E → E(x)E → E は A(x)E を E と見なしたとき
E の単位射である。ここで、μ: E(x)E → E は E の乗法から
得られる射。同様に
μ(1(x)ν): E(x)A → E(x)E → E は E の単位射である

これの双対として、つまり、矢印の向きを変えることにより次の定義が得られる。

定義
(B, φ) を A-余代数とする。
A-加群としての射 η: B → A が以下の条件 1) と 2) を満たすとき
η を B の余単位と呼ぶ。

1) (ν(x)1)μ: B → B(x)B → A(x)B は A(x)B を B と見なしたとき
B の単位射である。

2) (1(x)ν)μ: B → B(x)B → B(x)A は B(x)A を B と見なしたとき
B の単位射である。
869 名前：208 [2005/11/16(水) 11:08:40 ]: 命題
(B, φ) を A-余代数で余単位を持つとする。
C を単位元を持つ A-代数とする。
Hom(B, C) は >>865 の乗法により単位元を持つ A-代数となる。

証明
η: B → A を余単位とする。
ν: A → C を 1 を 1 に写す A-加群としての射とする。
νη: B → C が Hom(B, C) の単位元となる。
この証明は読者にまかす。
870 名前：208 [2005/11/16(水) 11:38:46 ]: 命題
A を可換環、 M を A-加群とする。
ΛM は余結合的である。

証明
対角射 Δ: M → M + M
と h = (1, Δ): M + M → M + M + M の合成
hΔ: M → M + M → M + M + M を考える。
ここで、h は h(x, y) = (x, y, y) で定義される射である。
よって、hΔ(x) = (x, x, x) である。
同様に、対角射 Δ: M → M + M
と g = (Δ, h): M + M → M + M + M の合成
gΔ: M → M + M → M + M + M を考える。
ここで、g は g(x, y) = (x, x, y) で定義される射である。
よって、gΔ(x) = (x, x, x) である。
よって、hΔ = gΔ である。
Δ から誘導される A-代数の射 ΛΔ: ΛM → Λ(M + M) が
ΛM の余代数としての構造射である(>>861)。
よって、ΛM が余結合的であることは、
Λh = 1(x)(ΛΔ), Λg = (ΛΔ)(x)1 に注意すれば、
hΔ = gΔ から明らか。
証明
871 名前：208 [2005/11/16(水) 11:49:45 ]: 命題
A を可換環、 M を A-加群とする。
ΛM は余単位(>>869)を持つ。

証明
ΛM = Σ(Λ^p)M (直和) であり、A = (Λ^0)M である。
η: ΛM → A をこの直和における射影とする。
これが余単位であることは、>>862 の公式から分かる。
証明終
872 名前：208 [2005/11/16(水) 13:45:53 ]: ここで、次数加群の Hom について少し述べる。
A を可換な Z-型の次数環(>>720)とする。
M と N を Z-型の A-次数加群(>>722)とする。
u :M → N を A-加群としての射で、ある p ∈ Z があり、
u(M_n) ⊂ N_(n+p) が任意の n ∈ Z で成立つとき
u を次数 p の同次射という。次数 p の同次射 u: M → N の集合
を仮に H_p と書こう。H_p は Hom(M, N) の Z-加群としての
部分加群である。H_p で生成される Hom(M, N) の部分加群
ΣH_p は H_p の直和である(証明は読者に任す)。
ΣH_p を Homgr(M, N) と書く(gr は graded の略)。
Homgr(M, N) は H_p を同次部分加群とする A-次数加群である。
873 名前：208 [2005/11/16(水) 14:28:25 ]: 命題
A を可換な Z-型の次数環(>>720)とする。
M と N を Z-型の A-次数加群(>>722)とする。
M が A-加群として有限生成なら Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。

証明
x_1, ... , x_r を M の生成元で各元は同次とする。
u ∈ Hom(M, N) とし、各 i に対して u(x_i) = Σz_(i, p) とする。
ここで、z_(i, p) は u(x_i) の p 次の同次成分。
u_p(x_i) = Σz_(i, p) により、u_p ∈ Homgr(M, N) を定義する。
u_p は同次でありその次数は p - deg(x_i) である。
u_p が well-defined であることは、
Σ(a_i)(x_i) = 0 のとき各 p で Σ(a_i)u_p(x_i) = 0 を
確かめればよい。ここで、a_i は A の元で同次である。
これを確かめるのは読者に任せる。
u = Σu_p だから Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。
証明終
874 名前：208 [2005/11/16(水) 14:42:29 ]: 規約：
A を可換環、 M を A-次数加群とする。ただし A は A_0 = A,
p ≠ 0 のとき A_p = 0 として次数環と見なす。
Homgr(M, A) の p 次部分 Homgr(M, A)_p は Hom(M_(-p), A) と
見なせる。しかし、我々は Homgr(M, A) を考えるときは
Homgr(M, A)_p = Hom(M_p, A) と定義することにする。
何故、このように定義するかは後にわかる。
875 名前：208 [2005/11/16(水) 14:52:54 ]: A を可換環、 M を A-加群とする。
Homgr(ΛM, A) は A-次数加群である。
これが、結合的な A-次数代数で単位元を持つことは、ΛM が余代数
となり(>>861)、余結合的で(>>870)、余単位を持つ(>>871)
ことから明らかだろう(>>867 と >>869 より)。
876 名前：208 [2005/11/16(水) 16:33:06 ]: A を可換環、 M を A-加群とする。
整数 p > 0 に対して、M^p から A への交代的多重線形写像(>>849)の
集合をAlt(M^p, A)と書こう。これは、A-加群である。
>>874 の規約より、Homgr(ΛM, A)_p = Hom((Λ^p)M, A) だが、
これは >>852 より Alt(M^p, A) と見なせる。
u ∈ Alt(M^p, A), v ∈ Alt(M^q, A) のとき A-次数代数としての
Homgr(ΛM, A) における u と v の積を明示的に求めてみよう。

>>862 より
ΛΔ(x_1Λ...Λx_n) =
Σ(-1)^μ (x_(i_1)Λ...Λx_(i_p)) (x) (x_(j_1)Λ...Λx_(j_(n-p)))
である。
よって、(ΛM)(x)'(ΛM) を (Z^2)-型の次数代数と見たときの
ΛΔ(x_1Λ...Λx_(p+q)) の (p, q)-成分は、
Σε(σ) (x_σ(1)Λ...Λx_σ(p)) (x) (σ(p+1)Λ...Λx_σ(p+q))
となる。ここで、σは集合 {1, ... , p+q} の置換で、それぞれ
区間 {1, ... , p} と区間 {p, ... , p+q} において狭義単調増加
するものを動く。ε(σ) は σ の符号。
これと >>865 から
(uv)(x_1, ... , x_(p+q)) =
Σε(σ) u(x_σ(1), ..., x_σ(p))v(x_σ(p), ..., x_σ(p+q))
となる。
877 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/16(水) 17:02:34 ]: 無眼界乃至無意識界無無明亦無無明尽
878 名前：208 [2005/11/16(水) 17:08:21 ]: 話は変わるけど(実は外積代数と関係あるが)、不変式論って面白そうだね。
以下はEisenbudその他の受け売り。

不変式論は１９世紀の半ば頃から末まで流行ったが、Hilbertが不変式論で
大きな仕事をしてから廃れてしまい、２０世紀半ばくらいまでは
内容を知ってる人間はわずかだった。それが、Mumford が
幾何的不変式論を発表してから再び日の目を見るようになった。

Hilbertは、不変式論の研究で四つの大きな発見をした。
1) 多項式イデアルの基底定理
2) 多項式イデアルの零点定理
3) 同次イデアルのHilbert多項式
4) 同次イデアルのSyzygy定理

これらは、可換環論で重要なものばかり。これらが不変式論から
出てきたということから、この理論が只者じゃないことがわかる。
879 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/16(水) 17:38:40 ]: >>878
Hilbert's Invariant Theory Papers
www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0915692260/250-2656433-1963463
880 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/16(水) 17:58:09 ]: 永田雅宜先生も古典的な不変式論を高く評価されています。
881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/16(水) 18:14:28 ]: >>877
乃至無老死亦無老死尽無苦集滅道無智亦無得
882 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/16(水) 20:55:17 ]: 永田氏の思考力には驚嘆する。すごく入り組んだことを考えれる人だ。
883 名前：208 [2005/11/17(木) 09:33:16 ]: >>873を以下のように訂正する。

命題
A を可換な Z-型の次数環(>>720)とする。
M と N を Z-型の A-次数加群(>>722)とする。
M が A-加群として有限生成なら Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。

証明
x_1, ... , x_r を M の生成元で各元は同次とする。
u ∈ Hom(M, N) とし、各 i に対して u(x_i) = Σz_(i, p) とする。
ここで、z_(i, p) は u(x_i) の p + deg(x_i) 次の同次成分。
各 i に対して u_p(x_i) = z_(i, p) により、u_p ∈ Homgr(M, N)
を定義する。 u_p は同次でありその次数は p である。
u_p が well-defined であることは、
Σ(a_i)(x_i) = 0 のとき各 p で Σ(a_i)u_p(x_i) = 0 を
確かめればよい。ここで、a_i は A の元で同次である。
これを確かめるのは読者に任せる。
M は有限生成だから u_p は有限個を除いて 0 である。
u = Σu_p だから Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。
証明終
884 名前：208 [2005/11/17(木) 09:52:06 ]: A を可換環、 M を A-加群とする。
x_1, ... , x_p ∈ M
y_1, ... , y_q ∈ M
とする。

ΛM において、
(x_1Λ...Λx_p)Λ(y_1Λ...Λy_q) =
(-1)^(pq) (y_1Λ...Λy_q)Λ(x_1Λ...Λx_p)
となる。

よって、x ∈ (Λ^p)M, y ∈ (Λ^q)M のとき、
xΛy = (-1)^(pq) yΛx となる。

定義
B を (Z+)-型の(結合的な)次数代数とする。
ここで Z+ は非負の有理整数の集合を表す
x ∈ B_p, y ∈ B_q のとき、xy = (-1)^(pq) yx となるとき、
B を歪可換次数代数という。
885 名前：208 [2005/11/17(木) 10:04:22 ]: A を可換環、 M を A-加群とする。
x ∈ (Λ^p)M とする。
x = Σx_i で各 x_i = x_(i_1)Λ...Λx_(i_p), x_(i_j) ∈ M
とする。
xΛx = Σx_iΛx_i + Σ(x_iΛx_j + x_jΛx_i) となる。
ここで２番目の和は i < j となる組を動くとする。
i < j のとき、x_jΛx_i = (-1)^(p^2) x_iΛx_j であるから、
p が奇数のときは x_iΛx_j + x_jΛx_i = 0 となる。
よって、このとき xΛx = 0 である。

定義
A を可換環、 B を A 上の歪可換な次数代数とする。
x ∈ B_p で p が奇数のとき x^2 = 0 となるとき、
B を交代代数という。
886 名前：208 [2005/11/17(木) 10:53:13 ]: これ良さげだね

Classical Invariant Theory
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887 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/17(木) 11:08:38 ]: 永田雅宜先生も古典的な不変式論を高く評価されています。

881 ：１３２人目の素数さん：2005/11/16(水) 18:14:28
>>877
乃至無老死亦無老死尽無苦集滅道無智亦無得

882 ：１３２人目の素数さん：2005/11/16(水) 20:55:17
永田氏の思考力には驚嘆する。すごく入り組んだことを考えれる人だ。
888 名前：208 [2005/11/17(木) 11:25:59 ]: A を可換環、 M を A-加群とする。
>>876 より
f, g ∈ Hom(M, A) のとき、Homgr(ΛM, A) において、
(fg)(x, y) = f(x)g(y) - f(y)g(x)
となる。
よって、f^2 = 0 である。
よって、>>747 より
A-代数としての射 θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op で
f ∈ Hom(M, A) のとき、θ(f) = f となるものが一意に存在する。
ここで、Homgr(ΛM, A)^op は Homgr(ΛM, A) の乗法を逆にした
代数を表す(op は opposite の略)。
乗法を逆にするのは後の計算を簡単にするためであり、便宜的なもの
に過ぎない。
889 名前：208 [2005/11/17(木) 12:34:13 ]: A を可換環、 E を A-余代数(>>857)で余結合的(>>866)とする。
φ: E → E(x)E をその構造射とする。Hom(E, A) は >>867 より
結合的な A-代数となる。u_1, ... , u_n ∈ Hom(E, A) のとき
その積 u_1...u_n を求めよう。

E から E の n 個のテンソル積 E(x)...(x)E への A-加群としての射
φ_n: E → E(x)...(x)E を帰納的に
φ_n = (φ_(n-1)(x)1)φ で定義する。
つまり φ_n を φ: E → E(x)E と
φ_(n-1)(x)1: E(x)E → (E(x)...(x)E)(x)E の合成で定義する。
ここで、E(x)...(x)E は E の(n-1)個のテンソル積。

双対的に A の n 個のテンソル積 A(x)...(x)A から A への射を
A の乗法で定義したものを μ_n とおく。
μ_n = μ(μ_(n-1)(x)1) である。

このとき、
u_1...u_n = μ_n(u_1(x)...(x)u_n)φ_n
となる。

証明
n に関する帰納法。
u_1...u_(n-1) = μ_(n-1)(u_1(x)...(x)u_(n-1))φ_(n-1)
とする。
u_1...u_(n-1)u_n
= μ(μ_(n-1)(u_1(x)...(x)u_(n-1))φ_(n-1))(x)u_n)φ
= μ(μ_(n-1)(u_1(x)...(x)u_(n-1))(x)u_n)(φ_(n-1)(x)1))φ
= μ((μ_(n-1)(x)1)(u_1(x)...(x)u_(n-1)(x)u_n))(φ_(n-1)(x)1))φ
= μ((μ_(n-1)(x)1)(u_1(x)...(x)u_(n-1)(x)u_n))(φ_(n-1)(x)1))φ
= μ_n(u_1(x)...(x)u_n)φ_n
証明終
890 名前：208 [2005/11/17(木) 17:20:43 ]: A を可換環、M を A-加群とする。
ΛΔ: ΛM → Λ(M + M) は ΛM の余代数としての構造射である
簡単のために ΛΔ = φ とおく。

f_1, ... , f_n ∈ Hom(M, A) のとき
これ等の積 f_1...f_n を具体的に求めよう。
>>889 より f_1...f_n = μ_n(f_1(x)...(x)f_n)δ_n である。
ここで、δ_n は φ_n の次数 (1,...,1) の成分を表す。
同様に δ は φ の次数 (1,...,1) の成分を表す。
ただし、ここでは ΛM の n 個のテンソル積 (ΛM)(x)...(x)(ΛM) に
(Z^n)-型の次数付けを入れている。

δ_n(x_1Λ...Λx_n) = Σε(σ)(x_σ(1)(x)...(x)x_σ(n))
となることを n に関する帰納法により証明する。

δ は φ の次数 (1,...,1) の成分だから
>>862 より
δ_n(x_1Λ...Λx_n) = (δ_(n-1)(x)1)δ(x_1Λ...Λx_n)
= Σ(-1)^(n-j) φ_(n-1)(x_1)Λ..[x_j]..Λx_n) (x) x_j
ここで、x_1)Λ..[x_j]..Λx_n は x_j を除いたことを意味する。
この右辺に帰納法の仮定を適用して
= Σ(-1)^(n-j)(Σε(σ)(x_σ(1)(x)..[x_σ(j)]..(x)x_σ(n))(x)x_j
= Σε(σ)(x_σ(1)(x)...(x)x_σ(n))
つまり
δ_n(x_1Λ...Λx_n) = Σε(σ)(x_σ(1)(x)...(x)x_σ(n))
である。よって、
(f_1...f_n)(x_1, ... , x_n)
= μ_n(f_1(x)...(x)f_n)δ_n(x_1Λ...Λx_n)
= Σε(σ) f_1(x_σ(1))...f_n(x_σ(n))
= det(f_i(x_j))
となる。
891 名前：208 [2005/11/18(金) 10:36:15 ]: >>890 の最後の式
(f_1...f_n)(x_1, ... , x_n) = det(f_i(x_j))
は、>>889 を使わなくても >>876 から帰納法により証明できる。
つまり、

(f_1...f_n)(x_1, ... , x_n)
= (f_1...f_(n-1))f_n(x_1, ... , x_n)
= Σ(-1)^(n-j-1) (f_1...f_(n-1))(x_1,..[x_j]..,x_(n-1)))f_n(x_j)
= Σ(-1)^(n-j-1) Σε(σ) f_1(x_σ(1))..[x_j]..f_(n-1)(x_σ(n-1))f_n(x_j)
= Σε(σ) f_1(x_σ(1))...f_n(x_σ(n))
= det(f_i(x_j))
892 名前：208 [2005/11/18(金) 11:03:01 ]: A を可換環、M を A-加群とする。
f_1, ... , f_n ∈ Hom(M, A) のとき
θ(f_1Λ...Λf_n) = (f_n)...(f_1)
= (-1)^(n(n-1))/2 (f_1)...(f_n)
である。ここで、θは >>888 の
θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op
である。

M が A 上の階数 m の自由加群で、e_1, ..., e_m
をその基底とする。
f_1, ..., f_m をその双対基底とする。
つまり、f_1, ..., f_m ∈ Hom(M, A) で f_i(e_j) = δ(i,j)
である。ここで、δ(i,j) は Kronecker の δ

I が {1,...,m} の部分集合で
I = {i_1, ..., i_p}, i_1 < ... < i_p のとき、
f_I = f_(i_1)Λ...Λf_(i_p) と書く。
同様に e_I も定義する。

>>890 の最後の式
(f_1...f_n)(x_1, ... , x_n) = det(f_i(x_j))
より、

(-1)^(p(p-1))/2 θ(f_I)(e_J) = δ(I, J)
となる。
ここで、δ(I, J) は Kronecker の δ の拡張で
I = J のとき δ(I, J) = 1、I ≠ J のとき δ(I, J) = 0

よって、{(-1)^(p(p-1))/2 θ(f_I)} は {e_J} の Hom((Λ^p)M, A)
における双対基底である。
よって θ: Λ(Hom(M, A)) → Homgr(ΛM, A)^op
は同型射である。
893 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 11:07:10 ]: >>882
>永田氏の思考力には驚嘆する。すごく入り組んだことを考えれる人だ。

別に反対はしないけど、永田の可換体論の本は分かりにくい。
あの本の内容はそれほど難しくはないんだが。
894 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 11:15:18 ]: 永田の local rings は Eisenbud が褒めてるね。
deep and beautiful って。
あの本を褒める人は珍しい。普通、重要な結果を載せているとは
認めていても almost unreadable とか言ってる(例えばMilne)。
895 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 11:21:31 ]: >>893
入り組んだ思考の跡をそのまま記述するのが永田の限界かも。
この特徴は教科書の執筆にも現れている。
896 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 11:41:31 ]: なるほど
897 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 11:51:08 ]: >>895

と言うより、彼にとって当然の事が普通の(数学をやってる)人に
とって当然じゃないんだろうね。才能のある人にありがちな事。
898 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 11:58:18 ]: almost unreadable とか言ってる(例えばMilne)

where??
899 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 12:00:28 ]: 英語が奇妙ってことはあるが
900 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 12:02:24 ]: 大学、大学院では数学（の勉強、研究）をやらずに
塾講師と非常勤（中～大学で）をバリバリやってた
奴だけがアカポス獲得競争への参加資格が得られる
時代になった、ということだ。要するにね

science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132224232/77
901 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 12:06:08 ]: >>898

Milne の online book の代数幾何学の最後の方に参考書のリストと
感想が載ってる。その本はMilne のwebサイトからdownload出来る。
902 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 12:09:10 ]: >>899

そういう意味じゃない。
Milne のコメントを引用すると、

Contains much important material, but it is concise to the point
of being almost unreadable.
903 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 14:32:07 ]: Thanks!!
904 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 18:05:06 ]: >>902
＞そういう意味じゃない。
でもそういう意味にも読めるけど？どういう意味にとればいいんだ？
905 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/18(金) 18:07:39 ]: >>904

もっと英語勉強しろ
906 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/19(土) 15:39:19 ]: 可換体論のようなスタイルが
数学だと思って論文を書いて投稿したら
”too concise”というコメントつきで
かえされてしまった。
これが本当の「顰みに習う」だね。
907 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 09:30:04 ]: 先週、GrothendieckのスレでKummerの話をちょっとしたけど、
Kummerというのは過小評価されてる天才の数少ない例だろうね。
数学では天才というのは、概ね、遅かれ早かれ正等に認められる。
ところが、KummerというのはFermatの問題に一生を費やした
好事家というイメージが多少ある。
908 名前：208 [2005/11/21(月) 11:20:57 ]: A を可換環、M を A-加群とする。

x ∈ (Λ^p)M に対して
φ(x)(y) = xy により、A-次数加群としてのp次の射 φ(x): ΛM → ΛM
が得られる。この双対 φ(x)^*: Homgr(ΛM, A) → Homgr(ΛM, A)
を i(x) と書く。つまり、y ∈ (Λ^(n-p))M, f ∈ Homgr(ΛM, A)_n
に対して (i(x)f)(y) = f(xy) と定義する。
i(x)f ∈ Homgr(ΛM, A)_(n-p) である。
i(xy) = i(y)i(x) となる。
よって、Homgr(ΛM, A) は f・x = i(x)f と定義することにより、
右 ΛM-次数加群となる。
i(x)f を f の x による内積と呼ぶ。
i(x)f を仮に f←x とも書こう。このように書くのは、x が f に
作用していることを示すためである。

さらに、f(x) をベクトルの内積の記号で (f, x) とも書く。
すると、
(f←x, y) = (f, xy)
となる。
909 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 12:18:31 ]: Beethoven
910 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 12:57:33 ]: 誤爆か？
911 名前：208 [2005/11/21(月) 13:48:24 ]: 定義
A を可換環、E を Z+型の次数付けをもった A-加群で
余代数(>>857)とする。
さらに、E は余結合的(>>866)で余単位(>>868)
をもつとする。
φ: E → E(x)E をその構造射とする。
φは次数加群として次数0の射とする。
つまり、φ(E_n) ⊂ Σ(E_p)(x)(E_q), n = p + q である。
このとき、E をA-次数余代数という。
912 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 14:07:10 ]: usuraga
913 名前：208 [2005/11/21(月) 14:29:49 ]: A を可換環、E を A-次数余代数(>>911)とする。

f, g を Homgr(E, A) の同次元とする。
x ∈ E_n とし、
φ(x) = Σx_i(x)y_i
とする。

(fg)(x) = Σf(x_i)g(y_i) = g(Σf(x_i)y_i) = g(f(x)1)(x)
である。
ここで、f(x)1 : E → A(x)E = E により、
f(x)1 を射 E → E と見なしている。
f(x)1 を i(x)と書く。(i(x))f を x←f とも書く。
f(x) をベクトルの内積の記号で (x, f) と書くと、
(x←f, g) = (x, fg)
となる。
914 名前：208 [2005/11/21(月) 14:38:07 ]: >>913 の続き。

φ(x) = Σx_i(x)y_i
φ(x_i) = Σu_(i,j)(x)v_(i,j)
φ(y_i) = Σz_(i,j)(x)w_(i,j)
とすると
(1(x)φ)φ(x) = Σx_i(x)z_(i,j)(x)w_(i,j)
(φ(x)1)φ(x) = Σu_(i,j)(x)v_(i,j)(x)y_i
である。

(x←f)←g = Σf(x_i)(Σg(z_(i,j))w_(i,j))
= Σf(x_i)g(z_(i,j))w_(i,j)
= (f(x)g(x)1)(1(x)φ)φ(x)

x←(fg) = Σ((fg)(x_i))y_i
= ΣΣf(u_(i,j))g(v_(i,j))y_i
= (f(x)g(x)1)(φ(x)1)φ(x)

E は余結合的だから、
(1(x)φ)φ= (φ(x)1)φ
よって、
(x←f)←g = x←(fg)
となる。
よって、E は Homgr(E, A)-右加群となる。
x ∈ E_n で f ∈ Homgr(E, A)_p のとき、
x←f ∈ E_(n-p) である。
915 名前：208 [2005/11/21(月) 15:10:38 ]: A を可換環、M を A-加群とする。
ΛM は明らかに A-次数余代数だから、>>914 より
Homgr(ΛM, A)-右加群となる。

x ∈ (Λ^(p+q))M_n で f ∈ Homgr(ΛM, A)_p のとき、
x←f ∈ (Λ^(n-p))M を具体的に求めよう。

>>876 より、
((x_1Λ...Λx_(p+q))←f) =
Σε(σ) f(x_σ(1)Λ...Λx_σ(p))(x_σ(p+1)Λ...Λx_σ(p+q))

ここで、σは集合 {1, ... , p+q} の置換で、それぞれ
区間 {1, ... , p} と区間 {p, ... , p+q} において単調増加
するものを動く。ε(σ) は σ の符号。
916 名前：208 [2005/11/21(月) 15:39:51 ]: >>915の続き。

f ∈ Homgr(M, A)_1 とする。つまり、f は Hom(M, A) の元とする。

(x_1Λ...Λx_p)←f
= Σ(-1)^(i-1)f(x_i)(x_1Λ..[x_i]..Λx_p)
となる。ここで、[x_i] は x_i を除くという意味である。

よって、
(x_1Λ...Λx_pΛy_1Λ...Λy_q)←f
= Σ(-1)^(i-1)f(x_i)(x_1Λ..[x_i]..Λx_p)Λ(y_1Λ...Λy_q)
+ Σ(-1)^(p+j-1)f(y_j)(x_1Λ...Λx_p)Λ(y_1Λ..[y_j]..Λy_q)
= ((x_1Λ...Λx_p)←f)Λy_1Λ...Λy_q
+ (-1)^p(x_1Λ...Λx_p)Λ(y_1Λ...Λy_q)←f
となる。

つまり、x ∈ (Λ^p)M, y ∈ (Λ^p)M のとき、
(xΛy)←f = (x←f)Λy + (-1)^p(xΛ(y←f))

これは、内積 x←f が歪可換代数 ΛM の微分であることを示している。
917 名前：208 [2005/11/21(月) 15:58:31 ]: >>915の続き。
f による内積 i(f)(x) 即ち x←f は２乗すると 0 となる。
つまり、(x←f)←f = 0 である。
何故なら、(x←f)←f = x←(ff) であるが、ff = 0 だから。
よって、ΛM は i(f) を境界作用素(または微分!)とする複体になる。
918 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 16:15:22 ]: とことんトホホな奴。
919 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 16:40:52 ]: このバカ
セミナーで延々と関係ないこと喋ってたんだろうな学生時代
920 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 16:41:14 ]: スレも終わりなのに、まだDedekind環までいってない。
可換代数の講義が俺の目的ではないんだけどね。
代数的整数論のほんとにおいしい所は可換代数とは別のところにある。
当然だけど。
921 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 16:44:30 ]: 関係ないことはない。
Leray も多少過小評価されてるな。
922 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 16:50:35 ]: そろそろ新しいスレに移ろうか？
このスレを生かしておかないと参照に不便だから１０００まで
すぐに行かないように。
923 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 16:53:09 ]: 誰か次のスレ立ててくれないかな。
俺は慣れてないんで。
次のスレの題名は簡単に「代数的整数論２」にしてくれ。
924 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 16:55:39 ]: わがままな奴
おまえいつの間に講義してたんだ
脳内大学か？
925 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 16:59:16 ]: 847 ：１３２人目の素数さん：2005/11/14(月) 19:39:33
あれ？
喧嘩はもう終わったのか。

ﾂﾏﾝﾈ
848 ：１３２人目の素数さん：2005/11/14(月) 19:56:04
ケンカというより、208の化けの皮がはがれたんで
お仕置きされていたというのが正しい。
926 名前：1 mailto:sage [2005/11/21(月) 17:24:06 ]: 今回はスレ立て無理みたいです。スマソ。
927 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 17:29:13 ]: 208は見捨てられたのか。
928 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 17:30:03 ]: 誤ることはない、残念だけど。
類体論までいく予定だったけど
929 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 17:31:11 ]: 208専用スレはもうとっくに立ってるじゃないか！
930 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 17:40:16 ]: 予備校で類体論でも課外授業してれば
931 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 17:57:50 ]: だめだよ
932 名前：208 [2005/11/21(月) 17:59:05 ]: 駄目って何が？
933 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 18:00:25 ]: だめだよ
934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/21(月) 18:03:03 ]: >>926
なんで？　208がブラックリストに載ったとか？
問題ばかり起こしているからなぁ。
935 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 18:05:37 ]: >>930
無理だよ。わかってないんだもの。まあ、分数わかってなくても
偉そうに教えている小学校の教師もいるようだから、なくはないか。
936 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 18:11:53 ]: ブルバキ写すのが講義だったら
類体論でもなんでも講義できるね
937 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/21(月) 18:14:13 ]: その心を見事に写せば、間違いなく立派な講義なんだけどね
さて、この写経の心は・・・うすらが、でしたっけ？
938 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 18:14:26 ]: そう甘くはない。質問されたらどうする？
それに、ここは誰でも見れる。
専門家もな
939 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 18:17:00 ]: >質問されたらどうする？

208はそれでこけた
940 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 18:18:48 ]: で、お前等、俺の講義を聞きたくないの？
941 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/21(月) 18:20:26 ]: なんちゅう冗談いうてんねんおまえ
おまえ誰？
942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/21(月) 18:21:41 ]: 土足であがりこんできて、

オレのウンコが欲しくないの？

って言うヤクザはまだ聞いたことが無いな
943 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/21(月) 22:53:21 ]: 人の本の丸写しに近いのは東大や京大では講義とは言わないよ
実際にはそういう講義もたまにあるけど

>>922
にくちゃんねるとかmimizunとかで、数ヶ月もすれば過去ログとして無償公開してくれるけどね
まあその間不便か

>>923
立ててみればいいじゃん
944 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 09:18:02 ]: >人の本の丸写しに近いのは東大や京大では講義とは言わないよ

丸写しじゃないだろ。
これを丸写しというなら松村だってそうだろ。
あれの随伴素イデアルのところとか、平坦加群とか完備化の扱い
はBourbakiだし、次元論はＥＧＡＩＶだし。
945 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 09:27:30 ]: 今やってるとこは初歩的なところだからBourbaki参照で済ましたい
ところなんだよ、俺の本音は。
だけど、そうすると敷居が高くなるだろ。
そういう、俺の親切心を分からないんだから。
こんなとこでやたら独創性を発揮してもうざいだけだろ。
946 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 09:36:24 ]: >立ててみればいいじゃん

俺は立てないよ。
皆の意見を聞いてると立てて欲しくないようだからな。
それに逆らってまで立てようとは思わない。
947 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/22(火) 10:23:22 ]: >>946
自分でホームページ立ち上げれば？　あんたのことをぼろくそに
言っている連中（おれ含む）のIPアドレスがわかるぞ。
948 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 10:28:27 ]: ホームページなんてめんどうだろ。
レスポンスが遅いし。
949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/22(火) 10:59:51 ]: 実はたたかれるのが快感？
950 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 11:15:32 ]: 逆だよ
951 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 11:26:00 ]: >>942

比喩になってないだろ、ボケが。
このスレは俺が人に頼んで立ててもらったもの。
土足で上がりこんでるのはお前なんだよ。
952 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 12:58:07 ]: そろそろ終わりが近づいてきた。やれやれ
953 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 13:45:24 ]: なにこのスレ
954 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 14:02:28 ]: 写経スレ
955 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 14:26:43 ]: 208はじゃがいも好きか？
956 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 14:41:15 ]: >土足で上がりこんでるのはお前なんだよ。

おまえ人前でフリチンはやめろよ。
957 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/22(火) 14:48:45 ]: 秘書がやりました、みたいだな。凄い論理感覚
典型的な数学馬鹿
958 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 14:55:48 ]: >>957

勘違いするなよ、ボケが。
このスレを見たくなければ見なけりゃいいだけの話。
959 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 14:58:18 ]: >このスレを見たくなければ見なけりゃいいだけの話。

ｺﾉﾋﾄ
ｱﾀﾏ
ﾜﾙｲ
ﾃﾞｽﾈ
960 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/22(火) 14:59:59 ]: >>958
うすらが
961 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 15:01:51 ]: >このスレを見たくなければ見なけりゃいいだけの話。

ｺﾉﾋﾄ
ｳｽﾗ
ﾃﾞｽﾈ
962 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 15:03:33 ]: >>959
>>961

病院から抜けてきたひとですか？
963 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 15:06:41 ]: >病院から抜けてきたひとですか？

毛ｶﾞﾇｹﾃｷﾀﾋﾄﾃﾞｽｶ?
964 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 15:09:26 ]: 208ﾊｼﾞｬｶﾞｲﾓﾃﾞｽｶ？
965 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 15:12:15 ]: >>962
人間一つくらい病気があるもんだけどな
208は完璧人間ｻﾝﾃﾞｽﾈｰ
966 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 15:35:09 ]: >>965
>208は完璧人間ｻﾝﾃﾞｽﾈｰ
ｿｳ　ｵﾓﾜﾅｹﾘｬ　ﾔｯﾃｲｹﾅｲ　ﾂﾗｲ　ｼﾞﾝｾｲ　ﾅﾝﾀﾞﾛｳﾈ
967 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 15:51:40 ]: ニートの自己完全視と似たようなものか
968 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 15:53:48 ]: 写経主義は永遠に不滅。写経主義者は完璧人間のみ。
969 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 15:55:08 ]: ニートの事故感電死？
社共主義？
970 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/22(火) 16:10:54 ]: 208 よ！

次スレ立ててやったぞ。

science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310/
971 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/22(火) 16:30:31 ]: 七十一日。
972 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 16:52:35 ]: >>970

みんなを敵に回したな
973 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/22(火) 17:10:42 ]: >>972

受けて立とう！

皆って何人だ？、全員名乗れ。
974 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 17:12:24 ]: 307（ミンナ）
975 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 17:31:14 ]: みんなは誰でもだ
普通そうだろ

みんな普通そうなんだよ
な

208の口癖
976 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 17:31:56 ]: >>975
正鵠
977 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/22(火) 19:39:52 ]: 208は線型代数2の最初のヤツと同じ
978 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/23(水) 16:30:31 ]: 七十二日。
979 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 05:06:00 ]: 208の口癖

976 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 17:31:56
>>975
正鵠

977 ：１３２人目の素数さん：2005/11/22(火) 19:39:52
208は線型代数2の最初のヤツと同じ

978 ：１３２人目の素数さん：2005/11/23(水) 16:30:31
七十二日。
980 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 10:45:11 ]: nikudaaaan sanyushiii!!!!!!
onikumo sanyushiiiiiii!!!!
kora!!!! omaira yasukuni sampaishireiiiiii!!!
981 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 10:45:59 ]: 四天王
982 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 11:34:05 ]: 頼むからこのスレ、しばらく生かしておいておくれ。
983 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 11:35:01 ]: kora!!!! omaira yasukuni sampaishireiiiiii!!!

981 ：１３２人目の素数さん：2005/11/24(木) 10:45:59
四天王

982 ：１３２人目の素数さん：2005/11/24(木) 11:34:05
頼むからこのスレ、しばらく生かしておいておくれ。

319 KB [ ２ちゃんねるが使っている完
984 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 12:55:03 ]: 頼むからこのスレ、しばらく生かしておいておくれ。頼むからこのスレ、しばらく生かしておいておくれ。
985 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/24(木) 13:34:42 ]: >>984

全レスを表示してページ保存をすれば良かろう。
986 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 14:06:48 ]: >>985

分かってないなお主は。
今、このスレの続きが立ってるだろ。そこで、このスレを参照
してるのだよ。このスレが無くなってから初めてそこに来た人は、
どうする？
いずれにしろ、無いよりあったほうがいいだろ。
いいから、このスレをほっといてくれ、頼むよ。
987 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 14:40:44 ]: >>986

Who are you????
988 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/24(木) 16:30:31 ]: 七十三日。
989 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/24(木) 16:55:56 ]: いちいちあげるから目立つんじゃないの？
990 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/24(木) 17:48:24 ]: w.w.w.w.w.w.w.w.w.w.w.w.w.wwww
p.p.p.p.p.p.p.p.p.p.p.p.p.pppp
k.k.k.k.k.k.k.k.k.k.k.k.k.kkkk
991 名前：GiantLeaves ◆0RbUzIT0To [2005/11/24(木) 17:49:29 ]: >>1 お前誰だよ？
992 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 18:10:46 ]: 臨終の時は迫れり
993 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 18:16:30 ]: 心を静かに保ち、姿勢を正して、
一字ずつに真心を込めて写経すれば、
こころが癒されるであろう。
994 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 18:19:31 ]: 摩訶般若古馬鹿心経
995 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 18:21:24 ]: 老兵は消えゆくのみ
996 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 18:21:59 ]: 唯我独尊
997 名前：GiantLeaves ◆0RbUzIT0To [2005/11/24(木) 18:23:36 ]: king 氏ね。
998 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 18:24:13 ]: 心は世界にどうつながっているのか
999 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/24(木) 18:25:48 ]: 208はつぶやく、「このうすらが」
だが、ここでどんなに叫ぼうとも、誰も聞くものもいない。
怨念に満ちた声だけが空しく響いてゆく・・・
1000 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/24(木) 18:26:12 ]: 現代思想の源流
1001 名前：１００１ [Over 1000 Thread]: このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。

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