代数的整数論

876 名前：208 [2005/11/16(水) 16:33:06 ] A を可換環、 M を A-加群とする。 整数 p > 0 に対して、M^p から A への交代的多重線形写像(>>849)の 集合をAlt(M^p, A)と書こう。これは、A-加群である。 >>874 の規約より、Homgr(ΛM, A)_p = Hom((Λ^p)M, A) だが、 これは >>852 より Alt(M^p, A) と見なせる。 u ∈ Alt(M^p, A), v ∈ Alt(M^q, A) のとき A-次数代数としての Homgr(ΛM, A) における u と v の積を明示的に求めてみよう。 >>862 より ΛΔ(x_1Λ...Λx_n) = Σ(-1)^μ (x_(i_1)Λ...Λx_(i_p)) (x) (x_(j_1)Λ...Λx_(j_(n-p))) である。 よって、(ΛM)(x)'(ΛM) を (Z^2)-型の次数代数と見たときの ΛΔ(x_1Λ...Λx_(p+q)) の (p, q)-成分は、 Σε(σ) (x_σ(1)Λ...Λx_σ(p)) (x) (σ(p+1)Λ...Λx_σ(p+q)) となる。ここで、σは集合 {1, ... , p+q} の置換で、それぞれ 区間 {1, ... , p} と 区間 {p, ... , p+q} において狭義単調増加 するものを動く。ε(σ) は σ の符号。 これと >>865 から (uv)(x_1, ... , x_(p+q)) = Σε(σ) u(x_σ(1), ..., x_σ(p))v(x_σ(p), ..., x_σ(p+q)) となる。

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