- 520 名前：208 [2005/10/24(月) 14:26:10 ]
- 定理(Cohen-Seidenberg)
φ: A → B を環の射で単射とする。
q に φ^(-1)(q) を対応させることにより、
標準射 Spec(B) → Spec(A) が得られるが(>>206)、
B が A 上整なら、これは全射である。
証明
p ∈ Spec(A) に対して S = A - p とおく。
A_S → B_S は単射である(>>86)。
よって、B_S は空でない。よって Spec(B_S) も空でない。
B_S は A_S 上整(>>514)であり、A_S は局所環だから、
B_S の極大イデアル q' の射 A_S → B_S による逆像は
A_S の極大イデアル pA_S である(>>518)。
q' に対応する B の素イデアルを q とすれば、
φ^(-1)(q) = p となる(適当な可換図式を描けば分かる)。
証明終
