- 90 名前：１３２人目の素数さん [2005/09/22(木) 16:41:44 ]
- A をネーター環とし、Mを A-加群とする。
x ∈ M, x ≠ 0 とすると、
Ann(x) を含む p ∈ Ass(M) がある。
証明
A イデアルの集合 T = {Ann(y); 0 ≠ y ∈ M, Ann(x) ⊂ Ann(y)}
は空でない(すくなくともAnn(x)がその要素)。
A はネーター環だから、T に極大元 Ann(y) がある。
a ∈ A - Ann(y)、b ∈ A とする。
Ann(y) ⊂ Ann(ay) で、ay ≠ 0 だから、Ann(y) の極大性から
Ann(y) = Ann(ay) となる。ab ∈ Ann(y) とすると、b ∈ Ann(ay) だから、
b ∈ Ann(y) となる。これは、Ann(y) が素イデアルであることを示す。
証明終
