- 218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/14(日) 20:53:11.58 ]
- >>214
f_m(x)=Σ[n=1,∞]a[m,n]x^nとおく。定義より
f_1(x)=Σ[n=1,∞]a[1,n]x^n=Σ[n=1,∞]x^n=x/(1-x)
f_m(x)*x/(1-x)=(Σ[n=1,∞]a[m,n]x^n)*(Σ[n=1,∞]x^n)
=Σ[n=1,∞](Σ[k=1,n-1]a[m,k])x^n なので
f_m(x)*x/(1-x)+x/(1-x)
=Σ[n=1,∞](1+Σ[k=1,n-1]a[m,k])x^n
=Σ[n=1,∞]a[m+1,n]x^n=f_(m+1)(x) よって
f_(m+1)(x)=f_m(x)*x/(1-x)+x/(1-x) この漸化式から
f_m(x)=Σ[k=1,m]{x/(1-x)}^k が示される。
1/(1-x)^k=Σ[n=0,∞]C[n+k-1,k-1]x^n (C[n,r]は二項係数)より
{x/(1-x)}^kのxでのべき級数展開のn次の係数は
C[n-1,k-1] (ただしr>nのときC[n,r]=0と定める。) なので
f_m(x)=Σ[n=1,∞](Σ[k=1,m]C[n-1,k-1])]x^n
f_m(x)=Σ[n=1,∞]a[m,n]x^nよりa[m,n]=Σ[k=1,m]C[n-1,k-1]
特に
a[n,2n]=Σ[k=1,n]C[2n-1,k-1]
=(1/2)*(Σ[k=1,n]C[2n-1,k-1]+Σ[k=1,n]C[2n-1,k-1])
=(1/2)*(Σ[k=1,n]C[2n-1,k-1]+Σ[k=1,n]C[2n-1,2n-k])
=(1/2)*(Σ[k=1,2n]C[2n-1,k-1])=(1/2)*2^(2n-1)=4^(n-1)
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