- 650 名前：208 [2005/11/02(水) 15:11:28 ]
- 命題
A を単項イデアル整域、L を A 上の有限階数 n の自由加群とする。
L の部分加群は、階数 ≦ n の自由加群である。
証明
n に関する帰納法。
e_1, ... , e_n を L の基底とする。
p_n : L → A を e_n に関する射影とする。
q: M → A を p_n の M への制限とする。
q(M) は A のイデアルだから単項であり、A は整域だから
このイデアルは A-加群として自由である。
Ker(q) = N とおく。
0 → N → M → q(M) → 0 は完全である。
N ⊂ Ae_1 + ... + Ae_(n-1) だから帰納法の仮定より、
階数 ≦ n-1 の自由加群である。
q(M) は自由だから、>>649 よりこの完全列は分解する。
よって、M は自由である。q(M) の階数 ≦ 1 だから、
M の階数 ≦ n である。
証明終
