- 889 名前：208 [2005/11/17(木) 12:34:13 ]
- A を可換環、 E を A-余代数(>>857)で余結合的(>>866)とする。
φ: E → E(x)E をその構造射とする。Hom(E, A) は >>867 より
結合的な A-代数となる。u_1, ... , u_n ∈ Hom(E, A) のとき
その積 u_1...u_n を求めよう。
E から E の n 個のテンソル積 E(x)...(x)E への A-加群としての射
φ_n: E → E(x)...(x)E を帰納的に
φ_n = (φ_(n-1)(x)1)φ で定義する。
つまり φ_n を φ: E → E(x)E と
φ_(n-1)(x)1: E(x)E → (E(x)...(x)E)(x)E の合成で定義する。
ここで、E(x)...(x)E は E の(n-1)個のテンソル積。
双対的に A の n 個のテンソル積 A(x)...(x)A から A への射を
A の乗法で定義したものを μ_n とおく。
μ_n = μ(μ_(n-1)(x)1) である。
このとき、
u_1...u_n = μ_n(u_1(x)...(x)u_n)φ_n
となる。
証明
n に関する帰納法。
u_1...u_(n-1) = μ_(n-1)(u_1(x)...(x)u_(n-1))φ_(n-1)
とする。
u_1...u_(n-1)u_n
= μ(μ_(n-1)(u_1(x)...(x)u_(n-1))φ_(n-1))(x)u_n)φ
= μ(μ_(n-1)(u_1(x)...(x)u_(n-1))(x)u_n)(φ_(n-1)(x)1))φ
= μ((μ_(n-1)(x)1)(u_1(x)...(x)u_(n-1)(x)u_n))(φ_(n-1)(x)1))φ
= μ((μ_(n-1)(x)1)(u_1(x)...(x)u_(n-1)(x)u_n))(φ_(n-1)(x)1))φ
= μ_n(u_1(x)...(x)u_n)φ_n
証明終
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