- 583 名前：208 [2005/10/27(木) 16:23:10 ]
- 命題
K を無限体、X を K-加群、V, W_1, ... , W_n をその部分加群、
V ⊂ W_1 ∪ ... ∪ W_n とする。
このとき、V ⊂ W_i となる i が存在する。
証明
V が W_n に含まれないとする。x ∈ V - W_n をとる。
y ∈ V を任意にとる。補題(>>582)より x, y ∈ W_i となる i があるが
i = n では有り得ない。よって、V ⊂ W_1 ∪ ... ∪ W_(n-1) となる。
帰納法より、証明が終わる。
証明終
系
無限体上のベクトル空間はその真の部分空間の有限個の和集合には
ならない。
