- 523 名前:132人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 14:37:39.30 ]
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解答: [1.1] 集合α,θについて。α=θが成り立つことを示そう。 [2.1] まず、α=β∩γが成り立つことを示す。 [2.2] が、これはα,β,γの定義からすぐに分かる。 [3.1] 次に、β∩γ ⊂ βが成り立つことを示す。 [3.2] が、これは本当に明らかである。 [4.1] 次に、β⊂θ が成り立つことを示す。 [4.2] f∈βとする。 [4.3] このとき、fは(B)を満たすから、(f(x)−1)^2=0となり、f(x)=1(∀x)となり、f∈θとなる。 [4.4] よってβ⊂θである。 [5.1] 次に、θ⊂αを示す。 [5.2] が、これは簡単に計算できるので省略する。 [6.1] 以上より、「α=β∩γ」「β∩γ ⊂ β」「β⊂θ」「θ⊂α」が得られた。 これらをこの順番に使えば α = β∩γ ⊂ β ⊂ θ ⊂ α となる。 つまりα⊂θ⊂αとなるから、これでα=θが得られた。 [6.2] 以上より、[1.1]が示された。 [7.1] 最後に、 「(A)を満たす関数は、『fは定数関数で、その値は1』 という関数のみ」 であることを示す。 [7.2] が、これはα=θから明らか。[終]
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