A をネーター環、 p ⊃ p_1 ⊃ p_2 を A の長さ２の素イデアル鎖(>>379)とする (よって、この３個の素イデアルは互いに異なる)。 x を p の元で、p_1 に含まれないものとする。 このとき x を含む素イデアル q で p ⊃ q ⊃ p_2 が長さ２の素イデアル鎖となるものが存在する。
証明 A を A_p で置き換えて、A は局所環で p はその極大イデアルと してよい。 Supp(A/(xA + p_2)) の極小元を q とする。つまり、q は xA + p_2 を含む素イデアルの中で極小である。 A は局所環だから、p ⊃ q となる。q ⊃ p_2 は明らか。 ネーター整域 B = A/p_2 と x' = x (mod p_2) に単項イデアル定理 (>>381)を適用すると、q/p_2 の高さは１であることが分かる。 よって p = q では有り得ない。何故なら、 p = q とすると、 q ⊃ p_1 ⊃ p_2 が長さ２の素イデアル鎖となって、q/p_2 の高さが１ であることに矛盾するから。 よって、 p ⊃ q ⊃ p_2 は長さ２の素イデアル鎖である (q ≠ p_2 は明らか)。 証明終
