- 873 名前：208 [2005/11/16(水) 14:28:25 ]
- 命題
A を可換な Z-型の次数環(>>720)とする。
M と N を Z-型の A-次数加群(>>722)とする。
M が A-加群として有限生成なら Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。
証明
x_1, ... , x_r を M の生成元で各元は同次とする。
u ∈ Hom(M, N) とし、各 i に対して u(x_i) = Σz_(i, p) とする。
ここで、z_(i, p) は u(x_i) の p 次の同次成分。
u_p(x_i) = Σz_(i, p) により、u_p ∈ Homgr(M, N) を定義する。
u_p は同次でありその次数は p - deg(x_i) である。
u_p が well-defined であることは、
Σ(a_i)(x_i) = 0 のとき 各 p で Σ(a_i)u_p(x_i) = 0 を
確かめればよい。ここで、a_i は A の元で同次である。
これを確かめるのは読者に任せる。
u = Σu_p だから Hom(M, N) = Homgr(M, N) である。
証明終
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