- 519 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 13:51:54.14 ]
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解答：
[1.1] まず、「 (A)を満たすfが存在するなら、fは定数関数で、その値は1である 」を示す。
[1.2] fは(A)を満たすとする。
[1.3] 以下、
(i) fが(B)を満たす場合
(ii) (i)以外の場合
で場合分けする。
[1.4] (i)の場合は、(f(x)−1)^2＝0となるから、f(x)＝1 (∀x∈R)となる。
[1.5] よって、(i)の場合は、fは定数関数で、その値は1である。
[1.6] 次に、(ii)の場合を考える。つまり、「fは(B)を満たさない」場合を考える。
[1.7] [1.2]により、fは(C)を満たすのだから、「fは(B)を満たさず、なおかつ、fは(C)を満たす」…(★)
ということになる。
[1.8] よって、ここからは(C)の条件だけを使って、fについて議論していくことになる。
[1.7] しかし、よく見てほしい。[1.2]の仮定により、「fは(B)を満たし、なおかつ、fは(C)も満たす」のだから、
これは(★)に矛盾している。
[1.8] よって、(ii)はそもそも起こり得ないと分かる。[場合分け終了]
[2.1] 以上により、確かに[1.1]の主張は示せた。
[3.1] 次に、「『fは定数関数で、その値は1』ならば、fは(A)を満たす」ことを示す。
[3.2] が、このことは簡単に示せるので省略する。
[4.1] 以上により、(A)を満たす関数は「fは定数関数で、その値は1」という関数のみである。[終]
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