- 505 名前：208 [2005/10/24(月) 10:42:46 ]
- 命題
A を環、B を有限なA-代数とする。
このとき、B の各元 x に対してモニックな多項式 f(X) ∈ A[X]
があり、f(x) = 0 となる。
証明
B の A-加群としての生成元を ω_1, ... , ω_n とする。
以下の関係式が成立つ。
xω_1 = a_(1,1) ω_1 + a_(1,2) ω_2 + ... + a_(1,n) ω_n
xω_2 = a_(2,1) ω_1 + a_(2,2) ω_2 + ... + a_(2,n) ω_n
.
.
.
xω_n = a_(n,1) ω_1 + a_(n,2) ω_2 + ... + a_(n,n) ω_n
ここで、各 a(i,j) は A の元。
行列 (a_(i,j)) を T とおく。
>>236 より det(xE - T)B = 0 となる。E は n-次の単位行列。
よって、det(xE - T) = 0 である。
この行列式を展開すると、命題の主張が得られる。
証明終
