- 539 名前：208 [2005/10/25(火) 18:40:38 ]
- 命題
φ: A → B を環の射、p ∈ Spec(A) とする。
f: Spec(B) → Spec(A) をφから誘導された射とする。
つまり、f(q) = φ^(-1)(q) とする。
S = A - p とおいたとき、B_S を B_p と書く。
Spec(B_p/pB_p) は Spec(B_p) の部分集合と同一視される(これは明らか)。
さらに、Spec(B_p) は Spec(B) の部分集合と同一視される(>>81)。
この同一視により、f^(-1)(p) は集合としてSpec(B_p/pB_p)と同一視される。
証明
まず、B_p は B の積閉集合 φ(S) に関する局所化 B_φ(S) に一致
することに注意する。
f(q) = p のとき、q ∩ φ(S) であり pB_p ⊂ qB_p となることは明らか。
よって、f^(-1)(p) ⊂ Spec(B_p/pB_p) とみなされる。
逆に、q ∈ Spec(B) で、q ∩ φ(S) かつ pB_p ⊂ qB_p とする。
x ∈ p とすると、φ(x)/1 ∈ qB_p となるから、φ(s)φ(x) ∈ q
となる s ∈ A - p がある。φ(s) は q に含まれないから、
φ(x) ∈ q となる。よって、p ⊂ φ^(-1)(q) である。
逆に、x ∈ φ^(-1)(q) とする。φ(x) ∈ q だから、x ∈ A - p では
ありえない。つまり、x ∈ p。よって、p = φ^(-1)(q) である。
証明終
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