面白い問題おしえて〜な 十八問目

1 名前：１３２人目の素数さん [2011/06/13(月) 09:05:46.90 ] 過去ログ www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/ まとめwiki www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/ 1 cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/ 2 natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/ 3 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/ 4 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/ 5 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/ 6 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/ 7 science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/ 8 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/ 9 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/ 10 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/ 11 science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/ 12 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/ 13 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/ 14 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/ 15 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/ 16 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/ 17 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/ 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 08:26:54.84 ] >>300 は？287 = 299。 302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 08:31:00.73 ] >>301 >>286>>298>>300の流れに >>287>>299は関係ない。 303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 08:39:13.93 ] >>301 それはそうだが、299は自分のレスに対する(続き)であって、前のレスに対するものではない。 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 09:03:08.89 ] >>303 303=301? 「>>301」は「>>302」の間違い？ >>299が>>298の続きだと思ってる人はいないよ。 305 名前：301 mailto:sage [2011/08/24(水) 09:30:24.09 ] >>304 そう。301=303 306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 10:10:15.21 ] 今北。わけわからんｗ 307 名前：301 mailto:sage [2011/08/24(水) 10:40:08.11 ] >>300が>>299に対するレスかと勘違いした、失礼 308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 11:06:43.21 ] >>286を解いてP[n]=A[n]+B[n]+C[n]とすると P[1]=3 P[n+2]=2P[n+1]+P[n] となるが、これはどう解釈できるのかな 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 12:24:05.60 ] >>288 >>290 実多項式f、gは可換でf(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)なんだよ。 高校と大学の数学は論理展開が全く違うんだよ。 地に足が付いていないのはそっちだと思われる。 こちらが地に足が付いていないというなら、(代数)方程式の厳密な定義を書いてほしい。 こちらも(代数)方程式の厳密な定義は知らない (大学1年あたりでやる実数体R上の連立方程式も1つの(代数)方程式で 大抵ガロア理論はそれ以降でやるだろ)。 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 12:29:19.39 ] 虚勢を張れば張る程滑稽 方程式と恒等式の違いの区別がつかないことは 論理展開の違いじゃ言い訳にならないわｗ ｆ（x-1）の意味すらわかってるのかあやしいな 311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 12:56:07.63 ] >>310 xが文字であることは既にご承知さ。 312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 13:02:57.48 ] >>309 f(x)=x, g(x)=1 のとき f(x+1), f(x-1), g(x+1), g(x-1) が各々どうなるか書いてくれないか 313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 13:10:04.79 ] そう言えば大学数学で恒等式と言う用語は出て来たっけ？ 恒等式という概念は出て来るが、少し時代錯誤の本で勉強したこともあり そのような用語は余り聞いた覚えはないな。 恒等式の厳密な定義はされていたけどな。 多分認識のギャップが生じるとしたらそのようなせいもあるだろう。 いきなり古本に主にタイムスリップしたからな。 314 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 13:25:16.94 ] >>312 こういうのは基本中の基本だと思うけど f(x+1)=x+1、 f(x-1)=x-1、 g(x+1)=g(x-1)=1。 315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 13:30:08.11 ] たぶん>>312は ＞f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1) はどこから沸いてきたんだ？ って話をしてるんだと思うんだ 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 14:00:44.67 ] >>315 実係数多項式f、gはそれぞれ f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、 g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+…+b_m、 a_0、a_1、…、a_n、b_0、b_1、…、b_m∈R の形で表されて実数体Rは乗法について可換だから f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1) が示される。群や準同型による多項式の定義では 文字への代入についても定義されていたりして、 f(x+1)、g(x-1)が定義される前に或る文字Xを用いて 多項式f(X)、g(X)が定義されていないといけない。 317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 14:09:58.86 ] >>316 >実係数多項式f、gはそれぞれ >f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、 >g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+…+b_m、 >a_0、a_1、…、a_n、b_0、b_1、…、b_m∈R >の形で表されて で、f(x+1)、g(x-1)、g(x+1)、f(x-1) はそれぞれどう表されるの？ 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 14:13:16.83 ] >>316 もはやどこから突っ込めばよいか（苦笑） 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 14:16:12.85 ] f(x+1)g(x-1)=(x+1)1=x+1 g(x+1)f(x-1)=1(x-1)=x-1 x+1=x-1 320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 14:30:15.95 ] >>317 >>318 多項式環R[X]は可換環R[X]上の多項式環で、 xにx+1やx-1をそのまま代入出来ることを示すことが出来ちゃうんだよ。 >>314もそこから来ているんだよ。 少し代数の話からはそれると思うけどな。 321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 14:48:31.48 ] 代入出来ることを示すには、多項式環R[X]は可換環R[X]上の多項式環の部分環としなければならなかった。 322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 15:01:40.62 ] >>316 > f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1) > が示される。 詳しく示して。 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 15:17:00.08 ] >>322 丁寧に書くと少し複雑になったり長くなることもあり、ここではやらない方がよい話だと思う。 324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 15:30:59.45 ] >>323 >>312→>>314→>>319 とは違うということだな？ ところで>>317の答は？これも「少し複雑で長い」のか？ 325 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 15:50:09.63 ] f(x)＝x g(x)＝1 と置くと、 f(x＋1)＝x＋1 f(x−1)＝x−1 g(x＋1)＝1 g(x−1)＝1 となり、 f(x＋1)g(x−1)＝x＋1 f(x−1)g(x＋1)＝x−1 となる。よって f(x＋1)g(x−1) ≠ g(x＋1)f(x−1) が成り立つ。 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 16:05:32.05 ] >>324 細かく言えば>>312→>>314→>>319となるが、 >>312が仮定された時点で>>314と>>319は (機械的演算という観点からは)ほぼ同時に言える。そして>>317は、 f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、 g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+…+b_m、 a_0、a_1、…、a_n、b_0、b_1、…、b_m∈R のf(x)やg(x)のxを文字と見なしてf(x)やg(x)のxをx+1やx-1で置き換えて計算すればよい。 このように多項式を定義するには何らかの1つの文字Xを持ち出して f(X)=…、g(X)=…のように表さないと話が始まらない。 このように定義すれば、置き換えや代入が出来ることを示せるが、丁寧に書くとこれが意外に長い。 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 16:45:19.66 ] >>326 君は309で ＞実多項式f、gは可換でf(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)なんだよ。 と書き、316では ＞f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)が示される。 と書いているが、その等式は明らかに 成 り 立 た な い (>319, >325)。 君は間違っている。 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 17:16:50.06 ] 1=0 でも仮定してんじゃないの？そうすりゃ何でも証明できる 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 17:20:12.84 ] 「 可換性から f(x＋1)g(x−1) ＝ g(x−1)f(x＋1) が成り立つ 」　(←これは正しい) と言いたかったのを 「 可換性から f(x＋1)g(x−1) ＝ g(x＋1)f(x−1) が成り立つ 」　(←これは間違い) とタイプミスしてしまった可能性もある。 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 17:21:08.39 ] >>327 >その等式は明らかに 成 り 立 た な い (>319, >325)。 んじゃなくて、>>325のように置いたり出来る背景の1つには (半)群や準同型などを用いた表現論的な多項式の定義がある。 このように定義すると、>>325で置き方ではfやgの説明がなければ f(x)＝x、g(x)＝1と置いた時点でxへの数値が保障されて、 f(x)やg(x)を関数と捉えることも出来る。 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 17:24:15.02 ] 訂正：xへの数値→xへの数値の代入 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 17:37:12.24 ] >>329 本当に言いたいのは、多項式環R[X]が可換環とかそんな生ぬるいことではない (例えば、多くの場合多項式環R[X]をR[X*1]と表したりはしないだろう)。 333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 17:50:11.08 ] >>332 >f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、 と表されるとき、f(x+1) はどう表されるのか、結論だけでいいから書いてみて 334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 18:05:47.15 ] >>333 そのままxの多項式と見なせば f(x+1)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n となるし、 f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n が f(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+…+a_n のように表されていたと考えれば f(x+1)=a_0(x+1)^n+a_1(x+1)^{n-1}+…+a_n となる。こんな風に、表現論的に多項式を定義すると多くの解析的代数的演算が保障されて 解析的演算の観点からすると扱いが便利と言えるし代数的には少々面倒でもある。 335 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 18:37:26.66 ] >>334 書かなくても分かると思って省略したが、念のために省略せずに書くと >そのままxの多項式と見なせば は (右辺自身を)そのまま(1つの)xの多項式と見なせば だ。f(x+1)のx+1を多項式と考えた場合それは 文字xがあって定義されることは既にご承知済だよな？ 336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 19:00:17.72 ] >>335は>>334でなく>>333へのレスだったな。 少し飯食ってくるからじゃあな。 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 20:17:27.56 ] >>308 　P[n] = C[n+1],　と解釈できまする... 　C[1] = 1, C[2] = 3, より、 　C[n] = (1/2){(1+√2)^n + (1-√2)^n} 　　　 = [ (1/2)(1+√2)^n + 1/2 ],　　(← ガウス括弧) 338 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 20:33:14.29 ] >>298 の続き DEF が求まったので 　A[n] = (1/2){ (√2)D[n] + E[n] + F[n]}, 　B[n] = (1/2){-(√2)D[n] + E[n] + F[n]}, 　C[n] = (1/√2)(E[n] - F[n]), で ABC に戻す。 339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 21:27:47.66 ] で、>>252の等式はどこへ行っちゃったの？ 340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 21:40:49.90 ] >>339 答えは、リンク先に全部書いてあるからなあｗ（１箇所ミスがあるように見えるけど） f(x)もg(x)も１次以下の整式で f(x)=ax+b，g(x)=cx+dとおくとad-bc=1/2となる場合が全て、ということのよう。 ハンガリー語だが、数式だけ追えば何をやってるかは大体分かる （最後の1/2が-1/2になってるところだけが謎） 341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 21:43:20.41 ] >>334 > f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1) > が示される のはどっちの考え方？ 342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 00:01:40.98 ] 変な強がりから始まって 定義や表記法の確認からはじめなきゃならないスレになってしまったｗ 343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 00:08:55.49 ] >>340 >>252と>>309の関係を知りたいだけなんだがｗ。 344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 01:04:56.13 ] >>341 (右辺自身を)そのまま(1つの)の多項式と見なしても f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n が f(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+…+a_n のように表されていたと考えても、結局は f(x)=f(x+1)=f(x-1)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、 g(x)、g(x+1)、g(x-1)についても同様にg(x)=g(x+1)=g(x-1) となって多項式環R[X](R[x])は可換環であることもあり、 f(x+1)g(x-1)=g(x+1)f(x-1)自身はどちらの考え方でも示せる。 >>342 変な強がりと書いた時点で僕は頭悪いんですって言っている気がする。 >>252に限らず代数の答案を言葉の説明なしで書いてみな。 ほぼ確実に×になるよ。 まあ、f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n の右辺自身の方だけを そのまま(1つの)xの多項式と見なすなんてことは余りしないから 多項式と捉えるなら暗黙のうちに両辺をxの多項式と見ることが多いんだが。 余りおススメしないが別にやりたきゃそちらのその定義でやってもいいぞ。 厳密な定義とは決して言えないけどな。 数論とかに出て来る可換環Q[√s]が何故そのように書かれるのかとかも 説明出来るんだから表現論的定義は便利だよ。 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 01:26:45.84 ] そろそろこいつどうにかしろよ 346 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 01:39:16.96 ] >>345 変な強がりとか変なこと言い始めて来たから御返事しただけだろう。 347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 01:42:53.20 ] >>297 算数書 www.osaka-kyoiku.ac.jp/~jochi/j2.htm www.osaka-kyoiku.ac.jp/~jochi/jochi2001.pdf 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 02:03:53.55 ] 引っ込みが付かなくなっちゃったみたいだね。 術語を並べて日本語のようには見えるけど実は意味不明な文字列を書くことで 偉そうに見せるだけだね。 > >>252に限らず代数の答案を言葉の説明なしで書いてみな。 > ほぼ確実に×になるよ。 筋の悪い数学を学んだようだ。 349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 02:32:33.25 ] 足元おるすな中学生が借り物知識かきあつめて背伸びしてんじゃね？ 350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 02:52:34.01 ] >>348 今の時代に何十年も前の時代錯誤な(大学以降の)数学書を読んでたらそうなったんだろうなあ。 群作用や二次体なんて当然のように出て来たぜ。 正確って言うんだか筋がよいって言うんだか、そんな説明は後回しだ。 或る意味線型微積より複素解析や抽象代数の方が基本的だ。 というかやらざるを得ない。 筋がよいか悪いかにかかわらず、試験の答案に日本語の丁寧な説明を求める人がいたことは言っておく。 聞いたことないが、それ以前に(大学以降の)数学に筋の良し悪しなんてあるのか？ 何か受験数学っぽい考え方だな。 351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 02:59:26.56 ] 話が合ったり合わなかったり、 数学科以降の厳密な数学の観点で書いたことが間違いだったか。 どういう数学やってる人がここに書いているんだ？ 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 11:37:28.68 ] >>334 > f(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+…+a_n > のように表されていたと考えれば > f(x+1)=a_0(x+1)^n+a_1(x+1)^{n-1}+…+a_n > となる。 >>344 > f(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+…+a_n > のように表されていたと考えても、結局は > f(x)=f(x+1)=f(x-1)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n、 つまり a_0(x+1)^n+a_1(x+1)^{n-1}+…+a_n = a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n = a_0(x-1)^n+a_1(x-1)^{n-1}+…+a_n だと？ 353 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/25(木) 11:39:12.20 ] >>280 ａ[n]=ａ[n-1]+2ａ[n-2]+2ａ[n-3]+……+2ａ[2]+2ａ[1]+4 ａ[1]=3,ａ[2]=7 よってａ[3]=17,ａ[4]=41,……,ａ[10]=8119。 354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 13:38:02.57 ] >>352 >a_0(x+1)^n+a_1(x+1)^{n-1}+…+a_n = a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n >= a_0(x-1)^n+a_1(x-1)^{n-1}+…+a_n は勿論恒等的に成り立つ式ではないが、 f(x)やf(x+1)、f(x-1)が実多項式である限り、 f(x)やf(x+1)、f(x-1)の方を最初に定義されたと考えるか、 a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_nの方を最初に定義されたと考えるか、どちらにするかで扱いが変わる。 前者らの方を最初に定義すればf(x)、f(x+1)、f(x-1)についての取り扱いや具体的表し方はまだ不明で この時点ではx自身の恒等式はまだ具体的に表されていないが、 x自身についての恒等式や方程式の問題を作ることが出来る。 後者を最初に定義されていると考えてそれをf(x)、g(x)=f(x+1)、h(x)=f(x-1)でそれぞれ f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n　、　g(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n　、　h(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n と表せば、直ちにf、g、hについて恒等的に成り立つ式f(x)=g(x)=h(x)が生じる。 この時点では多項式g(x)、h(x)についての具体的表示はまだ不明で f(x)、g(x)、h(x)について具体的に表示された多項式についての恒等式を作れる。 >>252を解くにはxの恒等式と見なさないと話が始まらないから、結局はどちらかの考え方をとることになる。 355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 13:54:06.18 ] >>351 方程式の定義もあやふやな 数学科以前の部分がおろそかな子の負け惜しみの 脳内「数学化以降の厳密な数学」で書いたのが間違いだったんじゃね？ 356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 14:38:56.92 ] いいかい、問題を解き終わるまでは条件を満たす実多項式f(x)、g(x)の存在性はまだ正確には保障されていない。 もしかしたら存在しないのかも知れない。 解き終わって確認することで初めて条件を満たすf(x)やg(x)の存在性は本当に示される。 しかし、大抵は解くには或いは存在しなかったことを示すにはf(x)やg(x)の存在性を仮定しないといけない。 問題を解く過程では論理的にはf(x)やg(x)の存在性について矛盾した仮定をすることになる。 矛盾した仮定をしているんだから解く過程では何仮定してもよいという訳だ。 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 19:32:28.18 ] 過程と仮定がややこしい 358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 19:42:51.78 ] 仮定と家庭と下底も混ぜて、文章を作ってください 359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 23:45:08.05 ] 方程式とか恒等式とかが そんなに面白い問題なのか？ 360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 23:50:49.17 ] >>359 お前にとっての面白い問題って何だ？ 言ってみろ？ あ？ 361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 12:45:35.50 ] 確かになんか面白い要素があって投稿してる訳だし そっちが趣旨なんだから揚げ足なら大目に見てやれよ 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 17:19:21.79 ] 出された問題も解かずに 方程式だ恒等式だなんだかんだと言い合うのが趣旨なのか？ 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 17:51:16.17 ] (・3・) 364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 19:11:12.42 ] サイコロを振って出た目をそのまま得点とする。サイコロをn回振ったとき、得点の合計が10の倍数になる確率を求めよ。 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 19:57:41.23 ] >>364 さすがに、これを面白い問題スレに貼るのはないと思うよ 宿題は質問スレに書き込むべきだ！ カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ 366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 21:02:08.83 ] >>364を少し改変して n回サイコロを振ったときの目の合計が10の倍数である確率を P(n)とする。 lim_[n->∞](P(n))を求めよ。 367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 23:19:17.76 ] >>356 存在するという仮定それ自体に矛盾はないだろ。 その仮定により矛盾が生じるなら、仮定が誤りであることが分かるだけ。 368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 14:57:06.79 ] >>367 結局矛盾が生じるというなら矛盾を導くのに存在性を仮定しても論理的問題は生じないが、 最終的に解ける解があるっていう場合、解いて解を見つけるまで 答案においては論理的には解の存在性は保障されていない。 そんな、存在があやふやな解を存在するとするのだから、これはおかしいじゃないか。 はてさて、答案を書くときどんな立場をとるか。 最終的に解があることと分かって書くか、こんなことはまだ分からないと考えるか。 必ず解があるとは限らないんだから、論理的に書くなら後者のようなスタンスで書くのが無難だろ。 そのようなスタンスで書くなら、最終的に解がある問題では多くの場合 求めんとする解の存在性の仮定で、論理的に少しあやふやにならざるを得なくなる。 このような場合、存在の論理的正当性は、求めた解が最後の条件を満たすことを確認することで確立される。 高校以下の数学では、そのような大事な作業を怠っていることが多い。 電光石火のようにいきなり条件を満たす解を見つけたとして書くなら話は別だがな。 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 16:09:58.31 ] あと、方程式の厳密な定義はもういいよ。 今さらながら多項式の厳密な表現論的な定義の続きの延長線上にあることが分かった。 多項式をなす単項式が文字に価を一切代入出来ず線型独立か 多項式をなす単項式が文字に値を代入することが許された上で線型従属か が大きな違いであることに気付いた。 線型代数と表現論的定義強しだな。 370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 18:32:27.55 ] >>368 >そんな、存在があやふやな解を存在するとするのだから、これはおかしいじゃないか。 全然。 それが仮定する、ということ。 371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 18:51:40.27 ] >>370 そのように仮定した答案を論理的に前から順序立ててたどって考えてみろ。 解を求めんとする裏で、仮定したい解の存在性についての理論的背景があったり 一目で解の存在性が明らかな場合は問題ないかも知れないが、 そうでない場合はどうして解の存在性が確立されていて 解が存在すると仮定することが出来ると言えるのか という問題が生じることになる。 372 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 19:13:18.87 ] >>371の >解が存在すると仮定することが出来ると言えるのか は 解を…とすることが出来ると言えるのか、 解の存在性は正確に立証されているのか、 本当に解を…とするとして話を進めてよいのか、 に変更。 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 22:02:10.07 ] ＞本当に解を…とするとして話を進めてよいのか、 「解が存在するとして話を進めてはイケナイ」と言いたいのか？じゃあ、 「解は存在しないとして話を進めるべきである」 ということか？でも、この場合 「本当に解は存在しないとして話を進めてよいのか？」 という疑問が生じてしまうな、お前の立場では。 結局、お前の立場では身動きが取れず、如何なる問題も解けなくなるわけだ。 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 22:17:23.17 ] >>368 ＞結局矛盾が生じるというなら矛盾を導くのに存在性を仮定しても論理的問題は生じないが、 ＞最終的に解ける解があるっていう場合、解いて解を見つけるまで ＞答案においては論理的には解の存在性は保障されていない。 解が存在すると仮定して、最後に待っているのが『矛盾』だった場合、 それは背理法と呼ばれる論法であり、お前が言うとおり、何も問題は起きない。 じゃあ、最後に待っているのが『矛盾』ではなく、 『何らかの条件』だった場合はどうなるのか？この場合、 「 解が存在するならば、その解は これこれの条件を満たす 」… (1) という結果が得られたということである。 (1)は「 P ⇒ Q 」という形の論理式であるから、結局、 「 (1)に対応するP,Qについて、論理式『 P ⇒ Q 』は真であることが証明できた」 ということである。従って、この場合もやはり、何も問題は起きてない。 ただし、この場合、解が存在することを証明したわけでは無い。 ただ単に、ある種の「 P ⇒ Q 」という形の論理式について、 その論理式が真であることが証明できただけである。 しかし、そのことは「論理的におかしい」わけでは無い。 375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 22:36:15.68 ] >>252 の問題で「解が存在する」と仮定して何が起きるかというと、 「 >252に解f(x),g(x)が存在するならば、f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad−bc＝1/2 でなければならない 」 という結果が得られるということである。何もおかしくない。 ある種の「 P ⇒ Q 」の形の論理式が真であることが証明できた、というだけの話である。 もちろん、「 P 」が真であることは まだ証明できていない。 すなわち、「解が存在する」が真であることは まだ証明できていない。 しかし、何か論理的に おかしなことが起きているわけではない。 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 22:36:35.54 ] >>373 ２ちゃん見てたらたまたまレスが書かれていたけど、 皆さ〜ん、…を求めて下さ〜い、なんて問題出されるのはお受験数学までだよ。 例えば、1つ根を見つけて因数定理使って2次方程式に還元する実係数の3次方程式の問題で、 その見つけなければならない根が456/11なんていう類の問題だったらどうするんだい？ 殆ど身動きとれないだろう？だけど実係数の3次方程式だから根は確かに存在する。 これだと根456/11を見つけるまで答案が書けないぜ。456/11なんていう根見つけるのは難しいだろう？ お受験数学でもこんなのは作ろうと思えば作れてしまう。 >「解は存在しないとして話を進めるべきである」 >ということか？でも、この場合 >「本当に解は存在しないとして話を進めてよいのか？」 >という疑問が生じてしまうな、お前の立場では。 むしろ勝手に決め付けて話を進めているのはアナタの方だと思う。 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 22:52:09.08 ] >>368 ＞そんな、存在があやふやな解を存在するとするのだから、これはおかしいじゃないか。 もう一度言うが、何もおかしくない。 「 P 」が真であることを証明することと、 「 P ⇒ Q 」が真であることを証明することを 混同してはならない。 「 P ⇒ Q 」が真であることを証明する際に、「 P 」が真であることを 証明する必要は無いし、偽であることを証明する必要も無い。特に、 「 解が存在するならば、その解は これこれの条件を満たす 」 という論理式を証明する際に、「解が存在する」が真であることを 証明する必要は無いし、偽であることを証明する必要も無い。 解の存在があやふやとか、そういう問題では無い。 378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 22:59:03.59 ] >>375 >ある種の「 P ⇒ Q 」の形の論理式が真であることが証明できた、というだけの話である。 ではその論理式が示せました、しかしPの真偽は分かりませんじゃ証明した意味がないじゃないか。 その証明に意味を与えるにはPが真であることを示さないと或いは真であることが分かっていないといけない。 >>252の問題でPが真であることを示している部分は求め終わった部分だろう？ なら、やはり確認の作業は必要になるじゃないか。 379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 23:08:20.52 ] >>378 ＞その証明に意味を与えるにはPが真であることを示さないと ＞或いは真であることが分かっていないといけない。 もちろん、Pが真であることの証明は追加で行う。 ＞なら、やはり確認の作業は必要になるじゃないか。 当たり前じゃないか。 「確認の作業が必要無い」なんて誰も言ってない。 俺は>>368 の ＞そんな、存在があやふやな解を存在するとするのだから、これはおかしいじゃないか。 この部分に反論したまでだ。 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 23:13:23.14 ] >>378 ＞ではその論理式が示せました、しかしPの真偽は分かりませんじゃ証明した意味がないじゃないか。 「証明した意味が無い」かどうかは、目的によって変わる。 「解が存在する」が真であることを言いたいだけなら、 「 P ⇒ Q 」を証明したことは "ほとんど意味が無い"と言っていい。 しかし、「解を全て求めたい」場合には、 「 P ⇒ Q 」を証明したことは "とても意味がある" ことだ。 なぜなら、もし運よく 「条件Qを満たせば、それは解である」 ということが証明できたなら、 「条件Qを満たすもの、かつそれだけが解である」 ということになるから、全ての解が判明したことになり、 「 P ⇒ Q 」を証明したことは、ちゃんと価値のあることだったと分かるからだ。 オマケ：運悪く 「Qを満たすだけでは解とは限らない」 というケースもあるが、この場合は、 「 P ⇒ Q 」を証明したことは "あまり意味が無い" と言えるだろう。 381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 23:25:35.93 ] >380の中央付近を訂正。というか書き足し。 ＞なぜなら、もし運よく ＞ ＞「条件Qを満たせば、それは解である」 ＞ ＞ということが証明できたなら、 ＞「条件Qを満たすもの、かつそれだけが解である」 ＞ということになるから、全ての解が判明したことになり ＞「 P ⇒ Q 」を証明したことは、ちゃんと価値のあることだったと分かるからだ。 ↓ なぜなら、もし運よく 「条件Qを満たせば、それは解である」 ということが証明できたなら、これと先に示しておいた「 P ⇒ Q 」により、 「条件Qを満たすもの、かつそれだけが解である」 ということになるから、これで全ての解が判明したことになり、 「 P ⇒ Q 」を証明したことは、ちゃんと価値のあることだったと分かる。 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 23:27:53.33 ] >>379 勝手な偏見に過ぎないが、…を求めよっていう類の問題の答案を論理的に見た場合 …を解とするとしてその解を求める過程と ある種の「 P ⇒ Q 」の形の論理式が真であることが証明すること との厳密さの度合いは微妙に違うんじゃないか？ …を求めよっていう類の問題の答案にそのような証明は書いたことないんでそのあたりはよく分からないが。 …を解とするとしてその解を求める過程を書いた大抵の答案って、ああいう書き方で証明になっているのか？ 383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 23:37:48.04 ] >>382 ＞…を解とするとしてその解を求める過程と ＞ある種の「 P ⇒ Q 」の形の論理式が真であることが証明すること ＞との厳密さの度合いは微妙に違うんじゃないか？ 同じ。たとえば次のような解答。 解答例： >252に解f(x),g(x)が 存 在 す る と 仮 定 す る 。 〜〜(中略)〜〜 よって、f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad−bc＝1/2 でなければならない。 以上により、 「>252に解f(x),g(x)が存在するならば、f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad−bc＝1/2 でなければならない」 …(1) ということが言えた。 次に、f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad−bc＝1/2のとき、このf(x),g(x)は解になることを示す。 〜〜(中略)〜〜 よって、このf(x),g(x)は確かに解になる。以上により、 「f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad−bc＝1/2 は>252の解である」 …(2) ということが言えた。(1),(2)により、 f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad−bc＝1/2 だけが解である。 384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 23:52:26.44 ] もう1つ、別の観点から。 >>382 ＞…を解とするとしてその解を求める過程と ＞ある種の「 P ⇒ Q 」の形の論理式が真であることが証明すること ＞との厳密さの度合いは微妙に違うんじゃないか？ Pを満たす元全体の集合をAと置き、Qを満たす元全体の集合をBと置くと、 「 P ⇒ Q 」が真であることを証明することは「 A⊂B 」を証明することと同値。 そして、「 A⊂B 」のテンプレ的な証明法は以下のようになる。 証明：「a∈Aならばa∈B」を示せばよい。a∈Aとする。 〜〜(中略)〜〜 よってa∈Bである。以上により、確かに「a∈Aならばa∈B」が 成り立つので、A⊂Bが成り立つ。 ↑この証明において、「a∈Aとする。」という部分は 「解が存在すると仮定する」とか「…を解とする」という行為と全く同じ。 また、「〜〜(中略)〜〜」の部分は "…を解としてその解を求める過程" そのものである。 従って、"…を解としてその解を求める過程" は、上のA⊂Bの証明と 全くことをしているわけで、つまりはA⊂Bの証明と全く同じ厳密さを 持っている。そして、A⊂BとP⇒Qは同値なのだから、結局、 "…を解としてその解を求める過程" は、P⇒Qを証明するのと 同じ厳密さを持っていると言える。 385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 00:52:17.92 ] >>383 >>384 なるほど。 色々と基礎論的観点から教えてくれたり誤りの指摘どうもありがとう。 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 07:17:56.32 ] >>375 ＞もちろん、「 P 」が真であることは まだ証明できていない。 Pが「関数f(x),g(x)が存在する」ということであれば、Pが真であることが示されている。 ＞「解が存在する」が真であることを言いたいだけなら、 ＞「 P ⇒ Q 」を証明したことは "ほとんど意味が無い"と言っていい。 Qが「f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad−bc＝1/2」 であるとするならば、Qにより解が存在したといえる訳であり、それには意味がある。 ＞なぜなら、もし運よく ＞「条件Qを満たせば、それは解である」 ＞ということが証明できたなら、 ＞「条件Qを満たすもの、かつそれだけが解である」 ＞ということになる もし「条件Ｒを満たせば、それは解である」という場合であれば、Qを満たすことを証明した だけでは、その条件Qのみが解であるとはいえない。 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 15:50:55.50 ] >>386 「・・ならば〜である」という命題に、普通の論理では説明できない意味を込めているようだ。 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 17:43:01.57 ] >>386 ＞Pが「関数f(x),g(x)が存在する」ということであれば、Pが真であることが示されている。 示されてないよ。「 P ⇒ Q 」を示した段階では、Pが真であることは まだ言えてない。 ＞Qが「f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad−bc＝1/2」であるとするならば、 ＞Qにより解が存在したといえる訳であり、それには意味がある。 その段階では、まだ言えてないよ。 「Qを満たせば解である」を示した段階で初めて「解が存在した」と言える。 もし運悪く「Qを満たすものが どれも解にならない」が示せてしまうなら、 これは『矛盾』が示せたことになり、実は解が全く存在しないことになる。 つまり、「 P ⇒ Q 」が示せた段階では、Pの真偽について何も言えない。 Qを満たすものが解になるか否かをチェックして初めてPの真偽が分かる。 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 17:52:51.55 ] 386の主は、その人には仮定の話をしちゃいけない人。 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 17:54:12.66 ] 日本語が不自由だ 391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 21:58:54.43 ] 今度は解の存在性の仮定を許すのかどうかが面白い問題になったのか？ 392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 22:11:07.25 ] その話はもう終わってるのだが 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 23:34:32.66 ] >>386またはそれ以外の人は >>388またはそれに類するものにはもうレスをしない という予言であると受け取ってよろしいか？ 394 名前：386 mailto:sage [2011/08/30(火) 05:11:38.69 ] >>388 この問題を解いていく過程においては Pを「f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1を満たす、関数f(x),g(x)が存在する」 f(x+2) - af(x) - f(x-2) = 0として Qを「a ≠ 0かつa ≠ 2のとき、f(x) = C0α^(x/2) + C1β^(x/2) (C0 C1, C2, C3は定数) a = 0のとき、f(x) = C2、g(x) = C3 (C2, C3は定数) a = 2のとき、f(x) = C4x + C5、g(x) = C6x + C7 (C4, C5, C6, C7は定数)」 とした場合に P => Qが成立する。 このQの条件の中で、Pの条件式を満たすということを考慮してすると 「f(x)＝ax＋b, g(x)＝cx＋d, ad−bc＝1/2」・・・�@ が成立する。この条件�@は、Pが真であるということを示している。 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 05:24:11.18 ] 訂正 ×P => Qが成立する。 ○PならばQが必要である。 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 10:03:29.22 ] よく聞こえんな。 何が終わってるんだって？ 397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 18:02:39.23 ] >>394 ＞ a ≠ 0かつa ≠ 2のとき、f(x) = C0α^(x/2) + C1β^(x/2) (C0 C1, C2, C3は定数) ＞ a = 0のとき、f(x) = C2、g(x) = C3 (C2, C3は定数) ＞ a = 2のとき、f(x) = C4x + C5、g(x) = C6x + C7 (C4, C5, C6, C7は定数) これらの条件をまとめてRと置き、�@の条件をQとしよう。 すると、>394でやっていることは ・まずは「 P ⇒ R 」を証明した。 ・Rでは必要十分条件にならないので、Rをさらに絞り込むことにした。 ・すると、「a≠0かつa≠2の場合」「a＝0の場合」は解にならないことが分かった。 ・残ったa＝2の場合は、さらに条件を絞って条件Qにした場合のみ、解になることが分かった。 ・今の段階で、「Pは真である」ことが先に証明できてしまった。 ・それと同時に、「 P ⇒ Q 」も実質的に証明できている。 ・従って、この議論では、”「 P ⇒ Q 」を示した段階で、Pが真であることは既に示せている”と言える。 ということになる。うむ、正しい。 しかし、この議論の仕方は、「 P ⇒ Q 」および「Pは真である」の証明を 同時進行で行っているのであり、この議論を ”「 P ⇒ Q 」を示した段階で、Pが真であることも言えている” … (1) と表現するのは、ちょっと語弊があるな。 ”「Pは真である」の証明を先に済ませてしまい、その後で「 P ⇒ Q 」を示した” と表現するのが正しい。 俺が(1)で言いたかったのは ”「 P ⇒ Q 」から「Pは真である」を導くことはできない” ということだから。 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 20:09:08.25 ] >>397 ＞”「Pは真である」の証明を先に済ませてしまい、その後で「 P ⇒ Q 」を示した” 逆、条件Rの中で f(x+1)g(x-1) - g(x+1)f(x-1) = 1 を満たすものを考えた場合に、条件Qが成立することが示せたわけで 「 P ⇒ Q 」を証明した結果として、条件Pが真であるということがいえた。 ＞”「 P ⇒ Q 」から「Pは真である」を導くことはできない” 一般的には正しいが、この問題の場合は、 Pを「条件を満たす関数が存在する」 とした場合には、条件Qがその関数自体であり、条件Qが成立するならば 条件Pも真となる。 399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 21:47:07.16 ] これは、どのレスの問題の答えなのですか？ 400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 21:50:12.13 ] 一応>>252の続き

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