- 623 名前：208 [2005/11/01(火) 11:22:15 ]
- k を体、K/k を k の準ガロワ拡大(>>586)とする。
K の k-自己同型のなす群を Aut(K/k) と書く。
G = Aut(K/k) とおく。
K/k の中間体 L/k で有限次準ガロワ拡大となるものを考える。
G の元を L に制限することにより、群の射 G → Aut(L/k) が得られる。
これは、全射である。この核を G(L) と書く。G(L) は G の正規部分群
である。このような G(L) の全体は、>>607 の条件 (F) を満たす。
よって、G は >>607 により位相群となる。
命題
G はコンパクトである。
証明
>>621 より連続写像 f: G → proj.lim G/G(L) が定義される。
Ker(f) = ∩G(L) だが、これは明らかに G の単位元のみからなる。
よって、f は単射。G/G(L) = Aut(L/k) とみなされるから、
proj.lim G/G(L) の元 (σ_L)は、各 L/k にその自己同型 σ_L
を引き起こし、L ⊃ L' のときは σ_L' は σ_L の制限となっている。
K はこのような L の合併集合であるから、(σ_L)は G のある元σ
から引き起こされる。よって、f: G → proj.lim G/G(L) は全射である。
G/G(L) は有限群だから、離散位相でコンパクトである。
よってその直積 ΠG/G(L) もコンパクト。
proj.lim G/G(L) は、>>610より閉集合だから、proj.lim G/G(L) も
コンパクトである。f は、>>622 より開写像であるから、
G は、proj.lim G/G(L) と位相同型である。
よって、G もコンパクトである。
証明終
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