証明 A-加群の降列 J ⊃ J^2 ⊃ ... ⊃ J^n ⊃ ... は途中で停滞するから、J^n = J^(n+1) となる整数 n > 0 がある。 N = J^n とおく。N^2 = N である。 N ≠ 0 として矛盾を導けば証明が終わる。 NI ≠ 0 となるイデアル I の集合 S を考える。N^2 = N だから、 N ∈ S だから S は空でない。よってこの集合に極小なものがある。 それを I とする。NI ≠ 0 だから Na ≠ 0 となる I の元がある。 I の極小性より、I = aA である。(N^2)a = Na だから、 Na ∈ S であり、Na ⊂ aA より再び I の極小性より Na = aA となる。よって x ∈ N で xa = a となるものがある。 (x^2)a = xa = a を繰り返して (x^n)a = a が任意の n > 0 で 成立つ。 一方、N ⊂ J であり、J = nil(A) でもあるから(>>296 と >>163)、 x はべき零である。よって a = 0 となって矛盾。 証明終
