面白い問題おしえて～な十八問目

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面白い問題おしえて～な十八問目

1 名前：１３２人目の素数さん [2011/06/13(月) 09:05:46.90 ]: 過去ログ
www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/

1 cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/
4 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/
5 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/
6 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/
7 science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
2 名前：あんでぃ「も」弱者 ◆AdkZFxa49I [2011/06/14(火) 06:20:19.05 ]: あんでぃ
3 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/14(火) 14:40:07.94 ]: 乙
4 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/14(火) 18:30:56.02 ]: ↑乙w
5 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/15(水) 02:40:21.55 ]: あんでぃってどうしてそこらじゅうに名前を書いていくの？
売名行為？選挙にでも出るつもりなの？
6 名前：あんでぃ「も」弱者 ◆AdkZFxa49I [2011/06/15(水) 06:15:24.74 ]: あんでぃ
7 名前：１３２人目の素数さん [2011/06/15(水) 08:15:47.35 ]: かまって欲しいだけのキチガイだろ
8 名前：あんでぃ「も」弱者 ◆AdkZFxa49I [2011/06/15(水) 16:18:08.01 ]: ＞かまって欲しいだけのキチガイだろ

図星です。

あんでぃ
9 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/17(金) 23:58:46.45 ]: (1) {1,2,…,n}の部分集合A,Bのうち、A⊂Bをみたすものの個数は何個あるか？
(2) {1,2,…,n}から{1,2,…,n}への写像で、単調増加するものは何個あるか？
10 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/21(火) 02:04:51.47 ]: >9 (1)

　#A = a なるAに対して、Bは 2^(n-a) 個づつある。
　Σ[a=0,n] C[n,a] 2^(n-a) 1^a = (2+1)^n = 3^n,

　#B = b なるBに対して、Aは 2^b 個づつある。
　Σ[b=0,n] C[n,b] 2^b 1^(n-b) = (2+1)^n = 3^n,
11 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/21(火) 22:08:08.90 ]: >9

(1) 各i (1≦i≦n) に対して，A のみの要素，A,B の要素，A,B のどちらの要素でもないの3通りなので，3^n

(2) i→a_1 とすると，1≦a_1≦a_2≦a_3≦…≦a_n≦n であるので，重複組合せ H[n,n]=C[2n-1,n]=(2n-1)!/n!(n-1)!

かな。
12 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/21(火) 23:07:25.51 ]: 正解でござる ( ﾟ∀ﾟ)
13 名前：１３２人目の素数さん [2011/06/22(水) 02:30:00.71 ]: Ａ⊂Ｂ⊂Ｃ⊂Ｄ。
14 名前：猫は怖がる貉 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/06/22(水) 02:41:21.63 ]: ⊂『べ』⊂屑⊂無能⊂無意味⊂地球のゴミ⊂銀河系の害⊂存在の無意味。

猫
15 名前：１３２人目の素数さん [2011/06/22(水) 22:23:14.36 ]: なぞなぞみたいな物だけどわかならい

トマト＋トマト＝アマイヨ

これを筆算にして言葉を数字にし正しい計算式を作りなさい。
なお、同じ言葉には同じ数字が入ります
16 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/22(水) 22:28:11.87 ]: >>15
878+878=1756
17 名前：あんでぃは特にキモイ ◆AdkZFxa49I [2011/06/22(水) 22:36:37.93 ]: あんでぃ
18 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/22(水) 22:49:28.55 ]: 676+676＝1352

アは必ず１
トは5以上
19 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/22(水) 22:50:32.30 ]: あ、間違えた
20 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/22(水) 23:02:49.14 ]: マだけにな
21 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/23(木) 17:40:27.77 ]: 四色問題を変形した問題。どちらも自分には解けてません(＾o＾)

問題1：重なりを持たない長方形I1, I2, …, Ik
(辺や頂点が共有されるのは良いとする)を
何色かの色で塗り分ける。次のような制限を課す。

「 Ii∩Ij≠φ のとき、IiとIjは違う色で塗らなければならない」

この制限のもと、4色あれば必ず塗り分け可能であることを示せ。

例：「田」の字になっている4つの正方形は、3色では塗り分けできず、
ちょうど4色で塗り分けられる。

問題2：上の問題を自然にn次元に一般化する。
R^nの "超直方体" I1, I2, …, Ik は重なりを持たないとし、
同じ制限のもとで塗り分ける。このとき、2^n 色あれば
必ず塗り分け可能であることを示せ。

例：「田」の字をn次元に一般化したような立体を考えると、
この立体は2^n個の超立方体で構成される。これらは2^n－1色では
塗り分けできず、ちょうど2^n色で塗り分けできる。
22 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/23(木) 17:43:31.09 ]: 以下、問題1,2の簡易バージョン。これは簡単に解けます。

問題3：
>>21 の問題1において、「長方形」を「正方形」に
差し替えた問題を考える。このとき、9色あれば必ず
塗り分け可能であることを示せ。

問題4：
>>21 の問題2において、「超長方形」を「超立方体」に
差し替えた問題を考える。このとき、3^n色あれば必ず
塗り分け可能であることを示せ。
23 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/23(木) 18:18:18.97 ]: 999+999=1998
24 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/04(月) 13:07:57.81 ]: ある家族「父・母・娘が二人・息子が二人・召使・犬」がいます。この家族が大きな川
を渡ろうとしています。船は一つしかありません。しかも乗れるのは二人だけで一人は
運転手が要ります。そして運転できるのは、父と母と召使だけ。その上父は、母がいな
いと娘を殴り、母は父がいないと息子を蹴飛ばし、犬は召使がいないと家族を噛みます。
どういけば誰も怪我をせずに川を渡れるのでしょうか。何回往復しても構いません。
この問題の答えは、最短で8.5往復、運転手がどちらかを区別しない場合8種類有ります。
そこで行きは必ず二人、帰りは一人以上で移動するとした場合に、行きと帰りで同じ組
み合わせで船に乗らないようにして、移動によって怪我をしないようにした場合、
どのように移動しても以前の両岸の状態と同じにはなりません。何故そうなるのでしょうか。
25 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/04(月) 22:00:33.31 ]: ＞どのように移動しても以前の両岸の状態と同じにはなりません。
ここの意味がわからん。
26 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/04(月) 23:19:18.02 ]: 自作問題。

魔法のサイコロがあり、i∈N∪{ 0 }に対して
i が(1/2)^{ i＋1 }の確率で出るとする。
以下の問いに答えよ。

(1) n≧1として、魔法のサイコロをn回振る。出た目の合計が
　　ちょうどkである確率をP_n(k)と置く(k∈N∪{ 0 })。
　　P_n(k)を求めよ。

(2) Σ[n＝1～∞] P_n(k) 及び Σ[n＝1～∞] P_{2n}(k) を求めよ。

(3) 狭義単調増加な自然数列 { a_n }_n はlim[n→∞] n/a_n ＝ 0 を満たすとする。
　　このとき、liminf[k→∞]Σ[n＝1～∞] P_{a_n}(k)＝0 を示せ。

(4) limsup[k→∞]Σ[n＝1～∞] n*P_{n^2}(k)≧1/2 を示せ。

(5) liminf[k→∞]Σ[n＝1～∞] n*P_{n^2}(k)≦1/2 を示せ。
27 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/05(火) 00:26:38.50 ]: 渡る回数を最少にこだわらなければいくらでも同じ状態に出来るだろ
無駄だけど、

>行きと帰りで同じ組み合わせで船に乗らないようにして、移動によって怪我をしないようにした場合、
>どのように移動しても以前の両岸の状態と同じにはなりません

て、訳ではないだろ
それとも最少回数で渡るには常にユニークでなければならない、つまり重複があってはならないので
結果、両岸とも以前の状態と同じにはならないと言いたいの？
28 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/05(火) 06:24:00.51 ]: >>25
「両岸の状態」は、両岸の状態(何人いるか)と船の進む方向と乗っている人間・犬の状態
「前の両岸の状態」は、船が移動した過去の全ての状態の履歴
と訂正します。

>>27
プログラムを作って調べたが、行きと帰りを同じ組み合わせにしない限り過去の状態と同じには
ならなかった。
最小回数でなくても状態遷移はユニークとなるから、最小回数でと書いているのはいらなかった。
過去の状態と同じにならないと理由で、この渡り方は有界となると考えられる。
29 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/05(火) 07:22:30.36 ]: 犬召→
←召
召息子1→
←召犬
父息子2→
←父息子１
犬召→
←召息子2

この時犬のみが渡ってる状態って過去と重複するよね
30 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/05(火) 08:14:51.32 ]: >>29
息子と娘は2人ずついるが、それは区別しない事にすると題意のようになる。
31 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/05(火) 09:40:25.92 ]: >>30
過去に行った渡りの組合せを禁則事項にするなら問題自体が解無しになるよ
千日手的な事を禁止するなら最少手順にならざるをえないし

君の思うルールに沿っての最少手順以外の解が見てみたい
32 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/05(火) 09:59:31.51 ]: >>31
最長は16.5往復その例は
父母→、←父
父息→、←父母
召犬→、←召息
召娘→、←召犬
父母→、←父
父息→、←父母
母娘→、←母
父母→、←父息
召犬→、←母娘
父母→、←父
父息→、←父母
父息→、←父
父母→、←召犬
召娘→、←召息
召犬→、←父母
父息→、←父
父母→
33 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/05(火) 13:37:41.77 ]: >>32
>父母→、←父
父が娘を殴るのでアウト
34 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/05(火) 13:47:57.79 ]: ＞行きと帰りを同じ組み合わせにしない

行きにのったメンバーの組み合わせは
その帰りだけでなく、もう二度と帰りの行程のメンバーにはなれない
また、帰りの行程に乗のったメンバーの組み合わせは
その次の行きだけでなく、もう二度と行きの行程のメンバーにはなれない

ということ？
35 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/05(火) 13:57:08.54 ]: 日本語が不自由な出題者でつね
36 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/05(火) 14:31:59.17 ]: >>33
船から降りなければ殴らないみたい

後からなんか条件が増えるね
37 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/05(火) 14:35:50.28 ]: >>33
元々この問題はネット上にあってそう思われるが、船に乗るときに瞬間的に
次の人間に入れ替わるため、それはない。

>>34
連続する行きと帰りの重複がないということ、>>32でもそうなっている。

>>35
万人に理解され得る問題を作成する事は難しい。
38 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/05(火) 14:48:02.81 ]: >>32

父母→、←父
父息→、←父母
召犬→、←召息
召息→、←召犬
父母→、←父息
父息→、←父母

は往復で違う組合せだよね

ダメか？
39 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/05(火) 14:50:07.86 ]: >>37
複往の時もだめかー
40 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/05(火) 14:59:27.41 ]: >>39
その場合もだめ。
41 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/05(火) 20:26:37.00 ]: 仮定１：全員が渡り切ることができる乗船方法が存在する
仮定２：連続する行きと帰りの重複がない場合、両岸の状態が過去のどの状態とも同じにならない

定理：全員が渡り切ることができる乗船方法は、最初に乗船する組と最後に乗船する組は等しい。

証明：最初に乗船する組と最後に乗船する組が等しくない仮定の下では
　全員が渡りきった後に、そこまでの手順の鏡像（右岸と左岸の逆転）手順を実行することにより
　元のだれも渡っていない状態に戻すことができる。
　これは先の仮定に矛盾。
42 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/05(火) 21:31:04.10 ]: >>41
反例
父母→
←父
父息→
←父母
父息→
←父
父母→
←母
召犬→
←父
父母→
←母
母娘→
←召犬
召娘→
←召
召犬→
43 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/05(火) 22:46:12.35 ]: 父母→
←父
ここで父が娘をぶん殴るんだが何の反例なんだ？
44 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/05(火) 22:48:19.01 ]: >>43
>>36,37 だってさ
45 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/05(火) 23:13:32.61 ]: >>41の仮定の下で

定理：全員が渡り切ることができる乗船方法は、召使＋犬のペアで始まりそのペアで終わる

証明：全員が渡りきれる手順の「父母」を入れ替えさらに「娘息子」を入れ替えた手順もまた
　全員が渡りきれる手順である。（父母と息子娘は役割を交換可能）
　父母息子娘のいずれかが最初のペアに含まれていると仮定したら、「父母・娘息子」を入れ替え
　さらに右岸左岸を入れ替えた手順を続けて行うと、最初の渡り始める状態に戻る。
　このことは先の仮定に矛盾。
46 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/05(火) 23:14:39.76 ]: >>44
なるほど。
で、何の反例なんだ？
47 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/06(水) 04:58:46.60 ]: >>46
>>41の定理の反例

>>41
証明の以下の部分が
＞そこまでの手順の鏡像（右岸と左岸の逆転）手順を実行することにより
＞元のだれも渡っていない状態に戻すことができる。
仮定２の連続する行きと帰りの重複がないという条件に反する。
48 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/06(水) 12:19:14.73 ]: >>47
＞ >>41の定理の反例
41とは仮定が異なるので反例にはなっていない。

＞仮定２の連続する行きと帰りの重複がないという条件に反する。
どこで？
49 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/06(水) 12:37:40.37 ]: >>45の訂正

定理：全員が渡り切ることができる乗船方法は、
　　　召使＋犬のペアで始まりそのペアで終わるかまたは父＋母のペアで始まりそのペアで終わる
50 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/06(水) 13:20:34.56 ]: >>48
こちらの両岸の状態というのは、左岸まで移動し終わるまでの範囲で考えているが
そちらの考えは、その範囲を超えて考えているということで考え方の相違があった。
51 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/06(水) 13:28:18.73 ]: >>48
＞どこで？

＞最初に乗船する組と最後に乗船する組は等しい。
この場合に、鏡像の手順を実行したら渡りきる最後の乗船する組と
渡り終わった後の最初の乗船する組が同一になる。
52 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/06(水) 13:50:39.37 ]: >>50
＞こちらの両岸の状態というのは、左岸まで移動し終わるまでの範囲で考えているが
なるほど。

>>51
そこは
＞＞最初に乗船する組と最後に乗船する組が等しくない仮定の下では
これを使って背理法なので、的外れな指摘。
次は、よく読んでからレスしてくれ。
53 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/06(水) 13:56:28.11 ]: >>50
ということは
一行全体ではなくその真部分集合の渡河に関しては
同じ組の単純な往復をのぞいて、最初の組と最終組は同じになる
のかな。
54 名前：53 mailto:sage [2011/07/06(水) 14:45:54.20 ]: あ、そんなことないや、すまん、忘れてくれ
55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/11(月) 04:44:03.78 ]: 〔問題〕
nが自然数のとき、x^3 + x = n^3,　の実根は無理数か？

　x = {√[(N/2)^2 + 1/27] + N/2}^(1/3) - {√[(N/2)^2 + 1/27] - N/2}^(1/3)
　ここに N = n^3,

2sen.dip.jp/cgi-bin/upgun/up1/source/up59830.pdf
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/708

なお、有理数で近似することはできる。
　{n - 1/(3n)}^3 + {n - 1/(3n)} = n^3 - 1/(3n)^3 ≒ n^3,
　x ≒ n - 1/(3n),
56 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/12(火) 17:10:56.84 ]: >>55
x=q/p (p,qは互いに素)とおくと
(q^3)/p=(pn^3-q)p
なのでp=1 (右辺が整数より左辺も整数でなくてはならないため)
よってxは整数となり条件式より正の整数となるが、
m^3<m^3+m<(m+1)^3
からこれはありえない
よって背理法からxの実根は無理数
なお、この問題で実根の存在の有無については記載する必要はないと思われる
57 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/15(金) 12:08:25.34 ]: 算私語録から
deaimuryou.sakura.ne.jp/up/src/up2023.jpg

DQNにも分かる解き方（三角関数不可）でお願いします
58 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/15(金) 21:40:20.95 ]: >>57
ヒントきぼんぬ
59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/15(金) 22:31:19.27 ]: 真ん中の角出したらわかるやん
60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 00:26:55.80 ]: ぽかーん
61 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/16(土) 01:51:07.40 ]: 外心使っていいなら楽勝で誰でも解けるけどDQNって言ってるし少なくとも算数の解き方を求められてそうだな
62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 02:17:10.52 ]: >>61
くわしく～聞こうか～？
63 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 07:24:55.40 ]: >>61に期待。
64 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/16(土) 10:23:26.72 ]: 数直接Ｒから元をとってこれるという命題は、選択公理を認めないと証明できませんか？
65 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/16(土) 10:50:24.76 ]: >>57
アホばっかりだな。｢ラングレーの問題｣でググれよカス共
66 名前：61 mailto:sage [2011/07/16(土) 10:56:55.51 ]: 外心とか使っていいんだったら
ACとBDの交点をE、△BCDの外心をOとすれば
△OCDは正三角形で、△CDE≡△COEかつ△ADE≡△AOE
∠BDC=95°より∠BOC=170°、∠COE=∠CDE=95°なので∠BOE=75°
また∠BAC=105°なので□ABOEは同一円周上
以上から∠DAC=∠OAE=∠OBE=35°(最後はOB=OD, ∠BOD=2∠BCD=110°より)
∴θ=35°

一般に∠CBD=∠ACD=30°, ∠ABC=2∠ACBのときにAB=ADが成り立つはず。
算数解で解くには正三角形PQRをとってPQに関してRと反対側に点Sを
PS=PQ, ∠SPQ=80°となるようにとって、直線SQ上に点Qに関してSと反対側に点Tを
PQ=QTとなるようにとれば4点P,S,T,Rは順に4点A,B,C,Dと一致するのでAB=ADがいえるよ
みたいな感じで。
まぁ端的に言えば線分BC上に点FをAB=AFとなるようにとれば△ADFは正三角形
または正三角形ADFをとれば点Fは線分BC上に乗るのいずれかを示せばよいんだけど
この方向性で行くとちょっとめんどくさそうかなぁ
67 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 14:37:06.61 ]: >>66
ありがとうございます
いまから出かけるので、印刷して持っていって読みます

算私語録に書いてある内容の抜粋をネットで見つけた
www2.odn.ne.jp/~aai55890/dohiroba/kaitou3.html

野崎昭宏の２通りの解法とやらを見たいものです
68 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 14:39:04.66 ]: >>67
> 静岡の村松さんからの問題は安野光雅の「算私語録　そのⅢ」の六三九に
> ある学習塾が出した広告ビラの中に「家庭教師検定試験予想問題（小学算数）」があり、
> その中に図形問題があり、３晩かかっても解けなかったとある。
>
> 彼は野崎昭弘(数教協委員長）に電話したところ即座にこの問題は難しいと返事をもらった。
69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 14:39:47.67 ]: >>65
ググって同じ問題を探してみたのかな？
見つけられるかな？
70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 17:02:36.34 ]: >>69
こいつ意味不明
71 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 18:24:16.70 ]: >>55-56

〔系〕
　r>1, nが自然数のとき、次の実根xは無理数.
　x^r + x = n^r,
　x^r + 1 = n^r,
　x^r + x^(r-1) + ･･････ + x + 1 = n^r,
など。
72 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 18:29:00.69 ]: x^r+1=1^r.
73 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 21:45:30.00 ]: >>57
点Dから線分ACへ垂線だ！垂線は辺BCの所まで伸ばせ
74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 22:15:54.26 ]: 上嘘だわすまn
75 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/16(土) 23:31:15.07 ]: 　　　　　　1 - 3 = 4 - 6

　1 - 3 + 9／4 = 4 - 6 + 9／4

　（1 - 3／2）^2 = （2 - 3／2）^2

　　　1 - 3／2　=　2 - 3／2

　　　　　　　　 1 = 2

あれれ～ｗ
76 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 23:41:17.32 ]: (-1)^2 = 1^2
-1 = 1
77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 23:44:57.67 ]: 実数全体をRとする。
R=I[1]∪I[2]∪I[3]∪…　（任意のi,jについてI[i]∩I[j]=φ）
をみたす可算個の閉区間の列I[1],I[2],I[3],…は存在しないことを証明せよ。
78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 00:56:50.13 ]: >>75
２行目から３行目で何をしたのか理解不能！
79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 01:19:13.66 ]: >>77
・2つの異なる閉区間I[a]、I[b]は、supI[a]＜infI[b] or supI[b]＜infI[a]
（証明は容易だから略）
・もし存在なら、∀x∈R　∃n∈N　x∈I[n]　だが――
2つの異なる閉区間I[i_0]、I[j_0]（supI[i_0]＜infI[j_0]）について…
supI[i_k]＜infI[j_k]　なる2つの異なる閉区間I[i_k]、I[j_k]に対し、E(k)=(supI[i_k]、infI[j_k])とおく。
E(k)は2つの異なる閉区間I[p],I[q]を含み（証略）、その2つをI[i_k+1]、I[j_k+1]（supI[i_k+1]＜infI[j_k+1]）とおく。
中略
E(k)で区間縮小法により、どのI[n]にも属さない実数rがある。（r∈lim[k→∞]E(k))
これは∀x∈R　∃n∈N　x∈I[n]に矛盾。
Q.E.D.
80 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/17(日) 01:49:46.64 ]: >>75
どこが面白いんだよカス
81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 02:11:15.23 ]: ＞E(k)で区間縮小法により、どのI[n]にも属さない実数rがある。（r∈lim[k→∞]E(k))
I[1],I[2],…の中に[a, a] (1点のみの閉区間)という形のものが
存在する場合は、あるnに対してI[n]＝[r,r] となっている可能性が
あるから、矛盾しないよね
82 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 02:20:00.23 ]: [-1-1/2^0,-1-1/2^1],[1+1/2^1,1+1/2^0].
[-1-1/2^2,-1-1/2^3],[1+1/2^3,1+1/2^2].
[-1-1/2^4,-1-1/2^5],[1+1/2^5,1+1/2^4].
[-1-1/2^6,-1-1/2^7],[1+1/2^7,1+1/2^6].

[-1,1].
83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 03:09:33.95 ]: いや、[a, a]かどうかは関係ないか。>>81は無かったことに。

それはそうと、やっぱり>>79はマズイ。
で、79の反例を書こうとしたが、
なんか82に既に書いてあるな(＾q＾)

>>79
＞E(k)で区間縮小法により、どのI[n]にも属さない実数rがある。（r∈lim[k→∞]E(k))
>82を参考に

・I[1]＝[－1,1]
・I[3k＋1]＝適当 (k≧1)
・I[3k＋2]＝[1－1/2^{2k}, 1－1/2^{2k＋1}] (k≧0)
・I[3k＋3]＝[1＋1/2^{2k＋1}, 1＋1/2^{2k}] (k≧0)

と置き、i_k＝3k＋2, j_k＝3k＋3 (k＝0,1,2,…)とすれば、
>79の「中略」までの議論は全て満たすのに

lim[k→∞]E(k)＝I[1]

となることが確認できる。この場合、任意のr∈lim[k→∞]E(k) は
r∈I[1]を満たすので、「どのI[n]にも属さない実数r」は
lim[k→∞]E(k) から取って来ることが出来ない。
84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 04:27:18.67 ]: >>77
題意が成り立つとする。M＝{ I[k]｜k∈N } と置く。
閉区間I，Jに対して、二項関係＜を

I＜J　⇔　Iの左端点＜ Jの左端点

として定義する(両方とも左端点で比較する)。
任意のI,J∈Mに対して、「I≠J → I＜JまたはJ＜I」が成り立つことが分かる。

さて、k1＝1として、I[k1]＜I[k]を満たすkについて考える。
このようなkは必ず存在するから、その中で最小のkを取ってk2とする。
今の段階で、I[k1]＜I[k2]となっている。

次に、I[k1]＜I[k]＜I[k2]を満たすkについて考える。
このようなkは必ず存在するから、その中で最小のkを取ってk3とする。
今の段階で、I[k1]＜I[k3]＜I[k2]となっている。

次に、I[k3]＜I[k]＜I[k2]を満たすkについて考える。
このようなkは必ず存在するから、その中で最小のkを取ってk4とする。
今の段階で、I[k1]＜I[k3]＜I[k4]＜I[k2]となっている。

以下、同様にしてI[k_j]を作ると

・I[k1]＜I[k3]＜I[k5]＜…
・I[k2]＞I[k4]＞I[k6]＞…
・I[k_{2i－1}]＜I[k_{2j}]　(i,j≧1)

が成り立つ。
85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 04:32:51.45 ]: 次に、I[k_i]の左端点をx_iと置く。

・x1＜x3＜x5＜…
・x2＞x4＞x6＞…
・x_{2i－1}＜x_{2j}　(i,j＞1)

となるから、r＝inf[i∈N]x_{2i}と置けば

・x_{2i－1}≦r≦x_{2i} (∀i≧1)

が成り立つことが言える。また、R＝I[1]∪I[2]∪… だったから、
r∈I[n]なるnが存在する。簡単な議論により

・I[k_{2j－1}]＜I[n]＜I[k_{2j}] (j≧1) … (1)

が分かる。(1)からI[k1]＜I[n]＜I[k2]となるので、k3の最小性から
n≧k3である。同様にして、n≧k_{2j＋1} が任意のj≧1で言える。
特に、自然数の集合{k3，k5，k7，…}は上に有界となる(nは上界の1つ)。
よって、鳩ノ巣論法から、k_{2i＋1}＝k_{2j＋1} なるi≠jが
取れることになる。しかしI[k1]＜I[k3]＜I[k5]＜… だったから、
k1，k3，k5，…は全て異なる自然数であり、矛盾。
86 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 05:31:06.71 ]: >>84をちょっと修正。

×　題意が成り立つとする。M＝{ I[k]｜k∈N } と置く。
○　問題のI[1],I[2],…が存在するとする。M＝{ I[k]｜k∈N } と置く。
87 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 14:20:24.42 ]: >>78
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
88 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/17(日) 16:04:44.22 ]: フェルマーの最終定理
n=3の場合証明した

2sen.dip.jp/cgi-bin/upgun/up1/source/up60354.pdf

あってる？
89 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 17:12:18.30 ]: >>57
十年ばかり前になる。ある日、新聞の中に挟まれて、さる学習塾の広告ビラが舞い込んできた。
（中略）
ついに、私は野崎昭宏に電話をしてしまった。ものを教わるからには先生である。
電話で問題を説明したら、即座に「この問題はむずかしいよ」という返事だった。
（中略）
電話してから一週間くらい経って、ドサッと分厚い書類が届いた。中には二通りの解と、
かなり違うけど、いわば類題のプリントと、解題的手紙が入っていた。
「私にも学習塾の教師はやれそうにもありません」という一言が冴えていた。

二通りの解のうち一つは長い。これは電話を聞いた日にできたのだという。一つは短い。
このエレガントな解を見出すまで返事を渋ったのだということであった。さすがは数学者だ、
と私はとても驚いた。驚いていてはいけないのかも知れないが、ともかく新鮮な感動があった。
90 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 17:21:16.31 ]: >>88
一番最後の s≦1 がどこからも出ない。あなたは計算ミスしていると思われる。
ていうか、この議論、「nが3であること」をどこにも使ってない。
もしこの議論が正しいなら、nが3がどうかに関わらず
同じ議論が使えてしまい、特にn＝2でも使えて

「x^2＋y^2＝z^2, x,y,zは互いに素, x≦y≦z を満たすx,y,zは存在しない」

とか言えてしまうのではないか？
91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 17:34:27.87 ]: >>88
あと、1ページ目について。

＞以上より、x,y,zは互いに素である
x,y,zが互いに素である場合だけを考察すればいいのは事実だが、
そこに至るまでの議論が間違ってる。正しい議論は次のようにやる↓

x,y,zの最大公約数をdとすれば、x＝d*a, y＝d*b, z＝d*c (a,b,cは互いに素)と表せて、
x^3＋y^3＝z^3　⇔　a^3＋b^3＝c^3 (a,b,cは互いに素)
と変形できる。すなわち、3つの変数が互いに素である場合に帰着される。
従って、最初からx,y,zが互いに素である場合だけを考えれば十分である。
92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 17:36:46.46 ]: 一方で、>>88の議論では

「x,y,zが全てxで割り切れる」(上の議論ではa＝1に相当する)
「x,y,zが全てyで割り切れる」(上の議論ではb＝1に相当する)
「x,y,zが全てzで割り切れる」(上の議論ではc＝1に相当する)

の3通りが排除できているに過ぎない。この3通りで解が無いなら、残るは

「x,y,zの全てがxで割り切れることは無く、同様にyでもzでも割り切れることは無いが、しかし互いに素ではない」(d≠1,a≠1,b≠1,c≠1に相当する)

「x,y,zは互いに素」(d＝1に相当する)

の2パターンであり、>>88の議論では後者のパターンが排除できてない。
93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 17:38:48.52 ]: 間違えた。

×　の2パターンであり、>>88の議論では後者のパターンが排除できてない。
○　の2パターンであり、>>88の議論では前者のパターンが排除できてない。
94 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 17:49:03.97 ]: そろそろ>>88は、こちらに移動してもらおうか？

【数学】トンデモ数理科学入門【物理】
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1308203707/l50
95 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/18(月) 15:09:25.69 ]: >>88の方法は画期的
これは一般にnの場合でも成立する
>>88は画期的な方法で最終定理を証明した
96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/18(月) 20:51:13.90 ]: 何世紀の釣り師だよ
97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/18(月) 21:09:42.10 ]: 実は最終定理には簡単な証明法があったということだな
98 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/18(月) 23:44:14.70 ]: じゃあn＝2でも通用して"解なし"になるんだな
(x,y,z)＝(3,4,5)は解なのに

よって>>88は間違い
99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/18(月) 23:47:27.15 ]: すんません、こいつら隔離しますんで…
100 名前：しんちゃん mailto:sage [2011/07/20(水) 19:01:33.54 ]: ❶東大❷R
❸BHG❹ラミ
❺BEN❻ACT
❼23458❽禁8
101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/20(水) 21:24:44.26 ]: 角度の問題って、解法が思いつかないんだけど、何かコツはありますか？
いくつか考え方のパターンがあれば、教えてください

AB=AC、∠BAC=40度の△ABCがあって、
辺AB上にD、辺AC上にEを、BC=CD、AD=CE
となるようにとるとき、∠CDE=？
102 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/20(水) 22:57:25.59 ]: 確かに角度の幾何学問題って補助線とか
気付き要素が多いよなぁ。
クロスワードパズルとか、ペンシルパズルっぽいよね。
なんか文章題を数式に落として
図を全く描かずに答えを出す
安楽椅子探偵的な解法ってあったりしないの…？
できたらちょっとカッコいいよね
103 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/24(日) 20:53:14.83 ]: >>101
とりあえず、解答例
ttp://www.gensu.co.jp/saito/challenge/a13.html
104 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/24(日) 21:49:14.88 ]: >>103
もうちょっとマシな解答ないん？
105 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/26(火) 22:06:48.06 ]: 自然数全体をＮ
g: Ｎ→Ｎとする。
　g(g(g(g(n)))) = 2n,
を満たす g(n) を挙げよ。
106 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/26(火) 23:00:00.40 ]: ｇ（０）＝０。
ｇ（２＾ａ（８ｂ＋１））＝２＾ａ（８ｂ＋３）。
ｇ（２＾ａ（８ｂ＋３））＝２＾ａ（８ｂ＋５）。
ｇ（２＾ａ（８ｂ＋５））＝２＾ａ（８ｂ＋７）。
ｇ（２＾ａ（８ｂ＋７））＝２＾（ａ＋１）（８ｂ＋１）。
107 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/27(水) 05:33:01.39 ]: 奇数の自然数全体Ｏdd を、4個1組に分類する。
　Ｏdd = Σ_m {q1,q2,q3,q4}_m

任意の自然数は n = 2^a・b (a≧0, bは奇数) と表わせる。
　g(2^a･q1) = 2^a･q2,
　g(2^a･q2) = 2^a･q3,
　g(2^a･q3) = 2^a･q4,
　g(2^a･q4) = 2^(a+1)･q1,
とおく。
108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/28(木) 06:24:54.65 ]: g:Ｚ→Ｚで考えた方がいいな。

奇数の整数全体Ｏdd' を、4個1組に分類する。
　Ｏdd' = Σ_m {q1,q2,q3,q4}_m

g(0) = 0,
0でない整数は n = 2^a・b (a≧0, bは奇数) と表わせる。
以下同文
109 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/30(土) 20:46:23.35 ]: 任意の正の整数pに対して、
1と0だけを適当に並べて0でないpの倍数をつくることができることを示せ。
110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/30(土) 22:36:11.24 ]: 細かい所はざっくり端折って…

素因数分解すると2と5以外出現しない数mと
素因数分解すると2も5も出現しない数nを使って
p=mnと表すことができる。
nが1でないとき、1/(9n)は循環小数になる。
その循環の周期がk桁のとき、(10^k)*(1/(9n))-1/(9n)=aでaは整数。
(10^k-1)/9=na
ここで、(10^k-1)/9は10進法で1がk個並んだ数であり、これがnの倍数。
（n=1のときは、k=1とすると、1がk個並んだ数がnの倍数）
一方、m=(2^b)*(5^c)として、bとcの大きい方をdとすると、10^dはmの倍数。
したがって、((10^k-1)/9)*10^dはpの倍数で、
これは1がk個並んだ後に0がd個並んだ数である。
111 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/31(日) 09:55:05.04 ]: x[n]＝111…11 (1がn個並んでいる)と置く。

x[1], x[2], …, x[p＋1] をpで割った余りを考えると、引き出し原理から、
x[i]≡x[j] (mod p)なるi≠jが取れる。i＜jとしてよい。
このときx[j]－x[i]はpの倍数である。
また、x[j]－x[i]＝111…11000…00 (先頭からいくつかは1で、その後はずっと0)
という形をしているので、この数は題意を満たす。
112 名前：ちょっと、ここで舞っててくれる [2011/07/31(日) 18:19:59.52 ]: 半径5㎝の球（中は空洞）を切り取ると、切り口の円の半径が3㎝の容器になった。
この容器に水を満タンに入れ、切り口を水平面に対し30度傾けた時、容器に残った水の体積を求めよ。
113 名前：ちょっとここで舞っててくれる [2011/07/31(日) 18:26:24.72 ]: 中が空洞の球を切り取ると、大小ふたつの容器に分かれるが、大きい方の容器で考えてね。
関数電卓使用推奨。
114 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/31(日) 20:41:50.79 ]: 重心の円周x断面積
115 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/31(日) 21:25:53.67 ]: rsint
116 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/31(日) 21:37:05.18 ]: rsintrdrdt=1/3r^3(1-cosT)
rdrdt=.5r^2T
y=rsintrdrdt/rdrdt=(2/3)r(1-cosT)/T
2piyS+1/3sh=pir^2T(2/3)r(1-cosT)/T=pir^3(2/3)(1-cosT)+1/3sh
S=.5pir^2T/pi=.5r^2T
117 名前：真実の話 [2011/07/31(日) 22:54:56.41 ]: 昔、あるところにガウスという少年がいた。
ある日、小学校の教室で先生が生徒達に問題を出した。

黒板に
１＋２＋３＋・・・・＋１００＝？
と書き、
「わかったかね？　１から１００までの数字を全部足すんだ。
先生はちょっと出かけてくるからそれまでにやっておくんだよ。」
そう言って教室を出ようとした。

そのとき、ガウス少年が手を挙げて言った。
「先生できました。」

先生は、困ったような顔をしてガウス少年を呼んだ。
そして小声で
「君か。君ならあの方法を見つけると思っていたよ。」
答えをすぐに計算したんだろ。
ガウス少年は、「ええ、５０５０です。」と答えた。
先生は、やれやれというように言った。
「普通の少年なら、まず１と２を足して３、その３と３を足して６、６と４を足して１０
のように延々と計算していくのになあ。」
それに対してガウス少年は、不思議そうな顔をして言った。
「ボクもそうやって計算したんですが。」
118 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/31(日) 23:07:47.65 ]: >>117
なーんだ、ガウスも大したことないじゃん、いや、やっぱりすごい、うーん
119 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/01(月) 13:32:48.11 ]: うまい計算法は知らなかったがものすごいスピードで暗算したってのはフォンノイマンの逸話じゃないか
120 名前：ぷっ mailto:sage [2011/08/01(月) 21:56:51.85 ]: フォンノイマンもガウス並みの天才だった
121 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/02(火) 19:23:18.30 ]: >>110 >>111
正解です。
この問題は昨年の京大模試文系で出たものなんですが、
そのときの平均点は0.2点でした。ちなみに30点の問題です（笑）
もちろん私は解けず、当時の数学の先生にも出してみたんですが
一週間かかってもできませんでした。
このスレには初めて来ましたが、レベル高いですね・・・。
122 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/02(火) 21:08:02.37 ]: >>121
それはさすがにこのスレの人たちに失礼
123 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/02(火) 22:29:32.87 ]: >>121
糞蟲の分際で世の中舐め杉
124 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/07(日) 10:40:47.97 ]: 野球で後攻めのチームが8-5で勝つスコアのパターンは、
100210010｜5
003100004｜8
など色々あるが、合計何通りあるか。
コールドや延長はないものとする。
125 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/07(日) 10:43:18.23 ]: ８の分割数x５の分割数
126 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/07(日) 10:56:26.92 ]: >>125
見事に釣られてるｗ
127 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/07(日) 11:07:03.31 ]: H[9, 5]*H[9, 8] = C[13, 5]*C[16, 8] = 16563690
128 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/07(日) 13:42:05.18 ]: 100210010｜5
003100004｜8
9H5*(8H5+8H4+8H3...+8H0)
100210010｜5
00310004X｜8
(8H5+8H4+8H3+8H2+8H1+8H0)*8H8
129 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/07(日) 15:48:27.73 ]: >>128
上は9H5*9H5、下は9H5*8H8でいいのでは？
130 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/07(日) 16:14:03.22 ]: 9938214通り。
{16C8-(14C7+13C6)}×13C5=9938214
131 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/07(日) 16:17:16.03 ]: 9回裏は1点と2点はありえないからな。
132 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/07(日) 20:01:55.63 ]: なるほど。8-7なら単純なんだけど、8-5はちと面倒、ってことか。
133 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/07(日) 22:10:04.50 ]: >>124
勝者側試合放棄で、５点の側が８点として勝利するパターンは？
134 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/07(日) 22:14:32.10 ]: >>132
そこがポイントではない　あるいは　単純な方の例示が間違い　だな

例示するなら「先攻の勝利なら単純」なら正しいけど
135 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/07(日) 22:19:27.81 ]: >>133
試合放棄は 9-0 じゃないの？
136 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/08(月) 08:02:14.62 ]: 9回裏がある場合
先攻 9回までに5点
後攻 8回までに5点以下
9H5*(8H0+8H1+8H2+8H3+8H4+8H5)

9回裏がない場合
先攻 9回までに5点
後攻 8回までに8点
9H5*8H8
137 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/08(月) 08:26:29.66 ]: >>136
> 後攻 8回までに5点以下
これは9回途中までに5点と同じことなので9H5でOK。
>>129で指摘されている。
138 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/08(月) 09:35:46.68 ]: ？ 8H0+8H1+8H2+8H3+8H4+8H5 = 9H5
139 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/08(月) 09:40:28.90 ]: >>138は自己解決しました
140 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/08(月) 18:15:28.95 ]: ９回裏があるかどうかで考えるよりも、９回裏にはありえない得点を考えた方が早い。１点と２点はありえないから、その場合を除いた>>130がベスト解答。
141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/08(月) 18:30:25.56 ]: 結局９回裏の得点は０(x)、3,4の３種だけてことだよな？
142 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/08(月) 20:51:32.19 ]: >>141いや、X,3,4,5,6,7,8はありえる。たとえば9回表まで5-0の場合は、9回裏に4点取ったあと、満塁ホームランとか、
あるいは5点取って同点にしたあと、スリーランとかで一挙8点入る。
143 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/09(火) 00:27:14.32 ]: あ、そうか。なるほど
144 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/09(火) 01:13:57.47 ]: >>140
9H5*(8H0+8H1+8H2+8H3+8H4+8H5) + 9H5*8H8
= 9H5*(Σ[k=0, 8]8Hk-8H6-8H7)
= 9H5*(9H8-8H6-8H7)
= 13C5*(16C8-13C6-14C7)
145 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/10(水) 13:33:52.04 ]: ちなみに、8-3など5点差以上の場合、サヨナラ勝ちはない。
146 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/10(水) 17:19:05.70 ]: 100個中20個が当たりのくじを引き続けて、n個(1<=n<=20)の当たりくじを引いた時に、
その時に残るくじの枚数の期待値をE(n)を求めよ。
147 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/10(水) 17:24:19.22 ]: 訂正
100個中20個が当たりのくじをn個(1<=n<=20)の当たりが出るまで引き続ける。
この時残るくじの枚数の期待値をE(n)を求めよ。
148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/10(水) 17:46:08.51 ]: >>147
つまらんな、
ここは便所の落書きじゃないよ
自分で解きたまえ！
149 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/10(水) 18:04:19.82 ]: >>148
すごく計算が厄介だから聞いてみた
150 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/10(水) 19:46:17.57 ]: E(n)=100-101n/21
151 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/10(水) 20:37:20.18 ]: >>149
なん…だと…
ここは宿題を解いてもらうスレじゃないんだよ坊や
152 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/10(水) 21:12:11.60 ]: E(1) = 20/100*99 + Σ[k=0, 79](Π[l=0, k](80-l)/(100-l))*20/(99-k)*(98-k)
153 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/10(水) 21:12:42.46 ]: >>151
E(1)でもこれだけ厄介だけど、計算できるの？
154 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/10(水) 21:29:54.19 ]: 誰か、２封筒問題を解いてくれ～
155 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/10(水) 21:43:50.38 ]: 偉そうな>>151の解説マダー？
156 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/10(水) 21:52:31.47 ]: 152を計算したら150と一致するんだけど150はどうやって出したの？
157 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/10(水) 21:59:46.99 ]: 1回目～81回目で当たりを引く確率とその時の残りのくじの枚数を掛け合わせて出した
158 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/10(水) 22:36:02.83 ]: 152の出し方は聞いておりません
159 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/10(水) 22:46:11.55 ]: それは失礼
160 名前：実に面白い問題 mailto:sage [2011/08/10(水) 23:06:15.84 ]: 1+1=
161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/10(水) 23:09:46.00 ]: >>160
田んぼの田
162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/10(水) 23:16:18.19 ]: >>161 正解です!!!!

次のステージ

1+1=
163 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/10(水) 23:21:05.91 ]: 田んぼの田
164 名前：実に面白い問題 mailto:sage [2011/08/10(水) 23:39:57.26 ]: ﾌ正解でする!!!!

次のステージ

5÷0=
165 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/11(木) 00:03:15.32 ]: >>156
二項分布をフーリエ変換の畳み込みに置き換えれば、
総和を積に置き換えられるから、>>150になる
166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/11(木) 08:15:22.77 ]: >>164
田んぼの田
167 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/11(木) 08:25:20.97 ]: 円に内接する五角形がある。
任意の頂点から対角線をそれぞれ2本の引く。
線が出ていない残り1つの頂点から対角線の交点に直線を引く。それと円の交点をAとし、円の中心をOとする。
OAが半径になるとき、五角形は正五角形であるか。
168 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/11(木) 08:30:33.82 ]: >>167
いろいろと意味がわからない。
169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/11(木) 09:09:50.07 ]: >>167
円上の点Aと円の中心Oを結ぶ線分OAは、常に半径だと思う
170 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/11(木) 09:14:08.77 ]: >>167
それぞれ　の使い方もおかしいな
吟味せずに投げっぱなしてるいつもの奴だろう
171 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/11(木) 09:19:56.47 ]: >>166 ﾌ正解!!!

ステージ\11
この問題に答えなさい。\11/35+3%&@+(3?)523=
172 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/11(木) 09:28:43.35 ]: >>171
田嶋の田
173 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/11(木) 09:29:31.09 ]: >>169
正解！
174 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/11(木) 09:29:50.54 ]: 実はこれ文章がめちゃくちゃでも分かる問題でしたー
175 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/11(木) 09:39:25.72 ]: >>170残念でした(￣^￣)ゞ
176 名前：実に面白い問題 mailto:sage [2011/08/11(木) 19:18:59.43 ]: >>172 正解です!!!

ステージ裏

♂+♀=
177 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/11(木) 19:42:12.41 ]: 子供
178 名前：福沢論吉 [2011/08/11(木) 21:50:27.27 ]: 天は人の上に人を乗せて人を作る
179 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/11(木) 22:44:17.12 ]: 「πが一定値であることを証明せよ。」
この問題をきちんと解けるやつ出てこい。
言っておくが高校レベルは軽く超えてるぞ。
180 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/11(木) 22:50:38.46 ]: >>179
そのπの定義は？
181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/11(木) 23:01:21.19 ]: 当たり前と思っていることを証明しろと言われると、
証明の材料に困るよな。
下手な定理を使うと循環証明の危険があるし。
公理まで立ち戻れば確実なんだろうが。
182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/11(木) 23:05:57.13 ]: html5games.com/2011/01/lazors/
よく untangle っていう名前で呼ばれてるパズルで、
どうやら数学的には多項式時間で解ける問題らしいんだが、
手でやってみると全然方針が見えてこないのよね。
手でサクサク解ける方法なんかない？
183 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/11(木) 23:12:17.31 ]: >>182
英語かよ！
184 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/11(木) 23:16:08.92 ]: >>182
「頂点の位置を移動させて平面グラフにせよ」っていうことかな？
185 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/11(木) 23:18:07.25 ]: >>181
確実というよりは
使っていい公理を示してくれん限り
公理の選び方で答えが全然変わってくるから困るというだけだろ
186 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/11(木) 23:19:08.60 ]: >>184
そうそう。単に線が交わらないようにするだけ。
187 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/11(木) 23:27:29.06 ]: >>182
俺は割と解けたが、方針と言われると困るな
次数の多い点はなるべく中に押し込める
行き詰まったら外枠を広げてみる
とかかな
188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/11(木) 23:28:21.53 ]: >>182
いま15までやったけど、簡単すぎるな
どういう理屈で解いているのか分からんが、サクサク解ける
天才ゆえに、途中式を飛ばして結論を出してしまうんだな
189 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/11(木) 23:33:46.11 ]: こっちの方が難しい
www.bestflashonlinefreegames.com/Truck/59912.html
190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/11(木) 23:37:11.16 ]: >>182
とりあえず30問解けたけど、なんとなくサクサク解いている感じ
理屈を理解すれば、真の天才と呼べるのだが…
191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/11(木) 23:45:31.31 ]: >>189
点が多すぎるので時間が掛かるが、やはり、なんとなく解けてしまう
いまLv.4クリア！
理論的に理解しないうちは…
192 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/11(木) 23:54:23.95 ]: 今摘んだ頂点がある
そこから伸びてる辺により、摘んでる頂点に結ばれた頂点がある
その頂点が多い方向に摘んだ頂点を移動させてやればいい
どうだろうか…
193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/11(木) 23:58:21.08 ]: 平面グラフの描画に辺の交差が存在する場合、
その点を適切に動かすと辺の交差の数が減る、という点が必ず存在する。
つまり辺の交差の数を減らす操作が必ずあり、
それを続ければ、行き詰まらずに解が得られる
194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/12(金) 00:02:59.55 ]: >>189をLv.7までクリアしたんだけど、どうやら理解したらしい
ただし、無意識の中でな…

>189は数が多い分、適当にやれないから、なんとなく掴みかけてきた
195 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/12(金) 00:03:38.26 ]: url3.tk/untangle/ が割と点数少ない割に良問出す
196 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/12(金) 00:07:43.59 ]: >>193
＞その点を適切に動かすと辺の交差の数が減る、という点が必ず存在する。
「どの1点を動かしても交差の数が減らないが、ある2点を同時に動かすと交差の数が減る」
という状況は起きないの？
197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/12(金) 00:09:07.77 ]: >>193
いやー greedy には解けないでしょ。
たとえば、単純な20個くらいの数珠つなぎを８の字に１回ひねっただけの問題とか、
一個ずつ動かして行っても交差の数減らないし
198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/12(金) 00:13:15.20 ]: >>195
Not good enough とか言われてちょっと癪だ
199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/12(金) 00:13:16.61 ]: この問題において解けない条件はあるだろうか
200 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/12(金) 00:16:28.57 ]: >>199
５点の完全グラフ
201 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/12(金) 01:07:35.40 ]: >>197
前処理として縮約する(1次の点は削除、2次の点は辺とみなす)前提を忘れてた

>>200
あとは3-3完全二部グラフだな
202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/12(金) 02:45:03.49 ]: >>201
＞前処理として縮約する(1次の点は削除、2次の点は辺とみなす)前提を忘れてた
横レスだが、それでもダメだな。>197を少し改造して

ttp://coolier.sytes.net:8080/uploader/download/1313084203.png

こういうのを作ると、どの1点を動かしても交差の数は減らない。
また、このグラフに2次以下の頂点は無いから、
>201のような「前処理」も使えない。
203 名前：実に面白い問題。 mailto:sage [2011/08/12(金) 06:27:37.66 ]: 実に面白い…ふふ…。

♂+♂=
204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/12(金) 09:26:19.90 ]: 801板にお帰りください
205 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/12(金) 11:24:18.97 ]: >>203
そろそろ消えろ！
全然おもしろくない
206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/12(金) 20:44:14.70 ]: >>202
確かにローカルミニマムにハマってるな。

Hopcroft-Tarjanのアルゴリズム
bkocay.cs.umanitoba.ca/g&g/articles/planarity.pdf
多項式時間どころか線形時間だった
読んだがよく分からん。。
207 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/12(金) 22:12:49.51 ]: >>179
π=4∫[0,1]√(1-x^2)dx
じゃだめ？
208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/12(金) 22:55:55.78 ]: 田んぼの田
209 名前：179 [2011/08/14(日) 08:34:25.87 ]: >>180
>そのπの定義は？

「円周の長さを直径で割った」数字以外にあるとでも？
210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/14(日) 10:05:07.98 ]: 中心は何所で半径はいくつ。
211 名前：179 [2011/08/14(日) 10:44:32.96 ]: >>210
>中心は何所で半径はいくつ。

であってもπが一定値であることを証明せよつー問題だとわからんのかキミは。
212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/14(日) 10:54:00.25 ]: >>210
R^2の(0,0)を中心,半径1の円の円周の長さの1/2をπとする。
213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/14(日) 13:50:20.50 ]: 三角関数を級数で定義してその周期の半分をπと定義してもよい
214 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/14(日) 15:31:00.31 ]: 面白い問題というか、面白い性質だなと思った問題。
元の文章が見つからなかったので、俺が書き直した。

数列a[1,n]を1番目の数列と呼ぶことにする。
また
a[1,n]=1,1,1,1,1,　（全ての項が1の数列）
とする。
次に、数列a[2,n]を2番目の数列と呼ぶことにする。
数列a[2,n]は初項1、a[1,n]を階差に持つ数列と定義する。
つまり、
a[2,n]=1,2,3,4,5,…
となる。
同様に数列a[m,n]を帰納的に定義する。
a[m,n]=1+Σ(k=1,n-1)(a[m-1,k])

このとき、
a[n,2n]=4^(n-1)
を示せ。
215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/14(日) 16:47:03.38 ]: >>209
円の定義は？
216 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/14(日) 19:45:35.15 ]: 〇●東日本大震災は人工地震m.youtube.com/watch?guid=ON&gl=JP&hl=ja&client=mv-google&v=IMD0tQtIyVQ●●
217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/14(日) 20:19:49.96 ]: >>215
ググレカス
218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/14(日) 20:53:11.58 ]: >>214
f_m(x)=Σ[n=1,∞]a[m,n]x^nとおく。定義より
f_1(x)=Σ[n=1,∞]a[1,n]x^n=Σ[n=1,∞]x^n=x/(1-x)
f_m(x)*x/(1-x)=(Σ[n=1,∞]a[m,n]x^n)*(Σ[n=1,∞]x^n)
　　　　　　　　　=Σ[n=1,∞](Σ[k=1,n-1]a[m,k])x^n　なので
f_m(x)*x/(1-x)+x/(1-x)
=Σ[n=1,∞](1+Σ[k=1,n-1]a[m,k])x^n
=Σ[n=1,∞]a[m+1,n]x^n=f_(m+1)(x)　よって
f_(m+1)(x)=f_m(x)*x/(1-x)+x/(1-x)　この漸化式から
f_m(x)=Σ[k=1,m]{x/(1-x)}^k　が示される。
1/(1-x)^k=Σ[n=0,∞]C[n+k-1,k-1]x^n　(C[n,r]は二項係数)より
{x/(1-x)}^kのxでのべき級数展開のn次の係数は
C[n-1,k-1] (ただしr>nのときC[n,r]=0と定める。) なので
f_m(x)=Σ[n=1,∞](Σ[k=1,m]C[n-1,k-1])]x^n
f_m(x)=Σ[n=1,∞]a[m,n]x^nよりa[m,n]=Σ[k=1,m]C[n-1,k-1]
特に
a[n,2n]=Σ[k=1,n]C[2n-1,k-1]
　　　　=(1/2)*(Σ[k=1,n]C[2n-1,k-1]+Σ[k=1,n]C[2n-1,k-1])
　　　　=(1/2)*(Σ[k=1,n]C[2n-1,k-1]+Σ[k=1,n]C[2n-1,2n-k])
　　　　=(1/2)*(Σ[k=1,2n]C[2n-1,k-1])=(1/2)*2^(2n-1)=4^(n-1)
219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/14(日) 21:08:21.29 ]: >>217
それじゃいつどの時代にググるのかによって違う定義がでてくるから
答えが一意に定まらないのでは？
220 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/14(日) 21:13:12.72 ]: >>219
自分で調べろって意味だろ
下らんレスつけんな
221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/14(日) 22:20:07.06 ]: アスペルガーなんじゃね？
222 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/15(月) 00:31:26.53 ]: >>218
まさか、次の問題として用意してた一般化を先にやられるとは。。。

「一般項も綺麗だよね」って言う予定でした。
お見事です。
223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/15(月) 01:04:37.83 ]: >>220
いや、だから出題者じゃない俺が調べて
たまたま出て来た定義を使って答えを書いても
意味なくね？ちゃんと使う公理系示してくれね？っていう突っ込みは
こういう基礎論っぽい問題に関しては正常な突っ込みだと思うんだが。

変な受け答えのように見えるのは
もちろんもともと問題とその問い方が奇妙だからなのであって
俺のせいじゃない
224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/15(月) 01:04:44.25 ]: >>222
情報を小出しにする馬鹿の先を読んで答えたのだよ！
数学板で鍛えられたこの俺に死角はない！
225 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/15(月) 01:20:59.09 ]: >>224
では、一般項からでなく>>214を示してください。
226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/15(月) 13:00:08.52 ]: >>214 >>225
　仕方ねぇな。それぢゃ....

　a[m,n] = 0　(m≦0) としてよい。
Pascal型の漸化式
　a[m,n] = a[m,n-1] + a[m-1,n-1],
を n-1 回使うと
　a[m,n] = Σ[k=0,m-1] C[n-1,k] a[m-k,1]
　　　　 = Σ[k=0,m-1] C[n-1,k]　　　(← 題意)
ここで n=2m とおけば
　a[m,2m] = (1/2)*2^(2m-1) = 4^(m-1).
227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/15(月) 13:53:06.18 ]: >>209
その「円周の長さ」と「直径」の定義は？
228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/15(月) 19:31:15.91 ]: >>207じゃだめなんですか？
229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/15(月) 19:45:39.64 ]: >>228
>>209だから、その積分と「円周の長さを直径で割った」数字の関係をつけないとだめ
230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/15(月) 20:02:03.62 ]: 2π=(4∫[0,r]√(1+(√(r^2-x^2))')dx)/r
じゃあこれでいいのか
231 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/15(月) 20:09:36.95 ]: >>230
右辺の分数の分子が「半径rの円周の長さ」を表していることを証明しなければならない。
そのためには、まず始めに "曲線の長さ" とは何なのか、その定義が必要。
だから>230では不十分。
232 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/15(月) 21:15:39.64 ]: マジレスする相手じゃねーだろw
233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/15(月) 21:46:39.97 ]: 積分使うならせめて dπ(r)/dr ≡ 0 を証明するとか、そういう方向で書くべきじゃ？
234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/15(月) 21:57:02.44 ]: 問題解くだけなら、（完備）位相空間で定義したほうが良くない？
235 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/16(火) 22:13:16.62 ]: 面白くないかもしれんが、△ABCにおいて
ABの中点をD、BCを1：2に内分する点をE、CAを1：3に内分する点をFとし、
AEとBFの交点をP、BFとCDの交点をQ、CDとAEの交点をRとするとき、
△PQRは△ABCの何倍か？
236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/17(水) 02:25:02.86 ]: AB = b、AC = c、△ABCの面積をSとすると
AP = 3b/5 + 3c/10、AP:PE = 9:1、△ABP = 3S/10
AQ = b/5 + 3c/5、CQ:QD = 2:3、△BCQ = S/5
AR = 2b/5 + c/5、CR:RD = 4:1、△CAR = 2S/5
△PQR = S/10
237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/18(木) 16:58:55.77 ]: 質問スレの未解決問題
ちょっと面白いと思ったんで

kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1312225621/739

> 試験で問題が6つあって、全部解けた人はいない。
> どの2問をとっても両方解けた人は全体の４０％より多い。このとき、ちょうど
> ５つ解けた人が少なくとも２人いることを証明せよ
238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/18(木) 17:32:49.86 ]: 試験を受けた人数が2人の場合
そのうち一人が1～5番目の問題を正解したとすると
どの2問をとっても両方解けた人が全体の40％より多いという条件から
もう一人は、1～5―6の組み合わせを全て正解しないといけなくなり
全問正解しなければならないので不適
239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/18(木) 17:53:35.30 ]: 試験を受けた人数が3人の場合
3人がそれぞれ、1,2,3問目を間違い残りの問題に正解した場合には、
1-2,1-3,2-3の組み合わせでそれぞれ、両方解けた人が1/3となり不適
240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/18(木) 18:49:55.45 ]: 試験を受けた人数が5人の場合
それぞれ
1-5
3-6
1,2,3,6
1,4,5,6
2,4,5,6
を正解した、1人が5問正解で4人が4問正解の場合に
どの2問をとっても両方解けた人が全体の40％より多いという条件を
満たすので不適
241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/18(木) 18:55:33.43 ]: >>240
｢以上｣ではなく「より多い」だからそれだと
> どの2問をとっても両方解けた人が全体の40％より多いという条件を
は満たさないんじゃないの？
242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/18(木) 19:20:25.30 ]: >>241
間違えました．．．
243 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/18(木) 20:32:26.01 ]: 途中まで
試験を受ける人数をn(4以上の整数)として、どの2問をとっても両方解けた人が全体の40％より
多いという条件を満たし、問題の組み合わせを両方正解した場合を1と数えてそれを全ての
組み合わせ掛ける人数分足し合わせた場合の数の総数をf(n)と表すと
f(n) = ([(6n)/15]+1)*15
1人が5問正解し残りの人数が4問正解するときの場合の数をg(n)とすると
g(n) = 6n + 4
f(n)-g(n) = 15([0.4n]-0.4n+4/15)
n≠5m+2(mは整数)以外の場合は
f(n)-g(n) > 0
となり、題意が示される。
244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/18(木) 23:52:03.58 ]: 受験者が7人の場合
1人が5問正解で6人が4問正解の場合に
どの2問をとっても両方解けた人が3人より多くすることが
できないことを証明できない．．．
245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/19(金) 23:40:45.00 ]: 受験者が5m+2人の場合
５問正解が２人未満であって、どの２問の組についても両方正解者が40％より多いと仮定する。

６問中２問の組合せ15通りについての、両方正解者の人数の総和≧30m+15より、
５問正解が１人だけで、残り全員が４問正解でなくてはならず、
その場合、15通りについての両方正解者の人数の総和＝30m+16で、
15通りの２問の組のうち、１組のみが両方正解者2m+2人で、残り14組が2m+1人。

問題番号1～6のうちの２つの組合せのうち、kを含む5組
（たとえば、k=1なら、1-2,1-3,1-4,1-5の５組）について、
各組の「両方正解者」のうち４問正解者の人数の合計をf(k)とすると、
４問正解者１人につき、この５組の中で両方正解者にカウントされる回数は０回か３回なので、
f(k)は必ず３の倍数である。

（続く）
246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/19(金) 23:42:43.22 ]: （続き）

ここで、6通りのkのうち、5問正解者が正解した問題は当然5通りある。
また、6通りのkのうち、両方正解者が2m+2人であるような組に含まれているものは2通りある。
したがって、6通りのkの中には、必ず
・５問正解者が正解して、なおかつ、両方正解者が2m+2人であるような組に含まれない問題
・５問正解者が正解して、なおかつ、両方正解者が2m+2人であるような組に含まれる問題
の両方が存在する。
前者の１つをa，後者の１つをbとおく。

f(a)=(2m+1)*5-4=10m+1
f(b)=(2m+1)*4+(2m+2)-4=10m+2

この両方が３の倍数となることはありえないので、矛盾。
247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/19(金) 23:45:37.33 ]: 訂正
誤：1-2,1-3,1-4,1-5の５組
正：1-2,1-3,1-4,1-5,1-6の５組
248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/20(土) 15:15:11.55 ]: 数列１、２、２、３、３、３、４、４、４、４、…の一般項を求めよ
249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/20(土) 15:30:48.33 ]: ガウス記号とか使って、一般項の「式」をでっちあげたところで
「だからなに？」という感じなのだが
250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/20(土) 15:46:54.53 ]: つまらなかったですか…
申し訳ありませんでした
www.youtube.com/watch?v=wtAQHjsFwdI
251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/21(日) 00:33:36.55 ]: [B]
こなみcard
掃除
洗濯
飯
キリン水
風呂入った
アマゾンでマスオ
とんき
センター漆原慎太郎古文
漆原慎太郎のセンター古文は今年中に新しいの出ますか？
漆原慎太郎
加地伸行
デザイナーズ
ファッショナブル
252 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/22(月) 01:25:33.05 ]: コマル問題

[B.4341.]
　f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1
を満たす実多項式の対 f(x), g(x) をすべて求めよ。 (P.Kutas)

www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=feladat&f=B4341&l=en
253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 01:39:43.85 ]: >>252
これって方程式でなく恒等式ってことでよいのですか？
254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 02:01:04.23 ]: >>253
何を問うているのかがわからん。
255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 02:07:57.37 ]: あえて言うなら、
方程式が恒等式となるようにf(x)とg(x)を定める問題
全ての組みを見つける。
256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 02:27:20.38 ]: ＞方程式が恒等式となるように
用語を理解できてないんじゃね？
257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 02:32:03.93 ]: どのあたりが？
258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 02:46:28.37 ]: 多項式は多項式。
xに何を代入するかとか、その時の式の値とか余計なことは考えずに、
多項式は多項式としてただ存在する。
その多項式がイコールで結ばれてるってのは、同じ多項式、つまり、全ての係数が等しいということ。

で、そのリンク先に書いてあるっぽい答えなんだけど、最後の
ad-bc=-1/2 は、ad-bc=1/2の間違いだよな？
259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 03:03:56.68 ]: ＞全ての係数が等しいということ。
恒等式だね
260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 03:05:52.16 ]: とくに問題ないように思えるが。なにが言いたいんだ？
261 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 03:09:55.43 ]: 方程式を持ち出したのがおかしいってことだろう
そして方程式が恒等式となるようにと言いだすから余計におかしくなる

まだ係数決定とか言えば意味が通じたのに
262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 04:05:00.69 ]: 持ちだしたのは253だろ
それへの説明としてはそんなに的外れでもないと思うが
263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 04:40:03.18 ]: そもそも「方程式」って何？って話になっちゃうけど、
未知数ないし未知なるものを含む等式が方程式だとして、
>>252の式のうち未知なる要素はfとgであって、xじゃないよね。
xは多項式で使われるただの文字。別に変数とか定数とかいう意味づけはない。
ここで扱っている対象は「値」ではなく多項式なのだから、
この等式は値に着目した相等関係ではなく、
あくまでも多項式としての相等関係を表しているとみなすべきでは。
264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 04:59:52.38 ]: f(x+1)
265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 05:04:19.16 ]: ＞未知数ないし未知なるものを含む等式が方程式だとして、
我流の定義でやってきたのか
数学に向いてないんじゃね？
266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 05:57:15.58 ]: 方程式の英訳語はequationだけど、equationの日本語訳は実はただの「等式」なわけで、
「方程式」という切り口の概念って、実は日本だけの曖昧なものなんでないの？
等式という概念だけあれば、あとはそれが文脈のなかでどう使われるかだけでしょ。
267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 06:00:36.21 ]: 言い訳積み重ねるより
中学なり高校なりの初歩の教科書でもあたってみればいいのに
268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 07:29:16.20 ]: ここにティッシュ置いときますね。

　　_,,..i'"':,
　 |＼`､:　i'､
　 .＼＼`_',..-i
　　　.＼|_,..-┘
269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 11:57:39.93 ]: >>265
>我流の定義でやってきたのか
意思疎通の問題はあるが、我流の定義が出来ない人の方が向いていない。
研究が出来る人は、すべてとは言わないがお受験数学の問題や演習問題をもモノにする。
お受験数学や試験なんて単なるお遊びで、場合によってはその続きがあったり、
更には凍て付く程難しい問題が生じることもある。
270 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 13:56:22.58 ]: >>269
そんな水準の話じゃないだろ
屁理屈

その中であてはまるのは「意思疎通の問題はある」の部分だけ
271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 14:11:08.18 ]: >>252
f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1
任意のxに対して成り立つから、xをx+1、x-1に置換した
f(x)g(x-2) - g(x)f(x-2) = 1
g(x)f(x+2) - f(x)g(x+2) = 1
が成立する。両辺を引くと
f(x){g(x-2) + g(x+2)} - g(x){f(x-2) + f(x+2)} = 0
よって、任意の実数aに対して以下の式が成立する。
a*f(x) = f(x-2) + f(x+2)
a*g(x) = g(x-2) + g(x+2)
272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 14:17:50.46 ]: ×任意の実数aに対して
○ある実数aに対して
273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 14:20:36.79 ]: >>270
ここはお受験数学の話だから屁理屈なんだろうけど、こんな甘ったれた考えしてたら
ポントリャーギンの連続群論とかの古典的本は1人で読めないぜよ。
連続群論の中の記号や用語に限っても、標準的でない部分は多めにある。
274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 15:04:07.47 ]: >>252
f(x+2) - af(x) - f(x-2) = 0
a ≠ 2のとき
x^2 - ax + 1 = 0の2解をα、βとすると
f(x+2) - αf(x) = β{f(x) - αf(x-2)}
h(x) = f(x+2) - αf(x)とおくと
h(x) = C2β^(x/2)、C2は定数
h(x+2) - αh(x) = (β-α)h(x)
f(x+2) - αf(x) = {h(x+2) - αh(x)}/(β-α)
k(x) = f(x) - h(x)/(β-α)とおくと
k(x) = C0α^(x/2)、C0は定数
f(x) = C0α^(x/2) + C1β^(x/2)、C1は定数
a = 2のとき
f(x+2) - f(x) = C、Cは定数
f(x) = Cx/2 + D、Dは定数
275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 15:23:30.88 ]: ×a ≠ 2のとき
○a ≠ 0かつa ≠ 2のとき
276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 15:37:51.85 ]: a = 0のとき
f(x) = C、Cは定数となり不適。
a = 2のとき
f(x) = ax + b、g(x) = cx + dとすると
ad - bc = 1/2を満たす場合に題意を満たす。
a ≠ 0かつa ≠ 2のとき
f(x+1) = f(x)/2、f(x-1) = 2f(x)より
f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 0となり不適。
277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 15:45:52.54 ]: >>263
その定義をそのままつかったとしても

fとgに関する方程式が与えられていて
その未知なるfとgを、恒等式となるように決定する。

という問題であることになにか間違いがあるのか？
278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 15:46:54.77 ]: ＞f(x+1) = f(x)/2、f(x-1) = 2f(x)より
は削除します。
279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 15:48:19.68 ]: >>273
なにも我流の定義すべてがいけないと言ってるんじゃなく
他の定義で話している中に何も断りもなく我流をしかも後出しで
押し付けに来るという行為を問題視しているのだが。
280 名前：ひょうたん柄コマ [2011/08/22(月) 18:07:56.24 ]: わりと難問です。
10両編成の電車を赤青黄の3色で塗り分ける。赤同士および青同士は、隣接してはならない（黄同士は隣接してかまわない）ものとして、塗り分け方は何通りあるか。
281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 18:22:17.00 ]: >>279
>他の定義で話している中に何も断りもなく我流をしかも後出しで
>押し付けに来るという行為を問題視しているのだが。
なるほど、確かにこれなら意思疎通の問題は生じ得るな。
だけど、定義が分かっていればと言うか読解力があれば、
>>252の「実多項式」は恒等式を指していると分かるだろう。
方程式ならそれを解けってなるだろ。
むしろ何で恒等式と方程式をごっちゃにしているのかがよく分からん。
まあ、方程式の厳密な定義は暗黙の了解となっていることが多いから、>>263の話も一理あると思う。
282 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 19:04:34.50 ]: >>280
難問か？
DQN問題の間違いだろ？
283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 19:10:41.21 ]: だからさ、そういう話ではなくて
>>253が、方程式でなく恒等式ってことでよいのですか？という
問題の文意を解ってんだか解ってないんだか微妙な質問があったところに
>>255が揶揄を含んで
（ｘについての）恒等式となるように（f,gについての）方程式を解けという意味だよ
と言っただけのことなんだよ。
その流れから言えば、方程式や恒等式の定義の話なんかに一理もクソもないんだ。
284 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 19:26:59.75 ]: >>282
では華麗に解いてくれたまい
285 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 20:10:58.17 ]: >>280　282ではないが、似た問題は、ここら辺に何度も出ている。
a,b,cの何れかを幾つか並べた列を考える。
この列を、最後の文字と、長さで区別する。
最後の文字がaで、文字の長さがnのものをA[n]、同様に、B[n]、C[n]と呼び、それに属する
列の数を値として持つこととする。
さて、ここで一つ、ルールを設ける。つまり、cだけは、連続して並べてはいけい。すると、
A[1]=B[1]=C[1]=1
A[n+1]=A[n]+B[n]+C[n]
B[n+1]=A[n]+B[n]+C[n]
C[n+1]=A[n]+B[n]
整理すると、A[n]=B[n]=2*(A[n-1]+A[n-2])、C[n]=2*A[n-1]等で、
A[10]=B[10]=9136、C[10]=6688で、合計24960
286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 20:35:20.78 ]: うわ、問題読み間違えてた。漸化式は
A[1]=B[1]=C[1]=1
A[n+1]=B[n]+C[n]
B[n+1]=A[n]+C[n]
C[n+1]=A[n]+B[n]+C[n]
で、8119が答えだ
287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 20:55:32.58 ]: >>280
途中まで
nを枝分かれをする階層の数として
青か赤を選択した場合にその後にくる組み合わせの総数をp(n)
黄色を選択した場合にその後に組み合わせの数をq(n)とする
p(1) = 2
q(1) = 3
p(n+1) = p(n) + q(n)
q(n+1) = 2p(n) + q(n)
288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/23(火) 00:25:50.21 ]: >>273
地に足がついてない奴が背伸びして高校以上の数学の話をしようとしても
滑稽なだけだよ
289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/23(火) 00:27:28.63 ]: >>283
揶揄にも知性が必要だからなあ
揶揄しようとしてかえって墓穴掘ったり恥かいてるんじゃ本末転倒では？
290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/23(火) 00:32:24.97 ]: >>281
> むしろ何で恒等式と方程式をごっちゃにしているのかがよく分からん。

ごっちゃにしているのは>>281だけのように見受けられる。
291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/23(火) 00:36:18.71 ]: >>289
そういう台詞は、君なりに>>253に答えたあとで言わないと説得力がない。
もちろん知性のある揶揄を含んだ答で。
292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/23(火) 00:46:30.24 ]: とりあえず解けよ

言ってる単語の意味が数学界と違っても違わなくても
脳内修正して問題解け
本題解けないから横道の議論で誤魔化してるのそろそろバレてっからな
293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/23(火) 00:55:42.70 ]: 解けないのをごまかす必要など無いので（書かなければ十分だろう）それは何かの勘違い。
294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/23(火) 01:14:51.84 ]: >>292
根っからの構って君体質が
他人を見る見方にもあらわれてるな
295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/23(火) 01:15:55.88 ]: 鏡も見てみるとよい
296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/23(火) 20:25:19.25 ]: >>266

「方程」は中国の数学書「九章算術」の一章。多元一次方程式の解法を内容とする。〔大辞泉(小学館)〕

「方程」は中国の数学書「九章算術」の内容の一。連立一次方程式を加減法で解くことを取り扱う。〔大辞林(三省堂)〕
297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/23(火) 21:11:19.77 ]: >>266

「方程」は中国の数学書「九章算術」の一章。多元一次方程式の解法を内容とする。〔大辞泉(小学館)〕

「方程」は中国の数学書「九章算術」の内容の一。連立一次方程式を加減法で解くことを取り扱う。〔大辞林(三省堂)〕

【九章算術】は中国古代の数学書。著者未詳。九章から成る。
　263 年に魏(ぎ)の劉徽(りゅうき)が注をつけて出版した。
　一説に紀元前 1000 年頃の著という。
　連立方程式の解法に、加減法が見られる。〔大辞林(三省堂)〕

　確かな証拠はないけれども、B.C.1105年に死んだ周公の命によって準備されたという伝承がある。
　前漢期の陵墓から出土した『算数書』発見までは、数学書としては中国最古のものであった。

九章に分かれており、延べ246問が収められている。なお、九章算術の名前は九章からなる構成に由来する。

巻第一　方田章 - 主に田畑の(年貢のための)面積計算と分数の計算。
巻第二　粟米章 - 交換比率の異なる商品を物々交換するための計算。比例算。
巻第三　衰分章 - 商品とお金との分配。比例按分。利息計算。
巻第四　少広章 - 面積体積から辺の長さを求める。平方根や立方根。
巻第五　商功章 - 土石の量などを求める土木計算。体積。
巻第六　均輸章 - 租税の計算。複雑な比例問題。
巻第七　盈不足章 - 鶴亀算。復仮定法。
巻第八　方程章 - ガウスの消去法による連立一次方程式の解法。また、その為の負の数とその演算規則の導入。
巻第九　句股章 - ピタゴラスの定理に関する問題。測量など。
　www.weblio.jp/wkpja/content/%E4%B9%9D%E7%AB%A0%E7%AE%97%E8%A1%93_%E4%B9%9D%E7%AB%A0%E7%AE%97%E8%A1%93%E3%81%AE%E6%A6%82%E8%A6%81

解いてみたい人は
　ctext.org/nine-chapters/zh
298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 01:43:28.81 ]: >>286 の続き
　(A[n] - B[n])/√2 = D[n],
　(1/2){A[n] + B[n] +(√2)C[n]} = E[n],
　(1/2){A[n] + B[n] -(√2)C[n]} = F[n],
とおくと
　D[n+1] = －D[n],
　E[n+1] = (1+√2)E[n],
　F[n+1｣ = (1-√2)F[n],
より等比数列で
　D[n] = (-1)^(n-1)･D[1],
　E[n] = (1+√2)^(n-1)･E[1],
　F[n] = (1-√2)^(n-1)･F[1],

本問では、D[1] = 0,　E[1] = (1 +√2)/√2,　F[1] = -(√2 - 1)/√2,
　|F[n]| = (1/√2)(√2 -1)^n < (1/√2)(1/2)^n,
　A[n] = B[n] = [ (1/√8)(1+√2)^n + 1/2 ],
　C[n] = [ (1/2)(1+√2)^n + 1/2 ],
299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 07:11:40.99 ]: >>287
(続き)
[[p(n+1)], [q(n+1)]] = [[1, 1], [2, 1]][[p(n)], [q(n)]]
[[p(1)], [q(1)]] = [[2], [3]]
A = [[1, 1], [2, 1]]とおくと
[[p(n)], [q(n)]] = A^(n-1)[2, 3]
P = [[1, 1], [√2, -√2]]とおくと
P^(-1) = √2/4[[√2, 1], [√2, -1]]
P^(-1)AP = [[1+√2, 0], [0, 1-√2]]
となるから
A^(n-1) = P[[1+√2, 0], [0, 1-√2]]^(n-1)P^(-1)
= √2/4[[√2((1+√2)^(n-1)+(1-√2)^(n-1)), (1+√2)^(n-1)-(1-√2)^(n-1)],
[2((1+√2)^(n-1)-(1-√2)^(n-1)), √2((1+√2)^(n-1)+(1-√2)^(n-1))]]
p(n) = √2/4((3 + 2√2)(1+√2)^(n-1) + (-3 + 2√2)(1-√2)^(n-1))
q(n) = √2/4((4 + 3√2)(1+√2)^(n-1) + (-4 + 3√2)(1-√2)^(n-1))
300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 07:55:23.25 ]: >>298　「．．．の続き」とは．．．を書いた人間が使える言葉だと思うぞ
286本人による続き
対称性を考えると、A[n]=B[n]、つまり、A[n+1]=A[n]+C[n]、C[n+1]=2A[n]+C[n]=A[n+1]+A[n]なので、
A[n+2]=A[n+1]+C[n+1]=2A[n+1]+A[n]、A[1]=1、A[2]=2を解けばよい。
x^2=2x+1→x=1±√2なので、　A[n+2]-(1土√2)A[n+1]=(1干√2)(A[n+1]-(1土√2)A[n])
A[n+1]-(1土√2)A[n])=(2-(1土√2))(1干√2)^(n+1)=(1干√2)^n
差を取って　A[n]={(1+√2)^n-(1-√2)^n}/(2√2)　以下略
301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 08:26:54.84 ]: >>300
は？287 = 299。
302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 08:31:00.73 ]: >>301
>>286 >>298 >>300の流れに
>>287 >>299は関係ない。
303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 08:39:13.93 ]: >>301
それはそうだが、299は自分のレスに対する(続き)であって、前のレスに対するものではない。
304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 09:03:08.89 ]: >>303
303=301?
「>>301」は「>>302」の間違い？
>>299が>>298の続きだと思ってる人はいないよ。
305 名前：301 mailto:sage [2011/08/24(水) 09:30:24.09 ]: >>304
そう。301=303
306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 10:10:15.21 ]: 今北。わけわからんｗ
307 名前：301 mailto:sage [2011/08/24(水) 10:40:08.11 ]: >>300が>>299に対するレスかと勘違いした、失礼
308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 11:06:43.21 ]: >>286を解いてP[n]=A[n]+B[n]+C[n]とすると
P[1]=3
P[n+2]=2P[n+1]+P[n]
となるが、これはどう解釈できるのかな
309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 12:24:05.60 ]: >>288
>>290
実多項式f、gは可換でf(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)なんだよ。
高校と大学の数学は論理展開が全く違うんだよ。
地に足が付いていないのはそっちだと思われる。
こちらが地に足が付いていないというなら、(代数)方程式の厳密な定義を書いてほしい。
こちらも(代数)方程式の厳密な定義は知らない
(大学1年あたりでやる実数体R上の連立方程式も1つの(代数)方程式で
大抵ガロア理論はそれ以降でやるだろ)。
310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 12:29:19.39 ]: 虚勢を張れば張る程滑稽
方程式と恒等式の違いの区別がつかないことは
論理展開の違いじゃ言い訳にならないわｗ
ｆ（x-1）の意味すらわかってるのかあやしいな
311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 12:56:07.63 ]: >>310
xが文字であることは既にご承知さ。
312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 13:02:57.48 ]: >>309
f(x)=x, g(x)=1 のとき f(x+1), f(x-1), g(x+1), g(x-1) が各々どうなるか書いてくれないか
313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 13:10:04.79 ]: そう言えば大学数学で恒等式と言う用語は出て来たっけ？
恒等式という概念は出て来るが、少し時代錯誤の本で勉強したこともあり
そのような用語は余り聞いた覚えはないな。
恒等式の厳密な定義はされていたけどな。
多分認識のギャップが生じるとしたらそのようなせいもあるだろう。
いきなり古本に主にタイムスリップしたからな。
314 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 13:25:16.94 ]: >>312
こういうのは基本中の基本だと思うけど
f(x+1)=x+1、
f(x-1)=x-1、
g(x+1)=g(x-1)=1。
315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 13:30:08.11 ]: たぶん>>312は

＞f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)
はどこから沸いてきたんだ？

って話をしてるんだと思うんだ
316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 14:00:44.67 ]: >>315
実係数多項式f、gはそれぞれ
f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、
g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+…+b_m、
a_0、a_1、…、a_n、b_0、b_1、…、b_m∈R
の形で表されて実数体Rは乗法について可換だから
f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)
が示される。群や準同型による多項式の定義では
文字への代入についても定義されていたりして、
f(x+1)、g(x-1)が定義される前に或る文字Xを用いて
多項式f(X)、g(X)が定義されていないといけない。
317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 14:09:58.86 ]: >>316
>実係数多項式f、gはそれぞれ
>f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、
>g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+…+b_m、
>a_0、a_1、…、a_n、b_0、b_1、…、b_m∈R
>の形で表されて
で、f(x+1)、g(x-1)、g(x+1)、f(x-1) はそれぞれどう表されるの？
318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 14:13:16.83 ]: >>316 もはやどこから突っ込めばよいか（苦笑）
319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 14:16:12.85 ]: f(x+1)g(x-1)=(x+1)1=x+1
g(x+1)f(x-1)=1(x-1)=x-1

x+1=x-1
320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 14:30:15.95 ]: >>317
>>318
多項式環R[X]は可換環R[X]上の多項式環で、
xにx+1やx-1をそのまま代入出来ることを示すことが出来ちゃうんだよ。
>>314もそこから来ているんだよ。
少し代数の話からはそれると思うけどな。
321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 14:48:31.48 ]: 代入出来ることを示すには、多項式環R[X]は可換環R[X]上の多項式環の部分環としなければならなかった。
322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 15:01:40.62 ]: >>316
> f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)
> が示される。
詳しく示して。
323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 15:17:00.08 ]: >>322
丁寧に書くと少し複雑になったり長くなることもあり、ここではやらない方がよい話だと思う。
324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 15:30:59.45 ]: >>323
>>312→>>314→>>319 とは違うということだな？
ところで>>317の答は？これも「少し複雑で長い」のか？
325 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 15:50:09.63 ]: f(x)＝x
g(x)＝1

と置くと、

f(x＋1)＝x＋1
f(x－1)＝x－1
g(x＋1)＝1
g(x－1)＝1

となり、

f(x＋1)g(x－1)＝x＋1
f(x－1)g(x＋1)＝x－1

となる。よって

f(x＋1)g(x－1) ≠ g(x＋1)f(x－1)

が成り立つ。
326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 16:05:32.05 ]: >>324
細かく言えば>>312→>>314→>>319となるが、
>>312が仮定された時点で>>314と>>319は
(機械的演算という観点からは)ほぼ同時に言える。そして>>317は、
f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、
g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+…+b_m、
a_0、a_1、…、a_n、b_0、b_1、…、b_m∈R
のf(x)やg(x)のxを文字と見なしてf(x)やg(x)のxをx+1やx-1で置き換えて計算すればよい。
このように多項式を定義するには何らかの1つの文字Xを持ち出して
f(X)=…、g(X)=…のように表さないと話が始まらない。
このように定義すれば、置き換えや代入が出来ることを示せるが、丁寧に書くとこれが意外に長い。
327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 16:45:19.66 ]: >>326
君は309で

＞実多項式f、gは可換でf(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)なんだよ。

と書き、316では

＞f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)が示される。

と書いているが、その等式は明らかに成り立たない (>319, >325)。
君は間違っている。
328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 17:16:50.06 ]: 1=0 でも仮定してんじゃないの？そうすりゃ何でも証明できる
329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 17:20:12.84 ]: 「可換性から f(x＋1)g(x－1) ＝ g(x－1)f(x＋1) が成り立つ」　(←これは正しい)

と言いたかったのを

「可換性から f(x＋1)g(x－1) ＝ g(x＋1)f(x－1) が成り立つ」　(←これは間違い)

とタイプミスしてしまった可能性もある。
330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 17:21:08.39 ]: >>327
>その等式は明らかに成り立たない (>319, >325)。
んじゃなくて、>>325のように置いたり出来る背景の1つには
(半)群や準同型などを用いた表現論的な多項式の定義がある。
このように定義すると、>>325で置き方ではfやgの説明がなければ
f(x)＝x、g(x)＝1と置いた時点でxへの数値が保障されて、
f(x)やg(x)を関数と捉えることも出来る。
331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 17:24:15.02 ]: 訂正：xへの数値→xへの数値の代入
332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 17:37:12.24 ]: >>329
本当に言いたいのは、多項式環R[X]が可換環とかそんな生ぬるいことではない
(例えば、多くの場合多項式環R[X]をR[X*1]と表したりはしないだろう)。
333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 17:50:11.08 ]: >>332
>f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、
と表されるとき、f(x+1) はどう表されるのか、結論だけでいいから書いてみて
334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 18:05:47.15 ]: >>333
そのままxの多項式と見なせば
f(x+1)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n
となるし、
f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n
が
f(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+…+a_n
のように表されていたと考えれば
f(x+1)=a_0(x+1)^n+a_1(x+1)^{n-1}+…+a_n
となる。こんな風に、表現論的に多項式を定義すると多くの解析的代数的演算が保障されて
解析的演算の観点からすると扱いが便利と言えるし代数的には少々面倒でもある。
335 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 18:37:26.66 ]: >>334
書かなくても分かると思って省略したが、念のために省略せずに書くと
>そのままxの多項式と見なせば
は
(右辺自身を)そのまま(1つの)xの多項式と見なせば
だ。f(x+1)のx+1を多項式と考えた場合それは
文字xがあって定義されることは既にご承知済だよな？
336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 19:00:17.72 ]: >>335は>>334でなく>>333へのレスだったな。
少し飯食ってくるからじゃあな。
337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 20:17:27.56 ]: >>308
　P[n] = C[n+1],　と解釈できまする...

　C[1] = 1, C[2] = 3, より、
　C[n] = (1/2){(1+√2)^n + (1-√2)^n}
　　　 = [ (1/2)(1+√2)^n + 1/2 ],　　(← ガウス括弧)
338 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 20:33:14.29 ]: >>298 の続き

DEF が求まったので
　A[n] = (1/2){ (√2)D[n] + E[n] + F[n]},
　B[n] = (1/2){-(√2)D[n] + E[n] + F[n]},
　C[n] = (1/√2)(E[n] - F[n]),
で ABC に戻す。
339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 21:27:47.66 ]: で、>>252の等式はどこへ行っちゃったの？
340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 21:40:49.90 ]: >>339
答えは、リンク先に全部書いてあるからなあｗ（１箇所ミスがあるように見えるけど）

f(x)もg(x)も１次以下の整式で
f(x)=ax+b，g(x)=cx+dとおくとad-bc=1/2となる場合が全て、ということのよう。
ハンガリー語だが、数式だけ追えば何をやってるかは大体分かる
（最後の1/2が-1/2になってるところだけが謎）
341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 21:43:20.41 ]: >>334
> f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)
> が示される
のはどっちの考え方？
342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 00:01:40.98 ]: 変な強がりから始まって
定義や表記法の確認からはじめなきゃならないスレになってしまったｗ
343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 00:08:55.49 ]: >>340
>>252と>>309の関係を知りたいだけなんだがｗ。
344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 01:04:56.13 ]: >>341
(右辺自身を)そのまま(1つの)の多項式と見なしても
f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n
が
f(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+…+a_n
のように表されていたと考えても、結局は
f(x)=f(x+1)=f(x-1)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、
g(x)、g(x+1)、g(x-1)についても同様にg(x)=g(x+1)=g(x-1)
となって多項式環R[X](R[x])は可換環であることもあり、
f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)自身はどちらの考え方でも示せる。

>>342
変な強がりと書いた時点で僕は頭悪いんですって言っている気がする。
>>252に限らず代数の答案を言葉の説明なしで書いてみな。
ほぼ確実に×になるよ。
まあ、f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n の右辺自身の方だけを
そのまま(1つの)xの多項式と見なすなんてことは余りしないから
多項式と捉えるなら暗黙のうちに両辺をxの多項式と見ることが多いんだが。
余りおススメしないが別にやりたきゃそちらのその定義でやってもいいぞ。
厳密な定義とは決して言えないけどな。
数論とかに出て来る可換環Q[√s]が何故そのように書かれるのかとかも
説明出来るんだから表現論的定義は便利だよ。
345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 01:26:45.84 ]: そろそろこいつどうにかしろよ
346 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 01:39:16.96 ]: >>345
変な強がりとか変なこと言い始めて来たから御返事しただけだろう。
347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 01:42:53.20 ]: >>297
算数書

www.osaka-kyoiku.ac.jp/~jochi/j2.htm
www.osaka-kyoiku.ac.jp/~jochi/jochi2001.pdf
348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 02:03:53.55 ]: 引っ込みが付かなくなっちゃったみたいだね。
術語を並べて日本語のようには見えるけど実は意味不明な文字列を書くことで
偉そうに見せるだけだね。

> >>252に限らず代数の答案を言葉の説明なしで書いてみな。
> ほぼ確実に×になるよ。
筋の悪い数学を学んだようだ。
349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 02:32:33.25 ]: 足元おるすな中学生が借り物知識かきあつめて背伸びしてんじゃね？
350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 02:52:34.01 ]: >>348
今の時代に何十年も前の時代錯誤な(大学以降の)数学書を読んでたらそうなったんだろうなあ。
群作用や二次体なんて当然のように出て来たぜ。
正確って言うんだか筋がよいって言うんだか、そんな説明は後回しだ。
或る意味線型微積より複素解析や抽象代数の方が基本的だ。
というかやらざるを得ない。
筋がよいか悪いかにかかわらず、試験の答案に日本語の丁寧な説明を求める人がいたことは言っておく。
聞いたことないが、それ以前に(大学以降の)数学に筋の良し悪しなんてあるのか？
何か受験数学っぽい考え方だな。
351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 02:59:26.56 ]: 話が合ったり合わなかったり、
数学科以降の厳密な数学の観点で書いたことが間違いだったか。
どういう数学やってる人がここに書いているんだ？
352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 11:37:28.68 ]: >>334
> f(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+…+a_n
> のように表されていたと考えれば
> f(x+1)=a_0(x+1)^n+a_1(x+1)^{n-1}+…+a_n
> となる。

>>344
> f(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+…+a_n
> のように表されていたと考えても、結局は
> f(x)=f(x+1)=f(x-1)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、

つまり
a_0(x+1)^n+a_1(x+1)^{n-1}+…+a_n = a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n
= a_0(x-1)^n+a_1(x-1)^{n-1}+…+a_n
だと？
353 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/25(木) 11:39:12.20 ]: >>280
ａ[n]=ａ[n-1]+2ａ[n-2]+2ａ[n-3]+……+2ａ[2]+2ａ[1]+4
ａ[1]=3,ａ[2]=7
よってａ[3]=17,ａ[4]=41,……,ａ[10]=8119。
354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 13:38:02.57 ]: >>352
>a_0(x+1)^n+a_1(x+1)^{n-1}+…+a_n = a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n
>= a_0(x-1)^n+a_1(x-1)^{n-1}+…+a_n
は勿論恒等的に成り立つ式ではないが、
f(x)やf(x+1)、f(x-1)が実多項式である限り、
f(x)やf(x+1)、f(x-1)の方を最初に定義されたと考えるか、
a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_nの方を最初に定義されたと考えるか、どちらにするかで扱いが変わる。
前者らの方を最初に定義すればf(x)、f(x+1)、f(x-1)についての取り扱いや具体的表し方はまだ不明で
この時点ではx自身の恒等式はまだ具体的に表されていないが、
x自身についての恒等式や方程式の問題を作ることが出来る。
後者を最初に定義されていると考えてそれをf(x)、g(x)=f(x+1)、h(x)=f(x-1)でそれぞれ
f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n　、　g(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n　、　h(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n
と表せば、直ちにf、g、hについて恒等的に成り立つ式f(x)=g(x)=h(x)が生じる。
この時点では多項式g(x)、h(x)についての具体的表示はまだ不明で
f(x)、g(x)、h(x)について具体的に表示された多項式についての恒等式を作れる。
>>252を解くにはxの恒等式と見なさないと話が始まらないから、結局はどちらかの考え方をとることになる。
355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 13:54:06.18 ]: >>351
方程式の定義もあやふやな
数学科以前の部分がおろそかな子の負け惜しみの
脳内「数学化以降の厳密な数学」で書いたのが間違いだったんじゃね？
356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 14:38:56.92 ]: いいかい、問題を解き終わるまでは条件を満たす実多項式f(x)、g(x)の存在性はまだ正確には保障されていない。
もしかしたら存在しないのかも知れない。
解き終わって確認することで初めて条件を満たすf(x)やg(x)の存在性は本当に示される。
しかし、大抵は解くには或いは存在しなかったことを示すにはf(x)やg(x)の存在性を仮定しないといけない。
問題を解く過程では論理的にはf(x)やg(x)の存在性について矛盾した仮定をすることになる。
矛盾した仮定をしているんだから解く過程では何仮定してもよいという訳だ。
357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 19:32:28.18 ]: 過程と仮定がややこしい
358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 19:42:51.78 ]: 仮定と家庭と下底も混ぜて、文章を作ってください
359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 23:45:08.05 ]: 方程式とか恒等式とかが
そんなに面白い問題なのか？
360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 23:50:49.17 ]: >>359
お前にとっての面白い問題って何だ？
言ってみろ？あ？
361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 12:45:35.50 ]: 確かになんか面白い要素があって投稿してる訳だし
そっちが趣旨なんだから揚げ足なら大目に見てやれよ
362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 17:19:21.79 ]: 出された問題も解かずに
方程式だ恒等式だなんだかんだと言い合うのが趣旨なのか？
363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 17:51:16.17 ]: (・3・)
364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 19:11:12.42 ]: サイコロを振って出た目をそのまま得点とする。サイコロをn回振ったとき、得点の合計が10の倍数になる確率を求めよ。
365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 19:57:41.23 ]: >>364
さすがに、これを面白い問題スレに貼るのはないと思うよ
宿題は質問スレに書き込むべきだ！

カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ
366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 21:02:08.83 ]: >>364を少し改変して

n回サイコロを振ったときの目の合計が10の倍数である確率を P(n)とする。

lim_[n->∞](P(n))を求めよ。
367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 23:19:17.76 ]: >>356
存在するという仮定それ自体に矛盾はないだろ。
その仮定により矛盾が生じるなら、仮定が誤りであることが分かるだけ。
368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 14:57:06.79 ]: >>367
結局矛盾が生じるというなら矛盾を導くのに存在性を仮定しても論理的問題は生じないが、
最終的に解ける解があるっていう場合、解いて解を見つけるまで
答案においては論理的には解の存在性は保障されていない。
そんな、存在があやふやな解を存在するとするのだから、これはおかしいじゃないか。
はてさて、答案を書くときどんな立場をとるか。
最終的に解があることと分かって書くか、こんなことはまだ分からないと考えるか。
必ず解があるとは限らないんだから、論理的に書くなら後者のようなスタンスで書くのが無難だろ。
そのようなスタンスで書くなら、最終的に解がある問題では多くの場合
求めんとする解の存在性の仮定で、論理的に少しあやふやにならざるを得なくなる。
このような場合、存在の論理的正当性は、求めた解が最後の条件を満たすことを確認することで確立される。
高校以下の数学では、そのような大事な作業を怠っていることが多い。
電光石火のようにいきなり条件を満たす解を見つけたとして書くなら話は別だがな。
369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 16:09:58.31 ]: あと、方程式の厳密な定義はもういいよ。
今さらながら多項式の厳密な表現論的な定義の続きの延長線上にあることが分かった。
多項式をなす単項式が文字に価を一切代入出来ず線型独立か
多項式をなす単項式が文字に値を代入することが許された上で線型従属か
が大きな違いであることに気付いた。
線型代数と表現論的定義強しだな。
370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 18:32:27.55 ]: >>368
>そんな、存在があやふやな解を存在するとするのだから、これはおかしいじゃないか。
全然。
それが仮定する、ということ。
371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 18:51:40.27 ]: >>370
そのように仮定した答案を論理的に前から順序立ててたどって考えてみろ。
解を求めんとする裏で、仮定したい解の存在性についての理論的背景があったり
一目で解の存在性が明らかな場合は問題ないかも知れないが、
そうでない場合はどうして解の存在性が確立されていて
解が存在すると仮定することが出来ると言えるのか
という問題が生じることになる。
372 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 19:13:18.87 ]: >>371の
>解が存在すると仮定することが出来ると言えるのか
は
解を…とすることが出来ると言えるのか、
解の存在性は正確に立証されているのか、
本当に解を…とするとして話を進めてよいのか、
に変更。
373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 22:02:10.07 ]: ＞本当に解を…とするとして話を進めてよいのか、
「解が存在するとして話を進めてはイケナイ」と言いたいのか？じゃあ、

「解は存在しないとして話を進めるべきである」

ということか？でも、この場合

「本当に解は存在しないとして話を進めてよいのか？」

という疑問が生じてしまうな、お前の立場では。

結局、お前の立場では身動きが取れず、如何なる問題も解けなくなるわけだ。
374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 22:17:23.17 ]: >>368
＞結局矛盾が生じるというなら矛盾を導くのに存在性を仮定しても論理的問題は生じないが、
＞最終的に解ける解があるっていう場合、解いて解を見つけるまで
＞答案においては論理的には解の存在性は保障されていない。

解が存在すると仮定して、最後に待っているのが『矛盾』だった場合、
それは背理法と呼ばれる論法であり、お前が言うとおり、何も問題は起きない。

じゃあ、最後に待っているのが『矛盾』ではなく、
『何らかの条件』だった場合はどうなるのか？この場合、

「解が存在するならば、その解はこれこれの条件を満たす」… (1)

という結果が得られたということである。
(1)は「 P ⇒ Q 」という形の論理式であるから、結局、

「 (1)に対応するP,Qについて、論理式『 P ⇒ Q 』は真であることが証明できた」

ということである。従って、この場合もやはり、何も問題は起きてない。
ただし、この場合、解が存在することを証明したわけでは無い。
ただ単に、ある種の「 P ⇒ Q 」という形の論理式について、
その論理式が真であることが証明できただけである。
しかし、そのことは「論理的におかしい」わけでは無い。
375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 22:36:15.68 ]: >>252 の問題で「解が存在する」と仮定して何が起きるかというと、

「 >252に解f(x),g(x)が存在するならば、f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad－bc＝1/2 でなければならない」

という結果が得られるということである。何もおかしくない。
ある種の「 P ⇒ Q 」の形の論理式が真であることが証明できた、というだけの話である。

もちろん、「 P 」が真であることはまだ証明できていない。
すなわち、「解が存在する」が真であることはまだ証明できていない。
しかし、何か論理的におかしなことが起きているわけではない。
376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 22:36:35.54 ]: >>373
２ちゃん見てたらたまたまレスが書かれていたけど、
皆さ～ん、…を求めて下さ～い、なんて問題出されるのはお受験数学までだよ。
例えば、1つ根を見つけて因数定理使って2次方程式に還元する実係数の3次方程式の問題で、
その見つけなければならない根が456/11なんていう類の問題だったらどうするんだい？
殆ど身動きとれないだろう？だけど実係数の3次方程式だから根は確かに存在する。
これだと根456/11を見つけるまで答案が書けないぜ。456/11なんていう根見つけるのは難しいだろう？
お受験数学でもこんなのは作ろうと思えば作れてしまう。

>「解は存在しないとして話を進めるべきである」
>ということか？でも、この場合
>「本当に解は存在しないとして話を進めてよいのか？」
>という疑問が生じてしまうな、お前の立場では。
むしろ勝手に決め付けて話を進めているのはアナタの方だと思う。
377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 22:52:09.08 ]: >>368
＞そんな、存在があやふやな解を存在するとするのだから、これはおかしいじゃないか。
もう一度言うが、何もおかしくない。

「 P 」が真であることを証明することと、
「 P ⇒ Q 」が真であることを証明することを
混同してはならない。

「 P ⇒ Q 」が真であることを証明する際に、「 P 」が真であることを
証明する必要は無いし、偽であることを証明する必要も無い。特に、

「解が存在するならば、その解はこれこれの条件を満たす」

という論理式を証明する際に、「解が存在する」が真であることを
証明する必要は無いし、偽であることを証明する必要も無い。

解の存在があやふやとか、そういう問題では無い。
378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 22:59:03.59 ]: >>375
>ある種の「 P ⇒ Q 」の形の論理式が真であることが証明できた、というだけの話である。
ではその論理式が示せました、しかしPの真偽は分かりませんじゃ証明した意味がないじゃないか。
その証明に意味を与えるにはPが真であることを示さないと或いは真であることが分かっていないといけない。
>>252の問題でPが真であることを示している部分は求め終わった部分だろう？
なら、やはり確認の作業は必要になるじゃないか。
379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 23:08:20.52 ]: >>378
＞その証明に意味を与えるにはPが真であることを示さないと
＞或いは真であることが分かっていないといけない。
もちろん、Pが真であることの証明は追加で行う。

＞なら、やはり確認の作業は必要になるじゃないか。
当たり前じゃないか。
「確認の作業が必要無い」なんて誰も言ってない。
俺は>>368 の
＞そんな、存在があやふやな解を存在するとするのだから、これはおかしいじゃないか。
この部分に反論したまでだ。
380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 23:13:23.14 ]: >>378
＞ではその論理式が示せました、しかしPの真偽は分かりませんじゃ証明した意味がないじゃないか。
「証明した意味が無い」かどうかは、目的によって変わる。

「解が存在する」が真であることを言いたいだけなら、
「 P ⇒ Q 」を証明したことは "ほとんど意味が無い"と言っていい。

しかし、「解を全て求めたい」場合には、
「 P ⇒ Q 」を証明したことは "とても意味がある" ことだ。
なぜなら、もし運よく

「条件Qを満たせば、それは解である」

ということが証明できたなら、
「条件Qを満たすもの、かつそれだけが解である」
ということになるから、全ての解が判明したことになり、
「 P ⇒ Q 」を証明したことは、ちゃんと価値のあることだったと分かるからだ。

オマケ：運悪く

「Qを満たすだけでは解とは限らない」

というケースもあるが、この場合は、
「 P ⇒ Q 」を証明したことは "あまり意味が無い" と言えるだろう。
381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 23:25:35.93 ]: >380の中央付近を訂正。というか書き足し。

＞なぜなら、もし運よく
＞
＞「条件Qを満たせば、それは解である」
＞
＞ということが証明できたなら、
＞「条件Qを満たすもの、かつそれだけが解である」
＞ということになるから、全ての解が判明したことになり
＞「 P ⇒ Q 」を証明したことは、ちゃんと価値のあることだったと分かるからだ。

↓

なぜなら、もし運よく

「条件Qを満たせば、それは解である」

ということが証明できたなら、これと先に示しておいた「 P ⇒ Q 」により、

「条件Qを満たすもの、かつそれだけが解である」

ということになるから、これで全ての解が判明したことになり、
「 P ⇒ Q 」を証明したことは、ちゃんと価値のあることだったと分かる。
382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 23:27:53.33 ]: >>379
勝手な偏見に過ぎないが、…を求めよっていう類の問題の答案を論理的に見た場合
…を解とするとしてその解を求める過程と
ある種の「 P ⇒ Q 」の形の論理式が真であることが証明すること
との厳密さの度合いは微妙に違うんじゃないか？
…を求めよっていう類の問題の答案にそのような証明は書いたことないんでそのあたりはよく分からないが。
…を解とするとしてその解を求める過程を書いた大抵の答案って、ああいう書き方で証明になっているのか？
383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 23:37:48.04 ]: >>382
＞…を解とするとしてその解を求める過程と
＞ある種の「 P ⇒ Q 」の形の論理式が真であることが証明すること
＞との厳密さの度合いは微妙に違うんじゃないか？
同じ。たとえば次のような解答。

解答例：

>252に解f(x),g(x)が存在すると仮定する。
～～(中略)～～
よって、f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad－bc＝1/2 でなければならない。
以上により、

「>252に解f(x),g(x)が存在するならば、f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad－bc＝1/2 でなければならない」 …(1)

ということが言えた。
次に、f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad－bc＝1/2のとき、このf(x),g(x)は解になることを示す。
～～(中略)～～
よって、このf(x),g(x)は確かに解になる。以上により、

「f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad－bc＝1/2 は>252の解である」 …(2)

ということが言えた。(1),(2)により、
f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad－bc＝1/2
だけが解である。
384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 23:52:26.44 ]: もう1つ、別の観点から。

>>382
＞…を解とするとしてその解を求める過程と
＞ある種の「 P ⇒ Q 」の形の論理式が真であることが証明すること
＞との厳密さの度合いは微妙に違うんじゃないか？

Pを満たす元全体の集合をAと置き、Qを満たす元全体の集合をBと置くと、
「 P ⇒ Q 」が真であることを証明することは「 A⊂B 」を証明することと同値。
そして、「 A⊂B 」のテンプレ的な証明法は以下のようになる。

証明：「a∈Aならばa∈B」を示せばよい。a∈Aとする。
～～(中略)～～
よってa∈Bである。以上により、確かに「a∈Aならばa∈B」が
成り立つので、A⊂Bが成り立つ。

↑この証明において、「a∈Aとする。」という部分は
「解が存在すると仮定する」とか「…を解とする」という行為と全く同じ。
また、「～～(中略)～～」の部分は "…を解としてその解を求める過程"
そのものである。

従って、"…を解としてその解を求める過程" は、上のA⊂Bの証明と
全くことをしているわけで、つまりはA⊂Bの証明と全く同じ厳密さを
持っている。そして、A⊂BとP⇒Qは同値なのだから、結局、
"…を解としてその解を求める過程" は、P⇒Qを証明するのと
同じ厳密さを持っていると言える。
385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 00:52:17.92 ]: >>383
>>384
なるほど。
色々と基礎論的観点から教えてくれたり誤りの指摘どうもありがとう。
386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 07:17:56.32 ]: >>375
＞もちろん、「 P 」が真であることはまだ証明できていない。
Pが「関数f(x),g(x)が存在する」ということであれば、Pが真であることが示されている。

＞「解が存在する」が真であることを言いたいだけなら、
＞「 P ⇒ Q 」を証明したことは "ほとんど意味が無い"と言っていい。
Qが「f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad－bc＝1/2」
であるとするならば、Qにより解が存在したといえる訳であり、それには意味がある。

＞なぜなら、もし運よく
＞「条件Qを満たせば、それは解である」
＞ということが証明できたなら、
＞「条件Qを満たすもの、かつそれだけが解である」
＞ということになる
もし「条件Ｒを満たせば、それは解である」という場合であれば、Qを満たすことを証明した
だけでは、その条件Qのみが解であるとはいえない。
387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 15:50:55.50 ]: >>386
「・・ならば～である」という命題に、普通の論理では説明できない意味を込めているようだ。
388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 17:43:01.57 ]: >>386
＞Pが「関数f(x),g(x)が存在する」ということであれば、Pが真であることが示されている。
示されてないよ。「 P ⇒ Q 」を示した段階では、Pが真であることは
まだ言えてない。

＞Qが「f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad－bc＝1/2」であるとするならば、
＞Qにより解が存在したといえる訳であり、それには意味がある。
その段階では、まだ言えてないよ。
「Qを満たせば解である」を示した段階で初めて「解が存在した」と言える。

もし運悪く「Qを満たすものがどれも解にならない」が示せてしまうなら、
これは『矛盾』が示せたことになり、実は解が全く存在しないことになる。
つまり、「 P ⇒ Q 」が示せた段階では、Pの真偽について何も言えない。
Qを満たすものが解になるか否かをチェックして初めてPの真偽が分かる。
389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 17:52:51.55 ]: 386の主は、その人には仮定の話をしちゃいけない人。
390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 17:54:12.66 ]: 日本語が不自由だ
391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 21:58:54.43 ]: 今度は解の存在性の仮定を許すのかどうかが面白い問題になったのか？
392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 22:11:07.25 ]: その話はもう終わってるのだが
393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 23:34:32.66 ]: >>386またはそれ以外の人は
>>388またはそれに類するものにはもうレスをしない
という予言であると受け取ってよろしいか？
394 名前：386 mailto:sage [2011/08/30(火) 05:11:38.69 ]: >>388
この問題を解いていく過程においては
Pを「f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1を満たす、関数f(x),g(x)が存在する」
f(x+2) - af(x) - f(x-2) = 0として
Qを「a ≠ 0かつa ≠ 2のとき、f(x) = C0α^(x/2) + C1β^(x/2) (C0 C1, C2, C3は定数)
a = 0のとき、f(x) = C2、g(x) = C3 (C2, C3は定数)
a = 2のとき、f(x) = C4x + C5、g(x) = C6x + C7 (C4, C5, C6, C7は定数)」
とした場合に
P => Qが成立する。
このQの条件の中で、Pの条件式を満たすということを考慮してすると
「f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad－bc＝1/2」・・・①
が成立する。この条件①は、Pが真であるということを示している。
395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 05:24:11.18 ]: 訂正
×P => Qが成立する。
○PならばQが必要である。
396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 10:03:29.22 ]: よく聞こえんな。
何が終わってるんだって？
397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 18:02:39.23 ]: >>394
＞ a ≠ 0かつa ≠ 2のとき、f(x) = C0α^(x/2) + C1β^(x/2) (C0 C1, C2, C3は定数)
＞ a = 0のとき、f(x) = C2、g(x) = C3 (C2, C3は定数)
＞ a = 2のとき、f(x) = C4x + C5、g(x) = C6x + C7 (C4, C5, C6, C7は定数)
これらの条件をまとめてRと置き、①の条件をQとしよう。
すると、>394でやっていることは

・まずは「 P ⇒ R 」を証明した。
・Rでは必要十分条件にならないので、Rをさらに絞り込むことにした。
・すると、「a≠0かつa≠2の場合」「a＝0の場合」は解にならないことが分かった。
・残ったa＝2の場合は、さらに条件を絞って条件Qにした場合のみ、解になることが分かった。
・今の段階で、「Pは真である」ことが先に証明できてしまった。
・それと同時に、「 P ⇒ Q 」も実質的に証明できている。
・従って、この議論では、”「 P ⇒ Q 」を示した段階で、Pが真であることは既に示せている”と言える。

ということになる。うむ、正しい。
しかし、この議論の仕方は、「 P ⇒ Q 」および「Pは真である」の証明を
同時進行で行っているのであり、この議論を

”「 P ⇒ Q 」を示した段階で、Pが真であることも言えている” … (1)

と表現するのは、ちょっと語弊があるな。

”「Pは真である」の証明を先に済ませてしまい、その後で「 P ⇒ Q 」を示した”

と表現するのが正しい。
俺が(1)で言いたかったのは

”「 P ⇒ Q 」から「Pは真である」を導くことはできない”

ということだから。
398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 20:09:08.25 ]: >>397
＞”「Pは真である」の証明を先に済ませてしまい、その後で「 P ⇒ Q 」を示した”
逆、条件Rの中で
f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1
を満たすものを考えた場合に、条件Qが成立することが示せたわけで
「 P ⇒ Q 」を証明した結果として、条件Pが真であるということがいえた。

＞”「 P ⇒ Q 」から「Pは真である」を導くことはできない”
一般的には正しいが、この問題の場合は、
Pを「条件を満たす関数が存在する」
とした場合には、条件Qがその関数自体であり、条件Qが成立するならば
条件Pも真となる。
399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 21:47:07.16 ]: これは、どのレスの問題の答えなのですか？
400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 21:50:12.13 ]: 一応>>252の続き
401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 23:52:38.82 ]: >>398
＞「 P ⇒ Q 」を証明した結果として、条件Pが真であるということがいえた。
君がやっていることは、

・「 P ⇒ Q 」の証明の中において、それとは別個に、「Pが真である」ことの証明を紛れ込ませている。

ということに過ぎない。それは

"「 P ⇒ Q 」を証明した結果として、条件Pが真であることが言えた"

ということを　意　味　し　な　い　。

「 P ⇒ Q 」の証明は、「Pが真である」ことの証明に何ら関与していない。
あくまでも君は、「 P ⇒ Q 」の証明とは別個に、「Pが真である」ことの証明を
紛れ込ませているに過ぎない。
402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 23:54:17.81 ]: >>398
＞逆、条件Rの中で
＞f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1
＞を満たすものを考えた場合に、条件Qが成立することが示せたわけで

そこが問題。君は何かを勘違いしている。
気が言っている「条件Qが成立することが示せた」とはどういうことか？
どうやってソレを示したのか？俺から見れば、ソレを示す方法は2通りある。

方法その1：
「条件Qを満たすf(x),g(x)は、f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1 を満たす」
ということを直接的に手計算でチェックした。

方法その2：
「 P ⇒ R 」の証明中において、
(すなわち、「Pが真だと仮定する」という仮定を未だに続けている最中において、)
条件Rで与えられている3つの条件のうち、[a≠0かつa≠2の場合]及び[a＝0の場合]だと
矛盾することを導いた。(自動的にQが成り立つしかないという論法)
403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 23:57:46.90 ]: 方法その1は、「 P ⇒ Q 」の証明を全く活用せずにチェックできる方法なので、
この方法は「 P ⇒ Q 」の証明とは無関係。それでも、「 P ⇒ Q 」の証明の中において、
わざわざこの方法を紛れ込ませてチェックすることは可能であり、そのチェックで以って
「Pは真である」ことは証明できる。ただし、この場合、

"「 P ⇒ Q 」の証明の結果として「Pは真である」が導けた"

わけでは無い。あくまでも、「 P ⇒ Q 」の証明の中において、それとは別個に、
「Pが真である」ことの証明を紛れ込ませた、ということにすぎない。

方法その2の場合、これは「 Pが真である」という仮定を引きずったままで
「自動的にQが成り立つしかない」と言っているので、この方法では
「Pが真である」ことは導けない。この場合の「Qが成り立つ」という主張は、
あくまでも「 Pが真である」という仮定ありきで導かれた結果だからだ。
「 Pが真である」ことを言いたければ、後で追加の証明が必要になる。
すなわち、「Qを満たせば解である」ということをチェックする証明が必要になる。

結局、どちらの方法でも、

"「 P ⇒ Q 」を証明した結果として、条件Pが真であることが言えた"

ということは無い。
404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 00:02:11.09 ]: そろそろ別スレ立ててやれ
405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 00:04:42.43 ]: >>398
＞Pを「条件を満たす関数が存在する」
＞とした場合には、条件Qがその関数自体であり、

「条件Qがその関数自体である」という主張を、
一体どのようにして証明したのかが重要。

既に書いたとおり、方法その1のように直接的な手計算で
「条件Qがその関数自体である」ことを証明したのであれば、
それは「 P ⇒ Q 」の証明を全く活用していないから、

"「 P ⇒ Q 」の証明の結果として「Pは真である」が導けた"

とは言わない。「 P ⇒ Q 」の証明の中に、それとは別個に、
「Pは真である」の証明を紛れ込ませたに過ぎない。

方法その2のように、「Pが成り立つと仮定する」という条件を引きずった状態で、

"Q以外の条件をチェックしたらダメだったから、自動的にQしかない"

という形で「条件Qがその関数自体である」ことを証明したのであれば、
それは、「 Pが成り立つと仮定する」という仮定ありきで得られた結論だから、
そのことから「 Pが真である」ことを導くことは出来ない。
406 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 00:05:13.23 ]: 仮定の話が通じない奴なんだから、ほっておけよ。
407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 00:23:19.10 ]: なお、方法2における「Pが成り立つ」の仮定を
打ち切った場合の方法についても書いておく。

方法その2’：
「Pが成り立つと仮定する」という仮定を打ち切って、
何の仮定も置かない状態で[a≠0かつa≠2の場合]及び[a＝0の場合]の
場合をチェックし、これだと解にならないことを示す。

この方法2’の場合、「Rに含まれる3条件のうち、2条件がダメだった」
ということしか言ってない。これと「 P ⇒ R 」により、

「解があるとしたら、その解は条件Qを満たすしかない」

ということまでは即座に言える。しかし、この後が続かない。
「 Pが真である」ことは言えてない。条件Qだと本当に
解になるのかは、この方法だけでは分からない。
結局、追加でチェックする証明が必要になり、やっぱり

"「 P ⇒ Q 」の証明の結果として「Pは真である」が導けた"

ということにはならない。
408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 06:30:33.64 ]: >>402
＞「条件Qが成立することが示せた」
「条件Qの存在が示せた」ということでもよい。

Rの条件を
f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1
にそれぞれ代入することで、Qを導き出している。

Pを満たすための条件としてRを導き、Rの中でPを満たす条件としてQを導出している。
この時点で、P=>Qが証明された。
Pは関数の存在を仮定しているのだから、その仮定は条件Qが存在するのであるから
Pが真であることが、
そ　の　結　果　と　し　て
示されている。
409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 06:37:40.36 ]: >>407
＞この方法2’の場合、「Rに含まれる3条件のうち、2条件がダメだった」
Rの3条件全てをチェックし、Pを満たす1つの条件をQとしている。
これは、
「P => Q」の証明に含まれている。

背　理　法　で　「P => Q」　を　証　明　し　て　い　る　訳　で　は　な　い。

＞結局、追加でチェックする証明が必要になり
追加のチェックとして、3条件の内Qである1つの条件だけを分けて考える意味はない。
410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 19:08:22.69 ]: ＞Pは関数の存在を仮定しているのだから、その仮定は条件Qが存在するのであるから
＞Pが真であることが、
＞そ　の　結　果　と　し　て
＞示されている。

その主張において、条件Qにこだわる理由は何だね？
条件Qよりも先に、条件Rが得られていただろう。だったら、

Pは関数の存在を仮定しているのだから、その仮定は　条　件　R　が存在するのであるから、
Pが真であることが、その結果として示されている。

↑このように主張したっていいはずだ。なぜ、RではなくQなんだね？
それを突き詰めていけば、君が大きな勘違いをしていることが分かるはずだ。

まず、君に質問するまでもなく、Rではダメなのは明らかだ。

「条件だったら何でもいい」

わけでは無いからだ。最初に条件Rを見つけた段階では、
「 Rの3条件が、どれも実際には解にならない」
という可能性がある。この場合、Pが真であることは示されない。
だから、Rではダメなのだ。

条件Rではまだ不十分だから、Rをさらに精査して条件を絞り、
そして君は、条件Qを見つけ出し、「Qが存在する！」などと主張したのだろう？
411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 19:11:56.87 ]: でも、そうやって見つけたQでさえ、不十分である可能性がある。
Qをさらに精査して、さらに条件を絞らなければならない可能性がある。
それなのに、どうして君は、Qを見つけた時点で条件の精査を打ち切って、

「 Qこそが求める条件であり、Qこそが、存在する条件だ！」

などと思ったのか？……君は無意識のうちに、

「条件の精査を終了するための、何らかの判定基準」

を使ったはずだ。条件Qは、その判定基準を満たしたのだ。
だから君は、そこで条件の精査を打ち切ったのだ。

では、その判定基準とは何か？簡単だ。その基準とは

「考えている条件が実際に f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1 を満たすか否か」… (*)

である。この(*)を満たしたらこそ、君はそこで条件の精査を打ち切り、

「 Qこそが求める条件であり、Qこそが、存在する条件だ！」

などと思ったのだ。つまり、

"Qこそが、存在する条件である" と主張するための根拠は(*)であり、
Qが(*)を満たしたからこそ、そのように主張できた

ということだ。
一方で、「(*)を満たす」とは「Pが真であることを示す」ことに他ならない。
つまり、「Pが真であること」が先に証明されているのだｗ
412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 19:14:09.50 ]: 上に書いたとおり、

「Qこそが、存在する条件である」

と主張するための根拠は(*)だったのだから、(*)をチェックしなければ、
そのような主張は出来ない。しかし、(*)をチェックした段階で、
「Pが真であること」が先に証明されてしまう。従って、

"「 P ⇒ Q 」を証明した結果として、条件Pが真であることが言えた"

ということは絶対に無い。君の方法では、

「探している条件が(*)を満たすこと」(すなわち「 Pが真であること」)

をチェックしなければ、条件Qは確定しないのだ。つまり、

「 Pが真であること」

を先に言わなければ、条件Qは確定せず、
「Qこそが、存在する条件である」とは主張できないのだ。

だから、君の主張は間違っているのだ。
413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 19:38:15.50 ]: もう一度言っておくが、君は

「 Qこそが存在する条件であり、その結果として、Pが真であることが示されるのだ」

などと主張しているが、

「 Qこそが存在する条件である」

ことを証明するために、君は(*)をチェックしているので、つまりは

・「 Pが真であること」をチェックすることで「Qこそが存在する条件だ」と主張している

ということになり、順番が逆なのだ。
君は「Pが真であること」を先に証明しているのだ。
414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 22:32:46.67 ]: >>410
＞Pは関数の存在を仮定しているのだから、その仮定は　条　件　R　が存在するのであるから、
＞Pが真であることが、その結果として示されている。
誰もそんな事は主張していない。このように書いていながら、

＞「 Rの3条件が、どれも実際には解にならない」
＞という可能性がある。この場合、Pが真であることは示されない。
＞だから、Rではダメなのだ。
とも記載していて、明らかに矛盾している。そのようなことは分かっているから、Rの条件の内
Pを満たす条件は、Qの条件のみだということを書いている。

＞「Qが存在する！」
に関しては、Qの条件でそのPで仮定していた、関数そのものが存在が確認されたということを
表しているが、案の定そのようには理解してもらえなかったようだ。

>>411
＞一方で、「(*)を満たす」とは「Pが真であることを示す」ことに他ならない。
＞つまり、「Pが真であること」が先に証明されているのだｗ
先も何もない。同時に示されている。後は>>408の後半をよく読んでもらうより他はない。
415 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 22:51:05.27 ]: >>412
＞「探している条件が(*)を満たすこと」(すなわち「 Pが真であること」)
(*)を満たすことを示すことは「P => Q」をしてしているのであって、関数の存在を示すためのものでは
ない。
例えば、先の例でa=0の場合をQとした場合にはQは(*)の条件を満たさないのであるから
「P => Q」とは言えない。a=2の場合をQとした場合にのみ、Qの条件が(*)を満たし
「P => Q」を示している。
条件Qが空集合となる場合には、条件Pを満たす関数は存在しないことになり。
関数の存在するというPの命題は偽となる。

>>413
＞「 Qこそが存在する条件である」
＞ことを証明するために、君は(*)をチェックしている
そうではない、式を変更して
a*f(x) = f(x-2) + f(x+2)
という式を導き出しているので、導出された条件Rがそもそも条件Pの(*)の式を満たすか
どうかの確認が必要になる。(*)の式を満たしていないのであれば、「Pならば」の部分を
表していないことになるからだ。Qが確定した段階で
「P => Q」が示せた。その後、Qという条件の関数が存在することから
「Pが真」 <=> 「(*)を満たす関数f(x)、g(x)が存在する」
ということがいえる。
416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 23:01:49.60 ]: >>415
＞Qが確定した段階で「P => Q」が示せた。
＞その後、Qという条件の関数が存在することから

その書き方だと、

・まずは「 P ⇒ Q 」を示しました。
・その後で、「Qという条件の関数が存在すること」を追加の証明で示しました。

と主張しているように読めるぞ。ここで言う"追加の証明" とは、

「 Qを満たすf(x),g(x)を考えたとき、これがf(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1 を
　満たすことを手計算で確認する」

ということだ。
417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 03:12:45.54 ]: >>415
＞(*)を満たすことを示すことは「P => Q」をしてしているのであって、
＞関数の存在を示すためのものではない。

そこの感覚が、意味が分からない。君が(*)をチェックする目的が

「関数の存在を示すのが目的ではない！」

のだとしても、(*)を満たすことが言えた瞬間に、君の目的や意図とは無関係に

「 Pは真である」

が証明されたことになるわけよ。
つまり、君は「 Pが真であること」を先に証明してしまったわけ。
418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 03:18:28.01 ]: >>415
＞例えば、先の例でa=0の場合をQとした場合には
＞Qは(*)の条件を満たさないのであるから「P => Q」とは言えない。
そうだね、「(*)が満たされない」ということを根拠にして、
[a＝0の場合]にバツ印をつけてるんだよね。つまり、

「こんな条件では矛盾が起きて、解にならなかったぞ！！」

ということを根拠にして、[a＝0の場合]にバツ印をつけてるんだよね。

＞a=2の場合をQとした場合にのみ、Qの条件が(*)を満たし「P => Q」を示している。
そうだね、「(*)を満たす」ということを根拠にして、
[a＝2の場合]にマル印をつけてるんだよね。つまり、

「おお、この条件だと解になることが確認できたぞ！！！」… ★

ということを根拠にして、[a＝2の場合]にマル印をつけてるんだよね。
ほらね、「 Pが真であること」が先に証明されてるじゃないか。

★がどういうことを言ってるのか、分かるか？
「解が見つかりました！」と言ってるんだぞ？
「 Pは真であると判明しました！」と言ってるんだぞ？
そこで初めて、[a＝2の場合]にマル印がついたんだぞ？
つまり、「 Pが真であること」の証明が先に終わってるんだぞ？

分かるか？
419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 03:38:20.28 ]: >>415にもう1つ質問をしておこう。

問題：連続関数 f：R → R で、

「任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」　…　(A)

を満たすものを全て求めよ。

解答：
[1.1] (A)を満たす連続関数 f：R → R が存在すると仮定する。
[1.2] (A)でy＝xと置くと(f(x)－1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない。
[2.1] よって、「 (A)を満たす連続関数 f：R → R が存在するならば、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない」が言えた。
[3.1] 次に、f(x)＝1 (∀x∈R) とする。この関数は(A)を満たすことが簡単に
　　　確認できる。しかもfは連続関数であり、fの値域はRだから f：R → R である。
[4.1] 以上により、(A)を満たす連続関数 f：R → R は「f(x)＝1 (∀x∈R)」のみである。[終]

この解答について、>>415はどう思うか？

「 [3.1]の議論は必要ない。[1.1]～[2.1]の結果として、解の存在性は既に言えている」

と主張するのか？
420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 05:28:16.51 ]: >>417
＞つまり、君は「 Pが真であること」を先に証明してしまったわけ。…★★
意味不明、「P => Q」を示すことより先に、Pが真であるあることを証明したというのであれば
この時点より後に「P => Q」を証明する過程がなければならないが、そのようなことはない。

それを示さない限り★★の主張は誤り。
421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 05:45:21.67 ]: >>419
[3.1]は>>252の問題の場合は
3条件(R)の中から、1つの条件(Q)を導き出す過程に等しい。
「P => Q」と、「Pが真である。」ということは同時に証明されるので、どちらが先も後もない。
ただ、「P => Q」を証明した結果、同時に「Pが真」であるということがいえただけ。

[2.1]以降y = xの場合という条件が抜けている。
422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 12:38:45.22 ]: >>421
＞[2.1]以降y = xの場合という条件が抜けている。
そこは抜けていていいんだよ。質問の意味分かってる？
もう少し丁寧に書くぞ。

問題：連続関数 f：R → R で、

「任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」　…　(A)

を満たすものを全て求めよ。

解答：
[1.1] (A)を満たす連続関数 f：R → R が存在すると仮定する。
[1.2] (A)でy＝xと置くと(f(x)－1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない。
[2.1] よって、「 (A)を満たす連続関数 f：R → R が存在するならば、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない」が言えた。
[3.1] 次に、f(x)＝1 (∀x∈R) とする。この関数は、任意のx,y∈Rに対して f(y)^2＝2*f(x)－1 を満たすことが
　　　簡単に確認できる(左辺＝1^2＝1, 右辺＝2*1－1＝1だから左辺＝右辺である)。つまり、
　　　この関数は(A)を満たす。しかもfは連続関数であり、fの値域はRに含まれるから f：R → R である。
[4.1] 以上により、(A)を満たす連続関数 f：R → R は「f(x)＝1 (∀x∈R)」のみである。[終]

この解答についてどう思うか？

「 [3.1]の議論は必要ない。[1.1]～[2.1]の結果として、解の存在性は既に言えている」

と主張するのか？
423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 12:51:47.59 ]: (続き)あるいは、この解答について

「 [3.1]～[4.1]では "y＝x" が抜けているから、証明になってない」

などと主張するつもりか？

>>421
＞ただ、「P => Q」を証明した結果、同時に「Pが真」であるということがいえただけ。
意味不明。君が言うように、本当に「 P ⇒ Q 」を証明したに過ぎないのなら、

"「 P ⇒ Q 」の証明が「Pが真」の証明を兼ねている"

ということは有り得ない。当然、

"「 P ⇒ Q 」の証明が終わった段階で、同時に「Pが真」も言えている"

ということも有り得ない。
なぜか？もし本当に「 P ⇒ Q 」を証明したに過ぎないのなら、
その証明をSと置けば、Sという証明は「 Pが真だと仮定する」という仮定を
最初に置いてしまっているので、Sの全ては「Pが真である」という仮定ありきでの
証明にすぎない。実際にその証明Sを機能させようとしたら、「Pが真である」という仮定が

"実は仮定ではなく、実際に成り立つ事実なのだ"

ということを追加で証明しなければ(すなわち「Pが真である」を追加で証明しなければ)、
証明Sは機能しないのだ。

"証明Sが得られた段階で、この証明Sは「Pが真」も同時に主張している"

などということは有り得ないのだ。
424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 13:09:59.17 ]: もし未だに

「同時に証明される」

などと思っているのなら、もう一度言うが、それは

・「 P ⇒ Q 」の証明の中において、それとは別個に、「Pが真である」ことの証明を紛れ込ませている。

ということに過ぎない。
本当に「 P ⇒ Q 」しか証明してないのであれば、

「その証明は、"Pが真" の証明を兼ねている」
「その証明によって、"Pが真"も同時に言える」

などということは有り得ない(理由は>>423に書いたとおり)。
425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 15:13:37.07 ]: >>422
＞「 [3.1]の議論は必要ない。[1.1]～[2.1]の結果として、解の存在性は既に言えている」
そんなことは一言もかいていない。想像で書くのをやめていだだきたい。

>>423
＞「 [3.1]～[4.1]では "y＝x" が抜けているから、証明になってない」
>>421で
[2.1]以降y = xの場合という条件が抜けている。
と書いている。問題では「任意のx,y∈R」に対してと書いてあるのにも関わらず。
x ≠ yの場合について一切考慮していないのは、完全に誤り。

＞"「 P ⇒ Q 」の証明が終わった段階で、同時に「Pが真」も言えている"
そうであれば、>>420で書いた
＞意味不明、「P => Q」を示すことより先に、Pが真であるあることを証明したというのであれば
＞この時点より後に「P => Q」を証明する過程がなければならないが、そのようなことはない。
に対して答えてもらいたい。
426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 15:26:57.11 ]: >>425の訂正
＞"「 P ⇒ Q 」の証明が終わった段階で、同時に「Pが真」も言えている"
の下に
＞ということも有り得ない。
を追加
427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 16:44:10.06 ]: >>425
＞そうであれば、>>420で書いた
＞＞意味不明、「P => Q」を示すことより先に、Pが真であるあることを証明したというのであれば
＞＞この時点より後に「P => Q」を証明する過程がなければならないが、そのようなことはない。
＞に対して答えてもらいたい。
君の証明方法にこだわる限りは、

・(*)のチェックなしには「 P ⇒ Q 」は証明できない

のである。すなわち

・「おお、この条件だと解になることが確認できたぞ！！！」という確認なしには、「 P ⇒ Q」は証明できない

のである。これは、「解になることのチェックが先」ということを意味する。
この時点より後に「 P ⇒ Q 」を証明する過程が続いている必要は無い。
君は「続いてなければおかしい」と言うが、おかしくない。
証明の優先順位として、「解になることのチェックが先」なのだから、
それは「Pが真」の証明が先だということ。
(ということを何度も言っているのだが、おそらく、この話は平行線のままだろうな。)

そして、君の証明方法にこだわらない場合は、「Pが真」より先に「 P ⇒ Q 」を
証明することは出来る。ただし、この場合、君が主張するような

"「 P ⇒ Q 」の証明の結果によって、「Pが真」も言えている"

ということは起きない。
428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 16:48:08.21 ]: あるいは、「(*)のチェックがどうだこうだ」とかの話題とは関係なしに、
>>423の切り口で説明してもよい。

本当に君が「 P ⇒ Q 」しか証明してないのなら、その証明をSとすれば、
Sは「Pが真である」という過程を最初に置いてしまっているので、
Sを実際に活用するときは、「Pが真である」を追加で
証明しておかなければ、Sは全く機能しない。

つまり、本当に君が「 P ⇒ Q 」しか証明してないなら、

"「 P ⇒ Q 」の証明Sの結果として、「Pが真」も言えている"

ということは起きない。証明Sを活用するためには、
「Pが真」を追加で証明しておかなければならないからだ。
429 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 16:53:59.51 ]: >>425
＞[2.1]以降y = xの場合という条件が抜けている。
＞と書いている。問題では「任意のx,y∈R」に対してと書いてあるのにも関わらず。
＞x ≠ yの場合について一切考慮していないのは、完全に誤り。

残念だが、>>422は完全に正しい証明です。
どこにも誤りは無い。

[2.1]は "必要条件" についての言及なのであって、十分条件だとは一言も言ってない。
もし[2.1]が十分条件について言及しているのであれば、確かに全てのx,yについて
考慮しなければならない。一部のx,yしか考慮してないなら、それは「十分」では無いからだ。

しかし、[2.1]は必要条件についての言及しかしていないで、
一部のx,yだけしか考慮していなくても、何の問題も無い。

「必要条件を導くのに、全てのx,yについてを考慮する必要は無い」

ということさえ、君は分からないのかね？
じゃあ、十分条件はどうするのかと言うと、まさにそれを[3.1]で行っている。
すると、[3.1]により、f(x)＝1は十分条件だと分かるから、以上により、
f(x)＝1が "必要十分条件" だということが判明する。
つまり、[1.1]～[2.1]は必要条件の話をしていて、[3.1]は十分条件の話をしているわけ。
そして、必要条件の部分では、全てのx,yについて考慮する必要は無いから、何も間違ってない。
一方で、[3.1]は十分条件の話だから、全てのx,yについて考慮しなければならないが、
実際、[3.1]では考慮しているから、ここも何も間違ってない。

結局、君は証明というものを何も理解してなかったということだ。
必要条件と十分条件の違いも分かってない。
それでもまだ「>422の証明は間違っている」と思うなら、コメントをどうぞ。
430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 17:00:18.55 ]: ついでに、もう1つ質問しておく。

問題：関数 f：R → R について、次の (あ) が真であることを示せ。

「任意のx,y∈Rに対してf(y)＝f(x)＋1 が成り立つならば、関数fは定数関数である」… (あ)

解答その1：
(あ)の仮定をPと置き、(あ)の結論をQと置く。すなわち、
P「任意のx,y∈Rに対してf(y)＝f(x)＋1 が成り立つ」
Q「関数fは定数関数である」
と置く。このとき、(あ)は「 P ⇒ Q 」を意味するから、これを証明すればよい。
まず、Pは偽であることに注意する。
実際、Pが真だとすると、x＝y＝0を代入してf(0)＝f(0)＋1となり、0＝1となって矛盾する。
よって、背理法により、Pは偽である。
以上により、「 P ⇒ Q 」は真である(「A ⇒ B」という形の論理式は、Aが偽のとき常に真であるから)。

解答その2：
[1.1] 任意のx,y∈Rに対してf(y)＝f(x)＋1 が成り立つと仮定する。
[1.2] このとき、y＝0を代入して整理すると f(x)＝f(0)－1 となる。
[1.3] 左辺のxは任意であり、右辺は「f(0)－1」という定数であるから、確かに関数fは定数関数である。
[2.1] よって、(あ)は真である。

この2種類の解答について、どう思うかね？
どちらも間違った証明だと思うかね？
「なんだ、Pを満たす解fは1つも存在しないのか。だったら、そもそも(あ)は真ではない。(あ)は偽である」
と思うかね？
431 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 17:02:37.26 ]: >>427
＞そして、君の証明方法にこだわらない場合は、「Pが真」より先に「 P ⇒ Q 」を
＞証明することは出来る。
その証明方法がどのようなものかを示すべき。

このように述べておきながら
>>428では
＞Sは「Pが真である」という過程を最初に置いてしまっているので、
＞Sを実際に活用するときは、「Pが真である」を追加で
＞証明しておかなければ、Sは全く機能しない。
としている。この2つの内容に矛盾があるのは明らか。
432 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 17:10:10.54 ]: >>429
問題は
＞問題：連続関数 f：R → R で、

＞「任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」　…　(A)

＞を満たすものを全て求めよ。

はとなっているから、全ての関数を求めなければならない。そのように問題を理解できない方が
間違っている。
つまり、x　≠ yの場合も考慮し、この場合についての関数の存在を検証しなければ
解答としては不適切だ。

全ての関数を求めよとなっているのにも関わらず、解くのに都合のいい条件のみしか
考えて、必要条件だけを求めればよいと解釈するのは間違い。
問題に(A)を満たす関数を1つ求めよとか、満たす関数が存在することを示せとなっているので
あれば、上記の証明でも問題はない。
433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 17:12:18.11 ]: >>432の訂正
×はとなっているから
○となっているから

×解くのに都合のいい条件のみしか考えて
○解くのに都合のいい条件のみしか考えずに
434 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 17:21:24.98 ]: >>432
お話にならない。君は本当に証明というものを理解していない。
いや、「論理」を理解していない。

＞全ての関数を求めなければならない。そのように問題を理解できない方が
＞間違っている。
そうだよ。だから、全ての関数を求めているでしょ。
f(x)＝1という関数しか無いんだよｗ

＞つまり、x　≠ yの場合も考慮し、この場合についての関数の存在を検証しなければ
＞解答としては不適切だ。
適切です。(A)をよく読みなさい。
「任意のx,yに対して成り立つ」と書いてあるだろ。(A)は

「この関数は、x≠yとしても成り立ちます」
「なおかつ、この関数は、x＝yとしても成り立ちます」

と言っているのだ。2行目が見えないのかね？
x＝yとしても成り立つと言っているのだから、
わざわざ最初にx≠yを代入する必要は無い。
まずはx＝yを代入してチェックすればいい。
で、その時点でf(x)＝1しか出てこないから、そこで終わり。

自分で>>422の問題を解いてみろよ。
いかに自分がトンチンカンな発言してたかが分かるから。
435 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 17:24:26.16 ]: >>431
行数が多いから書くのを控えていたが、要求されたなら書くしかあるまい。
2レスに渡って書く。

f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1 … (A)

[1.01] (A)を満たす多項式f(x),g(x)が存在すると仮定する。
[1.02] f(x),g(x)は互いに素でなければならないことが簡単に言える。
[1.03] 特に、f(x)もg(x)も "恒等的に0という関数" では無い。
[1.04] 次に、(A)式でxをx±1に置き換えた式を考えると、
　　　 f(x){g(x-2) + g(x+2)} = g(x){f(x-2) + f(x+2)}が得られる。
[1.05] f(x)とg(x)は互いに素だったから、ある多項式p(x)が存在して
　　　 p(x)*f(x) = f(x-2) + f(x+2)，p(x)*g(x) = g(x-2) + g(x+2)
　　　が成り立つ。
[1.06] p(x)*f(x) = f(x-2) + f(x+2)について、両辺の次数を比較すれば、
　　　 p(x)は定数でなければならない。よって、p(x)≡aと表せる。
[1.07] 次に、a*f(x) = f(x-2) + f(x+2)について、f(x)の最高次の係数をbとして、
　　　両辺の最高次の係数を比較すれば、a*b = b + b すなわち「a＝2またはb＝0」となる。
　　　 f(x)は恒等的に0という関数ではなかったから、b≠0であり、よってa＝2である。
[1.08] 今の段階で、2*f(x) = f(x-2) + f(x+2), 2*g(x) = g(x-2) + g(x+2) が成り立っている。
　　　これを解くと f(x) = C4x + C5、g(x) = C6x + C7 (C4, C5, C6, C7は定数)となる。
[1.09] これを(A)に代入すると、f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 2(C4*C7 - C5*C6) = 1となり、
　　　 C4*C7 - C5*C6 = 1/2 が得られる。

(ここで[1.01]の仮定は打ち切る。)
436 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 17:28:17.53 ]: (>435の続き)

[2.01] 以上により、「(A)を満たすf(x),g(x)が存在するならば、
　　　 f(x) = C4x + C5、g(x) = C6x + C7、C4*C7 - C5*C6 = 1/2
　　　でなければならない」ということが言えた。

[3.01] 次に、 f(x) = C4x + C5、g(x) = C6x + C7、C4*C7 - C5*C6 = 1/2 と置く。
[3.02] このときf(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 2(C4*C7 - C5*C6) = 1 となるから、このf(x), g(x)は(A)を満たす。

[4.01] 以上により、「f(x) = C4x + C5、g(x) = C6x + C7、 C4*C7 - C5*C6 = 1/2」のみが求めるf(x),g(x)である。[終]
437 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 17:34:29.07 ]: >>426
>>378だが、「条件Pを満たす関数fが存在すると仮定する」の意味が分からないみたいだな。
条件P自身から関数fを直接的に構成したり或いは同値性を保ったまま具体的に構成出来たなら確認の作業は必要ないが
条件Pを満たす関数fが存在するという仮定から、解になるfを例えば論理的に逆が言えないように、
間接的に構成出来た場合は、条件Pを満たす関数fの存在性は保障されていないから確認作業は必要だ。
で、>>252の解答の場合、f(x)g(x-2)-g(x)f(x-2)=1とf(x+2)g(x)-g(x+2)f(x)=1から
f(x)(g(x-2)+g(x+2))=g(x)(f(x-2)+f(x+2))
を導いた時点で、f、gはもとの条件を満たすかどうかが怪しくなってて逆が言えない訳だ。
だから求めたf、gは本当に満たしているのかという確認作業が必要になる訳だ。
438 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 17:37:39.32 ]: >>426
これで分かったろ？
439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 17:42:26.34 ]: >>434
x = yとして求めた関数がf(x) = 1であり、x、yに依存しない定数となるから
x≠yの場合もこれが(A)を満たすことは当然。
初めにx≠yの仮定をした場合には、他の関数の存在を示せる可能性がある訳だから
それを検証しないのは、不適切。
しかし、この場合に(A)を満たす関数の存在を示すのは不可能と考えられる。

>>435
[1.09]と[3.01]&[3.02]は同じことを繰り返しているだけだから
[1.09]を示した時点で
「P => Q」の証明は完了している。
440 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 17:43:32.07 ]: >>432
＞つまり、x　≠ yの場合も考慮し、この場合についての関数の存在を検証しなければ
＞解答としては不適切だ。

もう一度言うが、(A)を満たす関数とは

x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)－1 が成り立ち、
x＝yの場合にも f(y)^2＝2*f(x)－1 が成り立つ

という性質を持つ関数f のことを言うんだぞ。
二行目が読めないのかね？

君が言っていることはまるで、

「x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)－1 が成り立ち、
　x＝yの場合には f(y)^2＝2*f(x)－1 が成り立たない
　という性質を持つ関数fについて検証しろ」

というふうに聞こえるぞ。
もし君がこのような主張をしているのなら、それはバカバカしすぎるぞ。
なぜなら、そのような関数はそもそも(A)を満たしてないから、
最初から考慮する必要が無いからだ。

君は何を勘違いしているのだね？
441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 17:46:12.73 ]: >>437
その確認作業が必要ではないなどということは書いていない。
そのことは>>415にも書いている。
442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 17:47:42.13 ]: >>439
＞[1.09]と[3.01]&[3.02]は同じことを繰り返しているだけだから
＞[1.09]を示した時点で
＞「P => Q」の証明は完了している。

「 P ⇒ Q 」の証明は、最初から[1.09]の時点で完了しているのだが？

で、もう1つ。君は "[1.09]と[3.01]&[3.02]は同じことを繰り返している"
と言っているが、決して同じことではない。
なぜなら、[1.09]の議論は「Pが真ならば」という仮定のもとでの議論だからだ。

・[1.09]と[3.01]&[3.02]は、同じことではない
・[1.01]の仮定を取り除いたバージョンの[1.09]を考えると、それは[3.01]&[3.02]と同じ。

君はこの違いが分からないから、
トンチンカンな発言を繰り返しているのだろうな。
443 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 17:51:03.66 ]: >>439
＞初めにx≠yの仮定をした場合には、他の関数の存在を示せる可能性がある訳だから
＞それを検証しないのは、不適切。
＞しかし、この場合に(A)を満たす関数の存在を示すのは不可能と考えられる。

>>440を参照のこと。君は何かを勘違いしている。君のそのレスは、まるで

「x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)－1 が成り立つが、
　x＝yの場合には f(y)^2＝2*f(x)－1 が成り立つのか不明　
　という性質を持つ関数fについて検証しろ」

と言っているように見えるぞ。だが、そんな関数は最初から
(A)を満たしていないのだから、考える必要が無い。
444 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 17:51:15.14 ]: >>440
x = y、x ≠ y両方の場合に対して関数f(x) = 1が条件(A)を満たすことは自明。

問題だとしているのは、全ての関数を求めよとなっていることから
x ≠ yの場合にf(x) = 1以外の関数の存在が検証されていないということ。

>>440の後段は、全くそのような内容は主張していないので、意味不明な理解を
示すことは止めていただきたい。
445 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 17:54:23.36 ]: バカの小競り合いはいつもこの調子だな
アスペ×２なのかな
専用スレでも立ててそこでやれ
446 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 18:02:00.34 ]: >>444
＞問題だとしているのは、全ての関数を求めよとなっていることから
＞x ≠ yの場合にf(x) = 1以外の関数の存在が検証されていないということ。

(A)を満たす関数とは、

x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)－1 が成り立ち、
x＝yの場合にも f(y)^2＝2*f(x)－1 が成り立つ

という性質を持つ関数fのことを言う。言い換えれば、
(A)を満たす関数とは

x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)－1 が成り立ち、
x＝yの場合には f(x)^2＝2*f(x)－1 が成り立つ (←左辺がf(x)^2になっていることに注意)

という性質を持つ関数fのことを言う。もっと言い換えれば、
(A)を満たす関数とは

x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)－1 が成り立ち、
x＝yの場合には f(x)＝1が成り立つ

という性質を持つ関数fのことを言う。
君はたぶん、最後の2つの条件について分かってない。

「 x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)－1 が成り立ち、x＝yの場合には f(x)＝1が成り立つ」

という性質を持つ関数は、f(x)＝1(∀x∈R)という関数以外には無い。
このことは理解しているか？
447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 18:08:02.19 ]: >>446
だから
＞x≠yの場合には f(y)^2＝2*f(x)－1 が成り立ち
この条件を満たす関数にf(x) = 1が存在することは理解している。

これ以外にないということが何故言えるのかということを問題にしているのが理解できないの？

そもそもf(x) = 1を導き出すのにx = yの拘束条件を課しておきながら、
た　ま　た　ま
x ≠ yの場合にも条件(A)が満たされるからと言ってx ≠ yの場合に条件(A)を満たす関数が
f(x) = 1のみであるということは示すことはできない。
448 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 18:23:27.99 ]: >>447
本当に理解してないんだな。
じゃあ、少し別の切り口で解説しよう。次の問題を考える。

問題：写像 f：{1,2,3} → R で、

「任意のx,y∈{1,2,3}に対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」　…　(A)

を満たすものを全て求めよ。

(注意：この写像fは、定義域が{1,2,3}だから、f(1),f(2),f(3)が決まれば、それで写像fは決まるのだ)

解答：
(A)を満たす写像 f：{1,2,3} → R が存在すると仮定する。
x＝y＝1を代入して、f(1)^2＝2*f(1)－1となる。よってf(1)＝1となる。
x＝y＝2を代入して、f(2)^2＝2*f(2)－1となる。よってf(2)＝1となる。
x＝y＝3を代入して、f(3)^2＝2*f(3)－1となる。よってf(3)＝1となる。
よって、写像fが(A)を満たすなら、f(1)＝f(2)＝f(3)＝1でなければならない。

逆に、f(1)＝f(2)＝f(3)＝1という写像f：{1,2,3} → Rについて考える。
任意のx,y∈{1,2,3}に対してf(y)^2＝1, 2*f(x)－1＝1 だから、
f(y)^2＝2*f(x)－1が成り立つ。よって、このfは(A)を満たす。

以上により、(A)を満たす写像 f：{1,2,3} → R は
f(1)＝f(2)＝f(3)＝1 という写像のみである。[終]

これを見ても、まだ君の勘違いに気づかないか？
449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 18:41:23.91 ]: >>448
理解できていないから>>447の問いに答えられない。
450 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 18:47:12.99 ]: >>422
残念ながら
>[1.2] (A)でy＝xと置くと(f(x)－1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない。
>[2.1] よって、「 (A)を満たす連続関数 f：R → R が存在するならば、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない」が言えた。
の部分が間違っている。
[1.2]で行ったのは(A)を満たす関数fの存在性であり、この時点では(A)を満たすfの一意性はまだ示していない。
451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 18:54:04.26 ]: >>449
君が誰なのかわからない。君は>>447なのか？
もしそうだったら、俺はちゃんと>>447に答えてるよ。
なぜなら、>>448自体が答えだからだ。もっと簡単な例を出そうか？

問題：写像 f：{1,2} → R で、

「任意のx,y∈{1,2}に対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」　…　(A)

を満たすものを全て求めよ。

(注意：この写像fは、定義域が{1,2}だから、f(1),f(2)が決まれば、それで写像fは決まる)

解答：
(A)を満たす写像 f：{1,2} → R が存在すると仮定する。条件(A)より、次の4つの等式が成り立つ。

(x,y)＝(1,1)を代入して f(1)^2＝2*f(1)－1，　(x,y)＝(1,2)を代入して f(2)^2＝2*f(1)－1
(x,y)＝(2,1)を代入して f(1)^2＝2*f(2)－1，　(x,y)＝(2,2)を代入して f(2)^2＝2*f(2)－1

特に、(x,y)＝(1,1), (2,2)の場合の等式を見れば、f(1)＝f(2)＝1となる。
よって、写像fが(A)を満たすなら、f(1)＝f(2)＝1でなければならない。

逆に、f(1)＝f(2)＝1という写像f：{1,2} → Rについて考える。このとき

(x,y)＝(1,1)を代入して f(1)^2＝1, 2*f(1)－1＝1，　(x,y)＝(1,2)を代入して f(2)^2＝1, 2*f(1)－1＝1
(x,y)＝(2,1)を代入して f(1)^2＝1, 2*f(2)－1＝1，　(x,y)＝(2,2)を代入して f(2)^2＝1, 2*f(2)－1＝1

だから、いずれの場合もf(y)^2＝2*f(x)－1が成り立つ。よって、このfは(A)を満たす。
以上により、(A)を満たす写像 f：{1,2} → R はf(1)＝f(2)＝1 という写像のみである。[終]
452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 19:00:16.80 ]: もっともっと簡単にしてもいいぞ。

問題：写像 f：{1,2} → R で、

「任意のx,y∈{1,2}に対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」　…　(A)

を満たすものを全て求めよ。

解答：
(A)を満たす写像 f：{1,2} → R が存在すると仮定する。
f(1)＝a, f(2)＝bと置く。a,bを求めたい。条件(A)より、次の4つの等式が成り立つ。

(x,y)＝(1,1)を代入して a^2＝2*a－1，　(x,y)＝(1,2)を代入して b^2＝2*a－1
(x,y)＝(2,1)を代入して a^2＝2*b－1，　(x,y)＝(2,2)を代入して b^2＝2*b－1

こうして、a,bに関する連立方程式が4つ得られたわけだが、
特に、(x,y)＝(1,1), (2,2)の場合の等式を見れば、a＝b＝1となる。
よって、写像fが(A)を満たすなら、f(1)＝f(2)＝1でなければならない。

逆に、f(1)＝f(2)＝1という写像f：{1,2} → Rについて考える。このとき

(x,y)＝(1,1)を代入して f(1)^2＝1, 2*f(1)－1＝1，　(x,y)＝(1,2)を代入して f(2)^2＝1, 2*f(1)－1＝1
(x,y)＝(2,1)を代入して f(1)^2＝1, 2*f(2)－1＝1，　(x,y)＝(2,2)を代入して f(2)^2＝1, 2*f(2)－1＝1

だから、いずれの場合もf(y)^2＝2*f(x)－1が成り立つ。よって、このfは(A)を満たす。
以上により、(A)を満たす写像 f：{1,2} → R はf(1)＝f(2)＝1 という写像のみである。[終]
453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 19:05:12.55 ]: さて、>>451や>>452 では、せっかく4パターンの等式を並べたにも関わらず、
結局のところx＝yの場合の等式しかチェックしていない。つまり、

「x＝yの拘束条件を課して議論しているのと全く同じこと」

である。しかし、証明はこれで正しい。特に、>>452の証明は正しい。
さすがの君にも分かるだろ？

>452の前半部分では、a,bに関する4つの連立方程式が出てきたわけだが、
その中の2つの式だけで、もうaとbが求まってしまったわけ。
じゃあ、そのようにして求めたa,bは、残りの2つの式を満たすのか？
……それを確認してるのが後半部分だ。実際に4つの式を全て満たす。
だから、解はf(1)＝f(2)＝1という写像しかない。

ここで、もし君が言うように、

「都合よくx＝yの拘束条件を課して議論するだけではダメだ」

ということであれば、まさしくそのように議論している>>452は
ダメダメのはずだが、しかし、実際には、>452は正しい証明なわけだ。

つまり、君は何かを勘違いしているわけ。お分かり？
以上。
454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 19:17:39.85 ]: おかわり！
455 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 19:31:37.85 ]: おわかり！
456 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 19:40:45.87 ]: >>451
くだらない定義域を制限する議論は>>419を考える場合に何らの示唆も与えない。
君の証明は
y = xという拘束条件を課した上で、f(x)を決定している。
それではこの拘束条件を一般化してy = g(x)を満たしているとした場合に
f(y)^2＝2*f(x)－1
は
f(x) = (f(g(x))^2 + 1)/2
として表される。この式が成立する。f(x)が存在するかを検証しなければならない。
当然より一般的な、x,yに関係が存在しない場合についても考慮しなければならない。

>>447に対する答えが>>448であるはずがない。
間違っていることに対して、まともな理由もなく強行に正当性を主張しても、それを他人が
理解することはできない。
457 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 19:44:16.85 ]: >>456
＞くだらない定義域を制限する議論は>>419を考える場合に何らの示唆も与えない。
物凄い示唆を与えてるよ。

君は俺の証明方法を「間違ってる」と思ってるわけだ。
で、俺は定義域を制限した場合の問題について、
全く同じ証明方法を使ったわけだ(>>452)。

もし君の言っていることが正しいなら、
>>452の証明は間違っていることになるだろ？

では質問しよう。

「>>452の証明の、一体どこが間違いなの？」

答えてくれ。
458 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 19:44:35.02 ]: そうだそうだ！
459 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 19:49:23.67 ]: >>456
＞君の証明はy = xという拘束条件を課した上で、f(x)を決定している。
そうです。
特に、>>452の問題において、y＝xという
拘束条件を課した上で、f(1),f(2)を決定してます。

＞当然より一般的な、x,yに関係が存在しない場合についても考慮しなければならない。
>>452では、x＝yという拘束を課した場合の等式しかチェックしていない。
「より一般的な、x,yに関係が存在しない場合についてのチェック」は、
当然ながら行ってない。じゃあ、>>452は間違ってるのかな？

ほら、言ってごらん。>>452のどこが間違ってるの？
460 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 19:50:28.70 ]: それでそれで？
461 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 19:58:27.93 ]: >>456
＞それではこの拘束条件を一般化してy = g(x)を満たしているとした場合に
＞f(y)^2＝2*f(x)－1
＞は
＞f(x) = (f(g(x))^2 + 1)/2
＞として表される。この式が成立する。f(x)が存在するかを検証しなければならない。
＞当然より一般的な、x,yに関係が存在しない場合についても考慮しなければならない。

この主張を >>452 に当てはめると、次のようになる。

『それではこの拘束条件を一般化して、写像 g：{1,2} → {1,2} を任意に
　持ってきて y = g(x)を満たしているとした場合にf(y)^2＝2*f(x)－1は
　 f(x) = (f(g(x))^2 + 1)/2として表される。この式が成立する。
　 f(x)が存在するかを検証しなければならない。』

君は>>452に対して、このような主張をしているわけだ。

で？どうしてそんな検証が必要なの？
>452の問題は、>452の証明だけで完結してるでしょ？
それとも、やっぱり>452の証明は間違ってると？

じゃあ、>>452の証明のどこが間違ってるの？言ってごらん。
462 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 20:01:07.47 ]: そうきたか！ｶﾞﾀｯ
463 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 20:02:16.45 ]: >>459
だから>>452は違う問題。いいように>>419の問題の定義域を変更したものであって同じ
問題ではない。

つまり>>452は正しいが、>>419の証明は間違っているということだ。

もう一度繰り返すが、>>419の証明で問題なのは、
x = yという拘束条件を課して問題を解いているということ、そこで出てきた関数f(x) = 1
がx ≠ yの場合でも(A)を満たすことを証明しただけでは、
x ≠ yの場合に(A)を満たす関数としてf(x) = 1が存在するということを示しただけで
それ以外の関数が存在するかどうかについては、何ら検討されていないため
証明としては不適切だと述べている。
464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 20:04:24.27 ]: それも一理あるな
465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 20:09:27.09 ]: >>463
＞つまり>>452は正しいが、>>419の証明は間違っているということだ。
そうか、>452は正しいのか。
では、Xを一般的な集合として、次の問題を考えよう。

問題：写像 f：X → Rについて、

「任意のx,y∈Xに対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」　…　(A)

を満たすものを全て求めよ。

解答：
[1.1] (A)を満たす写像 f：X → R が存在すると仮定する。
[1.2] (A)でy＝xと置くと(f(x)－1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x∈X)でなければならない。
[2.1] よって、「 (A)を満たす写像 f：X → R が存在するならば、f(x)＝1 (∀x∈X)でなければならない」が言えた。
[3.1] 次に、f(x)＝1 (∀x∈X) とする。この関数は、任意のx,y∈Xに対して f(y)^2＝2*f(x)－1 を満たすことが
　　　簡単に確認できる(左辺＝1^2＝1, 右辺＝2*1－1＝1だから左辺＝右辺である)。つまり、この関数は(A)を満たす。
[4.1] 以上により、(A)を満たす写像 f：X → R は「f(x)＝1 (∀x∈X)」のみである。[終]

↑この証明方法は、「 X＝{1,2} という集合の場合には正しい」わけだ。
　君自身が認めたからな。で、君によれば、「 X＝Rの場合には正しくない」わけだ。

　どうして？
466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 20:14:09.97 ]: >>463
＞もう一度繰り返すが、>>419の証明で問題なのは、
＞ x = yという拘束条件を課して問題を解いているということ、そこで出てきた関数f(x) = 1
＞がx ≠ yの場合でも(A)を満たすことを証明しただけでは、
＞ x ≠ yの場合に(A)を満たす関数としてf(x) = 1が存在するということを示しただけで
＞それ以外の関数が存在するかどうかについては、何ら検討されていないため
＞証明としては不適切だと述べている。

そんなこと言ったら、>>452だって、
x＝yの束縛条件下での計算しかやってないんだから、

『そこで出来た「f(1)＝f(2)＝1」という写像が、がx ≠ yの場合でも
　(A)を満たすことを証明しただけでは、x ≠ yの場合に(A)を満たす
　関数としてf(x) = 1が存在するということを示しただけで
　それ以外のf(1),f(2)が存在するかどうかについては、何ら検討されていないため
　証明としては不適切だ』

と言えてしまうはずだぞ。でも、>>452は正しいんでしょ？
これはどういうことかな？

このように、君が>>419に対して投げかけている疑問は、
そのまま>>452にトレースできちゃうんだよ。もっと一般化すれば>>456だけどな。
君が疑問に思っていることが、いかに支離滅裂な勘違いであるか、そろそろ気づこうよ。
467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 20:15:29.27 ]: たしかにそうかもしれない
468 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 20:48:22.68 ]: 繰り返しになってしまうが、もう一度書く。

>>465のXについて、X＝{1,2}とした場合の問題文・解答文が>>452である。
また、X＝Rとした場合の問題文・解答文が>>419である。

>465の文章は、Xを与えるごとに「問題文」「解答文」を
統一的にポンと生成する、文章生成機械のようなものである。

さて、>>419でも>>452でも、x＝yの束縛条件下での計算しかしていない。
というか、「f(x)＝1だけが解である」という結論を導き出すための
理屈は、どちらでも全く一緒である。
同じ理屈で「f(x)＝1だけが解である」と言っているのに、君は
「>>452は正しくて、>>419はダメ」と言う。なぜ>>419はダメなのか？君は

「x＝yの束縛下の計算しかやってないからダメなんだ」

と言っているが、それなら>>452も同様の理由でダメのはずである。そこで君は

「 >419と>452は別の問題だ」

と言うが、たとえ問題が違っても、その解答に使われている「理屈」が
全く同じなのだから、そのような言い分は通用しない。

「違う問題だ」

などと思考停止しないで、両者の証明で使われている「理屈」が
全く同じであることを理解することに努め、そして、
君が大きな勘違いをしていることに早く気づくべきである。
469 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 20:52:22.68 ]: >>466
＞そんなこと言ったら、>>452だって、
＞x＝yの束縛条件下での計算しかやってないんだから、
>>452の場合は
(x,y)＝(1,2)、(x, y)＝(2,1)の場合を考慮しているから問題はない。

＞君が疑問に思っていることが、いかに支離滅裂な勘違いであるか、そろそろ気づこうよ。
私は全く勘違いしていないし、書いたことに何の誤りもない。
勘違いはそちら。

だから、>>456で指摘したことを考慮せずに、つまり初めからx ≠ ｙの場合に対しての
条件(A)を満たすものが存在するかを考えなければ、関数f(x) = 1のみしか存在しえない
ことをいえない。
他人の主張内容は理解できないのですね。分かりました。
470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 20:56:58.92 ]: おっとー？おっとおっとー？
471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 21:01:16.16 ]: >>468
「任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」　…　(A)
これに対してx = yの場合には
f(x)^2 = 2*f(x) - 1
となりf(x) = 1でなくてはならない。

つまり
「 x = yを満たす任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」　…　(B)
として
(B) => f(x) = 1
が示せただけ。x ≠ yの場合でもf(x) = 1が(A)を満たすことを証明したとしてもx ≠ yの場合に
(A) => f(x) = 1
が示せた訳ではない。

x = yとx ≠ yの場合に
f(x) = 1 => (A)
が示せただけ。
472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 21:05:27.86 ]: か～ら～の～？
473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 21:05:41.11 ]: >>469
＞>>452の場合は
＞(x,y)＝(1,2)、(x, y)＝(2,1)の場合を考慮しているから問題はない。

考慮してないよｗ

>>452では、x,y全ての場合についての等式(全部で4つある)を
丁寧にリストアップしている。しかし、リストアップしたはいいが、
その4つのうち(x,y)＝(1,2), (2,1)の場合の等式は　使　っ　て　な　い　。

a＝b＝1を導くのに使ったのは、 a^2＝2*a－1, b^2＝2*b－1 という2つの等式のみ。
これらの等式は(x,y)＝(1,1), (2,2)すなわちx＝yの場合の等式だから、
結局、>>452 では「x＝yの束縛下の条件しか考慮してない」ことになる。

それとも、

「たとえ等式を使わなくても、>>452のように丁寧にリストアップさえすれば、それで考慮したと見なす」

ということかね？もしそうなら、>>419だって、

「 f(y)^2＝2*f(x)－1 (∀x,y∈R) 」…　★

という一文を書くだけで、「全ての等式を>>452のようにリストアップしたことになる」でしょ。
つまり、「全てのx,yを考慮したことになる」でしょ。
(x,yは無限にあるから、>>452の形式で紙面上にリストアップすることは出来ない。
　しかし、★のような形で表記すれば、それは全てのx,yについてリストアップしたのと同じである)
474 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 21:06:49.05 ]: うんうん
475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 21:10:04.34 ]: >>473
＞その4つのうち(x,y)＝(1,2), (2,1)の場合の等式は　使　っ　て　な　い　。
使っているんだよ。(x,y)＝(1,1)、(2,2)の等式からa=b=1が示せて
このa=b=1という条件が(x,y)＝(1,2), (2,1)の場合も成立しているから
4条件は使っている。

これで君の数学的能力に問題があることがわかった。
全く間違っている内容を世界中に拡散するのをこれ以上止めたらどうか？
476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 21:10:18.67 ]: >>471
君のその言い分を、>>452に使ってごらん。

[00] >>452の証明において、
[01] 「任意のx,y∈{1,2}に対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」　…　(A)
[02] これに対してx = yの場合には
[03] f(x)^2 = 2*f(x) - 1
[04] となりf(x) = 1でなくてはならない。

[05] つまり
[06] 「 x = yを満たす任意のx,y∈{1,2}に対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」　…　(B)
[07] として
[08] (B) => f(x) = 1
[09] が示せただけ。x ≠ yの場合でもf(x) = 1が(A)を満たすことを証明したとしてもx ≠ yの場合に
[10] (A) => f(x) = 1
[11] が示せた訳ではない。

[12] x = yとx ≠ yの場合に
[13] f(x) = 1 => (A)
[14] が示せただけ。

さて、君は「 >452は正しい」と言っていた。
ならば、上の疑問の [00]～[14] において、いずれかの番号の主張は
"間違っていなければならない" 。

で？ [00]～[14]のうち、どの番号が間違ってるの？
477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 21:14:41.01 ]: ほぉー！
478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 21:15:24.87 ]: ＞このa=b=1という条件が(x,y)＝(1,2), (2,1)の場合も成立しているから
＞4条件は使っている。

つまり、こういうことだな？

『　>>452では、x＝yという束縛下でf(x)＝1 (∀x∈{1,2})という条件を出したに過ぎない。
　　ただし、この条件はx≠yの場合も成立している。』

と。そうです。x≠yのときも成立しています。
ただし、その事実について、>>452の証明では　言　及　し　て　い　ま　せ　ん　。
君が勝手に、証明を補完してしまっただけです。

「このa＝b＝1という条件は、x≠yの場合も成立している」

という事実を、君が勝手に脳内で補完して証明してしまっただけです。

そして、そのような補完が出来る能力が君にあるのなら、
>>419だって、全く同じ補完が可能になる。

つまり、こういうことだ。

『　>>419では、x＝yという束縛下でf(x)＝1 (∀x∈R)という条件を出したに過ぎない。
　　ただし、この条件はx≠yの場合も成立している。』

なぜ君は、>>419の場合はこのように考えないのだね？
479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 21:16:16.05 ]: 盛り上がってまいりました
480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 21:26:10.99 ]: >>478
脳内で補完している訳ではない。>>452は定義域をそちらが勝手に都合よく
狭めているため、全ての定義域で条件を確認しているから正しいことになる。

＞「このa＝b＝1という条件は、x≠yの場合も成立している」
＞という事実を、君が勝手に脳内で補完して証明してしまっただけです。
4つの等式の全てが成立しないと証明できないのであるから、そのチェックでもし
他の2式が成立しないのであれば、証明は成立しない。

苦しい主張の繰り返しでお疲れ様です。

>>471で
＞x = yとx ≠ yの場合に
＞f(x) = 1 => (A)
＞が示せただけ。
と書いているが、f(x) = 1以外にもx ≠ yを満たす関数が存在するかどうかの検証が
行われていない。
懇切丁寧に言いかえれば、
x ≠ yの場合にf(x) = 1だけが条件(A)を満たすということが言えるのかということ。
481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 21:28:17.22 ]: >>480
よし、もういい。いったん、証明の表現方法を変える。
(本質的に同じことをやっているのだが)

問題：写像 f：R → R で、

「任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」　…　(A)

を満たすものを全て求めよ。

解答：まず、

「 (A)を満たす写像fは "必ずf(0)＝1である" 」 … B[0]

ということを示す。
写像fは(A)を満たすとする。どんなx,yに対しても(A)の式が
成り立つのだから、特に、x＝0, y＝0を代入しても(A)の式が成り立つ。
実際に代入するとf(0)^2＝2*f(0)－1 となるから、ここからf(0)＝1が出る。
よって、確かにB[0]が成り立つ。

↑証明の途中で申し訳ないがが、この証明について、君はどう思うかね？
　「正しい」と思うかね？
　「x≠yのときにもf(0)＝1が言えているわけではないから、間違い」
　などと思うかね？
482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 21:30:02.93 ]: どうなんだい？
483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 21:38:49.43 ]: >>419
誰が誰だか分からないが[2.1]は、「(A)を満たす連続関数 f：R → R は確かに存在する」だぞ。
そしてfの一意性は[3.1]で示そうとしている訳だが[3.1]のままでは一意性を示したことにはならない。
暗黙のうちに「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」という事実を使っているのだが、
これも別個に示さないといけない。
484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 21:45:46.49 ]: >>483
＞暗黙のうちに「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」という事実を使っているのだが、
＞これも別個に示さないといけない。

それを示しているのが[2.1]でしょ。よく読むべし。
485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 21:51:21.49 ]: うむ。
486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 22:09:19.65 ]: >>483
その[2.1]は「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」という事実の厳密な証明になってないんだよ。
487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 22:10:33.84 ]: 「x＝yと置くと～」じゃなくて、
「どんな実数tを選択しても、そのtに対して、x＝t, y＝tを代入すれば～」
と表現すれば、誤解が起きないようになるかな？

問題：写像 f：R → R で、
「任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」　…　(A)
を満たすものを全て求めよ。

解答：
(A)を満たす写像 f：R → R が存在すると仮定する。このとき、どんなx,yに対しても
(A)式が成り立つのだから、特にx＝0, y＝0を代入して、f(0)^2＝2*f(0)－1となるから、必ず

f(0)＝1

となる。今度は、x＝√2, y＝√2を代入してみると、f(√2)^2＝2*f(√2)－1となり、必ず
f(√2)＝1
となる。じゃあ、x＝3.14, y＝3.14 を代入したらどうか？f(3.14)^2＝2*f(3.14)－1となり、必ず
f(3.14)＝1
となる。……このような計算から容易に分かるように、どんな実数tを選択しても、
そのtに対して、x＝t, y＝tを(A)式に代入して整理すれば、必ず

f(t)＝1

となることが分かる。「どんな実数tを選択しても必ずf(t)＝1である」とはすなわち、
fは定数関数であって、その値は1であるということである。以上より、

「 (A)を満たす写像 f：R → R が存在するならば、f(t)＝1 (∀t∈R)という定数関数でなければならない」

ということが言えた。次に、f(t)＝1 (∀t∈R)という定数関数を持ってくる。このfは(A)を
満たすことが容易に確認できる。以上により、(A)を満たすfはf(t)＝1 (∀t∈R)という定数関数だけである。
488 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 22:12:59.55 ]: 特殊化による必要性の証明が理解できないようだ。
数学初心者にある、
命題「AならばB」の証明における、
「Ａが成り立っているならば、特にA'のとき云々、よってB」　　・・・（１）
という証明の流れに対して、A'でないときはどうするのか、と悩み始める。
そんな人には(1)の対偶を考えてみることをお勧めしたい。
489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 22:44:47.44 ]: >>488
肝心の（１）の文法が良くわかんないんだが。
正確に書き直しといてくれる？
490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 22:46:46.85 ]: >>488
>A'でないときはどうするのか
論理的に言うと厳密にはA'でないときも考えないといけないぞ。
「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」の1つの厳密な証明は
(A)を満たす連続関数 f：R → R が存在するとする。
実数yを任意に取る。すると任意の実数z、xに対して
f(y)^2＝2*f(z)－1＝2*f(x)－1
が成り立ちf(z)=f(x)が得られる。
よってfは定数関数である。
だ。
491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 22:47:31.34 ]: あくまでの(1)は流れだから、直接には該当する証明にあたってくれ。
上の方に一杯あるからさ。>>419とか。
492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 22:50:12.94 ]: >>490
いらない。
493 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 23:01:34.93 ]: 一般的に必要条件としてあり得る解を求める場合は、
つまり、「Aならば「？」」　の「？」の中を詰めるときは、
それは「ＡならばＢ」の証明ではないのだから、特殊化だけで済む話ではない。
494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 23:01:53.79 ]: >>486
この証明は？

(A)を満たす連続関数 f：R → R が存在するとする。
実数tを任意に取る。x＝t, y＝tを代入して
f(t)^2＝2f(t)－1
(f(t)－1)^2＝0
f(t)＝1
tは任意だったから、「任意のtでf(t)＝1」すなわちfは定数関数で、
その値は1となる。よって、
「(A)を満たす連続関数 f：R → R があるなら、それは定数関数であり、f(t)＝1(∀t∈R) 」
である。

>487と全く同じだが。
495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 23:11:30.44 ]: >>419
分かりにくい解答だから整理するな。
[1.2]「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」を示す。
[1.3] (A)でy＝xと置くと(f(x)－1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない。
[2.1] よって、「(A)を満たす連続関数 f：R → R が存在するならば、f(x)＝1 (∀x∈R)でなければならない」が言えた。
本来はこうするべきだ。

>>492
理解出来たよ。
最初>>419を読んだとき分かりにくかった。
496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 23:18:55.63 ]: >>494
論理的には最初にfは定数関数であることを示した方がいい。
497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 23:23:58.02 ]: せやな
498 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 23:24:12.38 ]: >>496
レスの意味がよく分からない。

「議論がすっきりするから、定数関数であることを最初に言った方がよい」という意味？
「>>494は厳密ではないから、定数関数であることを最初に言った方がよい」という意味？
499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 23:34:09.35 ]: >>498
>>419は論理的に混乱を招きかねなくて議論がスッキリしていない。
>>419の書き方だと[1.1]から[1.2]に移る部分で混乱しかねないんだよ。
論理的に考えるなら、定数関数であることを最初に言った方がよい。
500 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 23:41:33.54 ]: >>499
俺が聞いてるのは、>419じゃなくて>494なんだが。
>419の表現方法はさておき、>494 「も」混乱を招きかねないの？

「fが定数関数である」ことを示すには、2通りの方法がある。

その1：「任意のx,yに対してf(x)＝f(y)」を示す。
その2：「あるcが存在して、任意のxに対してf(x)＝c」を示す。

>490はその1の手段を取り、>494はその2の手段を取った。
「その2に比べれば、その1の方がスッキリしている」というのは分かるが、
そんな気になるほど大差は無いように見えるのだが。
あと、その2の方針でやってる>494だと、
何をどのように混乱してしまうのか、よく分からん。
501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 23:47:06.38 ]: 寝ます
502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 23:54:58.64 ]: >>500
>>494だと
>(A)を満たす連続関数 f：R → R が存在するとする。
から
>実数tを任意に取る。x＝t, y＝tを代入して
に移行した際これから何をしようとしているのかが分からない。
その後になって「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」を示した。
それなら論理的には最初に「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」を示すべきだ。
>>494ではいわゆる手順前後をしている。
503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 23:56:52.40 ]: x=yの特殊化だけでは求まらない、多分。

任意の実数x,yに対して実数値連続関数fは、等式
f(x+y)-f(y)=f((x+y)/2))(f(x+y)-f(x))
を満たしている。
このような関数f(x)を全て求めよ。
504 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/02(金) 00:08:47.50 ]: >>502
ああ、そうか。目的が不明瞭に見えちゃうんだな。これは失礼。
「最初に目的を明示しておけ」っていうだけの話ね。
505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/02(金) 00:13:21.74 ]: y=0

f(x)-f(0)=f(x/2)(f(x)-f(x))=0

f(x)=f(0)
506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/02(金) 01:20:00.02 ]: （（Ｙ⊂Ｘ）∧（（（∀ａ∈Ｙ）Ｐ（ａ））→Ｂ））→（（（∀ａ∈Ｘ）Ｐ（ａ））→Ｂ）。
507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/02(金) 02:13:18.72 ]: 生兵法はケガの元
キチガイに刃物

だな、全く。

知識は適切に運用できなければ持ってる意味がないというのに。
508 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/02(金) 18:26:43.99 ]: 何言ってんだこいつら
必要条件と十分条件の話題が延々ループしてるってことでおｋ？
509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/02(金) 21:54:11.04 ]: 論理的な積み重ねとは異なる部分についての
異なる見解を、互いに自分の主張のほうが論理的だと言い合っている途中。
510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/02(金) 21:57:57.91 ]: 双方のどこが論理的でないかを指摘しなければ、>>509も論理的でない
511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/02(金) 22:04:28.93 ]: >>509は議論家さんが論理的ではないとは言っていないと思うのだが
512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/02(金) 22:12:57.38 ]: >>480の訂正
＞4つの等式の全てが成立しないと証明できないのであるから、そのチェックでもし
＞他の2式が成立しないのであれば、証明は成立しない。

(x, y) = (1,1), (2,2)のときだけでなく、(x, y) = (1,2), (2,1)の場合であっても
a = b = 1となることから、全定義域において条件(A)が成立することから
>>452の証明は正しいことになる。
513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 00:26:40.10 ]: >>511
その通り。

>>510
>>496や>>499 あたりがわかりやすいと思う。
514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 06:13:58.51 ]: >>511
>>513
＞論理的な積み重ねとは異なる部分についての異なる見解を、
＞（互いに自分の主張のほうが論理的だと）
＞言い合っている途中
論理的な積み重ねとは異なる部分(=論理的でない部分)に対して
言い合っている(=論理的でない議論をしている)と取れるけど。

>>496と>>499は論理的だと思う。
515 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 13:17:50.84 ]: f(y)^2 = 2f(x)-1…①
x = yのとき、(f(x)-1)^2 = 0からf(x) = 1
x ≠ yのときxとyを交換した
f(x)^2 = 2f(y)-1…②
が成立する((場合がある))。①,②から
f(y)^2-f(x)^2 + 2(f(y)-f(x)) = 0
(f(y)-f(x))(f(y)+f(x)+2) = 0
f(x) = f(y)のとき①からf(x) = 1
f(y) = -f(x)-2のとき①から
f(x)^2 = -2f(x)-4-1、∴f(x) = -1±2i
f：R → Rであるからこの場合は題意を満たさない。
516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 13:31:22.38 ]: >>515の訂正
「((場合がある))」を削除
517 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/03(土) 13:48:08.93 ]: y=x^3-x^2-2x+3をy=2xに関して対称に移動した関数を求めよ。
518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 13:50:21.09 ]: >>480
＞懇切丁寧に言いかえれば、
＞x ≠ yの場合にf(x) = 1だけが条件(A)を満たすということが言えるのかということ。
以下の解答を読んでほしい。
x≠yの場合の考慮が、実際には全く必要ないことが分かると思う。

準備：次の4つの条件をそれぞれA,B,C,Qと置く。

「どんなx,yに対しても f(y)^2＝2*f(x)－1 」… (A)
「 x＝y のとき f(y)^2＝2*f(x)－1 」… (B)
「 x≠y のとき f(y)^2＝2*f(x)－1 」… (C)
「 fは定数関数で、その値は1 」… (Q)

「fは(A)を満たす」ことと「fは(B)を満たし、なおかつ、fは(C)を満たす」ことは同値であることに注意する。

(1レスに収まらないので、解答は次のレスに書く。)
519 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 13:51:54.14 ]: 解答：
[1.1] まず、「 (A)を満たすfが存在するなら、fは定数関数で、その値は1である」を示す。
[1.2] fは(A)を満たすとする。
[1.3] 以下、
　　　(i) fが(B)を満たす場合
　　　(ii) (i)以外の場合
　　　で場合分けする。

[1.4] (i)の場合は、(f(x)－1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x∈R)となる。
[1.5] よって、(i)の場合は、fは定数関数で、その値は1である。

[1.6] 次に、(ii)の場合を考える。つまり、「fは(B)を満たさない」場合を考える。
[1.7] [1.2]により、fは(C)を満たすのだから、「fは(B)を満たさず、なおかつ、fは(C)を満たす」…(★)
　　　ということになる。
[1.8] よって、ここからは(C)の条件だけを使って、fについて議論していくことになる。
[1.7] しかし、よく見てほしい。[1.2]の仮定により、「fは(B)を満たし、なおかつ、fは(C)も満たす」のだから、
　　　これは(★)に矛盾している。
[1.8] よって、(ii)はそもそも起こり得ないと分かる。[場合分け終了]

[2.1] 以上により、確かに[1.1]の主張は示せた。
[3.1] 次に、「『fは定数関数で、その値は1』ならば、fは(A)を満たす」ことを示す。
[3.2] が、このことは簡単に示せるので省略する。
[4.1] 以上により、(A)を満たす関数は「fは定数関数で、その値は1」という関数のみである。[終]
520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 14:13:38.39 ]: >>519
その証明はそもそも[1.2] が正しいとして証明しているので、論理的におかしい。
「fは(B)を満たさず、なおかつ、fは(C)を満たす」が
[1.2]の仮定に反するからといって、条件(C)が満たされるとはいえない。
521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 14:17:31.06 ]: >>515
x≠yのときの計算は必要ない。最初の2行で終わってる。

>515では

・fが(B)を満たす場合
・fが(C)を満たす場合

という場合分けで計算しているわけだが、
そんな不器用な場合分けを使わずとも

・fが(B)を満たす場合
・fが(B)を満たさない場合

と場合分けすれば済む話。
522 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 14:32:33.45 ]: >>520
おかしくないだろ。まず最初に[1.2]の仮定を置き、
その文脈の中において、ある種の場合分けを展開したに過ぎない。

最初に置いた仮定によって、その後で展開できる場合分けの手法に制限が生じるなど、
論理的に有り得ない。

君はよっぽど「x≠yの場合のfの計算も不可欠だ」と思ってるようなので、
ちょっと別の表現方法を使って、>419の解答を書いてみるぞ。
もちろん、今から書く解答も「x＝yの場合の計算しかやってない」証明である。

準備：
(A)が成り立つfの集合をαと置き、
(B)が成り立つfの集合をβと置き、
(C)が成り立つfの集合をγと置き、
(Q)が成り立つfの集合をθと置く。
ただし、ここに書いたA,B,C,Qとは、>>518に書いたA,B,C,Qのこととする。

(1レスに収まらないので、解答は次のレスに書く。)
523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 14:37:39.30 ]: 解答：
[1.1] 集合α,θについて。α＝θが成り立つことを示そう。
[2.1] まず、α＝β∩γが成り立つことを示す。
[2.2] が、これはα,β,γの定義からすぐに分かる。
[3.1] 次に、β∩γ ⊂ βが成り立つことを示す。
[3.2] が、これは本当に明らかである。
[4.1] 次に、β⊂θ が成り立つことを示す。
[4.2] f∈βとする。
[4.3] このとき、fは(B)を満たすから、(f(x)－1)^2＝0となり、f(x)＝1(∀x)となり、f∈θとなる。
[4.4] よってβ⊂θである。
[5.1] 次に、θ⊂αを示す。
[5.2] が、これは簡単に計算できるので省略する。

[6.1] 以上より、「α＝β∩γ」「β∩γ ⊂ β」「β⊂θ」「θ⊂α」が得られた。
　　　これらをこの順番に使えば　α ＝ β∩γ ⊂ β ⊂ θ ⊂ α　となる。
　　　つまりα⊂θ⊂αとなるから、これでα＝θが得られた。
[6.2] 以上より、[1.1]が示された。
[7.1] 最後に、
　　「(A)を満たす関数は、『fは定数関数で、その値は1』という関数のみ」
　　　であることを示す。
[7.2] が、これはα＝θから明らか。[終]
524 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 14:44:56.17 ]: >>523の証明において、[4.1]を示すときに、x＝yの場合のfの計算を使っている。
では、>>523の証明において、x≠yの場合のfの計算を使っている箇所はあるか？

無い。

にも関わらず、>>523はちゃんと証明になっている。
525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 14:58:44.20 ]: >>517
求める曲線上の点をP(x, y)とし、y=x^3-x^2-2x+3上の点をQ(x', y')とすると
線分PQの中点がy = 2x上に存在することから
(y+y')/2 = x+x' …①
直線PQが直線y=2xと直交することから
(y'-y)/(x'-x) = -1/2 …②
①、②から
x' = -3/5*x+4/5*y、y' = 4/5*x+3/5*y
が成立する。これをy=x^3-x^2-2x+3に代入し整理すると
27x^3-108x^2y+144xy^2-64y^3+45x^2-120xy+80y^2-50x+275y-375 = 0
526 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/03(土) 15:16:49.36 ]: >>525
丁寧にありがとうございます！
527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 15:17:35.89 ]: >>523
＞[2.1] まず、α＝β∩γが成り立つことを示す。
＞[2.2] が、これはα,β,γの定義からすぐに分かる。
何故？α＝β∪γであれば普通だが。

＞[3.1] 次に、β∩γ ⊂ βが成り立つことを示す。
＞[3.2] が、これは本当に明らかである。
何故？
528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 15:28:08.79 ]: >>527
＞＞[3.1] 次に、β∩γ ⊂ βが成り立つことを示す。
＞＞[3.2] が、これは本当に明らかである。
＞何故？
ベン図でも書けよ。ベン図くらい知ってるだろ？
というか、

・一般に、どんな集合S, T に対しても、S∩T ⊂ S が成り立つ

だろ。集合のことを何も知らないのか？
あるいは、直接証明してもいいぞ。ベン図を書くのと
ほとんど同じことだけどな。

・f∈β∩γとする。
・このとき、f∈βかつf∈γであるから、特にf∈βである。
・よって、β∩γ ⊂ βである。[終]

＞何故？α＝β∪γであれば普通だが。
これが君の誤解の原因か？

β∪γ ＝ "fは(B)を満たす、または、fは(C)を満たす" というfの集合
β∩γ ＝ "fは(B)を満たし、なおかつ、fは(C)を満たす" というfの集合
α ＝ "fは(A)を満たす" というfの集合

また、「fは(A)を満たす」ことと「fは(B)を満たし、なおかつ、fは(C)を満たす」ことは
同値である。
これらを踏まえて比較すると、α＝β∩γしか無いだろ。
529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 18:15:29.22 ]: >>528
＞・一般に、どんな集合S, T に対しても、S∩T ⊂ S が成り立つ
その部分の問いについては、勘違いしたので取り消す。集合論の基礎は理解している。

>>523が正しいことが>>528から理解できた。
証明としては長々とした>>523よりも、>>515の方がシンプルで分かりやすい。
530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 18:26:19.53 ]: >>529
＞>>523が正しいことが>>528から理解できた。
じゃあ、君は>>524のレスを理解したんだな？

「 >523の証明では、x≠yのときのfの計算をしていないが、それでも正しい証明だ」

ということを、君は理解したんだな？
531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 18:31:58.80 ]: 問題の取り方の違いで双方の隔たりがあったことが分かった。
「任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」・・・(A)
「 x＝y のとき f(y)^2＝2*f(x)－1 」… (B)
「 x≠y のとき f(y)^2＝2*f(x)－1 」… (C)
として
条件(A)が満たされる関数fの集合をα
条件(B)が満たされる関数fの集合をβ
条件(C)が満たされる関数fの集合をγ
このとき
α = β∪γ(全てのx, yに対して、その(x, y)に依存して f(y)^2＝2*f(x)－1を満たす関数fが存在すると考える場合)
α = β∩γ(全てのx, yに対して、f(y)^2＝2*f(x)－1を満たす関数fが存在すると考える場合)
と取るかの違いがあった。
この問題の場合は、>>515からβ=γであるからあまり違いが現れていない。
532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 18:32:56.27 ]: 以後、集合Sに対して、「xはSの元でない」ということを「 x !∈ S 」と表記する。
(「∈」にナナメ線が入った記号が無いので、「!∈」で代用するということ)

＞証明としては長々とした>>523よりも、>>515の方がシンプルで分かりやすい。
君はもはや>>523を理解したわけだから、
>>521のレスも理解できるはずだ。

521と内容が被るが、ここにもう一度書く。
君は「 515の方がシンプルだ」と言うが、515では

・fが(B)を満たす場合 (すなわち、f∈βの場合)
・fが(C)を満たす場合 (すなわち、f∈γの場合)

という場合分けで計算しているので、まだ無駄が多いのである。
そんな不器用な場合分けを使わずとも、

・fが(B)を満たす場合 (すなわち、f∈βの場合)
・fが(B)を満たさない場合 (すなわち、f!∈βの場合)

と場合分けすれば済む話。
そして、f!∈βの場合は、最初から考える必要が無いから、結局、
fが(B)を満たす場合のみ計算すれば終わり。
すなわち、x＝yの場合だけ計算すれば終わり。

>515で言えば、最初の2行の計算を終えた時点で、もう終わり。
その後の9行は必要無い(だから、515はまだ無駄が多い)。
533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 18:35:42.42 ]: >>530
α = β∩γとして考えれば、>>523の証明は正しい。
534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 18:40:44.73 ]: (>>515)と(>>518+>>519)の文字数を比較すれば、どちらが無駄が少ないかは火を見るより明らか
535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 18:42:57.22 ]: >>531
＞問題の取り方の違いで双方の隔たりがあったことが分かった。
そういうことだな。
もしα＝β∪γが成り立つのであれば、確かに君が言うとおり、
x≠yの場合も考えなければならない。
しかし、実際にはα＝β∩γなのであり、x≠yの場合は考える必要が無い。

＞α = β∪γ(全てのx, yに対して、その(x, y)に依存して f(y)^2＝2*f(x)－1を満たす関数fが存在すると考える場合)
＞α = β∩γ(全てのx, yに対して、f(y)^2＝2*f(x)－1を満たす関数fが存在すると考える場合)

>>419の問題は、前者のようには解釈できないぞ。
というか、前者のように解釈してるのは君だけだぞ。
536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 19:02:32.06 ]: >>533
とりあえず、

「α＝β∩γとして考えれば、>>419の証明は正しく、x≠yの場合の計算は確かに必要ない」

ということは理解しているかね？
つまり、君が勝手に「α＝β∪γ」などと誤解していただけ
だったという話。>419の問題は「α＝β∩γ」のようにしか
解釈できないのだから。
537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 19:13:04.42 ]: >>535
＞>>419の問題は、前者のようには解釈できないぞ。
＞というか、前者のように解釈してるのは君だけだぞ。
「関数の一意性」と「定数関数であるということを先に示さなければならない」
と書いているレスはおそらく、α = β∪γと解釈していると思う
538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 19:23:57.50 ]: >>537
それは違うな。
「何をしたいのか目的が不明瞭だから、最初に目的を明示しておきなさい」
というだけの話でしょ。

実際、>>495氏は>419を勝手に訂正してしまっているが、
じゃあ>495は>419と何が違うのかと言うと、冒頭に

＞「(A)を満たす連続関数 f：R → R は定数関数である」を示す。

この一文を入れただけ。つまり、目的を明示しただけ。
もし>495氏が君と同じ解釈をしていたのなら、
こんな一文を追加するよりも、「x≠yの場合の計算」を
追加していたはずだろう？
539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 19:31:05.21 ]: >>537
それとね、>419のような問題は「関数方程式」と仰々しい名前が
ついていて、ググるといくつか問題が見つかる。

ここのページの[2003杏林大・医]の問題とか。
ttp://izu-mix.com/math/exam/jikeiika/2009_1.html

これも関数方程式。
ttp://blog.livedoor.jp/seven_triton/archives/51502451.html

どの問題も、「(x,y)に依存して関数fが決まる」などという解釈では解かず、
"α＝β∩γ" 流の解釈で問題を解いていることが分かるだろう。
540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 19:34:23.54 ]: >>537
だいたいね、「(x,y)に依存して関数fが決まる」という解釈をするなら、
そのfは「f」と表記すべきではなく、「 f_{x,y} 」のように表記し、
"fはx,yに依存してます" ということが明確に伝わるようにしなければいけない。

このことを踏まえて、君のような解釈が可能になるように
>>419の問題を書き直すと、次のようになるんだぞ。

問題：x,yに依存して決まる写像 f_{x,y}：R → R は、

「任意のx,yに対して f_{x,y}(y)^2 ＝ 2*f_{x,y}(x)－1 」

を満たすとする。このような写像 f_{x,y} (x,y∈R) を全て求めよ。

>419をこのように変更しないと、君のような解釈は可能にならない。
で、この問題を解こうとしたら、今度こそ君の解釈で解くことになるのだが、
その場合、>>515は解答になっておらず、どのみち君は間違ってる。
541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 19:42:51.84 ]: >>252

B. 4341. Find all pairs f(x), g(x) of polynomials of real coefficients such that f(x+1)g(x-1)-g(x+1)f(x-1)=1.
542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 19:59:16.70 ]: >>538
先に「fが定数関数である」ということを示していれば、
x = yのときの条件でf(x) = 1が示せた場合
全領域でf(x) = 1でなければならなくなるから
その後x = y、x ≠ yでの十分性が示されれば、題意が満たされることになる。

>>540
fがx, yに依存しない関数だとは問題に記述されていない。
543 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 20:06:42.84 ]: >>542
＞fがx, yに依存しない関数だとは問題に記述されていない。
依存するとも記述されてない。そして、そういう記述が
無い場合、「依存しない」と解釈するのが通例。

実際、>>539で挙げたリンク先の問題でも、写像fが
x,yに依存するか否かについては問題文に書かれていないにも
関わらず、どれも「依存しない」という解釈で解かれている。
544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 20:18:14.17 ]: ＞先に「fが定数関数である」ということを示していれば、
＞x = yのときの条件でf(x) = 1が示せた場合
＞全領域でf(x) = 1でなければならなくなるから
＞その後x = y、x ≠ yでの十分性が示されれば、題意が満たされることになる。
既に>>540で「 f_{x,y} 」と書いたのだから、この表記法を使いなさい。

で、「依存する」という解釈で問題を解く場合、君のその主張はデタラメである。
なぜか？x＝yを代入すると

f_{x,x}(x)^2＝2*f_{x,x}(x)－1

となるから、f_{x,x}(x)＝1 (∀x∈R)となる。例えば、f_{0,0}(0)＝1だし、
f_{1,1}(1)＝1だし、f_{-1,-1}(-1)＝1である。でも、これでは

「f_{0,0}(3)の値は？f_{1,1}(2011)の値は？f_{-1,-1}(-3/7)の値は？」

といったことは分からない。x＝yの場合の計算だけでは、これらの値は判明しない。
つまり、x＝yの条件下では

「x＝y＝tのとき、f_{x,y}(t)＝1である」

ということが言えるだけであり、

「x＝yのとき、全てのtでf_{x,y}(t)＝1なのか？」

ということについては何も言えない。
つまり、x＝yの場合のf_{x,y}は、「全領域で1である」とは
言い切れない。よって

＞x = yのときの条件でf(x) = 1が示せた場合
＞全領域でf(x) = 1でなければならなくなるから
君のこの主張はデタラメ。
545 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 20:47:09.51 ]: >>544
>>542書いた内容はfはx, yに依存しないとして考えた場合
α = β∪γとして考えれば>>542の流れで考えるのは正しい。

>>542で書いた内容は>>540で書いた内容
＞全てのx, yに対して、その(x, y)に依存して f(y)^2＝2*f(x)－1を満たす関数fが存在すると考える場合
を全く踏まえたものではないので>>544は全く私の考えるところではない。

α = β∪γを考える場合には
＞全てのx, yに対して、その(x, y)に依存して f(y)^2＝2*f(x)－1を満たす関数fが存在すると考える場合
のように考えている可能性があるのではないかと言っているまで。
546 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 20:54:53.09 ]: >>545
＞>>542書いた内容はfはx, yに依存しないとして考えた場合
＞α = β∪γとして考えれば>>542の流れで考えるのは正しい。

それはデタラメ。「fはx,yに依存しない」と解釈しつつ「α＝β∪γ」を
成り立たせることは出来ない。

「fはx,yに依存しない」と解釈するのなら、自動的にα＝β∩γ
となってしまい、α＝β∪γとなることは有り得ない。
547 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 20:59:47.21 ]: ＞>>544は全く私の考えるところではない。

「 "fはx,yに依存する" と考えた場合の問題については、私の考えるところではない」

ということだな。つまり、君もやはり

「fはx,yに依存しない」

と解釈していたわけだな。だったら、自動的にα＝β∩γが成り立つ。
α＝β∪γにはならない。君は間違ってる。
548 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 21:06:27.11 ]: 最近の高校では論理と集合について詳しく授業しないのだろうか？
だとするとこれは忌々しき事態だな
549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 21:07:08.50 ]: >>547
それは違う。だから>>515でも
＞x ≠ yのときxとyを交換した
＞f(x)^2 = 2f(y)-1…②
＞が成立する((場合がある))
と言っている。
全ての領域で関数fが成立しなければならないと考えた場合に
>>516の訂正をした。

α=β∪γの場合は>>439と>>456のように関数を特定できないと言っている。
550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 21:11:03.47 ]: >>549
＞α=β∪γの場合は>>439と>>456のように関数を特定できないと言っている。

うん、確かにね、「α＝β∪γ」という等式が "成り立つのであれば"、
君の言うとおりなんだよ。x≠yの場合も考慮しなくちゃいけないんだよ。

でもね、「α＝β∪γ」という等式は　成　り　立　た　な　い　のだよ。
特に、「fはx,yに依存しない」と解釈した場合は、自動的に

α＝β∩γ

になってしまうんだよ。だからね、君が言ってることはピントが
ずれてるわけ。
551 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 21:12:50.72 ]: 俺が言っていること、分かるかな？

俺「fがx,yに依存しないと解釈するなら、自動的にα＝β∩γが成り立つから、
　　α＝β∪γなんて考える必要がない」

君「α＝β∪γが成り立つなら、x≠yの場合も考慮しなくちゃいけない」

↑君の言ってることは正しい。α＝β∪γが成り立つなら、x≠yの場合も
　考慮しなくちゃいけない。そのとおりだ。
　だがね、君が心配している「α＝β∪γ」という等式は、
　そもそも　成　り　立　た　な　い　ので、最初から考える必要が無いんだよ。
552 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 21:18:19.15 ]: >>550
>>551
で書かれた内容は全て理解している。分かりきったことを再三再四繰り返されてもね。
fがx, yの値によって複数存在すると考える考え方だってあるわけ。それぐらい分かるでしょ。
答えが最後まで出る問題の取り方でないと、おかしいと考えるのは短絡的。
553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 21:26:25.95 ]: >>552
＞fがx, yの値によって複数存在すると考える考え方だってあるわけ。それぐらい分かるでしょ。
意味不明。その書き方では、何が言いたいのか分からない。

「fがx,yの値によって複数存在する」

とはどういうことか？

「fはx,yに依存して決まり、本当はf_{x,y}のように書かれる」

という意味か？それとも、

「f(x)は複数の値を取り得る。つまり、f(x)＝1であり、かつf(x)＝2であるようなケースがある」

という意味か？それとも、全く別の意味か？詳しく解説してくれ。
554 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 21:28:01.26 ]: >>552
とりあえず、

「 α＝β∩γとして考えれば、>>523 の証明は正しく、x≠yの場合の計算は確かに必要ない」
「 α＝β∩γとして考えれば、>>419 の証明は正しく、x≠yの場合の計算は確かに必要ない」

ということは理解してるんだよな？

＞で書かれた内容は全て理解している。
そうか。理解しているのか。つまりは

「α＝β∩γが成り立ち、α＝β∪γは成り立たない」

ということを理解しているというわけだな。
だったら、>>419の証明において、「x≠yの場合の計算が必要ない」ことも
理解しているというわけだな。

君、何がしたいの？
555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 21:31:03.33 ]: 今北産業
556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 21:37:11.04 ]: >>555
>>419を
理解できない
馬鹿がいる
557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 22:09:37.51 ]: ある連続関数fに対して
「任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)－1」が成立するなら
任意のx∈Rに対してf(x)=1である。
そして関数f(x)=1に対して
「任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)－1」が成立して、
f(x)=1は連続関数である。

必要性も十分性も説明できてると思うが、何を議論してるんだ？
558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 22:25:20.34 ]: >>553
＞「fはx,yに依存して決まり、本当はf_{x,y}のように書かれる」
の方に決まっている。
＞f(x)＝1であり、かつf(x)＝2
なんていう関数が存在するわけない。

＞「α＝β∩γが成り立ち、α＝β∪γは成り立たない」
だから問題のとらえ方で、>>531のようになるっていっている。
他人の文章を把握するのに大変に問題があると考えられる。
こちらが、言っていないないようを勝手に解釈して批判するのを止めていただきたい。

>>519の証明が奇妙なのは、(C) => (Q)の条件が現れないこと。
また>>519では
＞[1.5] よって、(i)の場合は、fは定数関数で、その値は1である。
となっていてfが(B)を満たすとなっているのにも関わらず、何故それ以外の場合を考慮しなければ
ならないのか？

＞[1.7] [1.2]により、fは(C)を満たす
となっているが、α=β∩γであれば、これはいえない。

なお>>522+>>523については理解しているので繰り返さないようにお願いしたい。
559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 22:28:32.59 ]: >>557
＞任意のx∈Rに対してf(x)=1である。
これを示す方法について、普通は

・(A)でx＝yとすると(f(x)－1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x)

と議論して、それでメデタシメデタシだと思うんだ。
>>419では、まさにこのやり方を使ってる。

で、ワケの分からん人が1人いて、その人は

「このやり方では、x＝yの拘束条件を課した状態での計算しかしていない。
　x≠yのときもf(x)＝1(∀x) 以外に解が無いのかは分からないから、
　x≠yの場合の計算も必要だ」

などと意味不明な供述を繰り返していた(例：>>432, >>439, >>447, >>480等々)。
で、>>531のレスを読む限りでは、実はこの人は、>>419の問題を

「標準的では無い解釈の仕方で解釈している」

可能性が強いことが分かった。では、どんな解釈の仕方をしているのか？
それが、話を聞いてもよく分からない。……というのが今のところ。
560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 22:37:37.93 ]: >>559
＞「このやり方では、x＝yの拘束条件を課した状態での計算しかしていない。
＞　x≠yのときもf(x)＝1(∀x) 以外に解が無いのかは分からないから、
＞　x≠yの場合の計算も必要だ」
x ≠ yのときに
f(y)^2＝2*f(x)－1 => f(x) = 1
というのがないから奇妙と考えられる。その点>>515はそれが明示されているから
分かりやすい。
561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 22:38:23.04 ]: >>558
＞だから問題のとらえ方で、>>531のようになるっていっている。
つまり、次のように言いたいのだな？

・問題の捉え方によって、α＝β∪γが成り立つこともあるし、
　α＝β∩γが成り立つこともある。

・α＝β∩γが成り立つような解釈の仕方を採用すれば、
　>>419の証明は正しく、x≠yの場合の計算は必要ない。

・α＝β∪γが成り立つような解釈の仕方を採用すれば、
　>>419の証明ではダメで、x≠yの場合の計算も必要である。

では、君に質問する。少なくとも 419 ～ 480 においては、君は

「 >419の証明ではダメだ。x≠yの場合の計算が足りない」

と言っていた。つまり、少なくとも 419 ～ 480 においては、君は

「α＝β∪γが成り立つような解釈の仕方」

を採用していたことになる。
では、君が採用していた解釈の仕方を教えてほしい。
どういう解釈をしていたのだね？

「fはx,yに依存して決まり、本当はf_{x,y}のように書かれる」

という解釈の仕方を採用していたのかね？それとも、別の解釈の仕方かね？
562 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 22:46:46.55 ]: >>561
>>531の
＞α = β∪γ(全てのx, yに対して、その(x, y)に依存して f(y)^2＝2*f(x)－1を満たす関数fが存在すると考える場合)
であり、

＞「fはx,yに依存して決まり、本当はf_{x,y}のように書かれる」
というふうに解釈していた。
563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 23:03:35.74 ]: ＞fはx,yに依存して決まり、本当はf_{x,y}のように書かれる
よう分からんがその解釈だと

そのfは「あるx,yが存在してf(y)^2＝2*f(x)－1を満たす関数」であって
「任意のx,yについてf(y)^2＝2*f(x)－1を満たす関数」ではないのでは？
564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 23:08:52.05 ]: >>563
>>540のような問題を想定していたのだろう。
565 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 23:11:00.56 ]: >>560
＞x ≠ yのときにf(y)^2＝2*f(x)－1 => f(x) = 1
＞というのがないから奇妙と考えられる。

α＝β∩γが成り立つような解釈を採用していた場合、
そこはちっとも奇妙ではないし、正しい証明になっている。

α＝β∩γが成り立つ解釈を採用しつつも、その部分が

「釈然としない」「やはり奇妙である」

と感じられてしまうのなら、それは、
君の理解が追いついてないということ。

というか、そこが奇妙に感じられるなら、
>>522+>>523 も奇妙に感じて然るべきである(実際、君は
奇妙に感じているのかもしれないが)。

君は、もう少し論理とか集合とか勉強するべきではないか。
566 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 23:15:39.41 ]: >>562
理解した。

ということは、君は今まで、こういう「関数方程式」の問題を
1問も解いたことが無かったわけだ。
>>539のリンク先を見れば分かるように、こういう問題では
「依存しない」と解釈するのが通例だから、一回でも
こういう問題を解いたことがあれば、それ以降、「依存する」
という解釈を採用することは無いはずである。
従って、君はこういう問題を解いたことが無い。あるいは、
こういう問題に触れたことはあるが、問題の趣旨を
ちゃんと理解していなかった。

ならば、君が今回のような解釈をしてしまったのは、もう仕方が無い。
俺はそこを責めないし、むしろ君は責められる筋合いは無い。

ただし、君が今後こういう問題に遭遇したら、
「依存する」という解釈は使わず、通例どおりに
「依存しない」方の解釈を採用することをお勧めする。
567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 23:16:52.78 ]: >>564
ふ～ん。
でもそれだとR^3からRへの3引数関数だと思うがな
まあ、そう解釈してましたと言われればそれまでだけど
568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 23:36:26.69 ]: ここから先は解釈の違いが生まれないような問題文の作り方について議論することにして
その上で>>562に質問なのだが

>>419の問題文を次のように書き換えた場合、それでも>>562のような解釈をしますか？

問題：次の条件（A）を満たすような連続関数 f：R → R を全て求めよ。

「任意のx,y∈Rに対してf(y)^2＝2*f(x)－1 」　…　(A)
569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 23:51:07.88 ]: いい加減バカ同士の言葉遊びスレじゃないことに気付かないかなぁ
570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/04(日) 01:41:24.32 ]: >>514
解釈の違いについて、どちらがより論理的なのかを語るのは
論理の積み重ねの外の話だと思うが。
スッキリするかどうか（見通しが良くなるかどうか）なども
論理的な構築が正しいかどうかの外の話だろうし
よりエレガントな解答というのも、論理的に正しいかどうかとは別の話。
571 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/04(日) 01:51:38.81 ]: >>569
スマン。俺の方はそろそろ自重しておく(俺は>>566である)。

>>568
そういう話は、根本的な解決策は無いように思う。
今回のようなケースは滅多に無いはずだから、
あまり気にしなくてもいいのでは。
572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/04(日) 02:48:49.02 ]: x,yを実数として、X=x+y+xy, Y=(x+y)xy　とするとき、(X , Y)の存在する領域をxy平面上に図示せよ。
573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/04(日) 07:48:56.99 ]: >>566
実はそれだけの解釈ではなく
(x, y)の範囲に依存して、fが複数存在する場合もあるのではないかと、考えた。
例えば
x < 0の場合にはf1
x = 0の場合にはf2
x > 0の場合にはf3
など。
この問題のような問題を解いたことは遠い昔にあってそのときの解答は>>515の
ようなものだった。

>>558の
＞＞[1.5] よって、(i)の場合は、fは定数関数で、その値は1である。
＞となっていてfが(B)を満たすとなっているのにも関わらず、何故それ以外の場合を考慮しなければ
＞ならないのか？

＞＞[1.7] [1.2]により、fは(C)を満たす
＞となっているが、α=β∩γであれば、これはいえない。
という２点については答えられていない。

また、α＝β∩γを仮定しているからといって、γを検証しないのは納得がいかない。
γが存在しない場合もあり得るかもしれないわけで、その場合はα=φ(空集合)
となり得る場合もある。
αが存在するかは、問題では設定されていない。
574 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/04(日) 08:10:31.87 ]: 必要性の証明の中で
十分性の証明の中の結果＝αは空集合ではない。
を紛れ込ませている。
575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/04(日) 11:08:18.39 ]: >>573-574
君はこれからは「依存しない」という解釈で解くのだから、
それらの疑問点については、もう君が自力で納得できるはずだが。

俺は「そろそろ自重する」と書いたので、あまり君とレスを続けてはならない。

どうしても>>558が気になるなら、そのレスについては、
もう俺の方から撤回する。またやり取りが長くなってしまう。
少なくとも君は>>522+>>523の方は理解しているらしいから、
とりあえずはそれで十分である。
576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/04(日) 11:14:40.33 ]: あと、君はどうも、「 S → T 」という形の命題について
よく理解していないようだから、少しコメントしておく。
「 S → T 」という形の命題は、Sが偽のとき常に真である。たとえば、

「 0＝1ならば、5は素数である」は真であるし、
「 0＝1ならば、5は素数でない」もまた真である。

(「仮定が偽　命題」でググるとよい)

また、「 S → T 」の証明方法は、2通りあることを知ってほしい。

(1) Sが真だと仮定し、その仮定のもとで、Tを導く。
(2) Sが真だと仮定し、その仮定のもとで、矛盾を導く。

(1)は問題ないだろう。(2)はどうか？
これは、「Sが偽」を証明しようとしているのだ。
もしこれが証明できたら、自動的に「 S → T 」は真となる。
なぜなら、Sが偽のとき、「 S → T 」という形の命題は常に真だからだ。
まあ、(2)の方法は、普通は使わないが、別に間違ってはいないのだ。
577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/04(日) 11:35:45.98 ]: 最後に、君向けの問題を出しておく。

問題1：写像 f：R → Rで、
(A)「任意のx,y∈Rに対して f(x)^7－3*f(x)^5*f(y)^2＋f(x)^4*f(y)^3＋f(x)^3*f(y)^4－3*f(x)^2*f(y)^5＋f(y)^7 ＝0 」
を満たすものを全て求めよ。(もちろん、fはx,yに "依存しない" として解くべし)

問題2：nは自然数とする。実数a_1,a_2,…,a_nは Σ[i＝1～n]a_i ≠ 0 を満たすとする。写像 f：R → Rで、
(A)「任意のx,y∈Rに対して Σ[i＝1～n] a_i*f(x)^i*f(y)^{n+1-i} ＝ 0 」
を満たすものを全て求めよ。(もちろん、「依存しない」の解釈で解くべし)

答えだけ言ってしまうと、どちらも「f(t)＝0 (∀t)」すなわち
「fは定数関数で、その値は0」という関数のみが答えになる。

これらの問題は、おそらく>>515のやり方では解けない。
x≠yの場合を計算しようとしても、事実上、計算できないはず。
特に問題1では、(A)式はxとyについて対称なので、xとyを入れ替えても全く同じ式が出現してしまい、
何の進展も無い。また、(A)式自体をf(x),f(y)について分離して解くようなことも、まず無理だろう。

従って、これらの問題を解こうとしたら、>>419のように解くか、
あるいは、>>522+>>>523のように解くしかないはずである。
あまり>515のような方法にこだわるのは、やめた方がよいと思う。

では、さようならﾉｼ

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