- 579 名前：208 [2005/10/27(木) 12:45:07 ]
- 補題
A を環、I をそのイデアル、p_1, ... , p_n ∈ Spec(A)、
I ⊂ p_1 ∪ ... ∪ p_ n とする。
このとき、I ⊂ p_i となる p_i が存在する。
証明
p_i ⊂ p_j なら p_i を除いて考えればよいから、
p_1, ... , p_n の間には包含関係はないと仮定してよい。
I ⊂ p_i がどの i でも成立たないとして矛盾を導けばよい。
J_i を集合{p_1, ... , p_n} から p_i を除いたものの積イデアル
とする。IJ_i ⊂ p_i とはならないから、
元 x_i ∈ IJ_i - p_i が存在する。
x = x_1 + ... + x_n とおく。
j ≠ i のとき、x_j = 0 (mod p_i) だから、x = x_i (mod p_i)
となる。一方 x_i ≠ 0 (mod p_i) だから、x ≠ 0 (mod p_i)
が任意の i で成立つ。
一方、x ∈ I だから I ⊂ p_1 ∪ ... ∪ p_ n より、
x ∈ p_i となる i がある。これは矛盾。
証明終
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