- 890 名前：208 [2005/11/17(木) 17:20:43 ]
- A を可換環、M を A-加群とする。
ΛΔ: ΛM → Λ(M + M) は ΛM の余代数としての構造射である
簡単のために ΛΔ = φ とおく。
f_1, ... , f_n ∈ Hom(M, A) のとき
これ等の積 f_1...f_n を具体的に求めよう。
>>889 より f_1...f_n = μ_n(f_1(x)...(x)f_n)δ_n である。
ここで、δ_n は φ_n の 次数 (1,...,1) の成分を表す。
同様に δ は φ の 次数 (1,...,1) の成分を表す。
ただし、ここでは ΛM の n 個のテンソル積 (ΛM)(x)...(x)(ΛM) に
(Z^n)-型の次数付けを入れている。
δ_n(x_1Λ...Λx_n) = Σε(σ)(x_σ(1)(x)...(x)x_σ(n))
となることを n に関する帰納法により証明する。
δ は φ の 次数 (1,...,1) の成分だから
>>862 より
δ_n(x_1Λ...Λx_n) = (δ_(n-1)(x)1)δ(x_1Λ...Λx_n)
= Σ(-1)^(n-j) φ_(n-1)(x_1)Λ..[x_j]..Λx_n) (x) x_j
ここで、x_1)Λ..[x_j]..Λx_n は x_j を除いたことを意味する。
この右辺に帰納法の仮定を適用して
= Σ(-1)^(n-j)(Σε(σ)(x_σ(1)(x)..[x_σ(j)]..(x)x_σ(n))(x)x_j
= Σε(σ)(x_σ(1)(x)...(x)x_σ(n))
つまり
δ_n(x_1Λ...Λx_n) = Σε(σ)(x_σ(1)(x)...(x)x_σ(n))
である。よって、
(f_1...f_n)(x_1, ... , x_n)
= μ_n(f_1(x)...(x)f_n)δ_n(x_1Λ...Λx_n)
= Σε(σ) f_1(x_σ(1))...f_n(x_σ(n))
= det(f_i(x_j))
となる。
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