- 435 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 17:24:26.16 ]
- >>431
行数が多いから書くのを控えていたが、要求されたなら書くしかあるまい。
2レスに渡って書く。
f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1 … (A)
[1.01] (A)を満たす多項式f(x),g(x)が存在すると仮定する。
[1.02] f(x),g(x)は互いに素でなければならないことが簡単に言える。
[1.03] 特に、f(x)もg(x)も "恒等的に0という関数" では無い。
[1.04] 次に、(A)式でxをx±1に置き換えた式を考えると、
f(x){g(x-2) + g(x+2)} = g(x){f(x-2) + f(x+2)}が得られる。
[1.05] f(x)とg(x)は互いに素だったから、ある多項式p(x)が存在して
p(x)*f(x) = f(x-2) + f(x+2)，p(x)*g(x) = g(x-2) + g(x+2)
が成り立つ。
[1.06] p(x)*f(x) = f(x-2) + f(x+2)について、両辺の次数を比較すれば、
p(x)は定数でなければならない。よって、p(x)≡aと表せる。
[1.07] 次に、a*f(x) = f(x-2) + f(x+2)について、f(x)の最高次の係数をbとして、
両辺の最高次の係数を比較すれば、a*b = b + b すなわち「a＝2またはb＝0」となる。
f(x)は恒等的に0という関数ではなかったから、b≠0であり、よってa＝2である。
[1.08] 今の段階で、2*f(x) = f(x-2) + f(x+2), 2*g(x) = g(x-2) + g(x+2) が成り立っている。
これを解くと f(x) = C4x + C5、g(x) = C6x + C7 (C4, C5, C6, C7は定数)となる。
[1.09] これを(A)に代入すると、f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 2(C4*C7 - C5*C6) = 1となり、
C4*C7 - C5*C6 = 1/2 が得られる。
(ここで[1.01]の仮定は打ち切る。)
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