- 451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 18:54:04.26 ]
- >>449
君が誰なのかわからない。君は>>447なのか？
もしそうだったら、俺はちゃんと>>447に答えてるよ。
なぜなら、>>448自体が答えだからだ。もっと簡単な例を出そうか？
問題：写像 f：{1,2} → R で、
「 任意のx,y∈{1,2}に対してf(y)^2＝2*f(x)−1 」 … (A)
を満たすものを全て求めよ。
(注意：この写像fは、定義域が{1,2}だから、f(1),f(2)が決まれば、それで写像fは決まる)
解答：
(A)を満たす写像 f：{1,2} → R が存在すると仮定する。条件(A)より、次の4つの等式が成り立つ。
(x,y)＝(1,1)を代入して f(1)^2＝2*f(1)−1， (x,y)＝(1,2)を代入して f(2)^2＝2*f(1)−1
(x,y)＝(2,1)を代入して f(1)^2＝2*f(2)−1， (x,y)＝(2,2)を代入して f(2)^2＝2*f(2)−1
特に、(x,y)＝(1,1), (2,2)の場合の等式を見れば、f(1)＝f(2)＝1となる。
よって、写像fが(A)を満たすなら、f(1)＝f(2)＝1でなければならない。
逆に、f(1)＝f(2)＝1という写像f：{1,2} → Rについて考える。このとき
(x,y)＝(1,1)を代入して f(1)^2＝1, 2*f(1)−1＝1， (x,y)＝(1,2)を代入して f(2)^2＝1, 2*f(1)−1＝1
(x,y)＝(2,1)を代入して f(1)^2＝1, 2*f(2)−1＝1， (x,y)＝(2,2)を代入して f(2)^2＝1, 2*f(2)−1＝1
だから、いずれの場合もf(y)^2＝2*f(x)−1が成り立つ。よって、このfは(A)を満たす。
以上により、(A)を満たす写像 f：{1,2} → R はf(1)＝f(2)＝1 という写像のみである。[終]
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