不等式への招待第５章

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不等式への招待第５章

1 名前：不等式ヲタ mailto:sage [2010/10/24(日) 23:56:56 ]: ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

過去スレ
・不等式スレッド（Part1）　 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待第３章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待第４章　kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/

過去スレのミラー置き場：cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/

姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板「出題不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
2 名前：不等式ヲタ mailto:sage [2010/10/24(日) 23:58:46 ]: [1]　不等式，ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，シュプリンガー，2003年
　　amazon.co.jp/o/ASIN/4431710566
[2]　不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3]　不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年（絶版）
[4]　不等式入門，渡部隆一，森北出版，2005年
　　 amazon.co.jp/o/ASIN/4627010494
[5]　不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年
　　 amazon.co.jp/o/ASIN/4627075812
[6]　不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年
　　 amazon.co.jp/o/ASIN/4894281740
[7]　数理科学 No.386 特集「現代の不等式」，サイエンス社，1995年8月号（絶版）
[8]　数学トレッキングツアー第３章「相加平均≧相乗平均」，東京理科大学数学教育研究所，教育出版，2006年
　　amazon.co.jp/o/ASIN/4316801988
[9]　数学オリンピック事典，数学オリンピック財団，朝倉書店、2001年
　　amazon.co.jp/o/ASIN/4254110871
[10]　The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年
　　 amazon.co.jp/o/ASIN/052154677X
[11]　数学セミナー 2009年 02月号，日本評論社，2009年
　　www.amazon.co.jp/o/ASIN/B001O9UIZ8
[12]　大学への数学 2009年4月号-2010年3月号，東京出版
　　　　連載「不等式の骨組み」、栗田哲也、全12回、各4ページ
[13]　Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach，Birkhaeuser Basel，2009年
　　 amazon.jp/dp/3034600496
3 名前：不等式ヲタ mailto:sage [2010/10/24(日) 23:59:53 ]: 不等式の埋蔵地
[1]　RGMIA　rgmia.vu.edu.au/
[2]　Crux Mathematicorum Synopses　www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/
[3]　Maths problems　www.kalva.demon.co.uk/
[4]　Mathematical Inequalities & Applications　www.ele-math.com/
[5]　American Mathematical Monthly　www.maa.org/pubs/monthly.html
[6]　Problems in the points contest of KoMaL　www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml
[7]　IMO リンク集　imo.math.ca/
[9]　Mathematical Olympiads Correspondence Program　www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/
[10]　Mathematical Excalibur　www.math.ust.hk/excalibur/
[11]　MathLinks Contest　www.mathlinks.ro/Forum/contest.html
[12]　MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE　www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_s... (要自動登録)
[13]　Wolfram MathWorld　mathworld.wolfram.com/
[14]　GRA20 Problem Solving Group　www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.htm...
[15]　American Mathematical Monthly Problems　www.mat.uniroma2.it/~tauraso/AMM/amm.html
[16]　Journal of Inequalities and Applications www.hindawi.com/journals/jia/

海外不等式ヲタの生息地
[1] Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics　jipam.vu.edu.au/
[2] MIA Journal　www.mia-journal.com/
[3] MathLinks Math Forum　www.mathlinks.ro/Forum/forum-55.html
4 名前：不等式ヲタ mailto:sage [2010/10/25(月) 00:03:24 ]: >>2
姉妹サイト（？）に付け忘れました

キャスフィ高校数学板不等式スレ　www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/

　　　　　　　　∧＿∧
　　　　　　　（´Д｀　）　　　死んでお詫びを…
　　　　　　　 / 　y/　ヽ　　　　　　
　　　　Σ(m)二フ ⊂[_ノ
　　　　　　（ノノノ | | | l ）
　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
5 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/10/25(月) 00:11:20 ]: www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.html

M1854、M1852、C934、C932 に(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
6 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/10/25(月) 04:04:00 ]: >>5　読めぬぅ…

〔M1852.〕
f∈C^1([0,1]) で f(0) = f(1) = -1/6 とする。次を示せ。
　∫[0,1] {f '(x)}^2 dx ≧ 2∫[0,1] f(x)dx + (1/4),
等号は f(x) = (1/2)x(1-x) - 1/6. (Cezar Lupu e Tudorel Lupu (Romania))

〔C934.〕
n個の辺からなる多角形を考え、その半周をsとおく。次を示せ。
　∑_[1≦i<j≦n] (a_i)^2･(a_j)^2／{(a_i)^2 + (a_j)^2} ≦ {(n-1)/(n-2)^2}∑[k=1,n] (s-a_k)^2,
ここに、a_1, a_2, ……, a_n はn個の辺の長さ。(Jose Luis Diaz-Barrero (Spagna))

〔C932.〕
f:[0,1]→R は連続函数で ∫[0,1] {f(x)}^3 dx =0 とする。次を示せ。
　∫[0,1] {f(x)}^4 dx ≧ (27/4){∫[0,1] f(x)dx}^4,
　　　　　　　　　　　　(Cezar Lupu e Tudorel Lupu (Romania))

www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.html
7 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/10/25(月) 10:01:52 ]: >>6
文献[3]　不等式への招待のP.145 あたりを参考に考えたが…
8 名前：１３２人目の素数さん [2010/10/27(水) 10:31:36 ]: 猫に小判、まで読んだ。
9 名前：猫は火病 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2010/10/27(水) 16:03:54 ]: 猫
10 名前：１３２人目の素数さん [2010/10/27(水) 23:33:42 ]: 等差数列a[i],等比数列b[i]を考える

0<a[1]<a[2]<…<a[n]
0<b[1]<b[2]<…<b[n]
a[1]=b[1],a[n]=b[n]

を満たすとき
Σ[i=1~n]a[i]≧Σ[i=1~n]b[i]
11 名前：１３２人目の素数さん [2010/10/28(木) 00:06:26 ]: bk=(bn)^(k-1)/nb1
ak=(bn-b1)(k-1)/n+b1
12 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/10/31(日) 14:42:03 ]: >>10

.　　　　　(n-k)個、　　　(k-1)個
a[k] =（a[1],…,a[1], a[n],…,a[n] の相加平均）
b[k] =（b[1],…,b[1], b[n],…,b[n] の相乗平均）

∴　a[k] ≧ b[k],

ぬるぽ
13 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/11/01(月) 10:58:38 ]: >>6の積分の不等式を見ると
それを証明できそうになくても
フリーザやセルにボコられる前の
悟空のようにワクテカしてしまいます
14 名前：１３２人目の素数さん [2010/11/02(火) 21:15:33 ]: 今年の東工大AO

a,b,cを三角形の三辺の長さとするとき
(a^2+b^2+c^2)/(ab+bc+ca)
のとりうる値の範囲を求めよ
15 名前：１３２人目の素数さん [2010/11/02(火) 21:39:24 ]: 大数の宿題

Aはxy平面上のx^2+y^2=1を動き
Bはyz平面上のy^2+z^2=1を動き
Cはzx平面上のz^2+x^2=1を動くとき
AB^2+BC^2+CA^2のとりうる値の範囲を求めよ
16 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/11/02(火) 21:41:56 ]: 三角関数を知っていれば
どちらも解けそうですな。
17 名前：１３２人目の素数さん [2010/11/02(火) 21:57:04 ]: A=(x,(1-x^2)^.5,0)
B=(0,y,(1-y^2)^.5)
C=((1-z^2)^.5,0,z)
f=AB^2+BC^2+CA^2
fx=fy=fz=0
18 名前：１３２人目の素数さん [2010/11/02(火) 22:26:34 ]: fx=Ax=(1,-2x(1-x^2)^-.5,0)=0,x=0,+/-1
(x,y,z)=(0+/-1,0+/-1,0+/-1)
19 名前：１３２人目の素数さん [2010/11/02(火) 22:29:58 ]: 0,3
20 名前：１３２人目の素数さん [2010/11/02(火) 22:41:37 ]: A、Bの焦点の楕円からCにMAXをとる。以下同文
21 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/11/03(水) 02:36:01 ]: >>14
　1 ≦ (与式) < 2,

　(a^2 +b^2 +c^2) - (ab+bc+ca) = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧ 0,
　等号成立は a=b=c (正三角形)。

　2(ab+bc+ca) - (a^2 +b^2 +c^2) = (2ab -a^2 -b^2 +c^2) + (2bc -b^2 -c^2 +a^2) + (2ca - a^2 -c^2 +b^2)
　　　= { -(a-b)^2 + c^2} + { -(b-c)^2 + a^2) + { -(c-a)^2 + b^2}
　　　= (-a+b+c)(a-b+c) + (-b+c+a)(b-c+a) + (-c+a+b)(c-a+b)
　　　> 0,

あるいは >>16 にしたがって
　2(ab+bc+ca) - (a^2 +b^2 +c^2) = (2ab -a^2 -b^2 +c^2) + (2bc -b^2 -c^2 +a^2) + (2ca - a^2 -c^2 +b^2)
　　　> {2ab･cos(C) -a^2 -b^2 +c^2} + {2bc･cos(A) -b^2 -c^2 +a^2} + {2ca･cos(B) -a^2 -c^2 +b^2}
　　　= 0,
　　　等号成立は一辺が → 0 のとき。
22 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/11/03(水) 04:19:14 ]: >>6

〔C934.〕
　(a_i)^2 + (a_j)^2 - 2a_i･a_j = (a_i-a_j)^2 ≧ 0,
より
(左辺) ≦ (1/2)∑[1≦i<j≦n] a_i･a_j ≦ {(n-1)/n}s^2,　　(*)

　∑[k=1,n] (s-a_k)^2 = ∑[k=1,n] {s^2 -2s･a_k + (a_k)^2}
　　　= (n-4)s^2 + ∑[k=1,n] (a_k)^2
　　　≧ (n-4)s^2 + (4/n)s^2　　　　　　　　　　　(**)
　　　= (1/n)(n-2)^2･s^2,

∴　(右辺) ≦ {(n-1)/n}s^2,

n辺多角形でなくても成立つ希ガス。
---------------------------------------------------
〔補題〕　⊿ = ∑[1≦i,j≦n] (a_i-a_j)^2 ≧ 0,　より

(*)　∑[1≦i<j≦n] a_i･a_j = {2(n-1)/n}s^2 - (1/2n)⊿ ≦ {2(n-1)/n}s^2,

(**)　∑[k=1,n] (a_k)^2 = (4/n)s^2 + (1/n)⊿ ≧ (4/n)s^2,
23 名前：１３２人目の素数さん [2010/11/04(木) 23:59:21 ]: f (0) = f(1)= 0 のとき
∫[0,1] {f'(x)}^2･dx ≧∫[0,1] {f(x)}^2 を示せ

〔M1852.〕と似てる
24 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/11/08(月) 01:08:45 ]: >>23

〔Wirtingerの不等式〕
　f(x), f '(x) が [0,1] で連続のとき
　∫[0,1] {f'(x)}^2･dx ≧ (π^2)∫[0,1] {f(x)}^2 dx,
　等号成立は f(x) = c･sin(πx) のとき。

f(x) を sine級数でフーリエ展開して
　f(x) = ∑[k=1,∞) b_k sin(kπx),
とおく。
　(右辺) = (π^2)∑[k=1,∞) (1/2)(b_k)^2,

　f '(x) = π∑[k=1,∞) k･b_k cos(kπx),
　(左辺) = (π^2) ∑[k=1,∞) (1/2)(k･b_k)^2,
25 名前：１３２人目の素数さん [2010/11/08(月) 18:20:11 ]: >>23
初等的証明

f(0)=0 より f(x)=∫_[0,x] f'(t) dt と書ける．
Schwarzの不等式とHo"lderの不等式より，
|f(x)|≦ ∫_[0,x] |f'(t) | dt
　　　≦ { ∫_[0,x] 1^2 dt }^{1/2}・{∫_[0,x] |f' (t)|^2 dt}^{1/2}.
両辺自乗すれば，
|f(x)|^2 ≦ x ∫_[0,x] |f' (t)|^2 dt．
よって，x について 0 →1まで積分すれば，
∫_[0,1] |f(x)|^2 dx ≦ ∫_[0,1] x { ∫_[0,x] |f' (t)|^2 dt } dx.
ここで、右辺を部分積分すれば，
右辺 = [ x^2/2・∫_[0,x] |f' (t)|^2 dt ]_[x=0]^1 - ∫_[0,1] x^2/2・|f' (x)|^2 dx
　　　= 1/2 ・∫_[0,1] |f' (t)|^2 dt - - ∫_[0,1] x^2/2・|f' (x)|^2 dx
　　　= 1/2 ・∫_[0,1] (1-x^2) |f' (x)|^2 dx
　　　≦1/2 ・∫_[0,1] |f' (x)|^2 dx
　　　≦∫_[0,1] |f' (x)|^2 dx

よって、　　
　∫_[0,1] |f(x)|^2 dx ≦　∫_[0,1] |f' (x)|^2 dx
が証明できた。
26 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/11/08(月) 19:08:21 ]: >>25
すっげー、ネ申！
27 名前：じゅー [2010/11/19(金) 00:53:54 ]: ｷｬｽﾌｨ―修羅の刻―より。
正の実数a,b,cに対し次を満たす最大の実数kを求めよ。
{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2
≧k(ab+bc+ca)^3
できれば解き方も書いてほしいです。
非対称な部分の処理の仕方がわからないので教えて下さいって意味も込めて。
28 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/11/19(金) 13:47:12 ]: シュワルツの不等式ｻｲｺｳ
29 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/11/21(日) 19:41:21 ]: >>27

基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, とおくと、
　(a+2b)(b+2c)(c+2a) = 3st + (a-b)(b-c)(c-a) = 3st + ⊿,
非対称な部分 (a-b)(b-c)(c-a) = ⊿ は正にも負にもなり得るので、
絶対値を押さえます。

〔補題〕　|⊿| ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t),

詳細は [第３章.727, 737-739] へ。ミーラ置き場にあります...
30 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/11/21(日) 19:48:23 ]: >>27

序でに解き方も書いておこう。
　(a+2b)(b+2c)(c+2a) - (3t)^(3/2)
　= 3st + ⊿ - 3t√(3t)
　= 3t{s-√(3t)} + ⊿
　≧ (3t/2s)(s^2 -3t) - |⊿|　　　(← *)
　≧ (3/2 - 2/√3)(s^2 -3t)　　　(←補題)
　≧ 0,　　　　　　　　　　　　　(← **)

*)　s-√(3t) = (s^2 -3t)/{s+√(3t)} ≧ (s^2 -3t)/2s,

〔補題〕　|⊿| ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t),
(略証)
min(a,b,c) = m とおき、{a,b,c} = {m, m+x, m+x+y} とする。(x,y≧0)
然らば、　|⊿| = xy(x+y),　s = 3m+2x+y,　t = 3m^2 + 2m(2x+y) + x(x+y),　s^2 -3t = x^2 +xy +y^2,
∴　t(s^2 -3t) - ((√3)/2)s|⊿| = 3m^2･(x^2 +xy +y^2) + m･{4x^3 + 3(1-(√3)/2)xy(x+y) +2y^3} + x(x+y){x - ((√3 -1)/2)y}^2 ≧0,
等号成立は m=0 かつ x/y = (√3 -1)/2 のとき。

**)　s^2 -3t = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧ 0,
31 名前：じゅー [2010/11/22(月) 00:16:47 ]: 巧妙ですね。
まず(a-b)(b-c)(c-a)を作るんですか??
あとは最小値とかを与えて計算??
|⊿|=xy(x+y)となるのは面白いですね。
32 名前：１３２人目の素数さん [2010/11/27(土) 23:50:59 ]: [問題]
f は区間 (a,b) (a<b) で C^2 級関数であるとき、

　∫_[a,b] |f′(x) |dx ≦ 54{ 1/(b-a)^2 ∫_[a,b] |f(x)|^2 dx
　　　　　　　　　　　　　　　 + (b-a)^2∫_[a,b] |f" (x)|^2 dx }

が成立することを示せ。
33 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/02(木) 22:54:21 ]: ｷｬｽﾌｨｰからもう一題。（Σ計算-180)

〔問題〕
　a[1],a[2],･･･,a[n]≧0
　∑[k=1,n] a[k] = S のとき次を示せ。
(1)　∑[k=1,n] a[k]^2 ≧ (1/n)S^2,
(2)　∑[k=1,n-1] a[k]a[k+1] ≦ (1/4)S^2,
34 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/06(月) 20:57:07 ]: >>33　しょうがねぇなぁ…

(3)　∑[k=1,n-2] a[k]a[k+1]a[k+2] ≦ (S/3)^3,
(4)　∑[k=1,n-3] a[k]a[k+1]a[k+2]a[k+3] ≦ (S/4)^4,
　…　…
35 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/06(月) 23:51:02 ]: >>33
（１）シュワルツの不等式より、

Ｓ＝∑[k=1,n] 1・a[k]　≦ { ∑[k=1,n] 1^2 }^{1/2}・{ ∑[k=1,n] a[k]^2 }^{1/2} ＝ {ｎ}^{1/2}・{ ∑[k=1,n] a[k]^2 }^{1/2}．

よって，
　　Ｓ^2 ≦ n ∑[k=1,n] a[k]^2
が証明された。
36 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/09(木) 03:54:32 ]: 不等式の『未解決』問題集ってどこかに無いかな？

フェルマー予想やポアカレ予想のような、不等式界における大予想、大問題
というのを知りたいね。

ついでに、このスレでチャレンジしてみるのも面白そう。

不等式の大予想、２ちゃんねるスレで解ける！

みたいに…

どこかの本や問題集からの問題はやる気が失せる。
37 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/09(木) 03:58:53 ]: 例えば、ラマヌジャン系の不思議な不等式に証明を与える（ないし、反例を与える）作業とか

なんか良い文献ないかなあ
38 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/09(木) 05:43:22 ]: Bateman

[Ramanujan Book]

ha dou??
39 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/09(木) 10:04:33 ]: nesbitの不等式って未解決の部分があるんじゃなかったっけ
40 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/09(木) 22:03:35 ]: >>36
巡回和関係の不等式は見かけは簡単でも、未解決なのが結構あるそうだ。

Shapiroの巡回不等式もこの10年数年に解けたそうな。
（大関本ではまだ未解決になっている）
41 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/09(木) 22:07:06 ]: >>39
Nsbittの不等式の一般化が Shapiroの巡回不等式。
だから現在では解決済み。
42 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/09(木) 22:18:31 ]: Nesbittの不等式
www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/inequality/nesbitt.htm

olympiads.mccme.ru/lktg/2010/5/5-1en.pdf
43 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/11(土) 15:07:40 ]: >>42
思わずフルボッキしてしまった！
44 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/12(日) 05:14:43 ]: >>29-31

〔補題’〕a,b,c≧0 のとき　|⊿| ≦ 2{s-√(3t)}t,
　等号成立は m=0 かつ x/y = 1/2 のとき。
45 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/12(日) 06:08:01 ]: Shapiro's cyclic sum

mathworld.wolfram.com/ShapirosCyclicSumConstant.html

なお、λ = 1/3 としたものが [初代スレ.501] にある。
46 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/25(土) 18:03:31 ]: 　
47 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/30(木) 19:09:27 ]: [問題]
A=(a_[ij]) を複素n次正方行列とし α_1,,, α_n を A の固有値（重複度込み）とする。
このとき、次の不等式を示せ。
　　∑_[k=1,,n] |α_k|^2 ≦ ∑_[i,j=1,,,n] |a_[ij]|^2

また等号が成立するための必要十分条件は A が正規行列（A^* A = A A^*）である。
48 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/30(木) 19:13:47 ]: >>47
この不等式は「Shurの不等式」と呼ばれ線型代数の本などに載っていますが、
不等式の部分だけでも線型代数を使わない証明をして欲しいです。
49 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/03(月) 02:32:47 ]: 〔問題961〕
自然数nに対して、
　Ｉ_n = ∫[0,(2n+1)π] {x･sin(x)/[n + sin(x)^2]} dx　とおく。
　(2n+1)π/(n+1) < I_n < (2n+1)π/n　を示せ。

www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1089455158/961-965
　casphy - 高校数学－修羅の刻－【難問】
50 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/06(木) 23:40:15 ]: a、b、c、dを正の定数とする。
不等式 s(1-a)-tb>0
-sc＋t(1-d)>0
を同時に満たす正の数s、tがあるとき、
2次方程式x^2-(a＋d)x＋(ad-bc)=0は-1<x<1の範囲に異なる2つの実数解をもつことを示せ。
51 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/09(日) 06:31:06 ]: >>50
　f(x) = x^2 -(a+d)x +(ad-bc),　とおく。

　判別式 D = (a+d)^2 -4(ad-bc) = (a-d)^2 +4bc > 0,
より、異なる2つの実数解をもつ。

　f((a+d)/2) = －(1/4)(a-d)^2 -bc < 0,
また、題意より
　0 < a,d < 1,
　1-a > (t/s)b > 0,
　1-d > (s/t)c > 0,
∴　f(1) = (1-a)(1-d) -bc > 0,
　　f(a+d-1) = f(1) > 0,

∴　２実数解は a+d-1<x<(a+d)/2, および (a+d)/2<x<1 の範囲にある。
52 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/09(日) 14:17:45 ]: www.math.ust.hk/excalibur/v15_n3.pdf

P352など

　二｀丶、｀丶、_＼__＼〉ﾉﾉへ!
`‐-、二. ｀ヽ、ミ￣　／⌒ｼ′）
二‐/,ｨ┐|=ミ=┘　,r‐'_二ﾆ....イ
‐ニ| i＜　ｉ　,..-=ﾆ‐''＼　 /彡}　　 www.math.ust.hk/excalibur/v15_n3.pdf
二‐ヽ ┘ ｜　　 lヾ. } } / /リ
ﾆ ‐'"/ 　 /　　　　|_{;)} ﾚ' /(（　　　Problem352などを見ると・・・・・
'　　/ 　 /　　　 '"　` `ﾞ /　ｿ
　 /　　　　,　　　　　　Ｆ'′/　　　なんていうか･･････その･･･
　ヽ.　　　　＼、 L`___l　　　　　　
　＿＼　　ヽ._>┘　　　　　　　　下品なんですが･･････フフ･････
　／了＼＿ノ
　◆（　　　　　　　　　　　　　　　　勃起･･････しちゃいましてね･････････
　門｜
53 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/10(月) 11:49:13 ]: >>52

〔Problem 352.〕
a,b,c>0, abc≧1　のとき　
　a/{√(bc)+1} + b/{√(ca)+1} + c/{√(ab)+1} ≧ 3/2,
　　　　　　　　　　　　　　　(P.H.O.Pantoja による)
　
Math. Excalibur, Vol.15, No.3, 2010/Oct.-Dec.
54 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/10(月) 11:53:48 ]: >>53

　abc =k とおく。
　(左辺) = a^(3/2)/(√k + √a) + b^(3/2)/(√k + √b) + c^(3/2)/(√k + √c)
　　　　= F(a) + F(b) + F(c),
ここに
　F(x) = x^(3/2)／(√k + √x) = x - √(kx) +k -(k√k)/(√k + √x),
　F '(x) = {3√(kx) + 2x}／{2(√k +√x)^2} > 0,　 (単調増加)
　F "(x) = {√k + (3/√x)}／{4(√k + √x)]^3} > 0,　(下に凸)
よって
　(左辺) > 3F((a+b+c)/3)　　　(← Fは下に凸)
　　　　> 3F(k^(1/3)) 　　　　(← 相加･相乗平均)
　　　　= 3(√k)／{√k + k^(1/6)}
　　　　> 3/2,　　　　　　　　　　　　(← k≧1)
55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/10(月) 12:16:29 ]: 〔Problem 357.〕
正の整数nに対し、次を満たす4整数 a,b,c,d が存在しないことを示せ。
　ad = bc,
　n^2 < a < b < c < d < (n+1)^2,

〔Problem 359.〕
次を満たすすべての実数(x,y,z)を求む。
　x+y+z ≧ 3,
　x^3+y^3+z^3 + x^4+y^4+z^4 ≦ 2(x^2+y^2+z^2),
　　　　　　　　　　　　　(M.Bataille による)

www.math.ust.hk/excalibur/v15_n3.pdf
　Excalibur, Vol.15, No.3, 2010/Oct-Dec
56 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/11(火) 21:32:52 ]: >>55

P.359.
　x^4 + x^3 - 2x^2 = (x^2 +3x +3)(x-1)^2 + 3(x-1) ≧ 3(x-1),
等号成立は x=1 のとき。
∴　(左辺) - (右辺) ≧ 3(x+y+z-3) ≧ 0,

∴　題意の不等式が成立するのは (x,y,z)=(1,1,1) のみ。
57 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/12(水) 21:00:00 ]: １＜ｍ＜ｎ。
０≦ａ。
ｂ＝（ｎ－ｍ）ａ／（ｎ－１）。
ｃ＝（ｍ－１）ａ／（ｎ－１）。
ａ＝ｂ＋ｃ。
ｍａ＝ｂ＋ｎｃ。
ａ／ｍ≦ｂ＋ｃ／ｎ。

　（ｘ＋ｎ（１－ｘ））（ｘ＋（１－ｘ）／ｎ）＾２
＝（２ｎ－２（ｎ－１）ｘ）（１＋（ｎ－１）ｘ）＾２／２ｎ＾２
≦（（２ｎ＋２）／３）＾３／２ｎ＾２
＝４（ｎ＋１）＾３／２７ｎ＾２。
58 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/14(金) 00:12:11 ]: >>57

〔問題〕
nを自然数、 0≦x≦1 を実数とするとき、
　{x + n(1-x)}{x + (1-x)/n}^2 の最大値を求めよ。

hint:
　{x+n(1-x), [nx+(1-x)]/2, [nx+(1-x)]/2} の相加平均は (n+1)/3,
59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/14(金) 05:00:00 ]: １≦ｉ≦ｎ。
（ｉ－１）（ｉ－ｎ）≦０。
ｎ≦ｉ（ｎ＋１－ｉ）。
１／ｉ≦（ｎ＋１－ｉ）／ｎ。

　Σ（ｉａ（ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２
≦Σ（ｉａ（ｉ））Σ（（（ｎ＋１－ｉ）／ｎ）ａ（ｉ））＾２
＝Σ（ｉａ（ｉ））（（（ｎ＋１）／ｎ）Σ（ａ（ｉ））－（１／ｎ）Σ（ｉａ（ｉ）））＾２
≦（４（ｎ＋１）＾３／２７ｎ＾２）Σ（ａ（ｉ））＾３。
60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/16(日) 05:00:00 ]: 　Σ（ｉａ（ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２
≦Σ（（ｎ＋１－ｎ／ｉ）ａ（ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２
＝（（ｎ＋１）Σ（ａ（ｉ））－ｎΣ（ａ（ｉ）／ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２
≦（４（ｎ＋１）＾３／２７ｎ＾２）Σ（ａ（ｉ））＾３。
61 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/16(日) 08:21:59 ]: >>57-58　出題元：

kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287678220/238 ,368
数オリスレ２０

kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1289917753/285-311
初等整数論の問題２
62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/18(火) 22:52:05 ]: x > 0 、 y > 0 、 0 < p < 1 のとき、 (x+y)^p < x^p + y^p を示せ
63 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/18(火) 23:01:47 ]: >>62
成り立たねーぞボケ
64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/19(水) 01:21:33 ]: >>63
ﾆﾔﾆﾔ…
65 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/19(水) 02:34:17 ]: x^p+y^p-(x+y)^p
x^p+t^p*x^p-(1+t)^p*x^p
=x^p*(1+t^p-(1+t)^p)
>0
66 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/19(水) 02:41:07 ]: もっとエレガントに解かんかい
67 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/19(水) 05:52:11 ]: >>62
私の粗末なコレクションを検索したところ、似たようなものがあった。

[1997早稲田大]-----------------------------------------------------------

x、yを任意の正の数とし、p、qを 1/p + 1/q = 1 かつ p>1、q>1 をみたす有理数とする。

(1) (x+y)^2 ≦ px^2 + qy^2 を示せ

(2) (x+y)^(1/p) < x^(1/p) + y^(1/p) を示せ

-------------------------------------------------------------------------

これって、有理数という縛りは必要なのかな？不等式( ﾟ∀ﾟ)ﾊｧﾊｧ…
68 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/19(水) 05:54:57 ]: >>65がわからん
69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/19(水) 07:18:39 ]: 俺も>>63と>>65がわからん
70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/19(水) 07:57:18 ]: >>63
>>66
口が悪いな、直したほうがいい
71 名前： ◆LANDAUL/nY [2011/01/19(水) 09:46:33 ]: y=txとおいてるのかな
1+t^p-(1+t)^p>0の証明は
f(t)とおいてp<1なのでf'(t)<0だから
lim_{t→∞}f(t)>0
ということかな?

(x^p+y^p)^(1/p)>x+y
を示す
x≧yとする
(x^p+y^p)^(1/p)≧(x^p+x^p)^(1/p)=2^(1/p)*x>2x=x+x≧x+y
72 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/19(水) 10:07:52 ]: コーシーか相加相乗しか認めんぞ
73 名前： ◆LANDAUL/nY [2011/01/19(水) 10:13:11 ]: 普通に間違ってた
74 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/19(水) 11:02:41 ]: >>71
x^p+y^p≦2*((x+y)/2)^p
(x^p+y^p)^(1/p)≦2^(p-1)*(x+y)
(x^p+y^p)^(1/p)<x+y
75 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/19(水) 22:23:25 ]: 不等式に魅せられた高校生なんですけど[13]の書籍は体系だって不等式を学ぶのに有効ですか？
76 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/19(水) 22:54:19 ]: >>62, >>66, >>68-69,
　1-p > 0,
　x^p = x/{x^(1-p)} > x/(x+y)^(1-p),
　y^p = y/{y^(1-p)} > y/(x+y)^(1-p),
辺々たす。 (終)

>>67

(1) 題意より (p-1)(q-1) = 1,
　　px^2 + qy^2 - (x+y)^2 = {x√(p-1) - y√(q-1)}^2 ≧ 0,

(2) 上と同様。ただし p ⇔ 1/p
77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/23(日) 06:27:07 ]: >>67
(x+y)^(1/p)*(x+y)^(1/q)
= (x+y)^(1/p + 1/q)
= x+y
= x^(1/p + 1/q) + y^(1/p + 1/q)
= x^(1/p)*x^(1/q) + y^(1/p)*y^(1/q)
< x^(1/p)*(x+y)^(1/q) + y^(1/p)*(x+y)^(1/q)
= {x^(1/p) + y^(1/p)}*(x+y)^(1/q)

両辺を (x+y)^(1/q) で割って (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ…
78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/28(金) 09:21:02 ]: a、b、c が三角形の３辺の長さをなしながら変化するとき、
(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) のとりうる値の範囲を求めよ
79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/28(金) 11:10:19 ]: >>78

　1 ≦ (a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) < 2,

(右側)
　(a^2 + b^2 + c^2) - (ab+bc+ca) = (1/2)(a-b)^2 + (1/2)(b-c)^2 + (1/2)(c-a)^2 ≧ 0,
　等号成立は a=b=c (正三角形)

(左側)
　2(ab+bc+ca) - (a^2 + b^2 + c^2) = a(b+c-a) + b(c+a-b) + c(a+b-c) > 0,
80 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/28(金) 11:56:40 ]: >>79
すっきりした証明ですね、(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/28(金) 12:16:14 ]: >>78
2011年度東工大特別入試第2問 [大学への数学2011年1月号P.P.56-57]

雑誌の模範解答は、３通り

（解１）
a+b+c = 2k を固定し、ab+bc+ca = t とおくと、
　(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) = 4k^2/t - 2
だから、tのとりうる値を考える

三角形の成立条件から、a<k、b<k、a+b<k なので、
aを 0<a<s の範囲で固定して、k-a < b < s の範囲で、
　t = - { b - (2k-a)/2 }^2 -3a^2/4 + ka + k^2
のとりうる値の範囲を求める

（解２）
x=b+c-a、y=c+a-b、z=a+b-c とおくと、x、y、z>0で
　(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) = (2/3){1 + 2/(1+3u)}
ただし、u = (xy+yz+zx)/(x^2 + y^2 + z^2)
uのとりうる値の範囲を考える

（解３）
a≦b≦cと設定して、cの関数とみて微分

(；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
82 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/28(金) 19:29:45 ]: 本番でa=1固定で
b+c=k固定で動かした記憶
83 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/28(金) 22:46:10 ]: 数学板で一番の良スレ
久しぶりに（気のせいか）上に上がってきたな
sageなかったのか？
84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/28(金) 23:10:08 ]: >>83
お前と、82が上げたんだろうが！
85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/28(金) 23:18:33 ]: age、sage言ってる時点でじじいだから、頭がボケていても仕方ない。
86 名前：Fランク受験生 mailto:しらんよ [2011/01/29(土) 03:13:19 ]: >>79
きれいなやりかたですね。

すこしきになるのは(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca)のとりうる範囲が[1,2]
の中間の値を全部とるというのはどこで証明しているのでしょうか？
87 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/29(土) 03:49:19 ]: 投稿確認
・投稿者は、投稿に関して発生する責任が全て投稿者に帰すことを承諾します。

・投稿者は、話題と無関係な広告の投稿に関して、
相応の費用を支払うことを承諾します

・投稿者は、投稿された内容及びこれに含まれる知的財産権、
（著作権法第21条ないし第28条に規定される権利も含む）その他の権利につき
（第三者に対して再許諾する権利を含みます。）、掲示板運営者に対し、
無償で譲渡することを承諾します。ただし、投稿が別に定める削除ガイドラインに該当する場合、
投稿に関する知的財産権その他の権利、義務は一定期間投稿者に留保されます。

・掲示板運営者は、投稿者に対して日本国内外において無償で非独占的に複製、
公衆送信、頒布及び翻訳する権利を投稿者に許諾します。
また、投稿者は掲示板運営者が指定する第三者に対して、
一切の権利（第三者に対して再許諾する権利を含みます）を許諾しないことを承諾します。

・投稿者は、掲示板運営者あるいはその指定する者に対して、
著作者人格権を一切行使しないことを承諾します。
88 名前：79 mailto:sage [2011/01/29(土) 04:17:32 ]: >>86
　(a,b,c) = (1,1,c) とし、cを (0,1] で連続的に変化させてみる。

比の値がr (1≦r<2) となるのは c=r-√{(r-1)(r+2)} のとき。
89 名前：１３２人目の素数さん mailto:はは [2011/01/29(土) 04:24:56 ]: f(a,b,c)＝(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca)は領域a>0,b>0,c>0 において連続である。
を証明すればいいんだけど、。。。
とちゅうでギャップが無いという保証がいる。
あたりまえであるようであまり意識しないもんだね。　一応多変数だからね
90 名前：Frank mailto:はは [2011/01/29(土) 04:34:05 ]: >>88
わかりました。　ありがとうございます。
91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/29(土) 07:43:42 ]: >>87
何が言いたい？
92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/29(土) 12:32:18 ]: 変なのがいろいろ湧きだしたな
無能は黙ってＲＯＭってろ！
93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/29(土) 16:15:09 ]: >>88-89

　r = (1+1+c^2)/(1+c+c) = 1 + (3/4){(1+2c)/3 + 3/(1+2c) - 2}
どう見ても連続････
94 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/29(土) 16:25:14 ]: 79+88　で満点というわけか？
平均点はいくらぐらいなの？
95 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/29(土) 17:20:31 ]: 79+88のように優雅ではないが、力ごなしにやると
Let define f(a,b,c)＝(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca)
let define ff(a,b,t)=f(a,b,(a^2+b^2-2 ab cos(t))^(1/2))
let define fff(s,t)=ff(1,s,t) for 0<t<Pi, 1>= s >=0:from symmetry
and d(fff(s,t)z)/ds=(s-1){ ..positive...}==>monotone decreasing for s in [0,1] (for every t)
so
fff[1,t]={2+2-2cos(t)}/{1+2(2-2cos(t))^(1/2)}=(2+u^2)/(1+2u) here u=(2-2cos(t))^(1/2)

g[u]=(2+u^2)/(1+2u) for 0<u<4

Easily we get 2=g[4]=g[0]>g[u]>=g[1]=1

And fff[0,t]=2

The answer is [1,2]
96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/29(土) 17:26:45 ]: [1, 2)
97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/29(土) 18:24:05 ]: >>88-89

　r = (1+1+c^2)/(1+c+c) = 1 + (1-c)^2 /(1+2c),
でも同じだが･････
98 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/29(土) 19:12:30 ]: >>81　2011年度東工大特別入試

って普通の入試と違うの？
99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/29(土) 20:04:17 ]: >>98
よう知らんが、センター試験より前に試験があったようだ
100 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/29(土) 20:48:59 ]: うかれば東工大合格というわけ？
101 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/29(土) 21:09:56 ]: ググレカス
102 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/29(土) 21:14:02 ]: [問題]
A, B を実 n 次の正定値対称行列とするとき、次の不等式を示せ。

det ( (A+B)/2 ) ≧　{ detA ・det B }^{1/2}
103 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/29(土) 22:29:52 ]: >>102
こういう線形代数と微積分が合わさったような話題ってどんな本が詳しいですか？
線形代数も微積分も教養でやるけど、この手の話題って面白そうだけど意外と講義や演習でもやらない気がします。
行列の先の話題としてリー群の本は多いんですけど、書いて無いですよね。
104 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/29(土) 23:46:50 ]: 微積？
102って相加相乗の拡張ぽいけど。
105 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/30(日) 00:13:22 ]: >>103
斎藤の線形代数演習
106 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/30(日) 01:22:49 ]: >>102
Q1=tx.A.x>0
Q2=tx.B. x>0　ｘはn次元ヴェクター

A　または　Bのいづれかが、正定あれば、（Aとする）
適当な　T 正則マトリクス,が存在して
線形変換ｘ＝Tｙにより

Q1=ty.E.ty
Q2=ty.L.y　：L=対角マトリクス：Bも正定だからL>0

((Q1+Q2)/2)^2=(ty((E+L)/2)y)^2 =Sigma{i}(yi^2(1+Li))^2

Q1Q2=ty.y.ty.L.y=Sigma{i}yiLi

　Sigma{i}(yi^2(1+Li))^2 >= Sigma{i}yi^2Li
これから　
(Det(E+L)/2)^2>=Det(E)Det(L)　
つまり　
Det(A+B)/2>=(Det(A)Det(B))^(1/2)
107 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/30(日) 01:41:14 ]: x,y,z≧0のとき
(x^3+y^3+z^3)^4≧(x^4+y^4+z^4)^3
108 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/30(日) 04:42:21 ]: >>107

x^4 =X, y^4 =Y, z^4 =Z, 3/4 =p とおくと、与式は
　X^p + Y^p + Z^p ≧ (X+Y+Z)^p,
これは >>67 (2) の形だから、>>76 と同様にして示せる。
109 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/30(日) 04:50:57 ]: >>103
下らんごくごく普通の関数解析の本に、そのような話題は嫌というほど載っている。
もはやそれらは楽しいリー群(位相群)やフーリエ解析などに昇華されている。
110 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/30(日) 05:07:33 ]: >>103
ハーディー・リトルウッドの「不等式」がおすすめだ。
これがモデルになった関数解析(フーリエ解析)の本がある位だ。
111 名前：108 mailto:sage [2011/01/30(日) 05:35:42 ]: >>107　(訂正)

　これは、>>62 の形だから････
112 名前：え(⌒▽⌒)？ mailto:sage [2011/01/30(日) 10:34:05 ]: y=e^x
113 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/31(月) 00:26:04 ]: 〔問題〕
A, Bを2次の実対称行列とするとき、次の不等式を示せ。
　tr(exp(A+B)) ≦ tr(exp(A))･tr(exp(B)),

ただし、exp(X) = E + Σ[n=1,∞) (1/n!)X^n,　(Ｅは単位行列)

(注意)　
A,Bが交換可能ならば等式になりますが、AB≠BA のときには一般に不等式になります。
この結果は一般にA,Bがn次対称行列のときにも正しいのですが、2次のときなら、腕づくで計算してもできます。

数セミ増刊「数学の問題　第２集」No.96, 日本評論社 (1978)
114 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/31(月) 00:59:02 ]: >>113

荒木不二洋先生（元･京大、RIMS）の名作だな。

(；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
115 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/31(月) 15:43:55 ]: >>106
>適当な　T 正則マトリクス,が存在して
>線形変換ｘ＝Tｙにより
>
>Q1=ty.E.ty
>Q2=ty.L.y　：L=対角マトリクス：Bも正定だからL>0

A,B は非可換だから、一般に同時対角化は出来ないのでは？
116 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/31(月) 16:51:00 ]: >>115
> A,B は非可換だから、一般に同時対角化は出来ないのでは？

はい。
A,B が同時対角化できるための必要十分条件は AB=BA（可換）なので、
>>106の証明は誤りです。
これが出来てしまうと>>113は等号になってしまいますから・・・
117 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/31(月) 17:00:47 ]: >>103
一般的には、作用素環のノルム不等式と言われる分野ですかね。
もちろん、行列環だけでなくもっと一般的な物を扱っています。
一般論はコンヌなどの非可換幾何などとも関係して難しいです。
118 名前：仙石６０ [2011/01/31(月) 17:22:17 ]: >>113　
AB=BA ならば
Exp(A+B)=Exp(A)Exp(B) だから　Tr(Exp(A+B))=Tr(Exp(A)Exp(B))=Tr(Exp(B)Exp(A))

Tr(Exp(A)Exp(B))=<Tr(Exp(A))Tr(Exp(B)) ですか？

　つまりTr(A.B)=<Tr(A)Tr(B) というわけですね？
119 名前：仙石６０ [2011/01/31(月) 17:33:14 ]: >>116
　>>106の証明は誤りです。

実の対称マトリクスについては同時対角は可能ではないのですか？
（証明を見たようなきがするのだが。。。。自信ない）
A,Bがエルミートで一方が正定であれば同時対角化（Lamda,En)が可能であるというのは
よく使ったような気がする。（正定の定義が違うのかな？）
120 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/31(月) 20:10:22 ]: >>119
> 実の対称マトリクスについては同時対角は可能ではないのですか？

違います。

実際、AとBが同時対角化されたとします。
つまり、ある１つの直交行列 T が存在して、T^t A T, T^t B T が対角行列になる。

対角行列同士は交換可能なので、T^t A T と T^t B T は交換可能です。
つまり、
(T^t A T)・(T^t B T) = (T^t B T)・(T^t A T)
が成り立ちますが、Tは直交行列なので T^t T = Eより、
T^t AB T = T^t BA T
つまり，AB=BA となります。

しかし、任意の２つの正定値対称行列は交換可能とは限らないので、これは矛盾です。
121 名前：仙石６０ mailto:hh [2011/01/31(月) 20:28:27 ]: 対角化の意味ですが、
　E、と　Lamda＝固有値マトリクス　のふたつを意味しているのですが。
122 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/31(月) 20:43:42 ]: >>121
何を言いたいのか全く分かりません。

>>103の証明を書いた >>106は以下の事実が間違っています。

A,Bを一般の正定値対称行列に対して

> Q1=tx.A.x>0
> Q2=tx.B. x>0　ｘはn次元ヴェクター
>
> A　または　Bのいづれかが、正定あれば、（Aとする）
> 適当な　T 正則マトリクス,が存在して
> 線形変換ｘ＝Tｙにより
>
> Q1=ty.E.ty
> Q2=ty.L.y　：L=対角マトリクス：Bも正定だからL>0
123 名前：仙石６０ mailto:hh [2011/01/31(月) 20:46:31 ]: 正定マトリクスの定義　（x*）Ax>0 for all x not zero
2個の実対称マトリクスA、Bについての2次形式
Q1=TxAx,Q2=TXBX　とする。
Aが正定ならば、適当な正則マトリクスによる線形変換ｘ＝Tyにより新変数ｙについて
2次形式がｙの各成分の2乗項だけをふくむ
Q1=ty　ｙ、Q2=ty L y　L:対角まとりくす
とあらわせる

証明　略
124 名前：仙石６０ mailto:hh [2011/01/31(月) 20:47:54 ]: ＞何を言いたいのか全く分かりません。

チョット時間をおきませう
125 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/31(月) 22:16:26 ]: >>123
その主張が間違っているんですよ。

具体的には、同じ線形変換 x=Ty で、
Q1=ty　ｙ、Q2=ty L y　

と表される（つまり、Q_1=<y,y> ）のは良いのですが、
「Lが対角行列」というのが間違いです。

これが出来るためには AB=BA でなくてはなりません。
理由は>>120です。
126 名前：仙石６０ mailto:hh [2011/01/31(月) 22:30:16 ]: CLAIM:
BがC^mxn ならばA:=B*B：C^nxnは準正定マトリクスである。
逆に
エルミートマトリクスA:C^nxnが準正定ならば　rank(B)=m (mはAの固有地の数）なるマトリクスB:C^mxn
をもちいてA=B*Bと表すことができる。

を証明せよ

A*=Aが成立するようなマトリクスをエルミートマトリクスという
A*はAの共役転置
127 名前：仙石６０ mailto:hh [2011/01/31(月) 22:39:06 ]: Claim2
　2個の実対称マトリクス：R^nxn、B:R^nxnについての２次形式
Q1=txAx,Q2＝ｔxBx　　ｘ：R^n　ｔ:transpose

A　ガ正定ならば、適当な正則マトリクスT:R^nxn　による線形変換ｘ＝Ty
によって、新変数ｙについては２次形式がｙの各成分の二乗項だけをふくむ
Q1=ty　ｙ、Q2=ty　L y、　L:対角マトリクス
と表せる

を証明せよ
128 名前：仙石６０ mailto:hh [2011/01/31(月) 22:44:10 ]: ↑なお　一般にLの対角要素はBの固有地ではない。
129 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/31(月) 23:07:07 ]: 仙石６０さんよ、これ以上書くと恥晒しになるから止めとけや
130 名前：Fランク受験生 mailto:hh [2011/01/31(月) 23:18:13 ]: システム制御工学で使われるマトリクス演算手法ですね。
証明を期待しています。
131 名前：１３２人目の素数さん mailto:ふるいねええ [2011/01/31(月) 23:23:47 ]: こんなやつは、30年ぐらい前いっぱい流行したよねえ。
恥を晒して墓までよ　気にすることは無い。
132 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/01(火) 00:09:59 ]: 正則行列と直交行列を混同しているような…
133 名前：仙石６０ mailto:ふるいねええ [2011/02/01(火) 00:22:36 ]: そうだね
134 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/01(火) 01:33:17 ]: >>128
糞コテめ！
さっさと消えろ！

我々のスレを荒らすな！
ここは不等式のスレだ、日本語読めるか？あん？

質問は質問スレでやれ！
135 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/01(火) 02:16:43 ]: 120と123は何ら矛盾してない。この件については仙石が正しい。
136 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/01(火) 20:11:43 ]: 【問題】
n次の実行列 A,B,C,D に対して，2n次の行列 X を
　　X = [A　B]
　　　　 [C　D]
とおく．X が正定値対称行列のとき，

　　det (X) ≦ det (A)・det(D)

を示せ．
137 名前：１３２人目の素数さん mailto:しらんぞ [2011/02/02(水) 13:21:13 ]: Det(A) !=0 としてもよい。　A=tF.F
　Det(X)=Det(A)Det[D-B.A^-1.C]

X X が正定値対称行列-=> C=tB ,A=tF.F-->B.A^-1.C=B.A^-1.tB=B.(tF.F)^-1.tB
=B.(F)^-1.tF^-1.tB=B.F^-1.t(B.F^-1)
=Y.Ty : y:=B.F^-1
Det[D-B.A^-1.C]=Det[D-Y.tY]<=Det(D)
　det (X) ≦ det (A)・det(D)

q.e.d
138 名前：Fランク受験生 mailto:dd [2011/02/02(水) 15:36:31 ]: (1) A1>=B1,A2>=B2==>A1+A1>=B1+B2
(2) A>=B>=C ==> A >=C
(3)A1>=B1,A2>=B2 --->A1A2>=B1B2

間違っているのは（１）、（２）、（３）のどれでしょうか？
139 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/02(水) 15:57:27 ]: >>138
オコチャマは消えろ！
カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ
140 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/02(水) 16:14:29 ]: ↑　わからないとすぐそうやってごまかすんだから
141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/02(水) 16:19:29 ]: なんかアホの巣窟になっちまったなｗ
142 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/02(水) 16:24:41 ]: 猫がいなくなったから、猫に構ってた連中が持て余してんだろｗ
猫も必要悪ということだ。
143 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/02(水) 16:34:19 ]: (1),(2) OK
(3) マちが日
144 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/02(水) 17:14:49 ]: 大学は試験シーズンだからな

ところで猫って大学の教員なの？
145 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/02(水) 17:21:50 ]: >>144
無職のルンペンだよ
146 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/02(水) 18:14:26 ]: 一応非常勤をやっているんじゃなかったか？
147 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/03(木) 01:09:18 ]: >>113
まづ、exp(　) の定義から、
　exp(xE) = (e^x)E,
　AB = BA　⇒　exp(A+B) = exp(A)･exp(B),
　exp(A'+xE) = (e^x)･exp(A'),
　exp(B'+yE) = (e^y)･exp(B'),
ところで、
　A = (tr{A}/n)E + A',
　B = (tr{B}/n)E + B',
とおくと tr{A'} = tr{B'} =0 となる。
これらを上記に代入すると、本問は
tr{A'} = tr{B'} =0　⇒　tr{exp(A'+B')} ≦ tr{exp(A')}･tr{exp(B')},
に帰着する。
148 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/03(木) 01:27:19 ]: >>113
A',B'は跡なしの2次行列だから、Cayley-Hamilton より
　(A')^2 = (a^2)E,　　a = √(-det{A'}),
　(B')^2 = (b^2)E,　　b = √(-det{B'}),
よって exp(　) の定義から
　exp(A') = cosh(a)･E + {sinh(a)/a}･A',
　exp(B') = cosh(b)･E + {sinh(b)/b}･B',
となる。また、
　tr{E} = n = 2,
　tr{A'} = tr{B'} = 0,
　tr{A'B'} = det{A'} + det{B'} - det{A'+B'} = 2ab･cosθ,
よって、
　tr{exp(A')exp(B')} = cosh(a)cosh(b)tr{E} + (････)*tr{A'} + (････)*tr{B'} + {sinh(a)sinh(b)/(ab)}tr{A'B'}
　　= 2cosh(a)cosh(b) + 2sinh(a)sinh(b)･cosθ
　　= (1+cosθ)cosh(a+b) + (1-cosθ)cosh(a-b)
　　= (1+cosθ)f((a+b)^2) + (1-cosθ)f((a-b)^2)　　　(← *)
　　≧ 2f(a^2 + b^2 +2ab･cosθ)
　　= 2f(-det{A'} -det{B'} +tr{A'B'})
　　= 2f(-det{A'+B'})
　　= tr{exp(A'+B')},

*)　　f(t) = cosh(√t) = Σ[k=0,∞) (1/(2n)!)t^n,　は t≧0 で下に凸。
149 名前：103 mailto:sage [2011/02/03(木) 19:02:06 ]: うわっ、凄い勢いでレスが伸びていてびっくり!!

>>104-105 >>109-110 >>117
文献の案内ありがとうございます。
作用素環へ繋がっていくのですね。
それは奥が深いわけだ。
150 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/03(木) 23:28:08 ]: >>138 >>143

(3)A1>=B1,A2>=B2 --->A1A2>=B1B2
ガ誤りであるような　実例を教えてください。
151 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/04(金) 00:11:48 ]: A1=A2=[1,1],B1=B2=[-10,-10]

A1,A2,B1,B2>0 の例をもとむ
152 名前：147-148 mailto:sage [2011/02/04(金) 00:53:49 ]: >>113
　････つまり、本題は次の補題に帰着した。

〔補題〕
2次の正方行列 A,B について　
　det(A) + det(B) - tr(AB) + tr(A)･tr(B) = det(A+B),

(略証)　成分を使って計算するだけ。
153 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 01:19:06 ]: √2+√3＞πを示せ
ｴﾚｶﾞﾝﾄに頼むよ
154 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/04(金) 13:18:51 ]: √2+√3=3.14626...>π
155 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 13:21:32 ]: ｴﾚｶﾞﾝﾄを　求めるのは厨房
156 名前：Fランク受験生 [2011/02/04(金) 13:43:44 ]: >>152
〔補題〕
2次の正方行列 A,B について　
　det(A) + det(B) - tr(AB) + tr(A)･tr(B) = det(A+B),

計算しても等号がせいりつしません。
数値計算しても等号が成立しません。

どこがまちがっているのでしょうか
　det(A) + det(B) - tr(AB) + tr(A)･tr(B) ー det(A+B)＝
a22 b11 + a23 a32 b11 + a33 b11 - a22 a33 b11 - a21 b12 - a23 a31 b12 +
a21 a33 b12 - a31 b13 + a22 a31 b13 - a21 a32 b13 - a12 b21 - a13 a32 b21 +
a12 a33 b21 + a33 b12 b21 - a32 b13 b21 + a11 b22 + a13 a31 b22 + a33 b22 -
a11 a33 b22 - a33 b11 b22 + a31 b13 b22 - a12 a31 b23 - a32 b23 +
a11 a32 b23 + a32 b11 b23 - a31 b12 b23 - a13 b31 + a13 a22 b31 -
a12 a23 b31 - a23 b12 b31 + a22 b13 b31 + a13 b22 b31 - a12 b23 b31 -
a13 a21 b32 - a23 b32 + a11 a23 b32 + a23 b11 b32 - a21 b13 b32 -
a13 b21 b32 + a11 b23 b32 + a11 b33 + a12 a21 b33 + a22 b33 - a11 a22 b33 -
a22 b11 b33 + a21 b12 b33 + a12 b21 b33 - a11 b22 b33
157 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 13:51:59 ]: >>156
お前、受験板に帰れよ！
カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ
158 名前：１３２人目の素数さん mailto:しらんぞ [2011/02/04(金) 13:54:04 ]: 147-148　は似非かはったりか？
159 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 14:51:36 ]: 新着レスがあると思ってみたら、便所の落書き未満だったり…
160 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 18:28:28 ]: >>158
ということになります。
161 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 18:44:13 ]: (π-x)^3=31 実数ｘをもとむ
　ｴﾚｶﾞﾝﾄに頼むよ
162 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 19:14:14 ]: 156は何を計算してるのやら
2次の正方行列つってんだろが
163 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/04(金) 20:39:09 ]: [問題]
正定値対称行列 A,B に対して tA + (1-t)B (0≦t≦1) に対して、
t の関数 f(t) = det (tA + (1-t)B)^{-1} は下に凸であることを示せ。

　　 t det (A) + (1-t) det(B) ≦ det (tA + (1-t)B)．
164 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 21:11:26 ]: ばかばかし>>162
165 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 21:13:14 ]: えらそうにしている割に程度低すぎ>>162
166 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 21:42:20 ]: >>163
det (tA + (1-t)B)．はｎ次の多項式
t det (A) + (1-t) det(B)　はｎの一次多項式

主張にムリガあるような気がするのだが？

たとえば　ｔ＝～０
(1-t) det(B) ＞＝det ((1-t)B)．ｋｊなぜなら（１－ｔ）＞（１－ｔ）＾ｎ
167 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 22:04:27 ]: >>166
> たとえば　ｔ＝～０

すまんが、ｔ＝～０の意味を教えてもらえまいか？
168 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 22:12:53 ]: 　　　　　　　　　　～０
169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/04(金) 22:18:54 ]: 精子かＹＯ！
170 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/05(土) 00:51:07 ]: >>163
det (tA + (1-t)B)．はｔのｎ次の多項式
t det (A) + (1-t) det(B)　はｔの一次多項式

主張にムリガあるような気がするのだが？
171 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/05(土) 01:42:23 ]: >>170
多項式の次数が違うことが、不等式が成立しないという根拠にはならんだろ。

例：実数 0< t <1 と自然数 n に対して、不等式 0< t^n < t は常に成立します。
172 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/05(土) 01:45:16 ]: というか凸函数におけるイェンセンの不等式を知らんのか？
173 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/05(土) 02:48:24 ]: >>170
多項式の次数が違うからといって、不等式が成立しないとは言ぇんぜん。
だな。
174 名前：163 [2011/02/05(土) 03:46:34 ]: >>170
確かに主張は間違っていました。
（多項式の次数が違うからというのは理由にはなりません）

[>>163の訂正]
関数 f(t) = det (tA + (1-t)B )^{-1} は逆行列を取っているので、
凸性を表す不等式は（この f が凸であることを示すのが問い）
　　t f(1) + (1 -t) f(0) ≧ f(t)
これを書き換えると、
　 t det (A^{-1}) + (1-t) det(B^{-1}) ≧ det (tA + (1-t)B)^{-1}
と逆数を取った式でした。

あるいは、最初から A, B を逆行列 A^{-1}, B^{-1} （これらも正定値対称行列）にして
　t det (A) + (1-t) det(B) ≦ det (t^{-1} A + (1-t)^{-1} B)
という不等式を得ます。
175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/05(土) 04:02:00 ]: >>166 >>170

t=0,1 のとき左辺は０ゆえ、因数定理から
　t･det(A) + (1-t)･det(B) - det{t･A + (1-t)･B} = t(1-t)f(t;A,B),

(例) n=2 の場合、
　t･det(A) + (1-t)･det(B) - det{t･A + (1-t)･B} = t(1-t)det(A-B),
176 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/05(土) 06:13:39 ]: >>166 >>170

t=0,1 のとき左辺は０ゆえ、因数定理から
　t^n･det{A} + (1-t)^n･det{B} - det{t･A + (1-t)･B} = t(1-t)g(t;A,B),

(例) n=2 の場合、
　t^2･det{A} + (1-t)^2･det{B} - det{t･A + (1-t)･B} = t(1-t)(tr{AB}-tr{A}tr{B}),
177 名前：Fランク受験生 [2011/02/05(土) 21:00:57 ]: ＞実数 0< t <1 と自然数 n に対して、不等式 0< t^n < t は常に成立します。

（１）n>=3のばあいは
（２）実数 0< t <1 と自然数 n に対して、不等式 0< an t^n+an-1t^(n-1)+,,, < t は常に成立しますか？
178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/08(火) 14:47:14 ]: 掃除していたら、昔のメモが出てきた、懐かしす…

問１．レベル（目糞）---------------------

a、b、c、d≧0 のとき、次式を証明せよ

1/a + 1/b + 4/c + 16/d ≧ 64/(a+b+c+d)

問２．レベル（鼻糞）---------------------

x、y、z≧0、x+y+z=1 のとき、次式を証明せよ

0 ≦ xy + yz + zx -2xyz ≦ 7/27
179 名前：回答ー目糞 mailto:どｇ [2011/02/08(火) 23:58:19 ]: （１）P=1/a + 1/b + 4/c + 16/d - 64/(a + b + c + d)
　　　q=abcd(a+b+c+d)P　の極点をもとめると( 11個）
{(a,b,c,d)=(0,0,c,0),(0,0,0,d),(-d,0,0,d),(a,0,0,0),(a,0,-a,0),....(d/4,d/4.d/2.d)}

どの極点の値もｑ＝０になる。
ｑの形態から　是が最小値になる。
ｑ＞＝０
180 名前：回答ー鼻糞 mailto:ばかじゃなかろか [2011/02/09(水) 00:33:05 ]: q=xy + yz + zx -2xyz-Lamda(x+y-1)
の局地をもとめて
(L,x,y,z)={(4/9,1/3,1/3,1/3),(1/2,0,1/2,1/2),...}
qの値は｛7/27,1/4,1/4,1/4}になる。
境界の(x､y､z)=(1,0,0) でｑ＝０
０≦ xy + yz + zx -2xyz ≦ 7/27
181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/09(水) 02:29:03 ]: >>178

問１（目糞）
　{a, b, c/2, c/2, d/4, d/4, d/4, d/4} の8個で相加･調和平均あるいはコーシー
だな。

問２（鼻糞）
右側
　-1/2 ≦ 1/2 -x,　1/2 -y,　1/2 -z ≦ 1/2, より
　-(1/2)^3 ≦ (1/2 -x)(1/2 -y)(1/2 -z) < (1/2)^3,
上限は 3つの因子が同符号(正)のときで、相乗･相加平均より
　 (1/2 -x)(1/2 -y)(1/2 -z) ≦ {(3/2 -x -y -z)/3}^3 = (1/6)^3,
これを展開する。左側は (ry
182 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/09(水) 07:48:14 ]: 問３．レベル（耳糞）-------------------------------

実数 x、y、z が、x+y+z=0 をみたすとき、次式を証明せよ

(|a|+|b|+|c|)^2 ≧ 2(a^2 + b^2 + c^2)

-----------------------------------------------

※ 差を取るのはミジンコでもできるので、エレガントに証明してください
　ミジンコといえば…
www.yomiuri.co.jp/science/news/20110204-OYT1T00057.htm

※ さらに n乗の場合に拡張できるなら、お願いします
183 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/09(水) 07:49:18 ]: >>182
ごめん、a、b、cをx、y、zで読み替えてください
184 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/11(金) 00:21:14 ]: >>182-183

問３（耳糞）
　ミジンコだが、差を取ってみた。

a+b+c = 0 より三角不等式が成り立つ。
よって
　(左辺) - (右辺) = 2|ab| + 2|bc| + 2|ca| - a^2 - b^2 - c^2
　= |a|(|b|+|c|-|a|) + |b|(|c|+|a|-|b|) + |c|(|a|+|b|-|c|) ≧ 0,
185 名前：184 mailto:sage [2011/02/13(日) 02:46:47 ]: >>183
　ごめん、ａ、ｂ、ｃはｎ次元ベクトルだよね････
186 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/13(日) 05:53:59 ]: >>153
あまりエレガントぢゃねぇが････

6 > 6 - 2/(9^2) = (22/9)^2,
∴　√6 > 22/9,

(√2 + √3)^2 = 5 + 2√6 > 89/9 = (22/7)^2 + 5/(21^2) > (22/7)^2,
∴　√2 + √3 > 22/7,

ところで、
　(1/6)π^2 = ζ(2) < 5/3 - 1/48 < 5/3 - 1/49 = (1/6)(22/7)^2,
∴　22/7 > π,

kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/187 , 199
東大入試作問者スレ１９
187 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/13(日) 06:02:07 ]: 〔問題〕
　(14/3)√(5/11) > √2 + √3　を示してくださいです。
188 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/13(日) 06:24:28 ]: >>187

　485 > (√484)(√486) = 22(9√6) = 99(2√6),
∴　485/99 > 2√6,
∴　(14/3)^2･(5/11) = 980/99 > 5 + 2√6 = (√2 + √3)^2,
189 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/13(日) 11:06:40 ]: >>136
Xは正定値なので、小行列式 det(A) >0である。
とくに A は正則行列なので、行列 X は以下のように分解できる。
　[A B] ＝ [　I　　　O][A　B]
　[C D] 　 [CA^{-1}　I][O　D-CA^{-1}B]．
両辺の行列式を取れば、
　det(X) = det(A)・det(D-CA^{-1}B)
ここで X は対称行列なので C=B^t で A^{-1} も正定値行列なので、
det(D-CA^{-1}B) = det (D - B^t A^{-1}B) ≦ det(D)．
よって、
　det(X) ≦ det(A)・det(D)
が示された。
190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/13(日) 17:13:26 ]: >>189
上手いなあ・・・
191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/13(日) 21:58:06 ]: >>153
ちっともエレガントぢゃねぇが････

6 > 6 - 2/(9^2) = (22/9)^2,
∴　√6 > 22/9,
∴　(√2 + √3)^2 = 5 + 2√6 > 89/9,

ところで、
　(1/6)π^2 = ζ(2) < 5/3 - 1/48 < 5/3 - 1/54 = (1/6)(89/9) < (1/6)(√2 + √3)^2,
∴　√2 + √3 > π,

kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/187 , 199
東大入試作問者スレ１９
192 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/14(月) 00:58:05 ]: 〔補題〕
3 + 1/8 < 31^(1/3) < π < 355/113 < 22/7 < √2 + √3 < √10,

kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/220-222
東大入試作問者スレ１９

・3 + 1/8 < 31^(1/3) は
　(3 + 1/8)^3 = 27 +27/8 +9/64 +(1/8)^3 = 31 -(5 -9/8 -1/64)/8 < 31,

・355/113 = 3 + 16/113 < 3 + 16/112 = 3 + 1/7 = 22/7,

・22/7 < √2 + √3 は >>186

・√2 + √3 < √10 は
　y = √x は上に凸:　√a + √b < 2√{(a+b)/2} = √{2(a+b)},
　あるいは　√a + √b = √{2(a+b) - (√a -√b)^2} ≦ √{2(a+b)},
193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/14(月) 14:02:05 ]: 　 π^6 = 945ζ(6) = 945*(1+1/2^6+1/3^6+...)
> 945*(1+1/2^6+1/3^6) = 945 + 945/64 + 35/27 = 945 + (14*64+48+1)/64 + {1+ (27+5)/(27*4)} = 961 + 1/64 + 5/108
> 961 = 31^2 = ([3]√31)^6
194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/15(火) 02:48:13 ]: >>193
お見事でござる。それでは次を出さねば････

〔補題〕
　31^(1/3) < 306^(1/5) < π

左側は
　31^3 = 29791 < 29800,
　31^5 < 29800*31*31 = 298*310*310 < 306^3,　(相乗･相加平均)

ハｧハｧ
195 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/16(水) 21:56:14 ]: このレベルの不等式を示すのに、(1/6)π^2 = ζ(2) を使うのはナンセンス。
証明すべきことより、(1/6)π^2 = ζ(2) の証明の方が遥かに難しく、証明になっとらんわｗ

ていうか、ここいつから大学入試問題スレになったんだよｗ
糞みたいな問題ばっかりで、詰まらない。

受験生は受験板でやれや

どうせ sin の無限積展開とか知らん奴は (1/6)π^2 = ζ(2) の事実を使うな！
196 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/16(水) 21:57:24 ]: >>191-194
巣に戻れやボケ！
197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/16(水) 22:23:34 ]: 君こそ消えたまえ！
198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/16(水) 23:09:57 ]: sin(23^23)>1/2
199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/17(木) 06:26:46 ]: >>197
あんたこそスレ違い
ここは受験問題のスレじゃない！

しかも、他スレのコピペだし
200 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/17(木) 12:29:35 ]: 157 ：１３２人目の素数さん：2011/02/04(金) 13:51:59
>>156
お前、受験板に帰れよ！
カーッ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ペッ
201 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/17(木) 14:14:52 ]: どうして荒れるのかなぁ…
初代スレからの住人としては悲しい限り
202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/17(木) 14:33:46 ]: このスレは今まで荒れることがなかったから耐性ないねｗ
スレの数が減ったために目につきやすくなったからある程度は仕方ないね。
スルーしとけばいいと思うよ。
203 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/18(金) 13:53:48 ]: >>201
入試問題ばかりになっちまったからだろ

スレ住人が塾講師の連中ばかりになっちまったというよ。
204 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/18(金) 22:38:59 ]: >>198　お願いします
205 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/19(土) 21:50:20.35 ]: >>198　>>204

www.wolframalpha.com/input/?i=Sin%5B23%5E23%5D

と言う他はない。
206 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 00:42:17.01 ]: >>194
このレベルの不等式を示すのに (1/93555)π^10 = ζ(10) を使うのはナンセンス。
証明すべきことより、(1/93555)π^10 = ζ(10) の事実の方が遥かに難しいから、証明になっとらんわｗ
とは思いつつ････

　π^10 = 93555ζ(10)
　　= 93555･{1 + (1/2)^10 + ････}
　　> 93555･(1 + 1/1024)
　　> 93555･(1 + 1/1155)
　　= 93555 + 91
　　= 93646
　　= 306^2,
207 名前：206 mailto:sage [2011/02/20(日) 03:54:59.36 ]: >>194　(訂正)

π^10 = ････
　= ･････
　> 93555･(1 + 1/1155)
　= 93555 + ８1
　= 936３6
　= 306^2,

∴　306^(1/5) < π
208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 04:19:51.61 ]: >>192

y=1/x^6 は下に凸だから
　1/k^6 < ∫[k-0.5, k+0.5] 1/x^6 dx = (1/5){1/(k-0.5)^5 - 1/(k+0.5)^5},
これを使って
　(1/945)π^6 = ζ(6)
　　= 1 + 1/2^6 + 1/3^6 + ････
　　< Σ[k=1,n] 1/k^6 + ∫[n+1/2,∞) 1/x^6 dx
　　= 1 + 1/2^6 + 1/3^6 + 1/4^6 + 1/5^6 + 1/6^6 + 1/(5*6.5^5)　(n=6 とおく)
　　= 1 + (3^6 + 2^6 + 1)/(6^6) + 1/4^6 + 1/5^6 + 32/(5*13^5)
　　= 1 + 794/(6^6) + 1/4^6 + 1/5^6 + 32/(5*13^5)
　　< 1 + (35431020482 + 508289003 + 133244913 + 35886729)/(113^6)
　　= 1 + 36108441127/(113^6)
　　= 1 + 34122476865015/(945･113^6)
　　< 1 + 34122530050120/(945･113^6)
　　= (1/945)(355/113)^6,

∴　π < 355/133　･･････密率（「隋書」）

祖沖之（429-500）
209 名前：208 mailto:sage [2011/02/20(日) 04:33:00.68 ]: >>192
またまた訂正････

　π < 355/1１3　･･････密率
　π < 22/7　　　･･････約率
210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 07:58:37.53 ]: 222/77 < π < 22/7
211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 08:02:12.86 ]: 3555/1133 < π < 355/1１3
212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 11:38:15.55 ]: 〔問題649〕
　a,b,c>0 のとき a+b+c=s とおくと
　a/√(s-b) + b/√(s-c) + c/√(s-a) < (5/4)√s,

casphy - 高校数学 - 不等式スレ　330, 375-376
→ 前スレ.649
213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/20(日) 23:44:56.31 ]: >>195
　正n角形とその内接円・外接円を使うのは、面倒な割に、精度がいまいち････
　ζ函数の方が効率がいいし･･･
　他にいい方法がないかと思う今日この頃･･･
214 名前：１３２人目の素数さん [2011/02/26(土) 05:15:12.79 ]: 今年の京大

1/2＜a[i]＜1のとき
Π(1-a[i])＞1-2Σ(a[i]/2^i)
(i=2,3,…n)
215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/27(日) 07:19:26.19 ]: >>214

左辺を P[n] とおくと、
　P[n] = P[n-1]･(1-a[n])
　　　= P[n-1] - a[n]･P[n-1]
　　　= ･････
　　　= 1 - Σ[i=1,n] a[i]･P[i-1]
と
　P[0] = 1,
　P[i] < 1/(2^i)　　　(i≧1)
から。

nyushi.yomiuri.co.jp/11/sokuho/kyoto/zenki/sugaku_ri/images/mon4_1.gif

kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/253
東大入試作問者スレ１９
216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/27(日) 10:20:07.83 ]: 〔問題〕
　0 < x < π のとき次を示せ。
(1)　1/sin(x) - 1/x > x/6,
(2)　{1/sin(x)}^2 - 1/x^2 > 1/3,
217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/28(月) 03:57:23.98 ]: 今年の阪大で不等式の問題が出たが、難問だったらしい
218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/28(月) 06:32:54.58 ]: >>217
+　　　+
　 ∧＿∧ 　+
　（0ﾟ・∀・）　　　　ﾜｸﾜｸ、ﾃｶﾃｶ…
　（0ﾟ∪ ∪ +
　と＿_）__）　+
219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/02/28(月) 10:19:21.16 ]: 阪大のってこれか
nyushi.nikkei.co.jp/honshi/11/ha1-21p.pdf
220 名前：Fランク受験生 mailto:age [2011/03/03(木) 00:49:07.67 ]: 内容は簡単だと思うけど計算間違いをしているかも。。。

(1)
S(a)=(1/2)(a^2+1)^(n-1)
(2)
a=4 のときｘ＝１．７６になる
221 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/03(木) 23:48:54.04 ]: >>217
全然難問じゃないじゃん。
大数で言うと C*** クラス。
222 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/04(金) 02:52:40.02 ]: ↑　解いてから言え
223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/04(金) 08:37:16.00 ]: 新参はまず過去レスを読んでこのスレの空気を知ってほしいね。
224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/04(金) 08:47:21.33 ]: 数人の自演ｽﾚだからなぁ
225 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/04(金) 09:37:23.59 ]: 　　／￣￣＼　　　　　
　／　　 _ノ　　＼　
　|　　　（ ●）（●）　＜おっとそこまでだ
.　|　　　　（__人__）＿＿＿_
　 |　　　　　｀ ⌒／ ─'　'ー＼
.　 |　　　　　／（ ○）　（○）＼
.　ヽ　　　／　　⌒（n_人__）⌒ ＼
　　ヽ　　　|、　　　　（　　ヨ　　　　|
　　　/　　　`ー─－　　厂　　　／ ←>>224
　　　|　　､＿　　__,,／　　　　＼
226 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/04(金) 10:49:02.96 ]: その後224の行方を知る者は誰もいなかった。
227 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/05(土) 12:42:07.49 ]: >>226

kotonoha.cc/no/54040
228 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/07(月) 21:32:08.20 ]: もう工房の入試問題スレになっちまったな・・・orz
229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/07(月) 21:46:33.46 ]: ageんな
230 名前：猫は廃人 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/08(火) 13:50:17.70 ]: 猫
231 名前：猫はボケ老人 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/08(火) 19:29:40.79 ]: 猫
232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/08(火) 19:36:06.98 ]: 猫は小便垂れ流し
233 名前：猫はボケ老人 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/03/08(火) 19:40:50.01 ]: 目的を達成スル為であれば小便でも何でも垂れ流しますワ。

猫
234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/14(月) 01:35:56.47 ]: 「不等式」大関清太
www.kyoritsu-pub.co.jp/series/kandokoro.html#zokkan

　　∧＿∧
　　( ;´∀｀) ＜　こ、こりゃたまらんっ！
　人　Y　/
　(　ヽし
　（＿）＿）
235 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/17(木) 15:37:44.25 ]: a,b,c,dをabcd=1を満たす正の実数とするとき,
(a-1)(3a-7)+(b-1)(3b-7)+(c-1)(3c-7)+(d-1)(3d-7)≧0
を証明せよ。
236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/19(土) 01:36:36.10 ]: >>235

　(左辺) = f(log(a)) + f(log(b)) + f(log(c)) + f(log(d)),
ここで
　f(x) = (e^x - 1)(3e^x - 7) = 3(e^x - 5/3)^2 - 4/3 ≧ -4/3,
とおいた。

　f "(x) = 12{e^x - (5/6)}e^x > 0,　　　(x≧0)
ゆえ、
　x≧0 では f は下に凸。
　f '(0) = -4,
　k = -0.64298265 = log(0.5257220384) < x < 0 では f(x) > -4x,　　
そこで
　F(x) = f(x),　　　　x < k, 0 < x
　　　 = -4x,　　　　k ≦ x ≦ 0
とおく。(函数凸包、function convex hull)
　F(x) は x ≧ k で下に凸（広義）である。

(1) a,b,c,d ≧ e^k のとき、凸不等式より
　(左辺) ≧ F(log(a)) + F(log(b)) + F(log(c)) + F(log(d))
　　　　≧ 4F(log(abcd)/4) = 4F(0) = 4f(0) = 0,

(2) a,b,c,d の中に e^k より小さいものが1つだけある(a)とき、凸不等式より
　f(log(b)) + f(log(c)) + f(log(d)) ≧ F(log(b)) + F(log(c)) + F(log(d))
　　≧ 3F(log(bcd)/3) = 3F(-log(a)/3) = 3f(-log(a)/3)
　(左辺) ≧ f(log(a)) + 3f(-log(a)/3) ≧ f(k) + 3f(-k/3) = 0.21780074,

(3) a,b,c,d の中に e^k より小さいものが2つ以上ある(a,b)とき
　　f(log(a)) ≧ f(log(b)) ≧ 2.5719306, f(log(c))≧-4/3, f(log(d))≧-4/3,
　により成立。
237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/22(火) 06:15:56.83 ]: 今月は不等式が一杯載っている

Problem 365.
www.math.ust.hk/excalibur/v15_n4.pdf
238 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/22(火) 06:18:57.91 ]: C950、M1862、C944など
www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.html
239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/25(金) 23:48:58.94 ]: >>237

Problem 365.
負でない実数 a,b,c が ab+bc+ca = 1 を満たすとき、
　1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) - 1/(a+b+c) ≧ 2,
を示せ。
240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/26(土) 01:40:10.75 ]: >>239
俺もこれが面白いと思った
まだ解けぬ～
241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/27(日) 23:30:24.83 ]: >>239-240

　附帯条件から考えて、a→cotα,　b→cotβ, c→cotγ と置いてみる･･･
　α+β+γ = π より,
　(左辺) = 1/(cotα+cotβ) + 1/(cotβ+cotγ) + 1/(cotγ+cotα) - 1/(cotα+cotβ+cotγ)
　　= (sinα･sinβ)/sin(α+β) + (sinβ･sinγ)/sin(β+γ) + (sinγ･sinα)/sin(γ+α) - (sinα･sinβ･sinγ)/(1-cosα･cosβ･cosγ)
　　= (sinα･sinβ)/sinγ + (sinβ･sinγ)/sinα + (sinγ･sinα)/sinβ -2(sinα･sinβ･sinγ)/[(sinα)^2 + (sinβ)^2 + (cosγ)^2]
　　= (sinα･sinβ･sinγ){(1/sinα)^2 + (1/sinβ)^2 + (1/sinγ)^2 - 2/[(sinα)^2 + (sinβ)^2 + (cosγ)^2]}
　　= 2⊿･{(1/a')^2 + (1/b')^2 + (1/c')^2 -2/[(a')^2 + (b')^2 + (c')^2]}
　　= ････
ここに、 a'=2R･sinα, b'=2R･sinβ, c'=2R･sinγ, ⊿ = 2R^2･sinα･sinβ･sinγ,

まだ解けぬるぽ～
242 名前：１３２人目の素数さん [2011/03/28(月) 07:26:05.27 ]: 1/x+y+1/y+z+1/z+x-1/x+y+z
=1/x+y+z*(z/x+y+x/y+z+y/z+x)+2/x+y+z
>=1/x+y+z*(x+y+z)^2/2(xy+yz+zx)+2/x+y+z
=x+y+z/2+2/x+y+z>=2 Q.E.D.
243 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/28(月) 08:37:32.00 ]: >>242
エスパー検定３級の俺には、どれが分母なのか読み取れねぇ・・・
244 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/28(月) 09:52:08.74 ]: >242
2行目から3行目に何を使ったのか分からない

1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) - 1/(x+y+z)
= 1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) - 3/(x+y+z) + 2/(x+y+z)
1/(x+y+z)で括る
= {1/(x+y+z)}*{(x+y+z)/(x+y) + (x+y+z)/(y+z) + (x+y+z)/(z+x) - 3} + 2/(x+y+z)
= {1/(x+y+z)}*{1 + z/(x+y) + 1 + x/(y+z) + 1 + y/(z+x) - 3} + 2/(x+y+z)
= {1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} + 2/(x+y+z)
後は頼んだ>243
245 名前：243 mailto:sage [2011/03/28(月) 10:52:27.44 ]: では、引き継いで頑張ってみます

3(x^2 + y^2 + z^2) - (x+y+z)^2 = (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 ≧ 0

∴(x^2 + y^2 + z^2) ≧ (1/3)*(x+y+z)^2

z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)
＝ z^2/(zx+yz) + x^2/(xy+zx) + y^2/(yz+xy)
≧ z^2/(xy+yz+zx) + x^2/(xy+yz+zx) + y^2/(xy+yz+zx)
＝ (x^2 + y^2 + z^2)
≧ (1/3)*(x+y+z)^2

>>242の４行目から

＝ {1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} + 2/(x+y+z)
≧ (x+y+z)/3 + 2/(x+y+z)
≧ 2√(2/3)

うむ、失敗したようじゃ…
246 名前：243 mailto:sage [2011/03/28(月) 10:56:30.96 ]: >>245

>>242の４行目から → >>244の下から２行目から

だけど、もはやどうでもいい…
247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/03/29(火) 02:54:50.22 ]: >>241
　鋭角△に限定しなければならぬ～

　(a')^2 + (b')^2 ≧ (c')^2,　etc.
248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/03(日) 15:07:21.35 ]: >>238

M1852.
　f∈ C^1([0,1]) で f(0) = f(1) = -1/6. のとき次を示せ。

　∫[0,1] {f '(x)}^2 dx ≧ 2∫[0,1] f(x) dx + 1/4,
249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/03(日) 15:38:26.07 ]: >>248

部分積分により
　(右辺) = 2[ (x - 1/2)f(x) ](x=0,1) -2∫[0,1] (x - 1/2)f '(x)dx + 1/4
　　　= f(0) + f(1) + 1/4 -2∫[0,1] (x - 1/2)f '(x) dx
　　　= -1/12 -2∫[0,1] (x - 1/2)f '(x) dx,

　　∫[0,1] (x - 1/2)^2 dx = [ (1/3)(x - 1/2)^3 ](x=0,1) = 1/12,

よって
　(左辺) - (右辺) = ∫[0,1] {f '(x) + (x - 1/2)}^2 dx ≧ 0,
250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/03(日) 15:43:12.09 ]: >>249
x - 1/2 という発想はどこから？
251 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/03(日) 18:18:19.82 ]: >>238

C925.
　f ∈ Ｃ^2([0,1]) で
　∫[0,1] f(x)dx = 2∫[1/4,3/4] f(x)dx,
のとき、f "(x0) =0 を満たす点 x0 ∈ (0,1) が存在することを示せ。

C932.
　f : [0,1] → Ｒは連続関数
　∫[0,1] {f(x)}^3 dx = 0,
のとき、次を示せ。
　∫[0,1] {f(x)}^4 dx ≧ (27/4){∫[0,1] f(x)dx}^4,

C944.
　f ∈ Ｃ^1([0,1])
　∫[0,1] f(x) dx = 0,
　A ≦ f '(x) ≦ B　　　x∈[0,1]
のとき、次を示せ。
　A ≦ 12∫[0,1] x･f(x)dx ≦ B,
252 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/03(日) 18:49:37.86 ]: >>251

C925.
　(左辺) - (右辺)
　　= ∫[0,1/4] f(x)dx - ∫[1/4,1/2] f(x)dx - ∫[1/2,3/4] f(x)dx + ∫[3/4,1] f(x)dx
　　= ∫[0,1/4] {f(x) -f(x+1/4) -f(x+1/2) +f(x+3/4)} dx
　　= ∫[0,1/4] g(x) dx
平均値の定理より
　　= (1/4)g(a)　　　　　　　　　(0<a<1/4)
　　= (1/4){f(a) -f(a+1/4) -f(a+1/2) +f(a+3/4)}
　　= (1/16){f '(b) - f '(c)}　　(a<b<a+1/4, a+1/2<c<a+3/4)
　　= (1/16)(b-c)f "(x0),　　　　(b<x0<c)
253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/04(月) 01:51:35.18 ]: >>239-240
しょうがねぇなぁ････

基本対称式を a+b+c = s, ab+bc+ca = t, abc = u とおくと
　(左辺) = (s^2 +t)/(st-u) -1/s = (s^3 + u)/{s(st-u)},
　(右辺) = 2/√t,

　(s^3 + u)^2 - (4/t){s(st-u)}^2 = (s^3)F_1 + (s^2)(u/t)(st-4u) + u^2 ≧ 0,
ここに
　F_1 = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = s^3 -4st +9u ≧ 0,　　(Schurの不等式)

やっと解けた。しかし、めんどくせぇなぁ･･･
254 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/04(月) 03:44:39.82 ]: d.hatena.ne.jp/wasabiz/20110403
なんかみつけたけん
255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/04(月) 08:24:10.34 ]: >>254
よくある間違い。
１＜２と１００≦１００で等号が成り立つから１より１００の方が小さいとやってしまう。
ａ＝ｂ－＞０とすれば下の式は２より小さくなるから駄目。
256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/04(月) 08:37:51.12 ]: >>255
> １＜２と１００≦１００で等号が成り立つから１より１００の方が小さいとやってしまう。

言っている意味が分からないが、>>254が初歩的なミスをしていることは同意。
例えば、次のように説明すると分かりやすいかも？
>>254の主張を、グラフで視覚化してみよう！

y=x^2 と y=2x-1 において、x^2 ≧ 2x-1 が成り立つ。
等号成立条件は x=1のときで、このとき右辺は 2・1-1=1だから、x^2≧1

どう考えてもおかしいよね (・A・)ｲｸﾅｲ！
257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/04(月) 09:04:09.55 ]: a=b=c=1/3^(1/2)
1/(a+b)+1/(a+c)+1/(b+c)-1/(a+b+c)=7*3^(1/2)/6=2.0207259421
7/(3((a+b)(a+c)(b+c))^(1/3))=7*3^(1/2)/6=2.0207259421

a=b=0.1,c=4.95
1/(a+b)+1/(a+c)+1/(b+c)-1/(a+b+c)=5.2018648466
7/(3((a+b)(a+c)(b+c))^(1/3))=1.3555198072

2.0207259421>=2.0207259421>=2
5.2018648466>=1.3555198072>=2
258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/04(月) 10:01:03.59 ]: >>253
等号成立は0,1,1のときしかないんだよね？
259 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/05(火) 01:02:06.67 ]: >>244の最後からね
{1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} + 2/(x+y+z)
={1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} (xy+xz+yz)+ 2/(x+y+z)
=1/2*({1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} (z(x+y)+x(y+z)+y(x+z)))+ 2/(x+y+z)
>=1/2*({1/(x+y+z)}*(x+y+z)^2+ 2/(x+y+z)
=(x+y+z)/2+ 2/(x+y+z)>=2
260 名前：239 mailto:sage [2011/04/05(火) 01:47:07.55 ]: >>259 >>244
　お見事でござる。
　コーシー不等式　z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x) ≧ (s^2)/(2t) がミソだった。

>>258
　そうでつね。
261 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/05(火) 02:01:12.29 ]: >>242
が言いたかったことがやっと分かった。
｛［（　）］｝をたくさん使ってくれるとありがたいです。
262 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [2011/04/06(水) 12:00:00.55 ]: >>248
>>250
　∫＿［０，１］（（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）－ｇ（ｘ））＾２ｄｘ
＝∫＿［０，１］（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）＾２ｄｘ＋∫＿［０，１］２（ｄｇ／ｄｘ）（ｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ＋∫＿［０，１］ｇ（ｘ）＾２ｄｘ＋２（ｆ（０）ｇ（０）－ｆ（１）ｇ（１））。

（ｄｇ／ｄｘ）（ｘ）＝－１，（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）＝ｇ（ｘ）となるｆが存在するようにｇをとるとｇ（ｘ）＝－ｘ＋１／２。
263 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [2011/04/06(水) 12:59:59.72 ]: >>251
Ａ＝∫＿［０，１］ｆ（ｘ）ｄｘ。
　∫＿［０，１］（ｆ（ｘ）＾２＋３Ａｆ（ｘ）－（９／２）Ａ＾２）＾２ｄｘ
＝∫＿［０，１］ｆ（ｘ）＾４ｄｘ＋６Ａ∫＿［０，１］ｆ（ｘ）＾３ｄｘ－（２７／４）Ａ＾４。

　１２∫＿［０，１］ｘｆ（ｘ）ｄｘ
＝∫＿［０，１］（１２ｘ－６）ｆ（ｘ）ｄｘ
＝［（６ｘ＾２－６ｘ）ｆ（ｘ）］＿０＾１－∫＿［０，１］（６ｘ＾２－６ｘ）（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）ｄｘ
＝∫＿［０，１］（６ｘ－６ｘ＾２）（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）ｄｘ
＝∫＿［０，１］（６ｘ－６ｘ＾２）ｄｘ（ｄｆ／ｄｘ）（ｓ）　（０＜ｓ＜１）
＝（ｄｆ／ｄｘ）（ｓ）。
264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/09(土) 09:02:08.28 ]: a、b、c≧0のとき、(a^3 + b^3 + c^3)^4 ≧ (a^4 + b^4 + c^4)^3 を示せ

前にやったっけ？( ﾟ∀ﾟ)
265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/09(土) 13:52:52.11 ]: バンチで
266 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/10(日) 09:44:59.54 ]: 【数学検定】数検・児童数検総合スレッド Part.4
kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284438189/
の４，４５

模範解答はａ＝ｂ≧ｃの場合が抜けている。

>>107
267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/10(日) 18:56:36.30 ]: >>264 >>107

>>76 の方法でござるな････　　>>111

　a^4 = a^3･a ≦ a^3･(a^3 +b^3 +c^3)^(1/3),
巡回的にたすと
　a^4 + b^4 + c^4 ≦ (a^3 +b^3 +c^3)^(4/3),

　a^3 = a^4 /a ≧ a^4 /(a^4 +b^4 +c^4)^(1/4),
巡回的にたすと
　a^3 + b^3 + c^3 ≧ (a^4 +b^4 +c^4)^(3/4),

あるいは Max{a,b,c}=M とおいて
　a^4 + b^4 + c^4 ≦ M(a^3 +b^3 +c^3),
　(a^4 +b^4 +c^4)^3 ≦ (M^3)(a^3 +b^3 +c^3)^3 ≦ (a^3 +b^3 +c^3)^4,

>>266

kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284438189/44-45
　数検総合スレ４

www.suken.net/gakushu/sample/index.html → 1級検定問題(2次)
www.suken.net/gakushu/sample/sample_img/1-5/1kyu_mondai_2ji.pdf
268 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/12(火) 10:48:14.35 ]: a, b, c を実数とするとき, (a^2+b^2+c^2)^2≧3(a^3b+b^3c+c^3a)を証明せよ。
269 名前：じゅー [2011/04/12(火) 21:29:19.35 ]: >>268
ｷｬｽﾌｨ高校数学板 - 不等式 - 517,519,523
…………
ではｷｬｽﾌｨからもう一題。
a,b,cを三角形の三辺とするとき、
a^3+b^3+c^3+3abc
≧2(ab^2+bc^2+ca^2)
を示せ。
ｷｬｽﾌｨ高校数学板 - チャレンジ問題 - 60
270 名前：訂正 [2011/04/12(火) 21:34:07.11 ]: 523→522
60→59
に訂正です。
271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/13(水) 21:45:47.80 ]: >>269
|a-b|<cの両辺を２乗して変形し
a^2+b^2-c^2<2ab
ca^2+cb^2-c^3<2abc
同様に
ab^2+ac^2-a^3<2abc
bc^2+ba^2-b^3<2abc
足して
ca^2+cb^2+ab^2+ac^2+bc^2+ba^2<a^3+b^3+c^3+6abc
ab^2+ bc^2+ca^2+3abc<a^3+b^3+c^3+6abc
ab^2+ bc^2+ca^2<a^3+b^3+c^3+3abc

失敗した…
272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/14(木) 08:28:54.62 ]: 失敗かよ！
273 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [2011/04/14(木) 18:00:00.06 ]: ｐ＝（ｂ＋ｃ－ａ）／２。
ｑ＝（ａ＋ｃ－ｂ）／２。
ｒ＝（ａ＋ｂ－ｃ）／２。
ａ＝ｑ＋ｒ。
ｂ＝ｐ＋ｒ。
ｃ＝ｐ＋ｑ。

　ａ＾３＋ｂ＾３＋ｃ＾３＋３ａｂｃ－２（ａｂ＾２＋ｂｃ＾２＋ａ＾２ｃ）
＝２（ｐｑ＾２＋ｐ＾２ｒ＋ｑｒ＾２－３ｐｑｒ）
≧０。
274 名前：じゅー mailto:sage [2011/04/14(木) 21:33:49.09 ]: 正解!!
275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/14(木) 21:55:29.13 ]: ？
276 名前：２７１ mailto:sage [2011/04/14(木) 22:28:05.71 ]: >>273
すげー！

このスレ見てたら、不等式に魅了されたよ

>>275
相加相乗
277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/14(木) 23:26:13.93 ]: >>273みたいなアクロバティックな変形は思いつかなかったので・・・

a^3-a^2c+abc-ab^2=a(a^2-ac-bc-b^2)=a(a-b)(a+b-c)>a(a-b)
b^3-b^2a+abc-bc^2=b(b^2-ba+ac-c^2)=b(b-c)(b+c-a)>b(b-c)
c^3-c^2b+abc-ca^2=c(c^2-cb+ab-a^2)=c(c-a)(c+a-b)>c(c-a)
全部足して
=a^3+b^3+c^3+3abc-2(ab^2+bc^2+ca^2)>a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)
=a^2-ab+b^2-bc+c^2-ca={(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}/2≧0

よって(左辺)-(右辺)≧0

むーん
278 名前：277 mailto:sage [2011/04/14(木) 23:31:35.12 ]: 符号打ち間違えた
×a^3-a^2c+abc-ab^2=a(a^2-ac-bc-b^2)=・・・
○a^3-a^2c+abc-ab^2=a(a^2-ac+bc-b^2)=・・・

273はいったいどういう発想でその置換を思いついたのだろう
レベルの低いおいらにはわかんないや
279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/15(金) 12:42:51.39 ]: p,q,rはヘロンの公式に出てくる量だから、三角形という条件がある場合には、
全く新しい発想というわけではないと思う。
目的関数が、非対称なので、コーシー・シュワルツ形へ持って行くのかと思っていたが、
[3]√((p/q)(q/r)(r/p))形を通して、相加相乗形へ持って行ったのには、感心した。
280 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/16(土) 00:58:02.78 ]: p>0,x[i]≧0のとき

min{1,n^(p-1)}Σ[i=1→n](x[i])^p
≦(Σ[i=1→n]x[i])^p
≦max{1,n^(p-1)}Σ[i=1→n](x[i])^p
281 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/17(日) 11:42:27.80 ]: 流れてしまった春の学会で話そうとしていた内容をUPしておきました。
www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/ineq.pdf
282 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/17(日) 14:12:27.19 ]: @273

a=x+y, b=y+z, z=x+yとおけば十分,
Σ_cyc (x^2y-xyz)≧0 Q.E.D.
283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/17(日) 20:03:58.97 ]: >>269
　F_1 = (a+b+c)^3 - 4(a+b+c)(ab+bc+ca) + 9abc,
　⊿ = (a-b)(b-c)(c-a),
とおくと、
　F_1 ≧ ⊿,
284 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/18(月) 12:55:14.00 ]: (a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3b+b^3c+c^3a)

=(1/2){(a^2-b^2-ab++2bc-ca)^2+(b^2-c^2-bc+2ca-ab)^2+(c^2-a^2-ca+2ab-bc)^2}
285 名前：じゅー [2011/04/18(月) 15:27:18.36 ]: すげぇ
286 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/18(月) 17:17:34.76 ]: どうやって思いついたんだ??
287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/18(月) 21:12:59.72 ]: 　二｀丶、｀丶、_＼__＼〉ﾉﾉへ!
`‐-、二. ｀ヽ、ミ￣　／⌒ｼ′）
二‐/,ｨ┐|=ミ=┘　,r‐'_二ﾆ....イ
‐ニ| i＜　ｉ　,..-=ﾆ‐''＼　 /彡}　　
二‐ヽ ┘ ｜　　 lヾ. } } / /リ
ﾆ ‐'"/ 　 /　　　　|_{;)} ﾚ' /(（　　　エレガントな証明を見ると・・・・・
'　　/ 　 /　　　 '"　` `ﾞ /　ｿ
　 /　　　　,　　　　　　Ｆ'′/　　　なんていうか･･････その･･･
　ヽ.　　　　＼、 L`___l　　　　　　
　＿＼　　ヽ._>┘　　　　　　　　下品なんですが･･････フフ･････
　／了＼＿ノ
　◆（　　　　　　　　　　　　　　　　勃起･･････しちゃいましてね･････････
　門｜
288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/19(火) 01:17:01.91 ]: >>286

　p = a^2 -ab +bc,
　q = b^2 -bc +ca,
　r = c^2 -ca +ab,
とおくと、
　p + q + r = a^2 + b^2 + c^2,
　pq + qr + rp = a^3･b + b^3･c + c^3･a,
これらを↓に代入する。
　(p+q+r)^2 -3(pq+qr+rp) = (1/2){(p-q)^2 + (q-r)^2 + (r-p)^2} ≧ 0,
289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/19(火) 03:02:58.17 ]: >>288
> 　p = a^2 -ab +bc,
> 　q = b^2 -bc +ca,
> 　r = c^2 -ca +ab,
> とおくと、

どうやって思いついたんだ??
290 名前：286 [2011/04/19(火) 06:56:22.13 ]: 確かに。
p+q+r=a^2+b^2+c^2
pq+qr+rp=a^3b+b^3c+c^3a
からp=a^2-ab+bc……を出すのは難しいと思う。
291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/19(火) 23:03:28.82 ]: 〔類題〕
a,b,c ≧ 0、3/4≦r≦8/3 のとき
　(a^2 +b^2 +c^2)^2 ≧ 3{a^r･b^(4-r) + b^r･c^(4-r) + c^r･a^(4-r)},

なら簡単だが･････
292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/19(火) 23:12:30.94 ]: >>291 の訂正ｽﾏｿ

　４／３ ≦ r ≦ 8/3 のとき
293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/20(水) 00:16:10.72 ]: >>291-292

相加･相乗平均で
{(3/4)r -1}a^4 +2(ab)^2 +{2 -(3/4)r}b^4 ≧ 3a^r･b^(4-r),
巡回的にたす。
294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/20(水) 00:20:00.49 ]: 思いつくんじゃないのならできる。
295 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/20(水) 01:31:20.75 ]: >>289,290

それは, 秘密です.　DX
296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/20(水) 02:06:55.71 ]: 初代スレの頃には、ここで不等式を探してﾊｧﾊｧ…してたんだけど、移転したのかな？

Kalva homepage
web.archive.org/web/20080205091131/www.kalva.demon.co.uk/index.html

検索したら、次のサイトが出てきたけど、扱ってる問題が減ってない？

www.cs.cornell.edu/~asdas/imo/index.html
297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/23(土) 23:38:27.16 ]: 〔問題549〕
任意の実数 x[1], x[2], ……, x[n] に対して次を示せ。
　∑[k=1,n] {x[k]/(1+∑[L=1,k] x[L]^2)} < √n,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（じゅー）
ｷｬｽﾌｨｰ不等式 549, 574
298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/24(日) 02:39:10.57 ]: >>297

〔補題〕
負でない実数 y[1], y[2], ……, y[n] に対して
　Σ[k=1,n] y[n]／(1+y[1]+y[2]+････+y[n])^2 < 1,
299 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/25(月) 20:25:11.82 ]: 平面上に4つの定点A,B,C,Dと動点Pがある
Dが△ABCの内部にあるとき
PA+PB+PC+PDが最小となるPはP=Dのときであることを示せ
300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/26(火) 00:31:40.08 ]: >>298 の訂正....

〔補題〕
負でない実数 y[1], y[2], ……, y[n] に対して
　Σ[k=1,n] y[k]／(1+y[1]+y[2]+････+y[k])^2 < 1,
301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/26(火) 12:45:59.84 ]: ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十九問
ttp://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/542

AB＝3、BC＝4、CA＝5 の三角形において
36°＜ C ＜ 37° を示せ。
302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/26(火) 22:58:09.11 ]: >>301 左側

　∠B = 90ﾟだから
　cos(C) = 4/5, sin(C) = 3/5,
　cos(2C) = 7/25,
　sin(4C)/sin(C) = 4cos(C)cos(2C) = 112/125 < 1,
　sin(4C) < sin(C),
　36ﾟ < 180ﾟ/5 < C

　C ≒ 36.8699ﾟ
303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/27(水) 02:34:23.79 ]: >>299
　PA ≧ DA - PDcos(∠ADP),　(PからADの延長線に垂線を下ろす)
　PB ≧ DB - PDcos(∠BDP),
　PC ≧ DC - PDcos(∠CDP),

∴ PA + PB + PC + PD ≧ (DA + DB + DC) + PD{1-cos(ADP) －cos(BDP) -cos(CDP)}

次に　1-cos(ADP) －cos(BDP) -cos(CDP) ≧ 0　を示せばよい。
304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/27(水) 09:45:05.17 ]: >>302
正解です。
右側評価をお願いします。
305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/27(水) 10:02:46.60 ]: izu-mix.com/math/exam/waseda/2007_2.html
306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/28(木) 02:09:28.16 ]: >>301 >>304

　∠B=90ﾟゆえ直角三角形で
　tan(C) = 3/4,
　tan(5C) = {(tan C)^5 -10(tan C)^3 +5(tan C)}/{1 -10(tan C)^2 +5(tan C)^4}
　　 = 237/(4･19･41),
　0 < 5C - 180ﾟ < tan(5C) = 237/(4･19･41) ≒ 4.3578625ﾟ,
　180ﾟ < 5C < 184.3578625ﾟ
　36ﾟ < C < 36.8715725ﾟ

東大入試作問者スレ１９-578
307 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/28(木) 12:55:42.80 ]: a_1,a_2,....a_nを正の数列とし、b_1, b_2....b_nを、その数列の任意の置換とする。
このとき、

a_1/b_1 + a_2/b_2 + ..... a_n/b_n ≧ n を示せ。

って有名だっけ？
308 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/28(木) 14:44:03.42 ]: はい, AM-GM or C.S.で秒殺です^_^
309 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/28(木) 14:51:01.39 ]: a, b, cを正の実数とするとき, 次の不等式を証明せよ。

\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}≧\frac{\sqrt{2}}{4}}(\sqrt{a^2+b^2} +\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)
310 名前：307 mailto:sage [2011/04/28(木) 23:31:17.26 ]: >>308

すまぬ、文系のおれに、その略語の意味をおしえてくれ。
C.S.はコーシーシュワルツ？・・・ってどうやって？
311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/29(金) 06:47:11.86 ]: >>309

　2(a^2 + b^2) = (a+b)^2 + (a-b)^2 ≧ (a+b)^2, より
　(a^2)/(a+b) = (a-b)/2 + (a^2 +b^2)/{2(a+b)} ≧ (a-b)/2 + {(√2)/4}√(a^2 + b^2),
循環的にたす。
312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/29(金) 08:23:28.12 ]: >>311
そんな変形、思いつきませぬ！
313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/29(金) 09:15:15.97 ]: >>311
(a^2 +b^2)/{2(a+b)} ≧ (a+b)/4 と変形できるから、循環的に足して、

a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a) ≧ (a+b+c)/2

となったけど、

{(√2)/4}*{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}

と、どっちが大きいん？
314 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/29(金) 09:51:49.21 ]: >>309を改造

a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
　≧ {(√2)/4}*{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
　≧ (a+b+c)/2

これで合ってるよね？ｳﾋｮｯ！
315 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/29(金) 11:14:28.55 ]: a,b,c,d,e≧0
2a-b+3c-15d-12e=23
2a-6b-c-5d+11e=46

のとき

6a-3b+9c-15d+24e

の最小値を求めよ
316 名前：311 mailto:sage [2011/04/29(金) 16:09:24.65 ]: >>313
　√(a^2 + b^2) ≧ {(√2)/2}(a+b) より、･････
の方がベターだな。

>>314 は対称式。
a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
　≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
　≧ {(√2)/4}{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
　≧ (a+b+c)/2,
かな？
317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/29(金) 16:45:31.78 ]: >>315
　f = 2a -b +3c -15d -12e,
　g = 2a -6b -c -5d +11e,
　h = 10b +8c +3d,
とおくと
6a -3b +9c -15d +24e
　= (9/23)f + (60/23)g + (30/23)h
　= (9/23)*23 + (60/23)*46 + (30/23)h　(← 題意)
　= 129 + (30/23)h
　≧ 129,　　　　　　　　　　　　　　　(← 題意)
等号成立は (a,b,c,d,e) = (35/2,0,0,0,1) のとき。
318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/29(金) 18:43:56.56 ]: >>316
> a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
> 　≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
> 　≧ {(√2)/4}{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
> 　≧ (a+b+c)/2,

さらに改良しやがったな、こんちきしょう（笑）
さすが不等式ヲタ！にくいぜっ！
319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/29(金) 20:59:49.54 ]: >>316
> a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
> 　≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)

ここが分かりません…

> 　≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
> 　≧ {(√2)/4}{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}

ここはCSでシコシコするんですね
320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/29(金) 21:13:18.80 ]: コーシー・シュワルツの不等式を用いることを、
シコシコする、or シコる、というのか・・・（笑）
321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/29(金) 22:06:13.23 ]: >>317
f と g の係数をうまく変えて
　6a -3b +9c -15d +24e = ●f + ●g + ●h'
となる h と異なる h' > 0 が取れて、最小値が変わったりしないのかな？
322 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/30(土) 01:34:37.87 ]: R^3＼{(0,0,0)}上の関数

f(x,y,z)=(4x^2+4xz+3y^2+3z^2)/(2x^2+2xz+y^2+z^2)
の最大値を求めよ
323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/30(土) 03:58:12.84 ]: >>322
　f(x,y,z) ={(2x+z)^2 +3y^2 +2z^2}/{(1/2)(2x+z)^2 +y^2 +(1/2)z^2},

　4 - f(x,y,z) = {(2x+z)^2 +y^2}/{(1/2)(2x+z)^2 +y^2 +(1/2)z^2} ≧ 0,
　　等号成立は 2x+z=y=0 のとき。

ついでに最小値は
　f(x,y,z) - 2 = (y^2 +z^2)/{(1/2)(2x+z)^2 +y^2 +(1/2)z^2} ≧ 0,
　　等号成立は y=z=0 のとき。
324 名前：１３２人目の素数さん [2011/04/30(土) 12:13:00.52 ]: a, b, cをa^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2≦4を満たす正の実数とするとき,
frac{ab+1}{(a+b)^2}+frac{bc+1}{(b+c)^2}+frac{ca+1}{(c+a)^2}≧3
を証明せよ。
325 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/04/30(土) 22:33:26.86 ]: >>319
a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a) ≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)

やっぱ、これが分からんです
326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/01(日) 12:59:13.28 ]: >>324

　2{a^2 + b^2 + (b+c)(c+a)} = a^2 + b^2 + c^2 + (a+b+c)^2 ≦ 4,
　ab + 1 ≧ ab + (1/2){a^2 + b^2 + (b+c)(c+a)}
　　　= (1/2)(a+b)^2 + (1/2)(b+c)(c+a),

　(左辺) ≧ (3/2) + (1/2){(b+c)(c+a)/(a+b)^2 + cyclic.}
　　　　≧ (3/2) + (3/2)　　　(← 相加･相乗平均)
　　　　= 3,
327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/01(日) 14:41:38.31 ]: >>320

　相撲の四股を踏む動作は、大地を踏みしめることで土の下に潜む「醜(ｼｺ)」を鎮めるための動作とされている。

　醜（シコ）：醜悪なもの、強く恐ろしいもの。
328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/01(日) 20:33:40.90 ]: このスレの不等式ヲタって只者じゃないな。
暇つぶしにフラリと訪れて、サックリ解いて立ち去るような・・・
何者なんだ？
329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/01(日) 20:59:56.98 ]: ただの通りすがりの不等式ヲタです
330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/02(月) 05:19:12.09 ]: >>303

1 -cos(ADP) - cos(BDP) - cos(CDP) = 1 - ｅP・(ｅ_A + ｅ_B + ｅ_C),
ここに
　ｅ_A、ｅ_B、ｅ_C、ｅP は DA、DB、DC、DP方向の単位ベクトルである。
　|ｅ_P| = 1 と下の補題から上式 ≧ 0 が成り立つ。

〔補題〕
Dが△ABCの内部にあるとき、
　|ｅ_A + ｅ_B + ｅ_C | ≦ 1,

(略証)
　ｅ_A = (cosα, sinα)
　ｅ_B = (cosβ, sinβ)
　ｅ_C = (cosγ, sinγ)
とおく。(0≦α<β<γ<2π)
　題意より、DA,DB,DC が 180ﾟ以内に収まることはない。
∴　0 <β-α<π,
　　0 <γ-β<π,
　　π <γ-α<2π,
このとき
　|ｅ_A + ｅ_B + ｅ_C |^2
　= (cosα+cosβ+cosγ)^2 + (sinα+sinβ+sinγ)^2
　= 3 + 2cos(β-α) + 2cos(γ-β) + 2cos(γ-α)
　= -3 + 4cos((β-α)/2)^2 + 4cos((γ-β)/2)^2 + 4cos((γ-α)/2)^2
　= 1 + 8cos((β-α)/2)cos((γ-β)/2)cos((γ-α)/2)
　≦ 1,　　　　　(終)
331 名前：１３２人目の素数さん [2011/05/02(月) 10:21:35.49 ]: a,b,cはabc=8を満たす正の実数とする。
frac{1}{a+2b+3}+frac{1}{b+2c+3}+frac{1}{c+2a+3}≦1/3
を証明せよ。
332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/02(月) 21:54:16.57 ]: >>323
同次型の二変数関数の最大最小の解法って
何か定石みたいなのあるの？
333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/02(月) 22:06:04.19 ]: >>331

(abc)^(1/3) = g とおくと、与式は
　1/{a+2b+3(g/2)} + 1/{b+2c+3(g/2)} + 1/{c+2a+3(g/2)} ≦ 1/{3(g/2)}

　(右辺) - (左辺)

　= {(a+2b)(b+2c)(c+2a) - (27/4)(a+b+c)gg - (27/4)ggg} / D　　　(←通分)

　= {24(aab+bbc+cca) + 48(abb+bcc+caa) +27abc -81(a+b+c)gg} /(12D)

　= {(19aab +5cca + 35caa +13abb +9abc -81agg) + cyclic} /(12D)

　= {a(19ab +5cc +35ca +13bb +9bc -81gg) + cyclic} /(12D)

　= {5a(ab+ab+cc-3gg) + 13a(ca+ca+bb-3gg) + 9a(ab+bc+ca-3gg) + cyclic} /(12D)

　≧ 0,　　　(相加･相乗平均)

ここに D = [3(g/2)] [a+2b+3(g/2)] [b+2c+3(g/2)] [c+2a+3(g/2)],
334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/02(月) 23:09:47.20 ]: >>332

ない。

y/x=u で一変数に還元するのみ。
335 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/03(火) 06:01:51.43 ]: >>328
少人数の自演者が、自分で問題出して自分で解いてるんだよ。
336 名前：１３２人目の素数さん [2011/05/03(火) 07:30:14.11 ]: 数式の最後に，があるかみたらいい
337 名前：１３２人目の素数さん [2011/05/03(火) 14:02:22.47 ]: ||Ax-b||^2の最小値に最も近い数値はどれか

A=
┌+4,+2,+6┐
│+1,+2,+5│
│+0,+1,+1│
└-3,+0,+3┘

b=
┌-3┐
│+1│
│+2│
└+3┘

１．0.102
２．0.103
３．0.104
４．0.105
５．0.106
338 名前：１３２人目の素数さん [2011/05/03(火) 14:15:35.62 ]: x^2+y^2+z^2=1のもとで
f(x,y,z)=x^2+3y^2+z^2+4xy+4yz
の最大値を求めよ

log1.5に最も近い数値はどれか
１．0.38
２．0.4
３．0.42
４．0.44
５．0.46

-2a-b+c+d=2
-3a+b+c-d=1
a,b,c,d≧0
のもとで
-6a+2b+5c+3dの最小値を求めよ
339 名前：◇Pandysv26 [2011/05/03(火) 14:43:50.27 ]: バカオツ（ーー；）
340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/03(火) 17:35:34.36 ]: >>337
５
Ax-b =
　[4x+2y+6z+3]
　[x+2y+5z-1]
　[y+z-2]
　[-3x+3z-3]

||Ax-b||^2 = (4x+2y+6z+3)^2 + (x+2y+5z-1)^2 + (y+z-2)^2 + (-3x+3z-3)^2
　　= 26x^2 + 9y^2 + 71z^2 + 20xy + 46yz + 40zx +40x +4y +4z + 23
　　= 26X^2 + 9Y^2 + 71Z^2 + 20XY + 46YZ + 40ZX + (9/85)
　　= (1/9){(10X+9Y+23Z)^2 + 134X^2 + 110Z^2 -100ZX} + (9/85)
　　= (1/9){(10X+9Y+23Z)^2 + 50(X-Z)^2 + 84X^2 + 60Z^2} + (9/85)
　　≧ 9/85
　　= 0.105882353,

ここに、X=x+(225/170), Y=y-(363/170), Z=z+(59/170) とおいた。
（平行移動した。）

〔別法〕
　F(X,Y,Z) = 26X^2 + 9Y^2 + 71Z^2 + 20XY + 46YZ + 40ZX
とおく。Fの固有多項式は
　f(λ) = (26-λ)(9-λ)(71-λ) + 2(10*20*23) -23*23(26-λ) -20*20(9-λ) -10*10(71-λ)
　　　　= -λ^3 +106λ^2 -1690λ+1360
∴　λ≦0　ならば　f(λ) ≧ 1360
ところで、実対称行列の固有値はすべて実数(*)。
∴　λ > 0
∴　Fは正定値、 F(X,Y,Z) ≧ 0　(等号成立は X=Y=Z=0 のみ)

*) エルミート行列の場合も成立つ。
341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/03(火) 18:26:59.88 ]: >>338 (上)

最大値
　5(x^2+y^2+z^2) - f(x,y,z) = 4x^2 +2y^2 +4z^2 -4xy -4yz
　　　　　　　　　　　　　　= (2x-y)^2 + (y-2z)^2 ≧ 0,
最小値
　f(x^2+y^2+z^2) + (x^2+y^2+z^2) = 2x^2 +4y^2 +2z^2 +4xy +4yz
　　　　　　　　　　　　　　= (x+2y+z)^2 + (x-z)^2 ≧ 0,

〔別解〕
軸を回して
　u = (x-y+z)/√3,
　v = (x-z)/√2,
　w = (x+2y+z)/√6,
とおく。
　u^2 +v^2 +w^2 = x^2 +y^2 +z^2,
で
　f(x,y,z) = (-1)u^2 +1v^2 +5w^2,
342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/03(火) 22:19:53.71 ]: >>338 (中)
２
〔解1〕
　(3/2)^2 = 2*(9/8) = 2*(1 + 1/8),
　2log(3/2) = log(2) + log(9/8) ≦ log(2) + 1/8,
　　　= 0.69314718 + 0.125
　　　= 0.81814718
　log(3/2) ≦ 0.40907359

〔解2〕
　(3/2)^5 = (2^3)(243/256) = (2^3)(1 - 13/256)
　5log(3/2) = 3*log(2) + log(243/256)
　　　≦ 3*log(2) - 13/256
　　　= 3*0.69314718 - 0.05078125
　　　= 2.02866029
　log(3/2) ≦ 0.40573206

〔解3〕
　(3/2)^12 = (2^7)(531441/524288) = (2^7){1 + 7153/(2^19)},
　12log(3/2) = 7log(2) + log(531441/524288)
　　　≦ 7log(2) + 7153/(2^19)
　　　= 7*0.69314718 + 0.013643265
　　　= 4.86567353
　log(3/2) ≦ 0.40547279

なお、log(3/2) = 0.405465108
343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/04(水) 01:24:52.76 ]: >>299 >>303
　PA + PB + PC = f(P)　とおく。
〔系〕
P,Qが△ABCの内部にあるとき
　|f(P)-f(Q)|/PQ ≦ 1,
344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/04(水) 03:14:00.34 ]: この場合log2の値出すの反則じゃない？
345 名前：忍法帖【Lv=9,xxxP】 mailto:sage [2011/05/04(水) 10:14:23.79 ]: 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ
346 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/04(水) 11:11:36.85 ]: >>338 (中)
>>344
　e = 2.71828183　は使っていい？
　3^(1/3) ≦ e^(1/e),
の対数をとって
　log(3) ≦ 3/e = 1.10363832　　(1.09861229)

〔解1〕
　(3/2)^3 = 3*(9/8) = 3*{1 + 1/(2^3)},
　3log(3/2) = log(3) + log(9/8) ≦ 3/e + 1/(2^3),
　log(3/2) ≦ 1/e + 1/(3*2^3) = 0.4095461

〔解2〕
　(3/2)^8 = (3^3)(243/256) = (3^3){1 - 13/(2^8)},
　8log(3/2) = 3log(3) + log(243/256) ≦ 9/e - 13/(2^8),
　log(3/2) ≦ (9/8e) - 13/(8*2^8) = 0.4075167

〔解3〕
　(3/2)^19 = (3^7)(531441/524288) = (3^7){1 + 7153/(2^19)},
　19log(3/2) = 7log(3) + log(531441/524288) ≦ 21/e + 7153/(2^19)
　log(3/2) ≦ (21/19e) + 7153/(19*2^19) = 0.40732166
347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/04(水) 15:06:56.84 ]: >>346
　log(3) = 1 + log(3/e) ≦ 1 + (3/e -1) = 3/e,
348 名前：１３２人目の素数さん [2011/05/06(金) 16:43:56.28 ]: 平面上に4つの定点A,B,C,Dと動点Pがある
A,B,C,Dのどの三点をとっても同一直線上になく
線分ACとBDが一点で交わるとき
PA+PB+PC+PDが最小となる点Pの位置を決定せよ
349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/06(金) 21:59:52.30 ]: >>348
　>>299 の類題でござるな。

線分ACとBDが交わるから、ABCD は凸四角形。
　PA + PC ≧ AC,
　PB + PD ≧ BD より、
　PA + PB + PC + PD ≧ AC + BD,
より対角線の交点。

一方、Dが△ABCの内部（または辺上）にあるときは
>>299-303 により D.
350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/06(金) 22:07:51.60 ]: 〔問題593〕
a,b,c≧ 0 とする。相加・相乗平均を用いて次式を示せ。
　{(a+b)/2・(b+c)/2・(c+a)/2}^(1/3) ≧ {√(ab)+√(bc)+√(ca)}/3,
　等号成立は a=b=c のとき。

www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/593-595
　ｷｬｽﾌｨｰ - 高校数学 - 不等式スレ
351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/06(金) 23:06:06.34 ]: >>350
(；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
352 名前：１３２人目の素数さん [2011/05/06(金) 23:55:39.25 ]: A(x,y)は非負整数から非負整数への二変数関数であり

A(0,y)=y+1
A(x+1,0)=A(x,1)
A(x+1,y+1)=A(x,A(x+1,y))

を満たす

A(x+1,y)>A(x,y)を示せ
353 名前：猫は重症のかまってちゃん ◆ghclfYsc82 mailto:sage [2011/05/07(土) 06:33:28.42 ]: ゐとかゑってどうやって入力するの？
354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/07(土) 15:18:57.49 ]: 〔350の類題〕
a,b,c≧0 のとき
　(a+b+c)/3 ≧ {(a+b)/2・(b+c)/2・(c+a)/2}^(1/3) ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ {√(ab)+√(bc)+√(ca)}/3 ≧ (abc)^(1/3),

これで合ってるよね？ｳﾋｮｯ！
355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/07(土) 16:19:36.97 ]: >>354

左から２つめ
　ab+bc+ca =t とおく。
　(a+b)/2・(b+c)/2・(c+a)/2 = (1/8){(a+b+c)t-abc}
　　= (1/9)(a+b+c)t + (1/72){(a+b+c)t-9abc}
　　≧ (1/9)t(a+b+c)
　　=　(1/9)t√(a^2 +b^2 +c^2 +2t)
　　≧ (1/9)t√(3t)
　　= (t/3)^(3/2),

３つめは
　(1/3)(ab+bc+ca) = (1/9){(ab+bc+ca) +a(b+c) +b(c+a) +c(a+b)}
　　≧ (1/9){(ab+bc+ca) +2a√bc +2b√(ca) +2c√(ab)}
　　=　(1/9){√(ab) +√(bc) +√(ca)}^2,
ぬるぽ
356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/07(土) 19:16:23.92 ]: >>354
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
357 名前：１３２人目の素数さん [2011/05/08(日) 21:07:45.02 ]: a,b,cをa+b+c=0を満たす実数とするとき, 次の不等式を証明せよ。

frac{a(a+2)}{2a^2+1}+\frac{b(b+2)}{2b^2+1}+frac{c(c+2)}{2ｃ^2+1}≧0
358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/09(月) 02:53:53.07 ]: >>325

対称式なので、いつものように a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおいて通分する。
　(左辺) = {(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca) + [(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]}／{(a+b)(b+c)(c+a)}
　　= {(s^2 -2t)t + (t^2 -2su)}／(st-u)
　　= {2(s^2 -2t)t/3 + (s^2 -2t)t/3 + (t^2 -2su)}／(st-u)
　　≧ {2(s^2 -2t)t/3 + (9/32t)(st-u)^2}／(st-u)　　　(←補題)
　　≧ {(√3)/2}√(s^2 -2t)　　　　(←相加･相乗平均)
　　= (右辺),

〔補題〕
　(s^2 -2t)t/3 + (t^2 -2su) ≧ (9/32t)(st-u)^2,

(略証)
　(左辺) - (右辺) = (1/3)(t^2 -3su) + (7/144)s(st-9u) + (1/288t){(st)^2 -81u^2} ≧0,

しかし、基本対称式を使うやり方は、どうもマンドクセ.....
359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/09(月) 04:48:30.04 ]: >>358
ありがとうございます、(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

公式一発ではムリポだったので、基本対称式を使うしかないと思って、
ゴリゴリ計算はしていたのですが、私には辿りつけませんでした…orz
360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/09(月) 23:53:25.24 ]: >>316 (>>314 >>309)と >>354 (>>350) を組合わせたら、どうなりまつか？
361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/09(月) 23:56:19.96 ]: >>360

　{(a^3+b^3+c^3)/3}^(1/3)　　　　 (r=3)
　≧ {(a^2+b^2)/(a+b) + (b^2+c^2)/(b+c) + c^2/(c+a)}/3　(r～5/2)
　≧ √{(a^2 + b^2 + c^2)/3}　　　RMS(r=2)
　≧ {(√2)/6}{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}　(r～3/2)
　≧ (a+b+c)/3　　　　　　　　　　相加平均(r=1)
　≧ {(a+b)/2・(b+c)/2・(c+a)/2}^(1/3)　　(r～3/4)
　≧ √{(ab+bc+ca)/3}　　　　　　　　　　(r～1/2)
　≧ {√(ab)+√(bc)+√(ca)}/3　　　　　　(r～1/4)
　≧ (abc)^(1/3)　　　　　　　　　相乗平均(r→0)
　≧ 3abc/(ab+bc+ca),　　　　　　　　調和平均(r=-1)

〔rの意味〕
a,b,c が近いときは
　{(a^r + b^r + c^r)/3}^(1/r) ～ (abc)^(1/3) + (r/18)*{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2},
となる。
362 名前：１３２人目の素数さん [2011/05/10(火) 02:46:58.18 ]: ひどい自演見た
363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/10(火) 06:41:22.70 ]: >>362
2ch初心者は黙ってろ！
364 名前：１３２人目の素数さん [2011/05/10(火) 11:08:11.69 ]: >>354

a,b,c≧0 のとき
　(a+b+c)/3 ≧ {(a+b)/2・(b+c)/2・(c+a)/2}^(1/3) ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ {√(ab)+√(bc)+√(ca)}/3 ≧ (abc)^(1/3)

By AM-GM, frac{a+b+c}{3}=\frac 13(frac{a+b}{2}+frac{b+c}{2}+frac{c+a}{2})≧(frac{a+b}{2}*frac{b+c}{2}*frac{c+a}{2})^(1/3)

By AM-GM, (a+b)(b+c)(c+a)≧8abc⇒(frac{a+b}{2}*frac{b+c}{2}*frac{c+a}{2})^(1/3)≧(abc)^(1/3)≧(frac{ab+bc+ca}{3})^(1/2)

by Newton's Inequality.

By QM-AM, (frac{ab+bc+ca}{3})^(1/2)≧frac{√ab+√bc+√ca}{3}≧(abc)^(1/3) Done!
365 名前：１３２人目の素数さん [2011/05/11(水) 16:25:20.69 ]: 360:１３２人目の素数さん[sage]
2011/05/09(月) 23:53:25.24
>>316 (>>314 >>309)と >>354 (>>350) を組合わせたら、どうなりまつか？

361:１３２人目の素数さん[sage]
2011/05/09(月) 23:56:19.96
>>360

この間約３分
366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/11(水) 23:56:28.85 ]: >>365
別に珍しくなかろう
俺なんか起きている間はずっと2ch見てるから
その気になれば直ぐに返事できるぜ
367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/11(水) 23:57:33.38 ]: >>365
それより不等式の話をしろ
嫌なら消えろ！
368 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/11(水) 23:59:32.17 ]: うるせえ
369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/12(木) 00:03:06.74 ]: ('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉﾋｬｰ
　くく　へﾍﾉ ←>>368
370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/12(木) 00:05:48.10 ]: くせえ
371 名前：１３２人目の素数さん [2011/05/12(木) 02:19:08.02 ]: 3分でsageでついたレスをチェックして計算を書き上げるのかー

さすがに苦しいだろｗ
372 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/12(木) 07:00:03.07 ]: 俺も自演しながら荒らしてます！
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）バカオツ（ーー；）
373 名前：必ずレスくるよ！ ◆jK4/cZFJQ0Q6 mailto:sage [2011/05/12(木) 17:02:29.89 ]: >>372
気持ち悪いぞ！キチガイ！
バカオツ（＾∇＾）！
キチガイはたくさんだな！
パクリ乙（ーー；）警！
キチガイ丸出し！
偽物オツピーオツピー♪バカオツケー♪
頑張れ！偽物！
374 名前：１３２人目の素数さん [2011/05/14(土) 13:31:11.56 ]: Challenge!

a+b+c=0を満たすすべての実数に対して,

frac{a(a+p)}{pa^2+1}+frac{b(b+2)}{pb^2+1}+frac{c(c+p)}{pｃ^2+1}≧0

が成り立つとき, pのとりうる値の範囲を求めよ。
375 名前：１３２人目の素数さん [2011/05/14(土) 13:34:04.62 ]: 問題, 打ち間違えました。正しくは, こちらです。

a+b+c=0を満たすすべての実数a,b,cに対して,

frac{a(a+p)}{pa^2+1}+frac{b(b+p)}{pb^2+1}+frac{c(c+p)}{pｃ^2+1}≧0

が成り立つとき, pのとりうる値の範囲を求めよ。
376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/14(土) 13:36:23.44 ]: 何で最後のcだけ全角
377 名前：１３２人目の素数さん [2011/05/14(土) 23:15:41.41 ]: えっ, どの部分ですか？
378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/15(日) 01:13:00.72 ]: バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
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バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
379 名前：１３２人目の素数さん [2011/05/15(日) 06:13:34.94 ]: ここの不等式のレベルは, タイトルの割には, レベル, 低すぎ。
海外では, 中学生レベルにしか値しない。
さっさと, 店じまいしろ。378は, 精神年齢, 低すぎ！
380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/15(日) 06:32:31.69 ]: バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
バカオツ（ーー；）
381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/15(日) 08:08:29.47 ]: ('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉﾋｬｰ
　くく　へﾍﾉ ←>>379
382 名前：偽物発生中 ◆jK4/cZFJQ0Q6 mailto:sage [2011/05/15(日) 08:41:56.70 ]: >>378
偽物注意！！！！！

頑張れよ！偽物キチガイ！

パクリ乙（ーー；）バカオツ（ーー；）
ニートは数学勉強だ！

>>380
パクリ乙！！！！！

さすがキチガイ！！！！！

悔しいのか？？？www
頑張れよ！偽物カスカスニート！
383 名前：１３２人目の素数さん [2011/05/21(土) 21:32:59.16 ]: 〔問題〕
a,b,cは実数、ab+bc+ca =t とおくとき、次を示せ。(じゅー)

(1)　(a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2) ≧ 9t + (8/9)(t-3)^2,
　　等号成立は a=b=c=±1, t=3 のとき。

(2)　(a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2) ≧ t^2 +(13/4)t +8,
　　等号成立は a=b=c=±√(3/2), t=9/2 のとき。
384 名前：猫は海賊 ◆4c5pft6zx. mailto:sage [2011/05/21(土) 21:36:53.45 ]: 猫
385 名前：猫は海賊 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/05/21(土) 21:48:52.94 ]: 猫
386 名前：猫は海賊 ◆4c5pft6zx. mailto:sage [2011/05/21(土) 21:59:32.00 ]: 猫
387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/24(火) 21:43:11.36 ]: >>383

(3)　(a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2)
　を 3つの対称式の平方和で表わせ。
388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/25(水) 01:33:08.93 ]: >>387
(p^2 + q^2)(r^2 + s^2) = (pr + qs)^2 + (ps - qr)^2 　 … Lagrangeの恒等式

を繰り返し用いると、

(a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2)
= { (ab + 2)^2 + (a√2 - b√2)^2 }*(c^2 +2)
= { (ab + 2)c + (a√2 - b√2)√2 }^2 + { (ab + 2)√2 + (a√2 - b√2)c }^2
= { (ab + 2)c + 4(a-b) }^2 + 2{ (ab + 2) + (a - b)c }^2
= (abc + 2c + 4a -4b)^2 + 2(ab + 2 + ac - bc)^2

失敗でござるよ、ドンマイ ( ﾟ∀ﾟ)ノ
389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/25(水) 02:20:45.94 ]: >>388
(a^2 + p^2)(b^2 + q^2)(c^2 +r^2) = (abc-aqr-pbr-pqc)^2 + (pbc+aqc+abr-pqr)^2,
だと２つになるし･････
390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/28(土) 10:38:16.63 ]: >>389
　p=q=r=√2 を入れて
　{abc-2(a+b+c)}^2 + (bc+ca+ab-2)^2 + (bc+ca+ab-2)^2,
391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/10(金) 17:58:19.78 ]: 2(x-1)/(x^2-2x+2) の最小値と最大値は？ (-1≦x≦3)
392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/10(金) 20:45:14.10 ]: -1と1
393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/10(金) 20:49:20.27 ]: >>391
分子を２にして、場合分けしてAM-GM
AM-GMを使うときは、正でないと使えないぞ！
∴-1 ≦ 2(x-1)/(x^2-2x+2) ≦ 1

宿題は質問スレに逝け！
394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/11(土) 02:05:20.80 ]: >>391
　x-1 = X とおくと、
　y = 2X/(1+X^2),
　1±y = 1 ± 2X/(1+X^2) = (1±X)^2 /(1+X^2) ≧ 0,
でもいい？
395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/11(土) 04:24:49.92 ]: ｲｲﾖｲｲﾖｰ！
396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/11(土) 05:50:22.01 ]: a、b、c、d、e、f ＞ 0 に対して、
ab/(a+b) + cd/(c+d) + ef/(e+f) ≦ abcdef/(a+b+c+d+e+f)

( ﾟ∀ﾟ)わけがわからないよ
397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/12(日) 19:09:15.01 ]: >>396
なんか変じゃない ( ﾟ∀ﾟ)？
www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=51&t=410926
398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/12(日) 19:50:00.19 ]: a=b=c=d=e=f.
399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/15(水) 02:11:04.50 ]: >>397

〔補題〕
　a1 + a2 = A,
　b1 + b2 = B,
とおくと
　a1･b1/(a1+b1) + a2･b2/(a2+b2) ≦ A･B/(A+B),
(略証)
　(右辺) - (左辺) = (a1･b2-a2･b1)^2／{(a1+b1)(a2+b2)(A+B)} ≧ 0,
400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/19(日) 05:51:38.00 ]: 〔補題〕
　a_ij>0, (i=1,2,･････,n)(j=1,2,････,m)
　Σ[j=1,m] a_ij = A_i,　とおくとき

　Σ[j=1,m] 1／{Σ[i=1,n] 1/a_ij} ≦ 1／(1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An),

　(by kuing, Nov.20, 2009, 5:47 am) m=2
　(by Mavropnevma, Jun.10, 2011, 2:25 pm) m=2
401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/19(日) 05:54:25.60 ]: >>400

(略証)
右辺を S とおく。1/S = 1/A1 + 1/A2 + ････ + 1/An,
コーシーより
　{Σ[i=1,n] a_ij/(Ai)^2}･{Σ[i=1,n] 1/a_ij} ≧ (1/A1 + ････ + 1/An)^2 = 1/S^2,
よって
　1／{Σ[i=1,n] 1/a_ij} ≦ {Σ[i=1,n] a_ij/(Ai)^2}･S^2,
j=1,2,･････,m についてたす。
　(左辺) ≦ (1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An)･S^2 = S,

　(proof by Vn2009, Nov.20, 2009, 8:21 am) m=2
　(proof by tang zy, Nov.21, 2009, 2:50 am) m=2
　(proof by hendrata01, Nov.23, 2009, 4:23 pm) m=2
　(note by spanferkel, Nov.21, 2009, 3:30 am) m=3, etc.

www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=313265
402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/19(日) 06:11:46.69 ]: >>400 と同じだが････

〔補題〕
x_ij > 0 のとき
　A_i = (Σ[j=1,m] x_ij)／m,　　　(i=1,2,････,n)
　H_j = n／(Σ[i=1,n] 1/x_ij),　　(j=1,2,････,m)
とおくと、
　(H1 + H2 + ････ + Hm)／m ≦ n／(1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An),
403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/19(日) 07:48:50.29 ]: >>402　念のため...

(略証)
右辺を S とおく。n/S = 1/A1 + 1/A2 + ････ + 1/An,
コーシーより
　{Σ[i=1,n] x_ij/(Ai)^2}･(Σ[i=1,n] 1/x_ij) ≧ (1/A1 + ････ + 1/An)^2 = (n/S)^2,
よって
　H_j ≦ n･{Σ[i=1,n] x_ij/(Ai)^2}･(S/n)^2,
j=1,2,･････,m について相加平均する。
　(左辺) ≦ n(1/A1 + 1/A2 + ･････ + 1/An)･(S/n)^2 = S,
404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/06/29(水) 17:33:48.88 ]: 問A-2
www.math.kindai.ac.jp/~mathcon/mathcon13/mathcon13thmondai.pdf
405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/01(金) 12:35:17.26 ]: >>350
abc = u とおく。
　(上式)^3 = (a+b)/2･(b+c)/2･(c+a)/2
　= {ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) +2u}/8
　≧ (1/27){2ab(a+b) +2bc(b+c) +2ca(c+a) +15u} ← ※
　=　(1/27){ab(a+b)/2 +bc(b+c)/2 +ca(c+a)/2
　　　　　+3(aab+u)/2 +3(abb+u)/2 +3(bbc+u)/2 +3(bcc+u)/2 +3(cca+u)/2 +3(caa+u)/2 +6u}
　≧ (1/27){ab√(ab) +bc√(bc) +ca√(ca)
　　　　　+3ab√(ca) +3ab√(bc) +3bc√(ab) +3bc√(ac) +3ca√(bc) + 3ca√(ab) +6u}
　=　(1/27){√(ab) +√(bc) +√(ca)}^3
　=　(右辺)^3

※のところが、どうやって見つけたのか分かりませぬ…

ところで、√a、√b、√c の基本対称式 s、t、u を使って、
力任せに (左辺)^3-(右辺)^3 を計算しても出来ますか？

差をとって分母払った式は 27s^2t^2 - 54s^3u -62t^3 +108stu -27u^2 で、
これが0以上になるかが示せない…
406 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/01(金) 22:16:20.04 ]: >>404

[問題A-2]
　n個の実数値函数 u_1(x),u_2(x) ～ u_n(x) (a≦x≦b) を考える。このとき、次の不等式を示せ。
　√{Σ[i=1,n] （∫[a,b] u_i(x)dx）^2 } ≦ ∫[a,b] √([i=1,n] u_i(x)^2) dx,

(略証)
　√{Σ[i=1,n] u_i(x)^2} = U(x) ≧ 0 とおく。
コーシーより
　Σ[i=1,n] u_i(x)･u_i(y) ≦ U(x)･U(y),
よって
　(左辺)^2 = ∫[a,b] ∫[a,b] Σ[i=1,n] u_i(x)･u_i(y) dxdy
　　　　　≦ ∫[a,b] U(x)dx・∫[a,b] U(y)dy
　　　　　= (右辺)^2,
407 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/01(金) 23:13:10.37 ]: >>405
　s^2 → (s^2 -3t) + 3t,
　t^2 → (t^2 -3su) + 3su,
のように分解すると
　27(s^2 -3t)(t^2 -2su) + 19t(t^2 -3su) + 3(st-9u)u ≧ 0,
408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/04(月) 20:26:12.66 ]: >>402-403 の続き

〔補題〕
x_ij > 0 のとき
　A_i = (Σ[j=1,n] x_ij)／n,　　　(i=1,2,････,m)
　G_j = (Π[i=1,m] x_ij)^(1/m),　　(j=1,2,････,n)
　H_i = n／(Σ[j=1,n] 1/x_ij),　　(i=1,2,････,m)
とおくと、

(1)　(A1･A2････Am)^(1/m) ≧ (G1 + G2 + ････ + Gn)／n,
(2)　(H1･H2････Hm)^(1/m) ≦ n／(1/G1 + 1/G2 + ･････ + 1/Gn),
409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/04(月) 20:33:17.08 ]: >>408
　ヘルダーの不等式。
　たとえば、まとめWiki を参照 >>1

(1)　p_i → m,　|a_ij|^m → x_ij,　b_i = n･A_i,　とおく。
(2)　p_i → m,　|a_ij|^m → 1/xij,　b_i = n/H_i,　とおいて、逆数をとる。
410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/14(木) 04:04:48.39 ]: 外出だったらｽﾏｿ.

〔問題〕
abc=1, a,b,c>0 のとき
　(a^2 +b^2)/(c^2 +a +b) + (b^2 +c^2)/(a^2 +b +c) + (c^2 +a^2)/(b^2 +c +a) ≧ 2,
411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/14(木) 11:52:16.90 ]: >>410
分母の次数を２次の項だけに変えたいけど、うまくいかん…
412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/15(金) 21:09:37.12 ]: これ前にもやったっけ？

〔問題〕
正の数 a、b、c、d に対して、
{(ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6}^(1/2) ≧ {(abc+abd+acd+bcd)/4}^(1/3)
413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 03:40:25.36 ]: >>412

[初代スレ.455-456]

(略解)
f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d), とおく。
f(x)=0 は重根を含めて4個の正の根をもつ。
f '(x)=0 も重根を含めて3個の正の根 α,β,γ をもつ。
　f '(x) = 4(x-α)(x-β)(x-γ),
xの係数より　2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) = 4(αβ + βγ + γα),
定数項より　-(abc+abd+acd+bcd) = -4αβγ,
これを用いて示すべき不等式を α,β,γ で表わすと
　√{(αβ+βγ+γα)/3} ≧ (αβγ)^(1/3),
となる。これは相加･相乗平均の関係だから不等式は示された。
等号成立条件は α=β=γ で、このとき a=b=c=d.
414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 03:42:23.82 ]: >>298

[初代スレ.465]
415 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 06:55:35.88 ]: >>2
まとめサイトの参考文献[9]の後に

[10]　三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年
　　www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-1180...

を追加し、[10]～[13]を[11]～[14]にずらしました ( ﾟ∀ﾟ)

証明する際に、三角関数に置き換えるものも含めて、
三角関数がらみの不等式の問題がたくさん載っています
416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 07:00:21.68 ]: ●刊行予定●
不等式（数学のかんどころシリーズ）、大関清太、共立出版、未定
www.kyoritsu-pub.co.jp/series/kandokoro.html

「不等式への招待」が絶版となったので、超期待！ (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 07:10:48.41 ]: 〔問題〕
実数 a、b、c に対して、
(a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1) ≧ (ab +bc +ca -1)^2

左辺は良く見かけるけど、これは初めてのような希ガス…
418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 15:00:01.26 ]: （１＋ａｉ）（１＋ｂｉ）（１＋ｃｉ）＝（１－ａｂ－ａｃ－ｂｃ）＋（ａ＋ｂ＋ｃ－ａｂｃ）ｉ。
419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 15:03:45.05 ]: >>418
なん…だと！
420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/16(土) 15:22:13.62 ]: >>417
a=tanα, b=tanβ, c=tanγとおく。明らかにcosαcosβcosγ≠0
1≧｜cos(α＋β＋γ)｜=｜cosαcosβcosγ-sinαsinβcosγ-cosαsinβsinγ-sinαcosβsinγ｜
｜1/(cosαcosβcosγ)｜≧｜1-tanαtanβ-tanβtanγ-tantγtanα｜
(cosα)^(-2)*(cosβ)^(-2)*(cosγ)^(-2)≧(1-tanαtanβ-tanβtanγ-tantγtanα)^2
{(tanα)^2+1}{(tanβ)^2+1}{(tanγ)^2+1}≧(tanαtanβ+tanβtanγ+tantγtanα-1)^2
より示される
等号成立は
Arctan(a)+Arctan(b)+Arctan(c)=0, ±π
(a,b,c)=(1,-1/2,-1/3)とか(2+√3,√3,1)とか
421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 02:08:41.04 ]: >>420
　cos(α+β+γ) = ････
　sin(α+β+γ) = cosα･cosβ･sinγ + cosα･sinβ･cosγ + sinα･cosβ･cosγ - sinα･sinβ･sinγ,
を使えば
　(左辺) = 1/(cosα･cosβ･cosγ)^2
　　　　 = (1-tanα･tanβ-tanβ･tanγ-tanγ･tanα)^2 + (tanα + tanβ + tanγ - tanα･tanβ･tanγ)^2
　　　　 = (1-ab-bc-ca)^2 + (a+b+c-abc)^2,
422 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/17(日) 08:05:05.56 ]: a,b,cは正の実数とするとき,
a^3/(a+b)^2+b^3/(b+c)^2+c^3/(c+a)^2≧(a+b+c)/4
423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 09:15:12.50 ]: >>422
4a^3-(a+b)^2*(2a-b)=(a-b)^2*(2a+b)≧0より
4a^3≧(a+b)^2(2a-b)
a^3/(a+b)^2≧(2a-b)/4
同様に繰り返して辺々足して与不等式
424 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/17(日) 15:20:11.27 ]: 4a^3-(a+b)^2*(2a-b)=(a-b)^2*(2a+b)のideaはどこから？
425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 17:50:11.85 ]: 定石ですよ、定石！
426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 18:07:58.81 ]: ならば、不等式の証明に使える定石とやらを列挙してもらおうか？
427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 21:16:34.07 ]: >>412　(別法)

　P1 = (a+b+c+d)/4,
　P2 = (ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6,
　P3 = (abc+abd+acd+bcd)/4,
　P4 = abcd,
とおくと
　P1^4 ≧ P2^2 ≧ P1･P3 ≧ P4,

(略証)
　P1^2 - P2 = (1/48){(a-b)^2 +(a-c)^2 +(a-d)^2 +(b-c)^2 +(b-d)^2 +(c-d)^2} ≧ 0,
　P2^2 - P1･P3 = (1/288){(ab-ac)^2 + (ab-ad)^2 + (ab-bc)^2 + (ab-bd)^2 + ････
　　　　　　　　　　　　+ 4(ab-cd)^2 + 4(ac-bd)^2 + 4(ad-bc)^2} ≧ 0,
　P1･P3 - P4 ≧ 0,　(相加･相乗平均)

〔系〕　P1 ≧ √P2 ≧ (P3)^(1/3),
428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/17(日) 22:06:41.54 ]: >>427

n変数のときも同様に、
　P1 = (a1 + a2 + ･････ + an)/n,
　P2 = {a1･a2 + ･････ + a(n-1)･an}/C[n,2],
　P3 = {a1･a2･a3 + ･････ + a(n-2)･a(n-1)･an}/C[n,3],
とおくと
　P1^4 ≧ P2^2 ≧ P1･P3,

(略証)
　P1^2 - P2 = {1/[n^2 (n-1)]}{(a-b)^2 +(a-c)^2 +(a-d)^2 +(a-e)^2 + ･････} ≧ 0,
　P2^2 - P1･P3 = {1/[n^2 (n-1)^2 (n-2)]}{(5-n)(ab-ac)^2 + (5-n)(ab-ad)^2 + (5-n)(ab-ae)^2 +････
　　　　　　　　　　　　+ 4(ab-cd)^2 + 4(ab-de)^2 + ･････} ≧ 0,

〔系〕　P1 ≧ √P2 ≧ (P3)^(1/3),
429 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/18(月) 00:06:54.77 ]: >>425

その変形は,自然に気づかないでしょう？
だれか, もう少し詳しく教えていただきませんか？
430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/18(月) 01:21:39.49 ]: >>424　>>429
生姜ねぇ....

　a^3 /(a+b)^2 ≧ γ/4,
とおく。
　a^3 ≧ {(a+b)/2}{(a+b)/2}γ,

右辺は (a+b)/2, (a+b)/2, γの相乗平均の3乗。
これらの相加平均が a なら、相加･相乗平均で成立。
　(a+b)/2 + (a+b)/2 + γ = 3a,
　γ = 2a-b,
431 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/18(月) 01:26:59.25 ]: うーん、ぬぬぬ…
432 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/18(月) 02:19:45.59 ]: >>430 やっぱ、AM-GMかあ。これが自然だよな。
あとは, CS, Jensen
これって,今月号の大数にのってたやつじゃねえ？
(1) に4a^3-(a+b)^2*(2a-b)=(a-b)^2*(2a+b)があったような。
433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/18(月) 04:27:35.04 ]: >>431
　う～ん、ぬぬぬるぽ
と言いたかったのだな。

等号成立条件　(a+b)/2 = γ　⇔　a=b　にも注意。
434 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/18(月) 11:59:43.81 ]: 1. Holder Σa^3/(a+b)^2≧(a+b+c)^3/(Σ(a+b))^2

2.AM-GM Σ(4a^3/(a+b)^2+(a+b)/2+(a+b)/2)≧3Σa

3. C.S. (a+b+c)(Σa^3/(a+b)^2)≧(Σa^2/(a+b))^2≧((a+b+c)/2)^2

4. Jensen
435 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/18(月) 14:17:03.31 ]: ちぇびちぇび、へるだあ、みんこ、しゅうあ、まじょらい、ぐろんを、並べ替え不等式、…
彼らのことも、たまには思い出してやってください
436 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/18(月) 15:11:08.55 ]: AM-GMは中学の時に出会うほど基本的なのに最強だな
437 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/18(月) 15:17:17.77 ]: Soient a,b,c,d dans R^{＋} tels que a+b++d=6, a^2+b^2+c^2+d^2=12.
Prouver que :
36≦4(a^3+b^3+c^3+d^3)-(a^4+b^4+c^4+d^4)≦48.
438 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/18(月) 15:18:42.48 ]: Soient a,b,c,d dans R^{＋} tels que a+b+c+d=6, a^2+b^2+c^2+d^2=12.
Prouver que :
36≦4(a^3+b^3+c^3+d^3)-(a^4+b^4+c^4+d^4)≦48.
439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/18(月) 19:05:38.49 ]: >>410

　1/(1-x) ≧ 1+x より
　1/(c^2 +a +b) = 1/{a^2 +b^2 +c^2 -(a^2 +b^2 -a-b)}
　　　=　1/{S - (a^2 +b^2 -a-b)]}
　　　≧ 1/S + (a^2 +b^2 -a-b)]/S^2
　　　≧ 1/S + [a^2 +b^2 -(a+b)(a+b+c)/3]/S^2　　(←題意)
　　　=　1/S + [2(a-b)^2 +2ab-bc-ca]/(3S^2)
　　　≧ 1/S + (2ab-bc-ca)/(3S^2)，
　ここに S = a^2 +b^2 +c^2 とおいた。

　(左辺) ≧ 2 + {(a^2 +b^2)(2ab-bc-ca) + cyclic}/(3S^2)
　　　 = 2 + {a(b-c)(b^2 -c^2) + cyclic}/(3S^2)
　　　 ≧ 2,
440 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/18(月) 22:26:06.82 ]: 〔問題〕
正の数 a、b、c が abc=1 をみたすとき、
(a^2+b^2)/(c^2+a+b) + (b^2+c^2)/(a^2+b+c) + (c^2+a^2)/(b^2+c+a) ≧ 2
441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/19(火) 00:21:55.69 ]: 　　 ∩＿＿＿∩三　ー＿　　　　　　 ∩＿＿＿∩
　　 |ノ　　　　　三-二　　　　ー二三ノ　　　　　ヽ
　　/　　(ﾟ)　　　(ﾟ)三二-　￣　　 - 三　　 (ﾟ)　　　(ﾟ) |
　 |　　　　( _●_)　ミ三二 - ー二三　　　　( _●_)　ミ　　テンション上がってきた！！
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442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/19(火) 06:33:56.04 ]: >>438

まづ 0≦a,b,c,d≦3 を示す。コーシーより
　3(12-a^2) = (1+1+1)(b^2 + c^2 + d^2) ≧ (b+c+d)^2 = (6-a)^2,
　0 ≧ 3(a^2 -12) + (6-a)^2 = 4a(a-3),
　0≦a≦3,
　b,c,d についても同様。

次に　0≦x≦3 で　2x^2 +4x -3 ≦ 4x^3 -x^4 ≦ 4x^2, を示す。
　(4x^3 -x^4) - (2x^2 +4x-3) = (x+1)(3-x)(x-1)^2 ≧ 0,
　4x^2 - (4x^3 -x^4) = x^2･(2-x)^2 ≧ 0,

x=a,b,c,d について和をとると
　2*12 +4*6 -3*4 ≦ 与式 ≦ 4*12,
　36 ≦ 与式 ≦ 48,
左等号成立は {3,1,1,1}
右等号成立は {2,2,2,0}

くそ～、テンション上がっちまった...
443 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/19(火) 09:27:04.02 ]: Nice Solution!
444 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/19(火) 12:25:03.59 ]: >>442
> 次に　0≦x≦3 で　2x^2 +4x -3 ≦ 4x^3 -x^4 ≦ 4x^2, を示す。

神！この不等式をどうやって思いつくのか謎！
445 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/19(火) 13:20:00.38 ]: (0<=x<=3)=>(f(x)=x^4-4x^3+ax^2+bx+c<=0).
f(1)=0.
f(3)=0.

f(x)=(x-1)^2(x-3)(x-d)=x^4-4x^3+ax^2+bx+c.
d=-1.

f(x)=x^4-4x^3+2x^2+4x-3.
446 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/20(水) 10:14:37.63 ]: このスレ恐ろしすぎる
447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/20(水) 17:21:02.92 ]: 不等式ヲタ ≒ 数ヲタ ⇒ ロリコンだからですか？
448 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/20(水) 18:25:13.74 ]: 〔問題〕
正の数 x、y が x+y=1 をみたすとき、(x^x)(y^y) + (x^y)(y^x) ≦ 1
449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/20(水) 21:26:23.94 ]: >>447
正解！
450 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/20(水) 23:35:36.28 ]: >>448
x^x-y^xとx^y-y^yは正負が一致するかともに0かなので
(x^x-y^x)(x^y-y^y)≧0
x^(x+y)+y^(x+y)≧(x^x)(y^y)+(x^y)(y^x)
左辺=x+y=1より
1≧(x^x)(y^y)+(x^y)(y^x)
451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/21(木) 00:29:09.54 ]: >>450
神すぎる…
452 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/21(木) 09:53:30.81 ]: Soient a,b tels que 0<a≦1, 0<b≦1.
Prouver que : a^{b-a}+b^{a-b}≦2.
453 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/21(木) 10:21:14.26 ]: >>448

By the Weighted AM-GM, x^xy^y≦x^2+y^2, x^yy^x≦2xy

∴x^xy^y+x^yy^x≦(x+y)^2=1 Done!
454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/21(木) 10:23:42.09 ]: >>452
難しい (；´д｀) ﾊｧﾊｧ…

ところで a^{b-a}+b^{a-b} の下限はいくらになるのですか？０にいくらでも近づく？
455 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/21(木) 10:27:42.91 ]: >>454
下限というか最小値は１かな？
456 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/21(木) 10:43:07.23 ]: >>453

Sorry, my proof was wrong. I thought that x, y are positive integers.
457 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/21(木) 10:59:00.10 ]: No, your proof is CORRECT!
458 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/21(木) 20:29:14.21 ]: >>453 の weighted AM-GM というのは
　p,q,x,y>0, p+q=1　⇒　x^p･y^q ≦ px + qy,
459 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/22(金) 04:35:26.03 ]: 重み付き相加相乗って懐かしいな
すっかり忘れていた…
460 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/22(金) 04:35:52.11 ]: >>453, >>458

　凸不等式から出る。別名ベルヌーイの式。
　数セミ、2010/08月号　NOTE (大塚氏) も参照。
461 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/30(土) 15:16:53.93 ]: x≧0, y≧0, x+y=1 のとき, 自然数m,nに対して

( 1-x^m )^n + ( 1-y^n )^m ≧1
462 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/30(土) 17:25:09.46 ]: >>859
いつから名前がバカオツなんだかwww
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れよクソキチガイ
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れ！クソキチガイ！
顔真っ赤にしてクソキチガイ反応

さっきから必死に頑張ってます！

ｂｙ>>859
463 名前：コピペキチガイ必死w ◆osMsTqWzXY mailto:sage [2011/07/30(土) 17:25:21.59 ]: >>462
いつから名前がバカオツなんだかwww
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れよクソキチガイ
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
クソキチガイアホ晒しできてるぞ？
頑張れ！クソキチガイ！
顔真っ赤にしてクソキチガイ反応

さっきから必死に頑張ってます！

ｂｙ>>462
464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/30(土) 18:00:36.44 ]: >>461
むむむ…、分からん
465 名前：１３２人目の素数さん [2011/07/30(土) 21:48:35.22 ]: どうみても二項定理だろアホｗ
466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/30(土) 22:10:33.54 ]: >>465
証明してみろ！
467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/30(土) 22:49:10.99 ]: >>461

(略証)
　g(x) = 1 - (1-x)^n とおくと (左辺) = 1 -g(x^m) + {g(x)}^m.
　g(x) の逆函数を f(z) と書くと、 f(0)=0, f(1)=1 かつ
　f(z) = 1 - (1-z)^(1/n) = (1/n)z + (1/2n)(1-1/n)z^2 + (1/3n)(1-1/n)(1-1/2n)z^3 + ……
　a_k = {(k-1)/k}･{1 -1/(k-1)n}･a_{k-1} > 0.
∴　f(z) は下記の【命題268】の条件をみたす。
∴　f(z^m) ≧ {f(z)}^m,
∴　z^m ≧ g({f(z)}^m),
∴　{g(x)}^m ≧ g(x^m),

[初代スレ.563(7), 973]
[第２章.21, 346-347, 353]
468 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/30(土) 22:51:17.31 ]: >>467 の続き

【命題268】
f(x) は |x|≦1 で正則な解析函数で、f(0)=0, f(1)=1 かつ
マクローリン展開の係数がすべて非負実数とする。

このとき, 0≦x≦1 において
　r>1 　⇒ f(x^r) ≧ {f(x)}^r.
　0<r<1 ⇒ f(x^r) ≦ {f(x)}^r.
　(math_board_watcherによる)

(略証)
題意より、f(x) = Σ[k=1,∞) a_k･(x^k),　a_k ≧ 0.
　Σ[k=1,∞) a_k = f(1) = 1.
Jensenの定理より（収束について適当な条件のもとで）
r>1 ⇒ x^r は下に凸 ⇒
　f(x^r) = Σ[k=1,∞) a_k･(x^r)^k = Σ[k=1,∞) a_k･(x^k)^r > {Σ[k=1,∞) a_k･x^k}^r = {f(x)}^r.
0<r<1 ⇒ x^r は上に凸 ⇒
　f(x^r) = Σ[k=1,∞) a_k･(x^r)^k = Σ[k=1,∞) a_k･(x^k)^r < {Σ[k=1,∞) a_k･x^k}^r = {f(x)}^r.

Yahoo! - 科学板 - 数学カテ - 出題(不等式)トピ - 268,272
469 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/31(日) 05:50:42.62 ]: きたか…！！

　　( ﾟдﾟ )　ｶﾞﾀｯ
　　.r　　ヾ
＿_|_|　/￣￣￣/＿
　　＼/　　　　/
470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/31(日) 12:49:57.13 ]: [前スレ.608] の小改良....

以上の評価から
(1/2){(1+t)^(1-t) +(1-t)^(1+t)} ≦ 1 -t^2 +(3/4)t^4,
(1/2){(1+t)^(1-t) -(1-t)^(1+t)} ≦ t -(1/2)t^3,

log(2) = a とおくと
　cosh(a/2) = 3/(2√2) = 1.06066017,
　sinh(a/2) = 1/(2√2) = 0.35355339,

McLaurin展開係数がすべて正だから、t^2 について下に凸
　cosh(at) ≦ 1 +(3√2 -4)t^2,　　(0<t<1/2)
　sinh(at) ≦ at +(2√2 -4a)t^3,　(0<t<1/2)

以上から
x^(2y) + y^(2x)
　= {(1-t)/2}^(1+t) + {(1+t)/2}^(1-t)
　≦ {1 -t^2 +(3/4)t^4}･{1 +(3√2 -4)t^2}
　+ {t -(1/2)t^3}･{at +(2√2 -4a)t^3}
　=　1 -(5-a-3√2)t^2 +{19/4 -(9/2)a -√2)t^4 +{-3 +2a +(5/4)√2}t^6
　≦ 1 -(5-a-3√2)t^2 +{4-4a-(11/16)√2}t^4
　≦ 1 -{4-(181/64)√2}t^2
　=　1 -0.000427268･t^2,　　(0<t<1/2)
471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/07/31(日) 13:28:12.30 ]: >>461
mn個の放射性核種を、m行n列の長方形状に並べる。どの核種も1分以内に確率xで崩壊するとする。
二つの事象を考える：
　[a] 1分後、第1列～第n列のうち、m個すべてが崩壊している列が少なくとも1列ある。
　[b] 1分後、第1行～第m行のすべての行で、少なくとも1個が崩壊している。

[a]の確率は 1 - (1-x^m)^n　・・・(1)
[b]の確率は (1-y^n)^m　・・・(2)

事象の包含関係から (2)≧(1) 。
472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/01(月) 23:36:30.55 ]: >>470

　4 > (181/64)√2　の証明
128√2 > 181
　2(128^2) - 181^2 = 7 > 0,

　2X^2 - Y^2 = 7,

　(X_0, Y_0) = (2, -1)
漸化式
　X_{n+1} = 3X_n + 2Y_n,
　Y_{n+1} = 4X_n + 3Y_n,
より
　X_n = {1 - 1/(2√2)}(1+√2)^(2n) + {1 + 1/(2√2)}(1-√2)^(2n),
　Y_n = {√2 -(1/2)}(1+√2)^(2n) + {-√2 -(1/2)}(1-√2)^(2n),
473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/03(水) 10:28:00.18 ]: x+y+z=1を満たす実数x,y,zに対して、次の不等式が成立することを示せ
(x^2+y^2+z^2)^2*(1/x+1/y+1/z)≧1
474 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/03(水) 12:00:02.32 ]: ｘ＝３。
ｙ＝－１。
ｚ＝－１。
475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/03(水) 14:18:15.05 ]: >>473
胡散臭い不等式やと思うたら案の定か！
476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/05(金) 01:50:12.86 ]: >>461 の類題

　(1-x^m)^n + n･(1-x^m)^(n-1)･x^m + {1-y^n -nx･y^(n-1)}^m ≧ 1,

　(1-x^m)^n + n･x^m･(1-x^m)^(n-1) + {n(n-1)/2!}x^(2m)･(1-x^m)^(n-2)

　　　+ {1 -y^n -nx･y^(n-1) -[n(n-1)/2!]x^2･y^(n-2)}^m ≧ 1,

つまらねぇ....
477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/05(金) 02:03:18.01 ]: しょうがないなあ

A536, B4364, B4370
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201105&t=mat&l=en
478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/05(金) 10:10:52.07 ]: a+b+c+d≧4(abcd)^(1/4)=p
abc+abd+acd+bcd≧4(abcd)^(3/4)=q
a+b+c+d=abc+abd+acd+bcdよりp=q
∴abcd=1

(左辺)
=2(ac+bd)+ab+bc+cd+da
≧2(ac+bd)+4(acbd)^(1/2)
=2{(1+ac)+(1+bd)}
≧2*2{(1+ac)(1+bd)}^(1/2)
=(右辺)
479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/05(金) 10:12:41.91 ]: ↑
>>477
A536
480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 00:04:44.11 ]: >>477

[B4370.]
　頂点A,B,C,の対辺の長さを a,b,c とする。BC=a, CA=b, AB=c,
内心をIとおき、AI=u, BI=v, CI=w とおく。このとき次を示せ。
　(a+b+c)(1/u+1/v+1/w) ≦ 3(a/u + b/v + c/w),

（略解)
　a>b　⇔　BC > CA　⇔　∠BAC > ∠ABC　⇔　∠BAI > ∠ABI　⇔　BI > AI　⇔　v > u,
∴　{a,b,c} と {1/u,1/v,1/w} とは同順
あとはチェビシェフに任した…
481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 00:36:05.93 ]: 質問スレに張られてた奴

a,b,c>0, abc=1のとき
1/(a^3(b+c))+1/(b^3(c+a))+1/(c^3(a+b))≧3/2
を示せ
482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 02:51:33.91 ]: >>481
　コーシーより、
　(左辺) ≧ (1/a + 1/b + 1/c)^2 / {a(b+c) + b(c+a) + c(a+b)}
　　　　 = (1/a + 1/b + 1/c)^2 / {2abc(1/a + 1/b + 1/c)}
　　　　 = (1/a + 1/b + 1/c) / (2abc)
　　　　 ≧ 3/{2(abc)^(4/3)}　　　　(相加･相乗平均)
　　　　 = 3/2,

※　a=1/x, b=1/y, c=1/z, xyz=1 とおく方法もある。
483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 07:12:31.74 ]: >>482
成程な～
484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 11:26:48.95 ]: >>482
　　　　　　　　　　＿＿＿　　
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　ちょ～っと待ったあ！！
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式ヲタ参上！
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

>>483の証明で、CS と AM-GM を用いて

　 1/(a^3(b+c))+1/(b^3(c+a))+1/(c^3(a+b)) ≧ 3/{2(abc)^(4/3)} …①

が示された。等号成立条件は a=b=c=1/3。ここまでは見事ですが

だが、ここで abc=1より、①≧3/2 としていいのか？
①が成り立つのは a=b=c=1/3 のときであって、このとき abc = 1/27 なのだから、
①の右辺に abc=1 を代入してはダメじゃないの？
485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 12:53:39.49 ]: >>484
出直してこい
486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 13:39:40.36 ]: >>477
B4364

a+b≧2c
(a^2-b^2)/c≧2(a-b)…(1)

2a≧b+c
2(b-c)≧(b^2-c^2)/a
(c^2-b^2)/a≧2(c-b)…(2)

a+c＞b
(a^2-c^2)/b≧a-c…(3)

(1)(2)(3)を足して
(a^2-b^2)/c+(c^2-b^2)/a+(a^2-c^2)/b≧3a-4b+c
487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 13:42:38.09 ]: ダメじゃないの。
488 名前：482 mailto:sage [2011/08/06(土) 14:17:02.81 ]: >>484

等号成立条件は a=b=c=1。

が抜けてたな.....

ぬるぽ
489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 14:20:07.02 ]: すまん、積でしたな
490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 14:40:31.10 ]: >>477

[B4364.]
a ≧ b ≧ c > 0 のとき次を示せ。
　(a^2 - b^2)/c - (b^2 - c^2)/a + (a^2 - c^2)/b ≧ 3a-4b+c,

(略解)
　(左辺) ≧ (a^2 - b^2)/b - (b^2 - c^2)/b + (a^2 - c^2)/b
　　= 2(a^2 - b^2)/b
　　= {2(a+b)/b}(a-b)
　　≧ 4(a-b),
以下簡単。
491 名前：486 mailto:sage [2011/08/06(土) 18:26:09.37 ]: >>490
うまい…
492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/06(土) 22:05:29.24 ]: >>477

[B4371.]
　1/{sin(π/14)}^2 + 1/{sin(3π/14)}^2 + 1/{cos(5π/7)}^2 = 24,
を示せ。

(略解)
　(左辺) = 1/{cos(3π/7)}^2 + 1/{cos(2π/7)}^2 + 1/{cos(π/7)}^2
　　= 1/{cos(4π/7)}^2 + 1/{cos(2π/7)}^2 + 1/{cos(6π/7)}^2
　　= Σ[k=1,3] 1/{cos(2kπ/7)}^2,

　{1 - T_7(x)}/(1-x) = 1 +7x -56x^3 +112x^5 -64x^7
　　　　　　　= (1-x)(1 +4x -4x^2 -8x^3)^2,

　cos(2kπ/7)　　(k=1,2,3) は 1 +4x -4x^2 -8x^3 = 0 の根。
　1/cos(2kπ/7)　(k=1,2,3) は y^3 +4y^2 -4y -8 = 0 の根。

　　　Σ[k=1,2,3] 1/cos(2kπ/7) = -4,
　　　Σ[k<L] 1/{cos(2kπ/7)cos(2Lπ/7)} = -4,
よって
　　　Σ[k=1,3] 1/{cos(2kπ/7)}^2 = 4^2 -(-4)*2 = 24,
493 名前：492 mailto:sage [2011/08/06(土) 22:11:32.65 ]: >>492 訂正

[B4371.]
　1/{sin(π/14)}^2 + 1/{sin(3π/14)}^2 + 1/{sin(5π/14)}^2 = 24,
を示せ。
494 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/07(日) 09:00:49.56 ]: For real numbers $p,\ q,\ r$, prove that

p(p+q)^3+q(q+r)^3+r(r+p)^3≧(8/27)(p+q+r)^4
495 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/07(日) 15:33:09.16 ]: p^2+q^2+r^2=x^2
G=p(p+q)^3+q(q+r)^3+r(r+p)^3-s(p^2+q^2+r^2-x^2)
Gp=(p+q)^3+3p(p+q)^2+3r(r+p)^2-2sp=0
p^3+3p^2q+3pq^2+q^3+3p^3+6p^2q+3pq^2+3r^3+6r^2p+3rp^2-2sp=0
Gq=(q+r)^3+3q(q+r)^2+3p(p+q)^2-2sq=0
Gr=(p+r)^3+3r(p+r)^2+3q(r+q)^2-2sr=0
...
p=q=r=x(1/3)^.5
f=3x^4(8/3^2)=x^4(8/3)
RH=(8/3^3)(3^4x^4/3^2)=x^4(8/3)
496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/08(月) 00:04:38.81 ]: >>494

f(x) = x^m は単調増加で下に凸。(m≧1)
　{p(p+q) + q(q+r) + r(r+p)}/(p+q+r)
　　= {4(p+q+r)^2 + (p-q)^2 + (q-r)^2 + (r-p)^2}/{6(p+q+r)}
　　≧ (2/3)(p+q+r),

Jensen より
(左辺) = p･f(p+q) + q･f(q+r) + r･f(r+p)
　　≧ (p+q+r)･f({p(p+q) + q(q+r) + r(r+p)}/(p+q+r))　[下に凸]
　　≧ (p+q+r)･f((2/3)(p+q+r))　　[単調増加]
　　= (2/3)^m･(p+q+r)^(m+1),
ぢゃね？
497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/08(月) 09:27:01.04 ]: 正じゃない。
498 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/08(月) 15:02:45.71 ]: For positive real numbers a, b, c, d with abcd=1,

Prove that

1/a + 1/b +1/c +1/d + 9/(a + b + c + d) ≧ 25/4
499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/11(木) 00:34:49.08 ]: a≧b≧c≧dとする。
abcd=1よりa≧1である。

(左辺)
≧1/a+1/a+1/a+1/a+9/(a+a+a+a)
=25/(4a)
≧25/4
500 名前：499 mailto:sage [2011/08/11(木) 00:42:47.14 ]: 間違えたorz
501 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/14(日) 14:11:15.95 ]: あほ
502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/14(日) 14:44:52.56 ]: >>501
口が悪いな、直したほうがいい
503 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/14(日) 17:09:15.69 ]: >>498 難しくない？
504 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/15(月) 01:09:44.14 ]: >>494 >>497 難しくない。

　19 = 3^2 + 3^2 + 1^2

　(左辺) - (右辺) = (1/27){3p^2 -3q^2 +r^2 +(7/4)pq -(22/4)qr +(11/4)rp}^2 + (3/16){p(q-r)}^2 + cyclic.
とか
　(左辺) - (右辺) = (1/27){3p^2 -3q^2 -r^2 +(113/28)pq -(131/28)qr +(46/28)rp}^2 + (3/16){p(q-r)}^2 + cyclic.
とか
505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/15(月) 01:18:09.31 ]: なんだ、ただの神か…
506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/15(月) 10:35:43.41 ]: >>504 の補足

まづ p^4 + q^4 + r^4 の係数を見る。
　左辺は1、右辺は 8/27 だから 1 - (8/27) = 19/27,
そこで 19 を３平方の和で表わした。

難しくない。
507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/15(月) 20:13:45.05 ]: >>477
　
[A536.]
　a,b,c,d は正の実数で a+b+c+d = abc+bcd+cda+dab のとき次を示せ。
　(a+b)(c+d) + (a+d)(b+c) ≧ 4√{(1+ac)(1+bd)},

(略解)
abcd≧1 のとき
　(左辺) = (a+c)(b+d) + 2(ac+bd) ≧ 4√(abcd) + 2(ac+bd) ≧ 2(1+ac) + 2(1+bd) ≧ (右辺),

abcd≦1 のとき、補題により
　t = (ab+cd) + (ac+bd) + (ad+bc) ≧ 6,
　(左辺) ≧ 6 + (ac+bd) ≧ 4√{2 + (ac+bd)} ≧ 4√(1+ac+bd+abcd) = (右辺),

〔補題〕
　a,b,c,d>0 で a+b+c+d = abc+bcd+cda+dab のとき、
　(ab+cd) + (ac+bd) + (ad+bc) ≧6,
(略証)
　左辺をtとおいて
　2{(a+b+c+d)t - 6(abc+bcd+cda+dab)}
　= (a+b)(c-d)^2 + (a+c)(b-d)^2 + (a+d)(b-c)^2 + (b+c)(d-a)^2 + (b+d)(c-a)^2 + (c+d)(a-b)^2 ≧ 0,
　∴　t ≧ 6,
508 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/16(火) 05:09:19.68 ]: >>498

　左辺を f(a,b,c,d) とおく。
ab<2 のとき
　f(a,b,c,d) - f(√(ab), √(ab),c,d)
　=　(√a - √b)^2･{1/ab - 9/[(a+b+c+d)(2√ab +c +d)]}
　≧ (√a - √b)^2･{1/ab - 9/(2√ab +c +d)^2}
　≧ (√a - √b)^2･{1/ab - 9/(2√ab +2/√ab)^2}
　=　(√a - √b)^2･{1/ab - 9ab/(4(ab+1)^2)}
　=　(√a - √b)^2･(2-ab)(2+5ab)/{4ab(ab+1)^2}
　≧ 0,
ここで c+d ≧ 2√cd = 2/√ab を使った。
a≧b≧c≧d とすると cd≦1
(a,b,c,d) が最小値ならば c=d に限る。
∴ bc = bd ≦1,　
∴ b=c=d≦1,
∴ (a,b,c,d) = (A^3, 1/A, 1/A, 1/A) ただし A≧1.
となって
　f(A^3,1/A,1/A,1/A) ≧ 25/6,　　(A≧1)
に帰着する。
509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/16(火) 05:26:39.15 ]: >>498

次に
　f(A^3,1/A,1/A,1/A) ≧ 25/４,　　(A≧1)
を示そう。

　f(A^3,1/A,1/A,1/A) - 25/4
　= 1/A^3 + 3A + 9A/(A^4 +3) - 25/4
　= 3(A-1)^2･{A^6 -(1/12)A^5 -(7/6)A^4 -(9/4)A^3 +3A^2 +2A +1}/{A^3(A^4 +3)}
　= 3(A-1)^2･g(A)/{A^3(A^4 +3)}
　≧ 0,

∵　g(A) = A^6 -(1/12)A^5 -(7/6)A^4 -(9/4)A^3 +3A^2 +2A +1
　　= {A^3 -(1/24)A^2 -(673/1152)A -(31777/27648)}^2 + 2.56293026A^2 +0.657105936A -0.3209864
　　= {A^3 -(1/24)A^2 -(673/1152)A -(31777/27648)}^2 + 2.56293026(A-1)^2 +5.782966457A +2.899049797
　　> 0.

難しくない。>>503
510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/16(火) 05:33:13.51 ]: >>508-509
の最後の式の右辺は間違い。

　25/４
　+5.782966457(A-1)
に訂正。
511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/16(火) 19:20:06.30 ]: >>509

最小を探すなら、微分使った方が簡単....だな

　F(A) = 1/A^3 +3A +9A/(A^4 +3),

　F '(A) = -3/A^4 + 3 + 27(1-A^4)/(A^4 +3)^2
　　　　 = 3(A^4 -1)(A^8 -3A^4 +9)/{(A^4)(A^4 +3)^2},

　　A^8 -3A^4 + 9 = (A^4 -3)^2 + 3A^4 > 0,
512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/19(金) 01:38:45.69 ]: >>509

F(A)≧ 25/4 だけなら、代数使った方が簡単....だな

A^4 + 3 =　(4/√3)A^3 + (A-√3)^2 {A^2 +(2/√3)A +1}
　　　　≧ (4/√3)A^3
　　　　>　(9/4)　A^3,
より
F(A) - 25/4 = {(1/A^3) +3A -4} + (9/4){4A/(A^4 +3) -1}
　　= (A-1)^2･(3A^2 +2A+1)/A^3 - (9/4)(A-1)^2･(A^2 +2A+3)/(A^4 +3)
　　> (A-1)^2･{(3A^2 +2A+1) - (A^2 +2A+3)}/(A^3)
　　= (A-1)^2･2(A^2 -1)/(A^3)
　　≧ 0,　　　(A≧1)
513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/20(土) 15:12:34.36 ]: >>512

相加･相乗平均を使わないなら
　3^5 = 243 < 256 = 16^2,
より
　A^4 + 3 > A^4 + 3(3^5/16^2)^2
　　= (9/4)A^3 + (A - 27/16)^2{A^2 + (9/8)A + (3^5)/(16^2)}
　　= (9/4)A^3 + (A - 27/16)^2{(A + 9/16)^2 + 162/(16^2)}
　　≧ (9/4)A^3,

どうでもいいけど.....
514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/20(土) 15:44:57.93 ]: 【問題１】
正の数 x、y、z が z≧x+y をみたすとき、
x^2 + y^2 + z^2 ≧ (6/5)*(xy + yz + zx) を示せ

【問題２】
0.160 < ∫[0,1] x^2 e^(-x^2) dx <0.215 を示せ

【問題３】
正の数 a、b、c が a+b+c=1 をみたすとき、
(a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 + (c + 1/c)^2 ≧ 100/3

www.asahi-net.or.jp/~nj7h-ktr/kadai10-11.pdf

上の上の数ヲタである不等式ヲタの皆さんには、【問題３】など瞬殺でしょうから、

(a + 1/a)^4 + (b + 1/b)^4 + (c + 1/c)^4 ≧ ？
(a + 1/b)^3 + (b + 1/c)^3 + (c + 1/a)^3 ≧ ？

と変えたところで、やはり秒殺でしょう（by スマートブレイン社社長）
515 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/21(日) 05:37:23.73 ]: >>514
【問題１】
　z = x + y + Z'　(Z'≧0) を代入して整理する。
　(左辺) - (右辺) = (4/5)(x-y)^2 + (4/5)(x+y)Z' + (Z')^2 ≧ 0,
　等号成立は (x,y,z) = (1,1,2) のとき。

【問題２】
(左)　e^(-x^2) = (1/e)e^(1-x^2) > (1/e)(2-x^2), より
　I > (1/e)∫[0,1] (x^2)(2-x^2)dx
　　= (1/e) [(2/3)x^3 -(1/5)x^5 ](x=0,1)
　　= 7/(15e)
　　= 0.171677
(右)　x^2 > x^3 より
　I < ∫[0,1] (x^2)e^(-x^3) dx
　　= (1/3)[ -e^(-x^3) ](x=0,1)
　　= (1/3)(1 - 1/e)
　　= 0.210706852
または　相加･相乗平均より
　x^2 < (1/3)x + (3/4)x^3,
　I < ∫[0,1] {(1/3)x + (3/4)x^3}･e^(-x^2) dx
　　= [ -(1/24)(13 + 9x^2)e^(-x^2) ](x=0,1)
　　= (1/24)(13 - 22/e)
　　= 0.204443845

【問題３】
　f(x) = (x + 1/x)^2　は下に凸だから、Jensen で一発だが、
x=1/3 で接線を曳いて
　f(x) =　100/9 - (160/3)(x -1/3) + (x^2 +54x +9)(x -1/3)^2
　　　 ≧ 100/9 - (160/3)(x -1/3),
　f(a) + f(b) + f(c) ≧ 100/3 - (160/3)(a+b+c-1) = 100/3,
でもよい。
516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/21(日) 05:44:22.87 ]: 【問題４】
正の数 a、b、c が abc=1 をみたすとき、
(a - 1 + 1/b)(b - 1 + 1/c)(c - 1 + 1/a) ≦ 1 を示せ

　　　∧,,∧　　　　
　　(`･ω･´)　　　詳しく聞こうか？
　　（　　　）
￣￣Φ口U￣￣＼
　　　_　_. 　　　　＼
＿（　　　）＿＿＿＿.＼
￣┏┳┓）
517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/21(日) 06:18:55.54 ]: >>514

【追加問題１】
　f(x) = (x + 1/x)^n　は下に凸だから Jensen で一発だが、
x=1/3 で接線を曳いて
　f(x) ≧ (10/3)^n - 8n(10/3)^(n-1)･(x -1/3),
　f(a) + f(b) + f(c) ≧ 3(10/3)^n - 8n(10/3)^(n-1)(a+b+c-1)
　　= 3(10/3)^n,
としてもよい。

【追加問題２】
　(abc)^(1/3) = G　とおく。(相乗平均)
相加･相乗平均で
　aa/b + bb/c + cc/a ≧ 3G,
　a/bb + b/cc + c/aa ≧ 3/G,
　3G + 3/G ≧ 6,
より、【１】に帰着する。
　3(10/3)^3 = 1000/9
518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/21(日) 06:57:11.66 ]: >>516

【問題４】
　abc=1 とあるから当然、 a=y/z, b=z/x, c=x/y と置くんだろうな。
　（左辺) = {(y-z+x)/z}{(z-x+y)/x}{(x-y+z)/y},

定義により、-x+y+z, x-y+z, x+y-z の任意の2つの和は正だから、
　正でないのは高々１つだけ。
・1つが正でない場合、明らかに成り立つ。
・3つとも正の場合、相乗・相加平均より
　√{(x-y+z)(y-z+x)} = √{x^2 - (y-z)^2} ≦ x,
　√{(y-z+x)(z-x+y)} = √{y^2 - (z-x)^2} ≦ y,
　√{(z-x+y)(x-y+z)} = √{z^2 - (x-y)^2} ≦ z,
辺々掛けて
　(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y) ≦ xyz,

[第3章.481]　
519 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/21(日) 13:58:30.54 ]: >>515 【問題２】(右)

詳しく聞かれちゃ～生姜ねぇ･･･

∫[0,1] x e^(-x^2) dx = ∫[0,1] (1/2)e^(-t) dt = [ -(1/2)e^(-t) ](t=0,1) = 1/2 - 1/(2e) = 0.3166028,

∫[0,1] (x^3)e^(-x^2) dx = ∫[0,1] (1/2)t e^(-t)dt = [ -(1/2)(t+1)e^(-t) ](t=0,1) = 1/2 - 1/e = 0.13212056

ここでシュワルツを使えば　I < 0.2045232　だな。
520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/21(日) 14:13:02.30 ]: >>515 【問題２】

exp( ) をマクローリン展開して計算すると I = 0.189472345820492
521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/21(日) 23:44:35.95 ]: 【もんじあ】
実数 x、y、z が (x+y-z)^2 + (y+z-x)^2 + (z+x-y)^2 = 1
をみたすとき、|x+y+z| の最大値を求めよ
522 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 00:31:52.68 ]: >>521
　g(x,y,z) = (x+y-z)^2 + (y+z-x)^2 + (z+x-y)^2
　　　　　= (1/3)(x+y+z)^2 + (8/3)(x^2 +y^2 +z^2 -xy -yz -zx)
　　　　　= (1/3)(x+y+z)^2 + (4/3){(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2}
　　　　　≧ (1/3)(x+y+z)^2,
∴　|x+y+z| ≦ √{3g(x,y,z)},
　等号成立は x=y=z=±1/√3 のとき。
523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 01:28:08.98 ]: g(x,y,z)≡1だから、最大値は√3か
524 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 04:12:25.39 ]: [B.4355.]
　x,y,z は正数で、xyz=1 とする。このとき次を示せ。
　(x^3+y^3)/(x^2+xy+y^2) + (y^3+z^3)/(y^2+yz+z^2) + (z^3+x^3)/(z^2+zx+x^2) ≧ 2.

www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201104&t=mat&l=en
525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/22(月) 04:26:02.52 ]: 　三角形ABCの内部の点Pに対して PA+PB < CA+CB が成り立つ。

[B.4339.]
　四面体ABCDの内部の点Pに対して PA+PB+PC < DA＋DB+DC が成り立つか？

www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201102&t=mat&l=en
526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/23(火) 00:30:57.36 ]: [B.4355.] (訂正)
　x,y,z は正数で、xyz=1 とする。このとき次を示せ。
　(z^3 + y^3)/(x^2+xy+y^2) + (x^3 + z^3)/(y^2+yz+z^2) + (y^3 + x^3)/(z^2+zx+x^2) ≧ 2.

>>524 なら瞬殺だろうな.... >>514
527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/23(火) 04:59:16.48 ]: (ﾟдﾟ；) ﾄ､ﾄｳｾﾞﾝﾃﾞｺﾞｻﾞﾙﾖ…
528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/23(火) 12:50:44.75 ]: >>526-527

相加･相乗平均を使えば >>524 と同じ....
　(左辺) ≧ 3{f(x,y)f(y,z)f(z,x)}^(1/3),

　x^2 +xy +y^2 = 3(x^2 -xy+y^2) - 2(x-y)^2 ≦ 3(x^2 -xy +y^2), より
　f(x,y) = (x^3 + y^3)/(x^2 +xy +y^2)
　　≧ (1/3)(x^3 + y^3)/(x^2-xy+y^2)
　　= (1/3)(x+y),
再度、相加･相乗平均より
　(左辺) ≧ {(x+y)(y+z)(z+x)}^(1/3)
　　= {8xyz + x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2}^(1/3)
　　≧ 2(xyz)^(1/3),
529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/23(火) 16:00:00.77 ]: ＡＢ＜ＡＣでＢの近くにＤをとり，Ｃの近くにＰをとる。
530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/23(火) 19:51:01.60 ]: >>524
　x,y,z は正数で、x+y+z=3 とする。このとき……
531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 21:08:58.13 ]: >>498
第10回(2011年)中国女子数学オリンピック(CGMO)の問題3

www.imojp.org/
www.imojp.org/challenge/index.html 過去問
532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 22:01:55.57 ]: (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/24(水) 22:07:45.91 ]: >>531
中華の問３、どっかで見たような希ガス…
534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 05:16:58.00 ]: C.944
www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.html
535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 06:57:10.69 ]: >>238
>>251
536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 16:54:26.26 ]: そういや３年位前に、高校の先生が相加相乗平均の新証明の記事があったけど、
いまさらながら、その論文のリンクを貼っておく
www.emis.de/journals/JIPAM/images/080_08_JIPAM/080_08.pdf

並べ替え不等式を使うのか…
537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/25(木) 23:04:28.49 ]: >>526
　x,y,z は正数で xy+yz+zx = 3 とする。このとき……
538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 07:19:11.26 ]: 0
539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 08:57:16.76 ]: x, y, zは正の実数で x+y+z=11 , x≦2, y≦3 のとき　√(xyz) ≦6 .
540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 09:07:33.95 ]: >>539
どうやるん？
541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 13:08:56.28 ]: >>536
その方法と全く同じ方法で、
色々な不等式(もちろん相加相乗平均も)を証明した記事が、
数学セミナーに掲載されている。

数学セミナー 2004.2
ttp://www.nippyo.co.jp/magazine/4352.html
＞対称性を有する不等式の統一的証明について　仁平政一　52

↑この記事。2004年だから、例の高校の先生より早い。
542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 13:19:33.62 ]: >>541
なんと！すごいな
543 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 13:21:54.25 ]: さて、不等式ヲタ ≒ 三角関数 ≒ nCrヲタであるから、次の問題

【問題】 Σ[r = 0、n] (-1)^k * nCr / (x+r) = ？
544 名前：訂正 mailto:sage [2011/08/26(金) 13:22:23.41 ]: 543 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/08/26(金) 13:21:54.25
さて、不等式ヲタ ≒ 三角関数 ≒ nCrヲタであるから、次の問題

【問題】 Σ[r = 0、n] (-1)^r * nCr / (x+r) = ？
545 名前：541 mailto:sage [2011/08/26(金) 13:32:26.78 ]: 記事名をキーワードにググってみたら、
数研通信とかいうサイトにまるごと載ってるじゃねーか(＾o＾)

数研通信　47号2003年8月
不等式の証明の統一的方法（仁平政一）
ttp://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/47/47-5.pdf

>541と若干タイトルが違うが、著者は同じ。で、こっちの方が
さらに年月が古く、2003年8月となっている。

>541のやつは、この記事の加筆修正なのかもしれん(俺の手元に
数セミが無いので、確認できない＾o＾)。
546 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/26(金) 13:40:03.23 ]: >>545
情報サンクス！
数蝉の年２回のNOTEは、コピーしてファイルしてるので見たけど、
数検通信の記事から抜粋したものですな

で、この方法は >>2 参考文献[1] P.25の方法と同じな希ガス…
547 名前：541 mailto:sage [2011/08/26(金) 13:57:35.26 ]: ＞で、この方法は >>2 参考文献[1] P.25の方法と同じな希ガス…
ということは、並べ替え不等式を使う方法は
ずっと昔から知られていたと。
548 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/26(金) 21:17:47.93 ]: 541>所謂, Rearrangememt Inequalityですな。

>>544 int_0^1 x^2 dxは？
549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 02:57:18.25 ]: >>539-540

　　xy -(x+y+1) +2 = (x-1)(y-1) ≦ 2,
∴　xyz = xy(11-x-y) ≦ (1+x+y)(11-x-y) = 36 - (5-x-y)^2 ≦ 36,
∴　√(xyz) ≦ 6,
550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 03:29:51.55 ]: >>549
１行目が思いつかない
どういう発想で、こういう解法に辿りついたのか知りたいです
数字が変わっても、このやり方は使えるのですか？
551 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 04:35:47.24 ]: >>544
f_n(x) = Σ[r = 0 to n] (-1)^r * nCr / (x+r) とおくと
　 f_{n+1}(x) = f_n(x) - f_n(x+1)
552 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 04:47:31.94 ]: B[x,n+1]だろ
553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 05:25:31.22 ]: >>552
なにそれ？
554 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/27(土) 13:27:34.85 ]: a,b,cが三角形の三辺の長さのとき

1/4<(a+b)(b+c)(c+a)/(a+2b)(b+2c)(c+2a)

を示せ

高１の宿題です
さっぱりわかりません
555 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/27(土) 15:42:42.51 ]: 4(a+b)(b+c)(c+a)-(a+2b)(b+2c)(c+2a)
={4(b+c)*a^2 + 4(b+c)^2*a + 4bc(b+c)} - {2(b+2c)*a^2 + (b+2c)(4b+c)*a + 2bc(b+2c)}
=2b*a^2 + (4b^2+8bc+4c^2-4b^2-9bc-2c^2)*a + 2b^2c
=2b*a^2 + (-bc+2c^2)*a + 2b^2c
=2(ba^2+cb^2+ac^2)-abc
=6*(1/3)*(ba^2+cb^2+ac^2)-abc
≧6*abc-abc　　(相加相乗平均　等号成立はba^2=cb^2=ac^2⇔a=b=c)
=5abc>0
556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 15:51:37.29 ]: >>555じゃないが、「三角形の三辺の長さ」って条件必要か？
557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 16:00:47.53 ]: 高１で３次の相加相乗平均を勝手に使っていいか不明だし
三角形であることをうまく使って証明できるのかもしれない。
やり方がわからんのだけど。
558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 16:09:52.09 ]: ＞高１で３次の相加相乗平均を勝手に使っていいか不明
うろ覚えだが、2次の相加相乗平均でさえ習うのは高2だったような。
まあa^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}/2から直接導けるが。
何か数Ⅰ,A範囲で証明できる方法があるのかね。
559 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/27(土) 16:46:12.93 ]: >>555
三角形の条件は？
560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 20:16:44.76 ]: つまり、三角形の３辺をなす正の数 a、b、c でなくても成立する不等式だったと…
出題者は、三角形の成立条件を考慮した上で、もっと厳しい評価式を出題しろってこった！
561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 20:40:02.91 ]: >>560

a,b,cが三角形の三辺の長さのとき

8/27 ≦ (a+b)(b+c)(c+a)/{(a+2b)(b+2c)(c+2a)},

を示せ。

等号成立は a=b=c のとき。
562 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/27(土) 20:42:15.42 ]: てめえが示せこの野郎！
563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 21:41:01.83 ]: >>562
君は口が悪いな、このスレにふさわしくない
さっさと、夜光灯を振る仕事に戻るんだ！
564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/27(土) 22:02:32.00 ]: 三角形の辺の長さに関する不等式について検索したら…
不等式プロがヒットした！
www.researchgate.net/publication/41797900__()
565 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 01:06:08.23 ]: >>561

27(a+b)(b+c)(c+a) - 8(a+2b)(b+2c)(c+2a)
　= 11(aab +bbc +cca) -5(abb +bcc +caa) -18abc
　= (17/3){2(aab +bbc +cca) -(abb +bcc +caa) -3abc}
　　+(1/3){-(aab +bbc +cca) +2(abb +bcc +caa) -3abc}
　= (17/3)P + (1/3)Q,

三角不等式より
　2P = 4(aab +bbc +cca) -2(abb +bcc +caa) -6abc
　　= (b+c-a)(a-b)^2 + (c+a-b)(b-c)^2 + (a+b-c)(c-a)^2 ≧ 0,
　2Q = -2(aab +bbc +cca) +4(abb +bcc +caa) -6abc
　　= (c+a-b)(a-b)^2 + (a+b-c)(b-c)^2 + (b+c-a)(c-a)^2 ≧ 0,
566 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 04:33:06.72 ]: >>544
n!/{x(x+1)(x+2)…(x+n)}
567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 05:36:37.46 ]: >>561
三角形の３辺だから
　a=q+r, b=r+p, c=p+q,　　　　　　>>273
とおく。p,q,r≧0

27(a+b)(b+c)(c+a) - 8(a+2b)(b+2c)(c+2a)
　= 27(q+2r+p)(r+2p+q)(p+2q+r) - 8(q+3r+2p)(r+3p+2q)(p+3q+2r)
　= 6(p^3 +q^3 +r^3) -11(ppq+qqr+rrp) +5(pqq+qrr+rpp)
　= (17/3){p^3 + q^3 + r^3 -2(ppq+qqr+rrp) +(pqq+qrr+rpp)}
　　+(1/3){p^3 + q^3 + r^3 +(ppq+qqr+rrp) -2(pqq+qrr+rpp)}
　= (17/3)P + (1/3)Q,

　P = p^3 + q^3 + r^3 -2(ppq+qqr+rrp) +(pqq+qrr+rpp)
　　= p(p-q)^2 + q(q-r)^2 + r(r-p)^2 ≧ 0,
　Q = p^3 + q^3 + r^3 +(ppq+qqr+rrp) -2(pqq+qrr+rpp)
　　= q(p-q)^2 + r(q-r)^2 + p(r-p)^2 ≧ 0,

変わり映えしねぇ.....
568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 05:59:42.21 ]: >>29-31 >>44
　a,b,c ≧0,
　m = min{a,b,c}
　{a,b,c} = {m,m+x,m+x+y}
とおく。
　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u として
　s^2 -3t = x^2 +xy +y^2,
　st-9u = 2m(x^2+xy+y^2) + x(x+y)(2x+y),
　|⊿| = |(a-b)(b-c)(c-a)| = xy(x+y),

　6s^3 -21st + 27u = 12m(x^2+xy+y^2) + 3(2x^3 +3xxy +5xyy +2y^3)
　　> 3(2x^3 +3xxy +5xyy +2y^3)
　　≧ 3xy(5x+7y)
　　> 15xy(x+y)
　　= 15|⊿|,
569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 06:06:32.37 ]: >>494 の類題

a,b,cを実数、⊿ = (a-b)(b-c)(c-a)、とするとき
　a^4 + b^4 + c^4 + (a+b+c)⊿ ≧ (1/27)(a+b+c)^4,
を示せ。 (こってうし）

www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/672
570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 21:55:29.60 ]: 　I+J+K+L+N = 0 のとき

f(x,y,z) = N(x^4 + y^4 + z^4) + I(yx^3 + zy^3 + xz^3) + J(xy^3 + yz^3 + zx^3) + K(xxyy+yyzz+zzxx) + Lxyz(z+y+z),

を平方和で表わせ。ただし、N = A^2 + B^2 + C^2 とする。
571 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 22:08:28.25 ]: >>570

f(x,y,z) = (Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Pyz + Qzx + Rxy)^2 + cyclic. + K '{xxyy+yyzz+zzxx-xyz(x+y+z)}

とおいて、係数 P,Q,R を求めよう。ここに
　K ' = K - P^2 - Q^2 - R^2 - 2(AB+BC+CA),

まづ
　P + Q + R = - (A+B+C),
　CP + AQ + BR = I/2,
　BP + CQ + AR = J/2,
より
　AP + BQ + CR = -(I+J)/2 -(A+B+C)^2,
クラメルの公式より
　P = {I(B-A) + J(C-A) + 2(A+B+C)(BC-AA)}/D,
　Q = {I(C-B) + J(A-B) + 2(A+B+C)(CA-BB)}/D,
　R = {I(A-C) + J(B-C) + 2(A+B+C)(AB-CC)}/D,
ここに
　D = 2(A^2 + B^2 + C^2 -AB -BC -CA) = (A-B)^2 + (B-C)^2 + (C-A)^2 ≧ 0,

　P^2 + Q^2 + R^2 = (A+B+C)^2 + {(II+IJ+JJ) + 2(I+J)(A+B+C)^2 + 4(AB+BC+CA)(A+B+C)^2}/D,

　PQ + QR + RP = －(1/2){(II+IJ+JJ) + 2(I+J)(A+B+C)^2 + 4(AB+BC+CA)(A+B+C)^2}/D,

これを使えば K ' を計算できる。

　K '≧0 なら平方和になる。そのためには、|A+B+C| がなるべく小さくなるように符号をとるとよい。
572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/28(日) 22:28:51.81 ]: >>571 補足

　xxyy + yyzz + zzxx - xyz(x+y+z) = (1/2){x(y-z)}^2 + (1/2){y(z-x)}^2 + (1/2){z(x-y)}^2 ≧ 0,
573 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/29(月) 01:00:36.43 ]: 1991 IMO 1/4<(a+b)(b+c)(c+a)/(a+b+c)^3≦8/27
574 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/29(月) 01:19:05.81 ]: 1/x^4+1/y^4+1/z^4+1/w^4+9/(x^4+y^4+z^4+w^4)
≧8/9(1/x^2y^2+1/x^2z^2+1/x^2w^2+1/y^2z^2+1/y^2w^2+1/z^2w^2)

≧11/3(x^4+y^4+z^4+w^4)

≧25/4xyzw
575 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/29(月) 01:40:00.54 ]: x=y=z=w=1.

25/4>=4/27>=11/12>=25/4.
576 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/29(月) 02:17:54.40 ]: 1/x^4+1/y^4+1/z^4+1/w^4+9/(x^4+y^4+z^4+w^4)
≧(8/9)(1/x^2y^2+1/x^2z^2+1/x^2w^2+1/y^2z^2+1/y^2w^2+1/z^2w^2)

+11/3(x^4+y^4+z^4+w^4)

≧25/4xyzw

だね。
577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/29(月) 02:38:43.69 ]: >>573

右: 4(a+b)(b+c)(c+a) - (a+b+c)^3 = aa(b+c-a) + bb(c+a-b) + cc(a+b-c) + 2abc > 0,
左: 相加相乗平均
　　8(a+b+c)^3 -27(a+b)(b+c)(c+a)
　　= 3(a+b)(a-b)^2 + 3(b+c)(b-c)^2 + 3(c+a)(c-a)^2 + 2(a^3+b^3+c^3-3abc) ≧ 0,
578 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/29(月) 20:25:51.28 ]: a^n+b^n<c^n
となる整数a,bをcで表しなさい。
579 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/29(月) 22:27:55.11 ]: 　n≧4 で 2^(n-1) < n^(n-2)

を、帰納法以外で示したいのですが
どうすればいいでしょうか。
580 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/29(月) 23:14:01.40 ]: >>579

　n ≦ 2(n-2),
　2^n ≦ 2^{2(n-2)} = 4^(n-2) ≦ n^(n-2),
581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/29(月) 23:49:13.57 ]: おおっ
不等式のプロにかかるとさすがにアッサリですね。
ありがとうございます。>>580
582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 00:40:02.56 ]: 2^2<=n.
2^(n-3)<n^(n-3).
2^(n-1)<n^(n-2).
583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 07:06:53.80 ]: >>546-547

で、この方法は >>2 参考文献[3] P.71の方法4.と同じな希ガス…

　x_(n-1) ≦ G ≦ x_n,
を仮定して
　x_(n-1) + x_n - {x_(n-1)･x_n /G + G} = (x_n - G){G - x_(n-1)}/G ≧ 0,
　x_(n-1) + x_n ≧ {x_(n-1)･x_n /G} + G,
を導いています。
584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 07:12:31.51 ]: つまり既出の証明でも専門誌に発表できるということですね
585 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 07:59:46.12 ]: 対称性に注目って不等式考える上では突飛なアイデアじゃないよね
ってか定跡やん。これを「新証明」と主張することに不安は感じなかったのだろうか。
586 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/30(火) 10:13:00.43 ]: >>573がその後発展してなくて涙目の住民ワロス
587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 12:50:39.36 ]: >>573に書き込んだのに誰からもレスされなくて、
あまりのくやしさに>>586で書き込んだのだった

涙拭けよ
588 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 12:53:45.10 ]: 何言ってだこいつら
589 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 12:59:42.97 ]: いつもの荒らしでしょう
590 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/30(火) 17:51:18.51 ]: そもそも573は問題の解釈が間違っている
真ん中はこの式にはならない
これ書いたやつ馬鹿すぎ
591 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/30(火) 17:56:41.46 ]: 1991問題は
三角形の内心をI、二等分線をAA'BB'CC'とするとき
AIBICI/AA'BB'CCがこの範囲を示せだが
592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 18:38:17.84 ]: AI/AA'=(b+c)/(a+b+c) etc.
593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/30(火) 23:19:26.11 ]: >>573　△の辺だから
　>>577

>>592

　AI/AA' = (△ABC-△BCI)/(△ABC)
に
　△BCI = (1/2)ar,　△ABC = (1/2)(a+b+c)r, を入れる。
（rは△ABCの内接円の半径）
594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 03:30:40.14 ]: >>570-572

〔例1〕　　>>268
　2倍すると
　N=2, I=-6, J=0, K=4, L=0,
　(A,B,C)=(1,-1,0) すると (P,Q,R)=(2,-1,-1) 　K'=0,
　>>284-290

〔例2〕　　>>494 >>504
　27倍すると
　N=19, I=-5, J=49, K=33, L=-96,
　(A,B,C)=(3,-3,1)　(P,Q,R)=(-22/4,11/4,7/4)　K ' = 3/8,
　(A,B,C)=(3,-3,-1)　(P,Q,R)=(-131/28,46/28,113/28)　K ' = 3/8,

〔例3〕　　>>569
　27倍すると、
　N=26, I=-31, J=23, K=-6, L=-12,
　(A,B,C)=(4,-1,-3)　(P,Q,R)=(-2/26,59/26,-57/26)　K '= 29/78
　(A,B,C)=(4, 1,-3)　(P,Q,R)=(-144/74,141/74,-145/74)　K ' = 13/74,
595 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:09:17.96 ]: >>592
間違ってるんだが
596 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:12:33.43 ]: BA'が(a+b)/(2a+b+c)
AI/AA'=(a+b)/(a+b+BA')

を考えると明白な間違い
597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 07:23:05.21 ]: >>596
>BA'が(a+b)/(2a+b+c)

BA'、a、b、cって長さ？
次元が違うんだが
598 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:26:24.06 ]: 二等分線だからこういうふうな比になるだろ
なんで分からないの？馬鹿は死ねよ
599 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:27:50.44 ]: 　　　　　　　　　　／￣￣￣＼
　　　　　　　　　/　　 ⌒　　⌒ ヽ
　　　　　　　　 /　ｨ●ｧ　　ｨ●ｧ |
　　　　　　　　 |　　　　　　　　　|
　　　　　　　　 |　　　　　c{　っ　|
　　　　　　　　 |　　　　＿＿　　　}　　　うーっす
　　　　　　　　/､.　　　　ー　　　ヽ
　　　　　　　/　　　　　　　　　　　　|
　　　　　　　|　　　　　　　　　　 |　/
　　　　　　　ヽ_|　　┌──┐　|丿
　　　　　　　　 |　　├──┤　|
　　　　　　　　 |　　├──┤　|
600 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:28:24.02 ]: 間違いに気付いたか
馬鹿め
601 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:37:45.00 ]: 訂正

BA'が(a+b)（b+c）/(2a+b+c)
AI/AA'=(a+b)/(a+b+BA')
602 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:39:19.07 ]: 上を下に入れると
a+bがきれいにきえて

（2a+b+c）/２(a+b+c)

になるんで、上のほうの解答は大間違い
603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 07:41:40.55 ]: >>601
a=b=cのときBA'=(a+b)（b+c）/(2a+b+c)=a=BCになるんだが
604 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 07:53:35.71 ]: 解答が自動化してるイカサマ師が何を言っても恥ずかしいだけ
605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 07:59:55.86 ]: ここまで飛ばし読みした俺様に、修正バージョンを書いてくれ
606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 08:36:42.89 ]: 適当にでっちあげた式にでっちあげた式を入れる遊びは楽しいかね
607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 17:25:11.12 ]: 　　　　　⊿　　　　　○　　　∇　、＿＿＿,､´｀ﾞ；~､　　';冫　☆
　　　　　　　　　　　┏　 ━ゝヽ''／　　≧　＼━〆Ａ!ﾟ━━┓。
　╋┓"〓┃　＜　ゝ＼',冫｡'　|:::: 　＼ .／　|゛△│´'´,.ゝ'┃.　　　　　 ●┃ ┃┃
　┃┃_.━┛ヤ━━━━━━|::::: (●　(● |━━━━━━━━━　　━┛ ・　・
　　　　　　　　∇ 　┠─Σ-　　ヽ::::... .ワ.....ノ　　冫　そ',´; ┨'ﾟ,。
　　　　　　 .。冫▽　＜　　 ⊂ 　　　./⊃　　　　乙　　≧　　　▽
　　　　　　　　　。　┃　　 Σ　　（⌒ゞ　,l,　､'' 　│ 　て　く
　　　　　　　　　　　┠─ム┼ 　　ゝ,,ﾉ　ﾉゝ.　､,,　.┼ ｧ　Ζ┨　ミｏ''｀
　　　　　　　　　。､ﾟ`。､　　　i／　　　レ' o。了　､''　×　个ｏ
　　　　　　　　○　 ┃ 　　`､,~´＋√ ▽　　',!ヽ.◇　　　ｏ┃
　　　　　　　　　　 ┗〆━┷　Ｚ,.'　/┷━''ｏヾｏ┷+＼━┛,゛；
　　　　　　ヾ　　　⊿　　　　　　　　　　　　　　　'、´　　　　∇

荒れたスレに不等式ヲタが光臨！整理すると以下の如しだ！

【1991 IMO 問１】
△ABCの内心をI、二等分線をAA'BB'CC'とするとき、
　1/4 < (AI・BI・CI)/(AA'・BB'・CC) ≦ 8/27

【証明】
>>592
角の二等分線の定理から、容易に
　AI/AA' = (b+c)/(a+b+c)、BI/BB' = (c+a)/(a+b+c)、CI/CC' = (a+b)/(a+b+c)
>>573
示すべき不等式は
　 1/4 < (a+b)(b+c)(c+a)/(a+b+c)^3 ≦ 8/27
>>577
右: 4(a+b)(b+c)(c+a) - (a+b+c)^3 = aa(b+c-a) + bb(c+a-b) + cc(a+b-c) + 2abc > 0,
左: 相加相乗平均
　　8(a+b+c)^3 -27(a+b)(b+c)(c+a)
　　= 3(a+b)(a-b)^2 + 3(b+c)(b-c)^2 + 3(c+a)(c-a)^2 + 2(a^3+b^3+c^3-3abc) ≧ 0,
608 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 17:50:46.29 ]: >>590、>>595-602 をあぼーんすればよろし
609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 18:59:22.02 ]: なんで590、598、600は偉そうなの？馬鹿なのに
610 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 19:52:41.70 ]: a>0 のとき　(a-x)^n + (a+x)^n > 2a^n

って明らかですか？どう示せばいいでしょうか。
611 名前：610 [2011/08/31(水) 19:53:43.74 ]: 間違えました。>じゃなくて≧でした。
(a-x)^n + (a+x)^n ≧ 2a^n です。
612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 20:13:46.88 ]: n≧1かな？
凸不等式でおｋ
613 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 20:35:31.95 ]: 変な質問ですが、「不等式評価」って言葉はありますか？
クラスの数学得意なやつが使ってたんですが、先生も初めて聞いたと言っていました。
614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 20:46:46.40 ]: 不等式で評価する

って普通に使うね。
615 名前：１３２人目の素数さん [2011/08/31(水) 21:48:26.70 ]: 進学校じゃないかぎり学校の先生は大抵教育学部出身だから、評価estimateとか言っても基本的には通じない。

数学に限ったことじゃないけど本当に「小中高の勉強」ができてた奴は教師になってない。
616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/08/31(水) 21:51:24.37 ]: >>615
> 数学に限ったことじゃないけど本当に「小中高の勉強」ができてた奴は教師になってない。

なんで？
617 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/01(木) 11:19:10.51 ]: >>607
なんでa+ｂ＋ｃがでてくるんだよ。AB,ACは足したら2a+b+cだろうが
618 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 11:42:35.32 ]: 何言ってだこいつ
619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 12:14:01.46 ]: しーっ、目を合わせちゃいけません
620 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/01(木) 16:33:02.11 ]: a+b+cってどこにあるの
621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 22:15:08.17 ]: 上から評価、下から評価

とか言った使い方をよくする
622 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 22:41:35.38 ]: >>525

〔補題〕　
AB ≦ CA, CB のとき、
三角形ABCの内部の点Pに対して PA + PB + PC < CA + CB.
623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/01(木) 22:45:57.36 ]: >>622

(略証)
Pを直線上で動かすとき、AP,BP,CP は下に凸(*)だから
　f(P) = AP+BP+CP も下に凸。
直線CPと辺ABの交点をQ とすると、凸性から
　f(P) < max{f(C), f(Q)}
ところで題意より
　f(Q) = (AQ+QB) + CQ = AB + CQ ≦ AB + max{CA,CB} ≦ CA + CB = f(C),
∴　f(P) < f(C),

* この直線をt軸とすると g(t) = √(a^2 + t^2) は
　　a≠0 のとき双曲線。
　　a＝0 のとき g(t)=|t| でＶ字形の折れ線。
624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/02(金) 22:57:20.36 ]: 0＜a、a≠1
((a^(2n+1)/(a-1))+(a(1-a^2n)/2n(1-a)^2)^2n)/a^n(2n+1)≧(2n)！
625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/03(土) 08:01:27.09 ]: 1 ≦ a、b、c ≦ 2 に対して、(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+a) + (c+a)/(a+b) の最大値（上限）は？
626 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/04(日) 20:20:23.84 ]: >>625

通分して
{(19/6) - (与式)}*(a+b)(b+c)(c+a)
　= (19/6)(a+b)(b+c)(c+a) - (c+a)(a+b)^2 - (a+b)(b+c)^2 - (b+c)(c+a)^2
　= (1/6){(aab+bbc+cca) + 7(abb+bcc+caa)} + (1/3)abc -(a^3 +b^3 +c^3)
　= (4/3)[k(aab+bbc+cca)+(1-k)(abb+bcc+caa)] + (1/3)abc -(a^3 +b^3 +c^3)　　(k=1/8)
　= (1/4){10[k(aab+bbc+cca)+(1-k)(abb+bcc+caa)] -4(a^3+b^3+c^3) -15abc}
　+ (7/12){-2[k(aab+bbc+cca) + (1-k)(abb+bcc+caa)] +7abc}
　= (1/4)F(k) + (7/12)G(k)
　≧ 0,
627 名前：626 mailto:sage [2011/09/04(日) 20:25:44.92 ]: >>625　(続き)

〔補題1〕
-1/5≦k≦6/5 のとき
　F(k) = 10[k(aab+bbc+cca)+(1-k)(abb+bcc+caa)] -4(a^3+b^3+c^3) -15abc ≧ 0,
(略証)
　(2a-b)(2b-a)(2a-c) + c.c. = 12(aab+bbc+cca) - 2(abb+bcc+caa) -4(a^3 +b^3 +c^3) -15abc ≧ 0,
　(2a-b)(2b-a)(2b-c) + c.c. = -2(aab+bbc+cca) +12(abb+bcc+caa) -4(a^3 +b^3 +c^3) -15abc ≧ 0,
から。

〔補題2〕
-1≦k≦2 のとき
　G(k) = -2[k(aab+bbc+cca) + (1-k)(abb+bcc+caa)] +7abc ≧ 0,
(略証)
　(2a-b)(2b-c)(2c-a) = -4(aab+bbc+cca) +2(abb+bcc+caa) +7abc ≧ 0,
　(2b-a)(2c-b)(2a-c) =　2(aab+bbc+cca) -4(abb+bcc+caa) +7abc ≧ 0,
から。
628 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/04(日) 23:58:47.65 ]: 〔類題〕
1 ≦ a,b,c,d ≦ 2 に対して
　4 ≦ (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + (c+d)/(d+a) + (d+a)/(a+b) < 11/2.

[第２章.325-326 , 514-519]
　
上限（～17/4）を出すのは大変でござるよ、ﾆﾝﾆﾝ。 ( ﾟ∀ﾟ)
629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/05(月) 01:06:11.79 ]: ついでに....

>>102
　[第２章.643-645]

>>350-356
　[第２章.780 , 786-818]
630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/05(月) 01:54:00.74 ]: >>628

題意より (a-c)/(b+c) ≦ 1/2,　4-b-c≧0.
加比の理より、
　(a+b)/(b+c) = 1 + (a-c)/(b+c) ≦ 1 + [a-c +(4-b-c)/2]/[(b+c) +(4-b-c)] = 1 + [2 +a -(1/2)b -(3/2)c]/4.
循環的に加える。
　(左辺) ≦ 4 + [8-(a+b+c+d)]/4 ≦ 5.

[第２章.522,526]
631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/05(月) 03:01:55.82 ]: >622

(略証)
点Pを通りCPに垂直な直線Lと辺CA, 辺CB の交点を A', B' とする。
　CP < CA', CP < CB'

直線L上でPを動かしたとき、AP+BP は単一の極小をもつ。
∴　AP+BP < AA' + A'B または AP+BP < AB' + B'B のいずれかが成立。
　〔 LがBCと交わらない場合は △AA'B ⊃ △APB ∴ AP+BP < AA' + A'B〕

∴　AP+BP+CP < CA + A'B < CA + max{AB,CB} = CA + CB,　または
　　AP+BP+CP < AB' + CB < max{AB,CA} + CB = CA + CB,

[参考文献3] p.18-19, 例題10.(Visschersの問題)
632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/05(月) 21:11:27.93 ]: >>625
　(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+a) + (c+a)/(a+b) < 3 + 3/10,
なら簡単だが.....
題意より (a-c)/(b+c) < 1/2,
加比の理より
　(a+b)/(b+c) = 1 + (a-c)/(b+c) < 1 + {(a-c)+(a-1)/2}/(a+b+c-1),
循環的にたす。
　(与式） < 3 + {(a+b+c-3)/2}/(a+b+c-1) < 3 + 3/10,

>>628　>>630
　(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + (c+d)/(d+a) + (d+a)/(a+b) < 4 + 2/3
なら簡単だが.....
題意より　(a-c)/(b+c) < 1/2,
加比の理より
　(a+b)/(b+c) = 1 + (a-c)/(b+c) < 1 + {(a-c)+(d+a-2)/2}/(a+b+c+d-2),
循環的にたす。
　(与式) < 4 + (a+b+c+d-4)/(a+b+c+d-2) < 4 + 2/3,
633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/05(月) 21:16:15.35 ]: 難し杉…
634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/06(火) 19:50:20.37 ]: 分かり松…
635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/07(水) 23:02:48.81 ]: それっ桐…
636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/08(木) 10:20:53.57 ]: ネタ切れ梅
637 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/08(木) 10:24:34.78 ]: 次のネタ投函を待つ竹さ…
638 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/09(金) 02:47:11.86 ]: 粟てず、ゆっ栗…
639 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/09(金) 14:58:55.66 ]: For a>1,b>1,c>1,Prove that for positive integer n

(a-1)(b-1)(c-1)n^3+[(a-1)(b-1)+(b-1)(c-1)+(c-1)(a-1)]n^2
+(a+b+c-3)n+1≦(abc)^n.
640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/10(土) 07:21:21.34 ]: >>639

　LHS = {(a-1)n+1}{(b-1)n+1}{(c-1)n+1},

(i) For n=1, equality holds.

(ii) For n>1 and t≧-1, by AM-GM,
　f(t) = t^n -n(t-1) -1 = t^n -nt +(n-1)
　　= (t^n + 1 + …… + 1) - nt
　　= (t-1){t^(n-1) + t^(n-2) + …… + t -(n-1)}
　　= (t-1)g(t)
　　≧ 0.　　　　　　　　　　　　(*)
　Equality holds only if t=1.

*)
　For -1≦t<1,　g(t) < 0.
　For t>1,　g(t) > 0.
641 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/10(土) 20:15:07.41 ]: >>611
　nが偶数または a>0 のとき
　(左辺) - (右辺) = 2Σ_(k=1,[n/2]) Ｃ(n,2k) a^(n-2k) x^(2k) ≧ 0,
　等号成立は x=0 のとき。

>>612
　nが奇数（>1）かつ |x| >a のとき ……
642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/10(土) 21:00:30.45 ]: >>611
nについての帰納法による。

・n=1 のとき等号成立。

・n>1 のとき
f_n(a,x) = (a-x)^n + (a+x)^n - 2a^n
　　　　= a･f_(n-1)(a,x) + x{(a+x)^(n-1) - (a-x)^(n-1)}
　　≧ a･f_(n-1)(a,x),
∵
　x>0 のとき a+x > |a-x|,
　x<0 のとき a-x > |a+x|,
　x{(a+x)^(n-1) - (a-x)^(n-1)} ≧ 0,
よって
　f_n(a,x) ≧ a･f_(n-1)(a,x) ≧ …… ≧ a^(n-1)･f_1(a,x) = 0,
643 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/11(日) 00:59:16.87 ]: >>625 >>628

文字の数をn個に拡張すると……

(a,b,c,……) の並びが (1,1,2) と (1,1,2,2) の組み合わせのとき、

n=4m　 :　n + n/16,
n=4m+1 :　n + (n-9)/16 + 1/2,
n=4m+2 :　n + (n-6)/16 + 1/3,
n=4m+3 :　n + (n-3)/16 + 1/6,

∴ 最大値はこれ以上だが....
644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/11(日) 11:36:09.72 ]: 〔問題〕
正の実数 x,y,z が三角形（最大角θ）の３辺の長さとなるとき
　S = (x^2+y^2+z^2)/(xy+yz+zx),
のとりうる値の範囲を求めよ。（じゅー)

www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/679-
645 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/11(日) 14:40:04.06 ]: >>644　のあらすじ

正弦定理より
　S = {sin(A)^2 + sin(B)^2 + (sinθ)^2}/{sin(A)sin(B) + [sin(A)+sin(B)]sinθ},

A+B+θ = 180ﾟ（θ≧60ﾟ）より

　S = 2{2+cosθcos(A-B) -(cosθ)^2}/{4(1+cosθ)sin(θ/2) +cos(A-B) +cosθ}
これは |A-B| について単調増加。

∴　2(2-cosθ)/{1+4sin(θ/2)} ≦ S < 2,
　左側の等号は A=B=(180ﾟ-θ)/2,
　右側の不等号は {A,B}→{0ﾟ, 180ﾟ-θ}
646 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/14(水) 00:12:23.53 ]: For a,b,c>0 with a+b+c=3, Prove that
a/1+(b+c)^2+b/1+(a+c)^2+c/1+(a+b)^2≦3(a^2+b^2+c^2)/(a^2+b^2+c^2+12abc)
647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/14(水) 01:02:37.37 ]: >>646
a/{1+(b+c)^2} のつもりだよな？（残り２つも）
648 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/16(金) 22:27:40.55 ]: 【うんち問題】
a > b > 0 のとき、a + 1/{(a-b)b} ≧ 3

【本題】
正の数 x、y、z と正の有理数 a、b、c に対して、
　 (x^a・y^b・z^c)/{(x+y+z)^(a+b+c)} ≦ (a^a・b^b・c^c)/{(a+b+c)^(a+b+c)}

　　　　　　　＿＿＿　
彡　　　　／　　≧　＼　　　　彡　ﾋﾞｭｩ……
　　彡　　 |:::　＼ .／ |　　彡
　　　　　　|:::: (●　(●|　　　　もう秋ですなぁ…
　　　　　　ヽ::::......ワ...ノ　　　　過去スレに a+b+c=1の場合があったような希ガス
　　　　　人つゝ人,,　　　　　　　　　ﾃﾍｯ！
　　　　　Ｙノ人　ノノノゞ⌒～ゞ　　　
　　　 .　ノ /ミ|＼、　　　ノノ　（　彡
　　　　 `⌒ 　.Ｕ~Ｕ`ヾ　　　　丿
　　　　　　　　　　　　 ⌒～⌒
649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/17(土) 00:45:14.80 ]: >>646
　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと
　LHS = a/{(s/3)^2 +(s-a)^2} + b/{(s/3)^2 +(s-b)^2} + c/{(s/3)^2 +(s-c)^2}
　　　= 9(100s^5 -270s^3･t +378s^2･t +81tu)/(100s^6 -180s^4･t +324s^3･u +810s^2･t^2 -1458stu +729u^2),
　RHS = 9(a^2+b^2+c^2)/{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+36abc}
　　　= 9(s^2 -2t)/(s^3 -2st+36u),
は使いたくないし...

>>648　【うんち】
　(a-b)b = (a/2)^2 - (a/2 - b)^2 ≦ (a/2)^2,

相加･相乗平均より
　(左辺) ≧ a + (2/a)^2
　　= a/2 + a/2 + (2/a)^2
　　= 3 + (1+a)(1 - 2/a)^2
　　≧ 3,
650 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/17(土) 14:08:46.56 ]: ＞＞【本題】
正の数 x、y、z と正の有理数 a、b、c に対して、
　 (x^a・y^b・z^c)/{(x+y+z)^(a+b+c)} ≦ (a^a・b^b・c^c)/{(a+b+c)^(a+b+c)}

Just use weighted AM-GM inequality. Done!
651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/17(土) 15:06:06.78 ]: >>648　>>650

　L(X)=log(X) は上に凸なので、Jensen により

　a･L(x/a) + b･L(y/b) + c･L(z/c) ≦ (a+b+c)･L((x+y+z)/(a+b+c)),
652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/17(土) 18:48:40.09 ]: ということで、>>648を修正すると…

---------------------------------------------------
非負実数 x、y、z と正の数 a、b、c に対して、
　 (x+y+z)/(a+b+c) ≧ {(x/a)^a・(y/b)^b・(z/c)^c}^{1/(a+b+c)}
等号成立条件は、x/a = y/b = z/c のとき
---------------------------------------------------

これを使えば、次式も出てくるよね？間違ってないかな？

正の数 x、y、z が x+y+z=1 をみたすとき、
　 x^x・y^ｙ・z^z ≧ (x^y・y^z・z^x + x^z・y^x・z^y)/2
　 x^x・y^ｙ・z^z ≧ x^{(y+z)/2}・y^{(z+x)/2}・z^{(x+y)/2}

もっと面白いのできないかな？

　　　　 |
　＼　　__　　／
　＿　（ｍ）　＿ﾋﾟｺｰﾝ
　　　　|ミ|
　／＿＿＿＼　　　
　.／　　≧　＼　　
　|:::: 　＼ .／　|　　
　|::::: (●　(● |　＜相加ッ！相乗だったのか！ﾊｧﾊｧ…
　ヽ::::... .ワ.....ノ
653 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/18(日) 21:34:16.82 ]: For x, y, z>0 with xyz=1.

Prove that

(x+3)/[(x+1)^2]+(y+3)/[(y+1)^2]+(z+3)/[(z+1)^2]
654 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/18(日) 21:35:58.39 ]: For x, y, z>0 with xyz=1.

Find the maximum value of

(x+3)/[(x+1)^2]+(y+3)/[(y+1)^2]+(z+3)/[(z+1)^2]
655 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/18(日) 21:37:38.42 ]: Sorry for multi posts,

For x, y, z>0 with xyz=1.

Find the minimum value of

(x+3)/[(x+1)^2]+(y+3)/[(y+1)^2]+(z+3)/[(z+1)^2]
656 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/19(月) 13:41:18.19 ]: 不等式か！

ハーディーと誰かがコレクション集だしてたよね

おまえ等、買った？
657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/19(月) 14:37:40.12 ]: >>656
コレクションですと！
ｋｗｓｋ！
658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/19(月) 16:46:53.20 ]: 今日も自演操業乙であります！
659 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/19(月) 21:32:54.72 ]: >>417
www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/630
660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/19(月) 22:09:41.76 ]: >>659

つまり >637 によれば
　f(x) = (x-a)(x-b)(x-c) = x^3 -(a+b+c)x^2 +(ab+bc+ca) -abc,
とおくと
　f(x)f(-x) = (-x^2 +a^2)(-x^2 +b^2)(-x^2 +c^2)
　　= -x^6 +(a^2+b^2+c^2)x^4 -{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}x^2 +(abc)^2
　　= -(x^2){(ab+bc+ca) + x^2}^2 + {abc + (a+b+c)x^2}^2,　(恒等式)

x^2 = -1 を代入して
　(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) = (ab+bc+ca-1)^2 + (abc -a-b-c)^2,
661 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/20(火) 12:41:18.89 ]: Just use,1+a^2=(1+ai)(1-ai) Done!
662 名前：MaxValu mailto:sage [2011/09/21(水) 12:37:20.35 ]: >>654

　(x+3)/(x+1)^2 = 1/(x+1) + 2/(1+x)^2 ≦ 3/(1+x),

　1/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1) = (3+2s+t)/(1+s+t+u)
　= 2 - (-1+t+u)/(1+s+t+u)
　< 2,
ここに、s=x+y+z≧3, t=xy+yz+zx≧3, u=xyz=1,
よって
　(与式) < 6,
上限に近づくのは、(例) x→0, y→0 のとき。
663 名前：Aeon mailto:sage [2011/09/21(水) 13:44:34.02 ]: >>662 の訂正
　1/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1)
　= (3+2s+t)/(1+s+t+u)
　= 2 - (-1+t+２u)/(1+s+t+u)
　< 2,

>>655
　　1/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1)
　= (3+2s+t)/(1+s+t+u),

　　1/(x+1)^2 + 1/(y+1)^2 + 1/(z+1)^2
　= {(3-6u) + (4-2u)s + 2s^2 + 2st + t^2}/(1+s+t+u)^2,

　(与式) ={9(1-u) + (13-2u)s +(4+u)t +6s^2 +7st +3t^2}/(1+s+t+u)^2
　　　= 3 + {3(2-5u-u^2) +(7-8u)s -(2+5u)t +3s^2 +st}/(1+s+t+u)^2
　　　= 3 + (-12 -s -7t +3s^2 +st)/(1+s+t+u)^2　　　(← u=1)
　　　= 3 + {(5s/3 +4 +t)(s-3) +(4/3)(s^2 -3t)}/(1+s+t+u)^2
　　　≧ 3,
等号成立は s=t=3 すなわち x=y=z=1 のとき。
664 名前：１３２人目の素数さん [2011/09/21(水) 19:33:44.04 ]: For a,b,c>0, prove that
4(a^3+b^3+c^3-3abc)^3≧27(a^2b+b^2c+c^2a-3abc)^3
665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/22(木) 21:55:07.55 ]: >>664

　a^3 +b^3 +c^3 -3abc ≧ 3k･(aab +bbc +cca -3abc),
　k = 1/{4^(1/3)} ～ 0.630
----------------------------------------------------
Let's put
　m = min{a, b, c}
　(a, b, c) = (m, m+x, m+x') or its rotation,
where x≧0, x'≧0.
Then,
　a^3 + b^3 + c^3 -3abc = (a+b+c){(a-c)^2 -(a-c)(b-c) +(b-c)^2}
　　　　= (3m+x+x'){x^2 -xx' +(x')^2},
　aab +bbc +cca -3abc = m{x^2 -xx' +(x')^2} + (x^2)x',
and
　LHS - RHS ≧ (x+x'){x^2 -xx' +(x')^2} -3k(x^2)x'
　　　= (x + kx')(x - x'/√k)^2
　　　≧ 0.
Equality holds for (m, m+x, m+x') = (0, 1, √k)
666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/22(木) 22:37:30.61 ]: >>656
>>2の[1]のことか？
667 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/22(木) 23:58:15.43 ]: 正の数a、b、c、dに対して
　2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)^3 ≧ 27(abc + abd + acd + bcd)^2

( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！
668 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/23(金) 00:28:08.23 ]: a[k]＞0　(1≦k≦n)
(x-a[1])(x-a[2])(x-a[3])…(x-a[n])=Σ[k=0,n] (-1)^(n-k)p[k]x^kとしたとき、
i＜j⇒(p[i]/binomial(n,i))^(1/i)≧(p[j]/binomial(n,j))^(1/j)　(等号成立はa[1]=a[2]=a[3]=…=a[n]のとき)
らしいのですが、どうやって証明するのが一番きれいですか？
コーシーシュワルツのようなきれいな証明を知りたいです。
669 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/23(金) 00:54:07.39 ]: >>668
S_k = p[k]/binomial(n,k) とおいて、(S_k)^2 ≧ S_(k-1)・S_(k+1) を示し、これを用いるのぢゃ
670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/23(金) 08:23:21.67 ]: >>667
[初代スレ.455、473-474]

>>668
　Π[k=1,j-1] (S_k)^(2k) ≧ Π[k=1,j-1] {S_(k-1)･S_(k+1)}^k,
より
　(S_{j-1})^j ≧ S_0･(S_j)^(j-1),
　S_0 = 1,

[初代スレ.257, 263-271]
参考文献[1] Cambridge版 (1934) の 2.22節、公式51-55
E.F.Beckenbach - R.Bellman, "Inequalities", Ergebnisse叢書、Springer (1961) p.11

>>669
　Q_k = (S_k)^2 - S_(k-1)・S_(k+1) = {1/(n･k･C[n,k]･C[n-1,k])}Σ{j=0,k-1} [k;j]/(j+1) ≧ 0,
　ここに [k;j] は {a1･a2･････a(k-j-1)}^2 a(k-j)････a(k+j-1){a(k+j)-a(k+j-1)}^2 という型の積すべての和
ですね。
[初代スレ.480-481]
数セミ増刊「数学の問題　第１集」No.21 (1977.2)
671 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/23(金) 09:52:01.92 ]: >>670
　　＿＿＿
　.／　　≧　＼　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
　|:::: 　＼ .／　|　初代スレ懐かしい…
　|::::: (●　(● |　あれから７年も経ったのか…
　ヽ::::... .ワ....ノ　　n
￣￣　　　＼　　（ E）
フ　　　 /ヽヽ_／／
672 名前：仙石６０ mailto:暴力 [2011/09/23(金) 09:56:22.55 ]: じゃかあしい、黙ってろ！
673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/23(金) 10:15:54.71 ]: >>672
誰だね君は？
674 名前：仙石６０ mailto:阿呆 [2011/09/23(金) 10:18:00.02 ]: 俺はいまや　毎日が日曜日。
職業に関係する知識とノウハウは誰にも負けん。
675 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/09/23(金) 13:50:55.86 ]: ワシかていまや　毎日が日曜日。
馬鹿潰しに関係する知識とノウハウは誰にも負けん。

猫
676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/23(金) 13:56:54.76 ]: 毎日が充実してて何よりですワ
677 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/09/23(金) 15:53:56.74 ]: そうですねん。飯も美味いし酒も美味いワ。

猫
678 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/23(金) 19:22:28.01 ]: >>668-669
　(S_k)^2 ≧ S_(k-1)･S_(k+1),
より
　1/S_0 ≧ ･･････ ≧ (S_k)^(k-1)／(S_{k-1})^k ≧ (S_{k+1})^k／(S_k)^(k+1) ≧ ････,
　S_0 = 1,
とすべきか....
679 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/24(土) 00:27:51.12 ]: >>669 >>670 >>678
遅くなりましたがありがとうございます。
これは相加相乗平均の関係の拡張版と見なしていいですよね。
不等式の奥深さを改めて感じました。
n=6の場合についての問題が本に載っていたのですが、
皆目見当が付かず、答えが載っていなかったため数週間迷った挙句本屋に行っても
これについて解説している本が見つからなくて途方に暮れていました。
紹介していただいた参考文献[1]を是非読んでみたいと思います。
680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/24(土) 01:53:55.13 ]: >>679
> n=6の場合についての問題が本に載っていたのですが、

その本の紹介きぼんぬ！ですぢゃ
681 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/25(日) 09:38:07.22 ]: 使えんやっちゃな
682 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/25(日) 18:40:04.63 ]: >>680
シュプリンガーの『数学発想ゼミナール』3巻（第7章の題は「不等式」です）p.357

「x^6-6x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+1=0の解は全て正であるという。
このときa,b,c,dを決定せよ。」

という問題です。
2次、3次方程式の解が全て実数かつ正であるための条件は
増減表などによって調べることが出来ました。
ここで上の命題を予想し、解が全て正である4次以上の方程式についても確かめたところ、正しそうだと分かりました。
相加-相乗平均の関係についての節の問題だったうえ、2項係数が出てきたため、
予想を導くこと自体はそれほど難しくありませんでした。
もし正しければa=15,b=-20,c=15,d=-6と定まり、x=1を6重解として持ちます。
しかし、証明がなかなか思いつかなかったので今回質問させていただきました。
683 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/25(日) 19:55:12.30 ]: >>682

根をα,β,γ,δ,ε,ζ とする。根と係数の関係より
　(α+β+γ+δ+ε+ζ)/6 = 1 = (αβγδεζ)^(1/6),
　相加平均 = 相乗平均,
また、題意より根>0 だから等号条件より
　α = β = γ = δ = ε = ζ = 1,
以下ry)
684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/26(月) 07:09:34.82 ]: 定理に辿りつけたのはご明察だが…
685 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/27(火) 00:12:09.52 ]: >>682

根を A,B,C,D,E,F >0 とするとき
　（A+B+C+D+E+F)^6 - (6^6)ABCDEF = Σ' {･･正の式･･･}(A-B)^2,
の形になることを示そう。
686 名前：685 mailto:sage [2011/09/27(火) 00:18:25.59 ]: (略証)
まづ、
　(A+B+C+D+E+F)^6 = (1/60)g + (1/2)h + (5/4)i + 5j1 + (5/6)j2 + 20k + 20L1 + 5L2 + 45m + 30n + 2o,
ここに
　g = 60(A^6 + B^6 + … + F^6) = 60[6],
　h = 12Σ (A^5)B = 12[5,1],
　i = 12Σ (A^4)(B^2) = 12[4,2],
　j1 = 6Σ（A^4)BC = 6[4,1,1],
　j2 = 24Σ (AB)^3 = 24[3,3],
　k = 3Σ (A^3)(B^2)C = 3[3,2,1],
　L1 = 6Σ (A^3)BCD = 6[3,1,1,1],
　L2 = 18Σ (ABC)^2 = 18[2,2,2],
　m = 4Σ (AB)^2･CD = 4[2,2,1,1],
　n = 12Σ (A^2)BCDE = 12[2,1,1,1,1,1],
　o = 360･ABCDEF,
である。

ここで、Muirhead により
　g - h = 12Σ (A^5 - B^5)(A-B) = 12Σ {A^4 +A^3･B + (AB)^2 +AB^3 +B^4}(A-B)^2,
　h - i = 12Σ AB(A^3 - B^3)(A-B) = 12Σ AB(A^2 +AB +B^2)(A-B)^2,
　i - j1 = 12Σ C^4･(A-B)^2,
　i - j2 = 12Σ (AB)^2･(A-B)^2,
　j1 - k = 3Σ (A^2)BC･(A-B)^2,
　j2 - k = 3Σ (B^3)C･(A-B)^2,
　k - L1 = 3Σ (C^3)D･(A-B)^2,
　k - L2 = 3Σ AB(C^2)･(A-B)^2,
　L1 - m = 2Σ ABCD･(A-B)^2,
　L2 - m = 2Σ (CD)^2･(A-B)^2,
　m - n = 4Σ (C^2)DE･(A-B)^2,
　n - o = 12Σ CDEF･(A-B)^2,
を使う。(終)
687 名前：685 mailto:sage [2011/09/27(火) 00:58:03.82 ]: 補足
　Σ' はあらゆる文字の入替えに亘る和。（ただし同じものは1回ずつ）
　g = 60Σ' A^6,
688 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/27(火) 01:51:31.96 ]: >>687
顔文字に見えた
689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/09/28(水) 21:32:43.48 ]: >>683
恥ずかしながら、上述の定理を予想していざ計算！
…という段階になってはじめてその解法に気付きました。
もっとも、遠回りの結果美しい不等式に出会えたので良かったのですが。

>>685-687
調べてみたところ、Muirhead's inequalityという名称があるのですね。
かなり複雑に見えますが、じっくり読ませていただきます。
690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/03(月) 22:24:05.40 ]: x＞0
⇒e*x^(ex)≧1
691 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/07(金) 13:50:28.39 ]: xln x≧-1/e (x>0)
692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 02:12:36.05 ]: x>0
⇒ 1/x = e/(ex) ≦ e^(1/(ex)),
⇒ -log(x) ≦ 1/(ex),
⇒ x･log(x) ≧ -1/e,
693 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 12:12:24.28 ]: f : R→R
∀x、 y∈R に対して f(x+y) ≦ yf(x) + f(f(x)) が成立するとき、
∀x<0 に対して f(x)=0 を示せ
694 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/08(土) 12:13:03.15 ]: いちおう不等式がらみということで… ( ﾟ∀ﾟ)
695 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/10(月) 00:08:46.16 ]: >>689

aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwasen/egyptian/egyptian.html
messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&start=46
　Yahoo!掲示板 - 科学 - 数学 - 出題(不等式)
planetmath.org/encyclopedia/MuirheadsInequality.html (英語)

示野信一:「対称式と不等式」数セミ、48巻、2号、通巻569 (2009/Feb) の p.26-29
G.H.Hardy、J.E.Littlewood & G.Polya: 「不等式」、ｼｭﾌﾟﾘﾝｶﾞｰ･ﾌｪｱﾗｰｸ東京 (2003/9) \5040 の 2.19節
696 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/10(月) 00:22:46.59 ]: >>695 訂正

messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&start=46
697 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/11(火) 08:37:52.47 ]: >>693

IMO 2011 Problem 3
698 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/19(水) 01:01:58.86 ]: a,b,c>0→a^{b+c}+b^{c+a}+c^{a+b}≧1
699 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/19(水) 11:52:19.94 ]: x, y, z ＞0 (xyz=1)⇒ x^4+y^4+z^4+33≧12(xy+yz+zx)
700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/20(木) 11:41:10.61 ]: >>699
わからん！
701 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/21(金) 22:08:38.80 ]: 受験板より

f :R → Rは三回微分可能な関数で,全てのxについて次の条件①,②が成り立っている
①f(x)>0,f'(x)>0,f''(x)>0,f'''(x)>0
②f'''(x)≦f(x)
このとき全てのxについて2f(x)>f'(x)が成立することを示せ
702 名前：１３２人目の素数さん [2011/10/22(土) 01:18:30.97 ]: d/dx e^{2x}f(x)
703 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/22(土) 08:08:04.99 ]: そんなのは誰でも思いつくが、そこから先は？
704 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/22(土) 08:33:46.75 ]: >>703
俺は気づかなんだが、あとは推して知るべしだぞ！
705 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/22(土) 16:57:35.04 ]: d/dx e^{-2x}f(x)　じゃないのけ？
706 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/24(月) 16:01:25.22 ]: >>701
これどうするん？
和歌んねーよ！
707 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/24(月) 18:16:31.51 ]: >>682
これスツルムの定理で解けない？
708 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/26(水) 22:05:09.91 ]: >>698

(1) a,b,c の中に１以上のものがあるときは明らか。

次に　M = Max{b+c,c+a,a+b} とおく。

(2) a,b,c ≦ 1 かつ M ≦ 1 のとき
　b+c≦1, …, …
　y=x^(b+c) は xについて上に凸だから（x=1での）接線の下側にある。
　x^(b+c) ≦ 1 +(b+c)(x-1) ≦ 1 + (b+c)x,
　(1/x)^(b+c) ≧ 1/{1 + (b+c)x},　　(ベルヌーイの式)
x=1/a とおいて
　a^(b+c) ≧ a/(a+b+c),
　循環的にたす。

(3) a,b,c ≦ 1 かつ M ≧ 1 のとき
　0 < a ≦ b,c ≦ 1　としても一般性を失わない。
　a+b, a+c ≦ b+c = M,
　(与式) ≧ b^(c+a) + c^(a+b)
　　　≧ b^M + c^M
　　　≧ 2･(M/2)^M　　　(← 下に凸)
　　　≧ 2(1/2)　　　　(← *)
　　　= 1,

*)　{M･log(M/2)} ' = 1 + log(M/2),
∴　(M/2)^M は M>2/e　　で単調増加。
∴　(M/2)^M ≧ 1/2,　　　(M≧1)

　casphy - 高校数学 - 不等式 - 710～713
709 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/10/31(月) 21:43:49.36 ]: ３辺の長さがa、b、cの三角形の外接円、内接円の半径をR、rとおくとき、a+b+c < 4(R+r)
( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
710 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/01(火) 11:57:24.96 ]: a, b, c>0, √a+√b+√c=3⇒

a/√(a+b)+b/√(b+c)+c/√(c+a)≧3/√2
711 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 19:18:16.06 ]: ウィキペの相加相乗平均の説明しょぼい・・・
712 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/01(火) 23:21:22.64 ]: >>709
例によって
　(a+b+c)/2 = s,
　(s-a)(s-b)+(s-b)(s-c)+(s-c)(s-a) = t,
　(s-a)(s-b)(s-c) = u,
とおく。
△不等式より、s-a>0, s-b>0, s-c>0,
ヘロンの公式：Ｓ = √{s(s-a)(s-b)(s-c)} = √(su),
　4R = abc/Ｓ = (st-u)/√(su),
　r = Ｓ/s = u/√(su)
よって
　{4R + (5/2)r}^2 = {st + (3/2)u}^2 /su
　　　= (2s)^2 + (s/tu)(t^3 -4stu +9u^2) + (3/t)(t^2 -3st) + (9u/4s)
　　　= (2s)^2 + (su/t)F_{-2}(s-a,s-b,s-c) + (3u/t)F_{-1}(s-a,s-b,s-c) + (9u/4s)
　　　> (2s)^2
　　　= (a+b+c)^2,

〔Schur不等式〕
　F_n(x,y,z) = x^n･(x-y)(x-z) + y^n･(y-z)(y-x) + z^n･(z-x)(z-y)
　　= x^n･(x-y)^2 + (x^n -y^n +z^n)(x-y)(y-z) + z^n･(y-z)^2 ≧ 0.
　ここで y は x と z の中間にあるとした。（終）
713 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 20:20:36.93 ]: >>712
> 例によって
> 　(a+b+c)/2 = s,
> 　(s-a)(s-b)+(s-b)(s-c)+(s-c)(s-a) = t,
> 　(s-a)(s-b)(s-c) = u,

いや、この置き換え、初見なんだけど… (ﾟ∀ﾟ；)ﾌﾞﾙﾌﾞﾙ
714 名前：β [2011/11/03(木) 20:24:14.57 ]: 常識やろｗ
715 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/03(木) 23:12:58.69 ]: >>713
　(a+b+c)/2 = s とおくと
　(s-a) + (s-b) + (s-c) = s,
　……
なのですが、簡単なので省略しました。
716 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 00:11:08.55 ]: nが自然数で、0 < x < π のとき、以下を証明せよ
(1)　1 + sin x + (sin 2x)/2 + … + (sin nx)/n > 0
(2)　1 + cos x + (cos 2x)/2 + … + (cos nx)/n > 0

( ﾟAﾟ) ぐぬぬ…
717 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 04:03:13.97 ]: >>716 (1)

nについての帰納法による。
与式の左辺を 1 + S_n(x) とおく。
　S_1(x) = sin(x) >0,
　S_2(x) = sin(x){1+cos(x)} > 0,
n>2 のとき
　(d/dx)S_n(x) = cos(x) + cos(2x) + …… + cos(n･x)
　　　 = {sin((n+1/2)x) - sin(x/2)}/{2sin(x/2)}　(積和公式)
　　　 = sin(n･x/2)cos((n+1)x/2)/sin(x/2),　　　(和積公式)
S_n が極値をとる点 x=x0 に注目する。
　(1) sin(n･x0/2) = 0 のとき
　　　S_(x0) - S_{n-1}(x0) = sin(n･x0) = 0,
　(2) cos((n+1)x0 /2) = 0 のとき
　　　倍角公式より　sin((n+1)x0) = 0,　cos((n+1)x0) = -1,
　　　S_n(x) - S_{n-1}(x) = sin(n･x)
　　　　= sin((n+1)x-x)
　　　　= sin((n+1)x)cos(x) - cos((n+1)x)sin(x), (加法公式)
　　　S_n(x0) - S_{n-1}(x0) = sin(x0) > 0,

　参考文献[3] p.134-135, 例題8

〔類題〕
　S_n(x) = Σ[k=1,n] sin(kx)/k は sin(x) と同符号で、
　　| S_n(x) | < G' = Si(π) = 1.8519370519824…,

　[第２章.50、53、55]
718 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 04:53:07.18 ]: >>716 (2)

与式の左辺をＣ_n(x) とおく。
　Ｃ_1(x) = 1 + cos(x) > 0,
　Ｃ_2(x) = 1 + cos(x) + cos(2x)/2
　　　= 1/2 + cos(x) + cos(x)^2　　(倍角公式)
　　　= 1/4 + {(1/2) + cos(x)}^2 > 1/4,
さて、
　(d/dx)Ｃ_n(x) = -sin(x) - sin(2x) + …… - sin(n･x)
　　　= {cos((n+1/2)x) - cos(x/2)}/{2sin(x/2)}　(積和公式)
　　　= -(1/2)sin(n･x) - {1-cos(n･x)}cos(x/2)/{2sin(x/2)} (加法公式)
　　　< -(1/2)sin(n･x),
　Ｃ_n(π) - Ｃ_n(x) < -(1/2)∫[x,π] sin(n･t)dt
　　　= {(-1)^n - cos(n･x)}/(2n)
　　　< {(-1)^n + 1}/(2n)　　(n:偶数のとき 1/n、n:奇数のとき 0）
　　　< (1-1) + (1/2 - 1/3) + …… + (-1)^n /n
　　　= Ｃ_n(π),
　∴　Ｃ_n(x) > 0,　　(森氏、ζ氏による.)

数セミ、３４巻7号（1995/7）出題、３４巻10号（1995/10）解説
719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 09:35:22.58 ]: ( ﾟ∀ﾟ) ｱﾅﾀｶﾞ神ｶ？
720 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 11:24:52.78 ]: 任意の z、w∈C に対して、| (1+|z|^2)w - (1+|w|^2)z | ≧ | z \bar{w} - \bar{z} w |

( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 15:27:43.34 ]: >>720

　(1+|z|^2)w - (1+|w|^2)z = (w-z) - zw(w-z)~,

　zw~ - z~w = (1/2){(w+z)(w-z)~ - (w+z)~･(w-z)},

∴　|左辺|^2 - |右辺|^2 = {(w-z) -zw(w-z)~}{(w-z)~ -z~w~(w-z)}
　　　- (1/4){(w+z)(w-z)~ - (w+z)~(w-z)}{(w+z)~(w-z) - (w+z)(w-z)~}
　　　= (w-z)(w-z)~(1 + |zw|^2 -zw~ -z~w)
　　　= (w-z)(w-z)~(1-zw~)(1-z~w)
　　　= |w-z|^2 |1-zw~|^2
　　　≧ 0,
722 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/04(金) 19:58:51.76 ]: >>701を誰か．．．
723 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 22:11:14.99 ]: >>699を誰か...
724 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 22:33:32.63 ]: >>723
君が解き給へ(・∀・)！
725 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/06(日) 23:47:08.21 ]: 生姜ねぇ...

>>699
いつものように
　f(x,y,z) = x^4 + y^4 + z^4 -12(xy+yz+zx) + 33
とくおく。

　f(x,y,z) - f(x, √(yz), √(yz)) = (y^2 -z^2)^2 -12x(√y -√z)^2
　= (√y -√z)^2 {(y+z)^2･(√y +√z)^2 - 12x}
　≧ (√y -√z)^2 {(4yz)(4√yz) - 12x}
　= (√y -√z)^2 {16/(x^1.5) - 12x}　　　(← yz=1/x)

ところで f(x,y,z) は対称式だから x≦y,z としてもよい。
∴　x ≦ 1,
∴　16/(x^1.5) - 12x > 0,
∴　f(x,y,z) ≧ f(x, 1/√x, √x),　　(x≦1)

また
　x^2･f(x, 1/√x, 1/√x) = x^6 -24x^2.5 +33x^2 -12x +2
　= (√x - 1)^2 (x^5 +2x^4.5 +3x^4 +4x＾3.5 +5x^3 +6x^2.5 +7x^2 -16x^1.5 -6x +4√x +2)
　= (√x - 1)^2 g(x)
　≧ 0,

∵　g(x) ≧ g(0.4811730855931836) = 0.258670936041927

なお、x = 0.0394556281276082 に極大がある。（2.44552474861856)
726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/07(月) 00:08:48.59 ]: >>725 訂正

真ん中より少し下
∴　f(x,y,z) ≧ f(x, 1/√x, １／√x),　　(x≦1)
727 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/07(月) 07:42:17.98 ]: a, b, c, d≧0, a+b+c+d=4 のとき,

a/(a^3+8)+b/(b^3+8)+c/(c^3+8)+d/(d^3+8)≦4/9
728 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 00:41:43.07 ]: >>727

　(x^3 +8)(2x+1) - 27x = (x-1)^2･(2x^2 +5x+8) ≧ 0,
　x/(x^3 +8) ≦ (2x+1)/27,　　… x=1 での接線
x = a,b,c,d についてたす。
729 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/08(火) 02:04:44.31 ]: >>727

相加･相乗平均より
　x^3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ≧ 9 x^(1/3),

∴　(左辺) ≦ (1/9){a^(2/3) + b^(2/3) + c^(2/3) + d^(2/3)}
　　　≦ (4/9){(a+b+c+d)/4}^(2/3)　　　(上に凸)
　　　= 4/9,
730 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/08(火) 16:04:19.53 ]: a, b, cが実数のとき,
a^4+b^4+c^4+2abc(a+b+c)≧a^3b+b^3c+c^3a
731 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/08(火) 16:57:38.99 ]: 微分→Jensen→AM-GMと解法が易しくなってきている。

Step 1 a^3≧3a-2

Step 2 AM-GM-HM
Done!
732 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/09(水) 22:36:50.76 ]: >>730

　(左辺) - (右辺) = a^4 +b^4 +c^4 + 2abc(a+b+c) -a^3･b -b^3･c -c^3･a
　　　= (1/2)(a^2 -b^2 -ab -ca)^2 + cyclic
　　　≧ 0,

〔類題268〕
　(a^2 + b^2 + c^2)^2 ≧ 3(a^3･b + b^3･c + c^3･a),
>>268
>>284-290
733 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/12(土) 12:11:39.84 ]: a, b, c>0, a+b+c=1.

ab(c+2)/(c+1)+bc(a+2)/(a+1)+ca(b+2)/(b+1)≦7/12
734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/13(日) 02:00:45.58 ]: >>733

　(a+b+c)^2 -3(ab+bc+ca) = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧ 0 より
　ab + bc + ca ≦ (1/3)(a+b+c)^2 = 1/3,
これを与式から差引くと、つまり次式を示せばよい。

　ab/(c+1) + bc/(a+1) + ca/(b+1) ≦ 1/4,

　(左辺) = ab{1 - c/(c+1)} + bc{1 - a/(a+1)} + ca{1 - b/(b+1)}
　　= (ab+bc+ca) -abc{1/(c+1) + 1/(a+1) + 1/(b+1)}
　　≦ (ab+bc+ca) - 9abc/(a+b+c+3)　(← 相加･調和平均または y=1/x:下に凸)
　　= (ab+bc+ca) - 9abc/{4(a+b+c)}　(← a+b+c=1)
　　= (1/4)(a+b+c)^2 - F_1(a,b,c)/{4(a+b+c)}
　　≦ 1/4,　　(← a+b+c=1)

ここに
　F_1(a,b,c) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
　　　= (a+b+c)^3 -4(a+b+c)(ab+bc+ca) + 9abc ≧ 0,　(Schur)
735 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/13(日) 04:20:40.33 ]: キタコレ（・∀・）！
最初の３行に気づかなんだ
難しく見せているゴミを消すんだな
736 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/17(木) 09:34:49.23 ]: n次以下の整式 f(x) において、-1≦x≦1 における |f(x)| の最大値を M、
|f’(x)| の最大値 M’とおくとき、M’≦ n^2M が成り立つことを示せ
( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/17(木) 12:10:36.92 ]: 有名じゃね？
738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/17(木) 23:24:58.13 ]: >>737
ｋｗｓｋ！
739 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/18(金) 15:34:07.09 ]: 電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250～700台数中国工作員3～7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索
740 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/18(金) 15:34:50.73 ]: 魂は幾何学

誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器
741 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/18(金) 15:55:38.02 ]: a, b, c, d>0, a^2+b^2+c^2+d^2=4.

(a+b+c+d-2)(1/a+1/b+1/c+1/d+1/2)≧9.
742 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/19(土) 00:17:55.69 ]: 有名じゃね？
743 名前：β [2011/11/19(土) 00:20:06.15 ]: おいおい、暗算で解けたしｗ
744 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/19(土) 01:03:24.34 ]: 藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
藤原先生は虚偽申請をやりました。藤原先生は虚偽申請をやりました。
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745 名前：猫 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/11/19(土) 01:21:19.31 ]: 猫
746 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/19(土) 02:01:00.07 ]: 猫は学生の頃物理と化学もみっちりやりましたか？
747 名前：猫は痴漢野郎 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/11/19(土) 02:04:41.16 ]: 馬鹿院生は虚偽院生となりました。馬鹿院生は虚偽院生となりました。
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猫
748 名前：猫は痴漢野郎 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/11/19(土) 02:08:03.06 ]: >>746
私は数学科ではなくて応用物理みたいな学科の学卒なので、従って物理
は仕方無く勉強しました。そんで化学は必修科目として結構含まれてい
ましたが、全然好きにはなれませんでした。とにかく実験の演習は苦痛
でしかアリマセンでしたね。

だから物理も化学もみっちりでも何でもありません。最低限ですね。

猫
749 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/19(土) 11:01:43.28 ]: 741はむずいぞ、これ。
750 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/19(土) 17:57:36.10 ]: 相加相乗平均使うだけだろ？
751 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/19(土) 20:14:46.04 ]: あほと, ちゃうか？
どうやって, 相加相乗使えるねん？！
752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/19(土) 22:17:02.33 ]: a+b+c+d≧4(abcd)^(1/4)
1/a+1/b+1/c+1/d≧4(1/abcd)^(1/4)
753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/19(土) 22:59:59.78 ]: >>752
それでは証明できない。
754 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/20(日) 12:57:28.57 ]: ２ちゃんの数学板の中でもここだけは本物の鬼修羅羅刹が生息する場所だなって思うわ。
自作の不等式問題投げたときも30分で解かれたし。
755 名前：Y [2011/11/20(日) 18:16:34.40 ]: 数学版楽しい。学校よりも楽しい
756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/20(日) 19:29:31.45 ]: >>701が未だに分からん。

↓こうやって、微分を1つ減らした問題なら解けるんだけどなあ。

f :R → Rは二回微分可能な関数で,全てのxについて次の条件①,②が成り立っている
①f(x)>0,f'(x)>0,f''(x)>0
②f''(x)≦f(x)
このとき全てのxについて2f(x)>f'(x)が成立することを示せ
757 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/20(日) 22:21:04.68 ]: >>756
ｋｗｓｋ！
758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/21(月) 00:28:55.43 ]: >>757

　f(x) は下に有界かつ単調増加だから、lim[x→ -∞] f(x) は収束する。
　f(-∞) = lim[x→ -∞] f(x) = a ≧ 0.
　f '(-∞) = lim[x→ -∞] f '(x) = 0.

f '(x) >0 と (2)から
　(d/dx){f(x)^2 - f '(x)^2} = 2f '(x){f(x) - f "(x)} ≧ 0,
∴　f(x)^2 - f '(x)^2 は単調増加。
∴　f(x)^2 - f '(x)^2 ≧ f(-∞)^2 - f '(-∞)^2 = a^2 - 0^2 ≧ 0,
f(x) + f '(x) >0 で割れば
　f(x) - f '(x) ≧ 0,
759 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/22(火) 06:33:29.44 ]: >>758
　(d/dx){f(x)exp(-x)} ≦ 0,
∴　f(x) は単調増加だが、f(x)exp(-x) は(広義)単調減少。
760 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/22(火) 07:26:54.80 ]: >>730 >>732

　p' = a^2 -b^2 +bc,
　q' = b^2 -c^2 +ca,
　r' = c^2 -a^2 +ab,
とおくと、
　(左辺) - (右辺) = (1/2)(p'+q')^2 + (1/2)(q'+r')^2 + (1/2)(r'+p')^2 ≧ 0

　casphy - 高校数学 - 不等式、718
761 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/22(火) 13:57:08.76 ]: Nice Solution!
Exactly same as mine.
762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/22(火) 21:17:03.30 ]: 日本語でおｋ
763 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/24(木) 22:29:54.05 ]: 〔問題〕
a,b,c が実数で ⊿=(a-b)(b-c)(c-a) のとき、

(1)
∑[n=1,2] {a^(2n) +b^(2n) +c^(2n) -(ab)^n -(bc)^n -(ca)^n}
　　≧ (3/2)|⊿|,

(2)
∑[n=1,4] {a^(2n) +b^(2n) +c^(2n) -(ab)^n -(bc)^n -(ca)^n}
　　≧ 3(1 + a+b+c +a^2 +b^2 +c^2)|⊿|,

を、示して下さい。

　casphy - 高校数学 - 不等式、719,722,725
764 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/26(土) 07:13:35.37 ]: つ www.math.harvard.edu/graduate/quals/qs10.pdf

３枚目の２番
765 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/26(土) 09:46:58.28 ]: >>764

１．Let ａ be an arbitrary real number and ｂ a positive real number. Evaluate the integral
　　∫[0,∞） cos(ax)/cosh(bx) dx.
　　（Recall that cosh(x) = (1/2)(e^x + e^-x) is the hyperbolic cosine.)
　　{Wed., 2010/Jan/20 (Day 2)}

２．Let ｆ be a holomorphic function on a domain containing the closed disc {z : |z|≦3}, and suppose that
　　f(1) = f(i) = f(-1) = f(-i) = 0.
Show that
　　|f(0)| ≦ (1/80)･max{|f(z)| : |z|=3},
and find all such functions for which equality holds in this inequality.
　　{Thu., 2010/Jan/21 (Day 3)}
766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/26(土) 10:33:54.24 ]: >>765 (1)

　cos(ax) = (1/2){e^(iax) + e^(-iax)} から、
　∫[0,∞) cos(ax)e^(-cx) dx
　　= (1/2)∫[0,∞) {e^(-(c-ia)x) + e^(-(c+ia)x)} dx
　　= (1/2){1/(c-ia) + 1/(c+ia)}
　　= c/(a^2+c^2),　　(c>0)
と
　1/cosh(bx) = 2e^(-bx)/{1+e^(-2bx)} = 2Σ[k=0,∞) e^(-(2k+1)bx),
を使っても出せぬぅ.....

答： π/{2b･cosh(πa/2b)},

〔参考書〕
森口･宇田川･一松:「数学公式I」岩波全書221, ｐ.256 (1956)
767 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/26(土) 11:48:54.54 ]: >>765　訂正

　1/cosh(bx) = 2e^(-bx)/{1+e^(-2bx)} = 2Σ[k=0,∞) (-1)^k･e^(-(2k+1)bx),
768 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/26(土) 20:36:13.48 ]: 証文の出し遅れのような気がしますが、> 570 の解答については
www.emis.de/journals/JIPAM/images/105_09_JIPAM/105_09.pdf
に目を通しておいて下さい。ついでに、
www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/ineq.pdf
も読んで頂けると幸いです。
769 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/26(土) 20:43:16.45 ]: ついでにこういう定理をご存知ですか。
定理1. 4次斉次多項式f(a,b,c)について、
任意の実数a,b,cに対しf(a,b,c)≧0が成り立つための必要十分条件は、
f(1,0,0)≧0かつf(x,1,1)≧0 (∀x∈R)である。

定理2. 3～5次斉次多項式f(a,b,c)について、
任意のa,b,c≧0に対しf(a,b,c)≧0が成り立つための必要十分条件は、
f(x,1,0)≧0かつf(x,1,1)≧0 (∀x≧0)である。
770 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/26(土) 20:45:04.43 ]: すいません。直前の訂正です。

定理1. 4次斉次対称多項式f(a,b,c)について、
任意の実数a,b,cに対しf(a,b,c)≧0が成り立つための必要十分条件は、
f(1,0,0)≧0かつf(x,1,1)≧0 (∀x∈R)である。

定理2. 3～5次斉次対称多項式f(a,b,c)について、
任意のa,b,c≧0に対しf(a,b,c)≧0が成り立つための必要十分条件は、
f(x,1,0)≧0かつf(x,1,1)≧0 (∀x≧0)である。
771 名前：１３２人目の素数さん [2011/11/26(土) 21:30:54.77 ]: >>765
b> 0
Pi/2b sech(a Pi/2b)
772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/26(土) 22:13:07.75 ]: >>768

>>570 で
　N→w, I→-p, J→-q, K→r, L→(p+q-r-w)
とおけば (1.6) になりますね。
もっとも、これらの文献では w=1 としているようですが....
773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/27(日) 22:11:38.11 ]: >>769-770

基本対称式を x+y+z=s, xy+yz+zx=t, xyz=u とおくと
　f(x,y,z) = f(1,0,0)(s^4 -6sst +8tt +3su) + f(0,1,1)(8tt-sst-15su)/4 + f(1,1,1)(8tt-2sst-5su)/3 + f(2,1,1)(sst-4tt+3su)/4
と書けるが…
774 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/30(水) 13:27:41.48 ]: 66-5
www.asahi-net.or.jp/~nj7h-ktr/kadai10-11.pdf

( ﾟ∀ﾟ)ﾑﾑﾑ…
775 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/11/30(水) 23:51:09.00 ]: >>774

(64_1)
(1)　sgn(a),　　　x = |a|･tanθ とおく。
(2)　部分分数に分けて
　f(x)f(t-x) = (1/2π)f(t/2){(1/2 + x/t)f(x) + (1/2 + (t-x)/t)f(t-x)}
　xf(x) は奇関数だから、積分すれば0.
　(t-x)f(t-x) も同様。
　∴ (1/2π)f(t/2)∫(-∞,∞) {f(x) + f(t-x)}/2 dx = (1/2π)f(t/2),

66-5
問題1.
　(左辺) - (右辺) = (4/5)(x-y)^2 + (4/5)(x+y)(z-x-y) + (z-x-y)^2 ≧0,
　z = x+y+Z (Z≧0) を与式に代入する。

問題2.
　(与式) > ∫[0,1] (x^2)e^(-x) dx
　　　= [ -(x^2 +2x +2)e^(-x) ](x=0,1)
　　　= 2 - (5/e) = 0.160603

　(与式) < ∫[0,1] (x^2)･e^(-x^3) dx
　　　= [ -(1/3)e^(-x^3) ](x=0,1)
　　　= (1/3)(1 - 1/e) = 0.210707
（真値は　(1/4)(√π)erf(1) - 1/(2e) = 0.189472345820492...）

67-2
(1)　f(x) = (x+1/x)^2 は下に凸だから
　(a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 + (c + 1/c)^2
　　= f(a) + f(b) + f(c)
　　≧ 3f((a+b+c)/3)　　　(← 下に凸)
　　= 3f(1/3) = 3(10/3)^2 = 100/3,
776 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/02(金) 01:41:46.25 ]: >>763・・・
777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/02(金) 01:43:06.65 ]: 67-3

m は {m(m-1)+2}/2 項目に初めて現れれる。これをnとすると、mは
　a_n =　[ （1 + √(8n-7)）/2 ]

>>774

66-5
　I_n = ∫[0,1] x^2･exp(-x^n) dx
は nについて単調増加で、 1/3 に収束する。

　I_n ≒ 1/3 - 1/(1.2553312n + 4.22642)　　(n>>1)
778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/02(金) 14:24:30.43 ]: >>775
67-2 (1)

〔補題〕
ある区間で f(x) >0 とする。
(1)　f が下に凸, a>1　　⇒　f^a も下に凸。
(2)　f が上に凸, 0<a<1　⇒　f^a も上に凸。
(3)　f が上に凸, a<0　　⇒　f^a は下に凸。

(略証)
　f が上に凸　⇔　f " >0,
　f が下に凸　⇔　f " <0,

　f(x)^a = g(x) とおくと
　g ' = a･f^(a-1)f ',
　g " = a(a-1)f^(a-2){f '}^2 + a･f^(a-1)･f ",
779 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/02(金) 14:51:44.63 ]: >>778 の訂正

(略証)
　f が下に凸　⇔　f " >0,
　f が上に凸　⇔　f " <0,
780 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/02(金) 21:23:27.67 ]: >>763 (1)　>>776

・三角不等式　|b+c| + |a+b| ≧ |c-a| を使って

(左辺) = {a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca} + {a^4 +b^4 +c^4 -(ab)^2 -(bc)^2 -(ca)^2}
　　= (1/2){(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2} + (1/2){(a^2 -b^2)^2 +(b^2 -c^2)^2 +(c^2 -a^2)^2}
　　= (1/4){(a-b)^2 +(b^2 -c^2)^2} + (1/4){(b-c)^2 +(a^2 -b^2)^2} + cyclic
　　≧(1/2){|a-b||b^2 -c^2| + |b-c||a^2 -b^2|} + cyclic　(← 相加･相乗平均)
　　= (1/2)|a-b||b-c|(|b+c|+|a+b|) + cyclic
　　≧(1/2)|a-b||b-c||c-a| + cyclic　　(← △不等式)
　　= (3/2)|⊿|,

・あるいは
　⊿ = (a-b)(b-c)(c-a) = (1/3){(c-a)+(c-b)}(a^2 -b^2) + cyclic,
から
　(左辺) - (3/2)|⊿| = (1/4)(c-a)^2 + (1/4)(c-b)^2 + (1/2)(a^2 -b^2)^2 ±(1/2){(c-a)+(c-b)}(a^2 -b^2) + cyclic
　　= (1/4){(c-a)±(a^2 -b^2)}^2 + (1/4){(c-b)±(a^2 -b^2)}^2 + cyclic　(複号同順)
　　= (1/8){(2c-a-b)±2(a^2 -b^2)}^2 + (1/8)(a-b)^2 + cyclic
　　≧ 0,
781 名前：Y [2011/12/07(水) 18:11:04.99 ]: すげえ
782 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/08(木) 23:37:47.56 ]: >>701は誰も解けないの？
783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 00:09:56.40 ]: ヒントやろうか？
784 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 00:50:16.48 ]: いやいらない
785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 06:09:30.37 ]: 以下の真ん中あたり
www.sugakukobo.com/

問題
www.sugakukobo.com/pdf/SuuSemi_1.pdf

解説
www.sugakukobo.com/pdf/SuuSemi_2.pdf

( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 06:12:53.86 ]: >>783
さっさとよこせ！でございます
787 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 14:19:18.49 ]: Putnam Competition, 1999 B-4
788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/09(金) 23:36:44.27 ]: 獲得金メダル！国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年
　　www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-1113...

嫁！ ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
789 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 05:07:17.81 ]: x、y、z≧0に対して、
x^4・y + y^4・z + z^4・x ≧ x^2・y^2・z + y^2・z^2・x + z^2・x^2・y

( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 17:07:44.95 ]: >>788
www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11132-3/
A5／192ページ／2011年11月25日
定価2730円
数学オリンピック（JMO・IMO）出場者自身による，類例のない数学オリンピック問題の解説書。
単なる「問題と解答」にとどまらず，知っておきたい知識や実際の試験での考え方，答案の組み立て方などにも踏み込んで高い実践力を養成する。

>>789
相加･相乗平均より
　(6x^4･y + 5y^4･z + 2z^4･x)/(6+5+2) ≧ x^2･y^2･z,
循環的にたす。

( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
791 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 17:31:36.86 ]: >>788
> 獲得金メダル！国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年
> 　　www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11132-3/

■Muirheadの不等式■
x、y、z >0 とする
　p_1 ≧ q_1
　p_1 + p_2 ≧ q_1 + q_2
　p_1 + p_2 + p_3 ＝ q_1 + q_2 + q_3
のとき、(i、j、k) は (1、2、3) の並び替えとして
　Σx^(p_i)・y^(p_j)・z^(p_k) ≧ Σx^(q_i)・y^(q_j)・z^(q_k)

（P.10より）
Muirheadの不等式を用いて不等式を照明することを Bunching といいます
（日本選手の間でも2003年頃から普及しはじめ、「バンチ」と呼ぶ人が多いです）

　　　＿＿＿　　　なんで Bunching なのか小一時間問い詰めたい
　　.／　　≧　＼　　ああ問い詰めたいね
　　|:::: 　＼ .／　|　　　別にﾑｯﾊｧ-でもいいじゃんかと！
　　|::::: (●　(● |
　　ヽ::::... .∀....ノ／　　ﾁﾝ　☆
　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆
　|＼￣￣￣￣旦￣＼
　|　|￣￣￣￣￣￣￣|
　＼|　　愛媛みかん　|
　　￣￣￣￣￣￣￣
792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 19:40:28.18 ]: >>791

Bunchin さんは63歳になられました....

ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A1%82%E6%96%87%E7%8F%8D
793 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/10(土) 22:21:58.20 ]: >>792

「ねこやなぎ」の由来は？
www.youtube.com/watch?v=PYHozLh3QyA
794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/11(日) 06:20:05.34 ]: Bunchin師匠の独演会

www.youtube.com/watch?v=aW5DJHMrrcA
795 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/11(日) 07:08:35.73 ]: ( ﾟ∀ﾟ) 荒らすなYO！
796 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/11(日) 21:06:29.75 ]: >>791

　p_1 ≧ p_2 ≧ p_3,
　q_1 ≧ q_2 ≧ q_3,
とするんでつか？　

　（ｐ）ゝ（ｑ）
と書き、ｐはｑの優数列である（ｐ majorizes ｑ）という。

参考文献[3] p.125 (1987.10)
797 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/12(月) 17:25:05.25 ]: a, b, c>0 with abc=1.
For f(a, b, c)=a+b^{20}+c^{11},

f(a, b, c)+f(b, c, a)+f(c, a, b)≦1
798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/12(月) 21:23:27.28 ]: >>782
問題自体に不備がある悪寒
799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/12(月) 21:51:50.20 ]: 反例を探したほうがいいかもな
800 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/12(月) 23:44:50.54 ]: >>789

両辺を xyz で割ると
　x^3 /z + y^3 /x + z^3 /y ≧ xy + yz + zx,
となる。これはコーシー
　(x^3 /z + y^3 /x + z^3 /y)(xz+yx+zy) ≧ (x^2 + y^2 + z^2)^2 ≧ (xy+yz+zx)^2,
より明らか。（冬）

　casphy - 高校数学 - 不等式 - 735
801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/13(火) 09:19:04.81 ]: >>789
チェビシェフによる。

　Σ(乱順序積) ≧ Σ(逆順序積) から
　x^3 /z + y^3 /x + z^3 /y ≧ x^3 /x + y^3 /y + z^3 /z
　　　= x^2 + y^2 + z^2 ≧ xy + yz + zx,
または
　xy=Z, yz=X, zx=Y とおいて
　Σ(同順序積) ≧ Σ(乱順序積) より
　x^3 /z + y^3 /x + z^3 /y = YZZ/XX + ZXX/YY + XYY/ZZ
　　≧ YZZ/ZZ + ZXX/XX + XYY/YY = Y + Z + X = zx + xy + yz,
802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/15(木) 15:04:08.16 ]: モローの不等式age！

　 _ 　∩
(　ﾟ∀ﾟ)彡　モロー！モロー！
　⊂彡
803 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/15(木) 15:12:21.25 ]: 　　　　　　　　　　　おっぱい！
　　　　　　　おっぱい！　おっぱい！
　　　　おっぱい　おっぱい！　おっぱい！
　　おっぱい！　∩　　　∩　ﾉ)　　　おっぱい！
　おっぱい！　　川　∩ 川彡'三つ　　おっぱい！
おっぱい！　⊂ミ∩､⊂ミ∩彡⊃　　　　おっぱい！
おっぱい！⊂三ミ(　ﾟ∀ﾟ)彡三彡三⊃　おっぱい！
おっぱい！　⊂彡川⊂彡川ミ⊃　　　　おっぱい！
おっぱい！⊂彡川∪⊃ Ｕ川彡⊃　　　おっぱい！
　おっぱい！　(ノ ∪　　川　∪ミ)　　おっぱい！
　　おっぱい！　　　　　 ∪ 　　　　おっぱい！
　　　　おっぱい！　おっぱい！　おっぱい！
　　　　　　　　おっぱい！　おっぱい！
　　　　　　　　　　　　おっぱい！
804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/15(木) 21:42:40.44 ]: a_n = (1 + 1/n)^n
b_n = (1 + 1/n)^(n+1)

e/(2n+2) < e - a_n < e/(2n+1) < b_n - e < e/(2n)

　 _ 　∩
(　ﾟ∀ﾟ)彡　モロー！モロー！
　⊂彡
805 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/15(木) 23:57:48.12 ]: 数検スレより

676 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2011/12/15(木) 22:38:11.63
>>675

要は
a_n=(1 +1/n)^n
b_n=(1 +1/n)^(n+1)
から、
2=a_1<a_2<…<a_n<…<b_n<…<b_2<b_1=4
の相加相乗を使った証明。

数検1級（H23/4)の問題
『(1 +1/n)^(n +1/2) > e　を証明せよ』
とテイラー展開を使った模範解答。

別解として、積分（中点公式）を使った解法

さらに、出題として、
　台形公式を適用した場合、eに対するどのような関係式となるか

発展課題として、
モローの不等式の証明
『e/(2n+2)＜e - a_n < e/(2n+1) < b_n - e < e/(2n)』

　 _ 　∩
(　ﾟ∀ﾟ)彡　モロー！モロー！
　⊂彡
806 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/16(金) 09:22:44.68 ]: 797>>Sorry, the correct versio is here.

a, b, c>0 with abc=1.

For f(a, b, c)=a+b^{20}+c^{11},

1/f(a, b, c)+1/f(b, c, a)+1/f(c, a, b)≦1.
807 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/16(金) 14:16:29.16 ]: >>701 はPutnam Competitionの1999年の問題の条件の一部が抜け落ちたもの
元の問題ではfはC^3級になってる
808 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/16(金) 15:47:23.94 ]: >>807
模範解答はないのですか？
809 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/16(金) 18:57:34.40 ]: 聞く前に探せ！
810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/16(金) 22:38:36.36 ]: >>805

kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1295154182/66-67
811 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/17(土) 01:07:55.84 ]: >>805
　(1 +1/n)^(n +1/2) > e も二項展開でOK

kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1295154182/68-69
812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/17(土) 17:02:28.96 ]: >>805
うちの田舎町では売っていないんだけど、相加相乗の証明を教えてちょ
813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/17(土) 17:14:52.36 ]: >>812
a[n-1]/a[n]
=(n^2/(n^2-1))^(n-1)*n/(n+1)
<(((n-1)*(n^2/(n^2-1))+n/(n+1))/n)^n
=1
∴a[n-1]<a[n]
b[n]も同様
814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/17(土) 21:11:12.61 ]: にゃるほど、さんくす
815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/18(日) 03:57:07.52 ]: >>813
=(n^2/(n^2-1))^(n-1)*n/(n+1)
<(((n-1)*(n^2/(n^2-1))+n/(n+1))/n)^n

これがよくわかりません
816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/18(日) 10:35:34.65 ]: >>815
相加相乗
817 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/18(日) 10:46:04.97 ]: そうか！そうじょうか！
818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/18(日) 20:53:38.40 ]: >>812　>>815

{n/(n-1), n/(n-1), ……, n/(n-1),　1}
　　　　 (n-1)個　　　　　　　　　1個
の相乗･相加平均で
　{n/(n-1)}^(n-1) < {(n+1)/n}^n,
∴　a[n-1] < a[n],
819 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/19(月) 06:39:23.97 ]: ちょうど1になるのか。相加相乗を使ってくださいといわんばかりだな。
820 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/19(月) 11:54:03.82 ]: >>805
> さらに、出題として、
> 　台形公式を適用した場合、eに対するどのような関係式となるか

∫[a,b] f(x)dx < (b-a)(f(a)+f(b))/2 からeに関する何が得られるか謎でござるよ、ﾆﾝﾆﾝ
821 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/20(火) 15:36:42.61 ]: >>2の[4]を本屋で見かけたけどページ数の割に高かったから買うのを躊躇してしまった・・・
こういう感じの基本的な不等式をしっかりと扱った本って他にある？
洋書でもいいんで教えてください
822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/20(火) 20:17:44.59 ]: >>821
本題をケチるなど言語道断！
823 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/20(火) 20:18:35.64 ]: Problem372にﾊｧﾊｧ…
www.math.ust.hk/excalibur/v16_n2.pdf

( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/20(火) 20:46:00.62 ]: eに関する不等式が出てきた今なら出せる

( ﾟ∀ﾟ)つ lim[n→∞] { (n+1)^(n+1) / n^n - n^n / (n-1)^(n-1) } =
825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/20(火) 22:34:11.62 ]: >>823

Problem 2.
　Given real numbers x,y,z such that x+y+z=0, show that
　x(x+2)/(2x^2 +1) + y(y+1)/(2y^2 +1) + z(z+2)/(2z^2 +1) ≧ 0,
　When does equality hold ?

Problem 372.
For all a,b,c>0 and abc=1, prove that
　1/{a(a+1)+ab(ab+1)} + 1/{b(b+1)+bc(bc+1)} + 1/{c(c+1)+ca(ca+1)} ≧ 3/4.
826 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/20(火) 22:55:55.48 ]: Problem 5

YOSHIO > TETSUYA
827 名前：猫は共著のみ ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/12/20(火) 22:57:00.38 ]: You need a proof.

--neko--
828 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/20(火) 22:58:03.53 ]: 前科を比べたら哲也の方が上や
829 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/21(水) 00:33:42.48 ]: そうか？
830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 03:02:29.47 ]: >>825

Problem 2.
通分して
　(左辺)･(2x^2 +1)(2y^2 +1)(2z^2 +1)
　　= (2xyz +2xy +x+y)^2 + (2xyz +2yz +y+z)^2 + (2xyz +2zx +z+x)^2 -(x+y+z)(8xyz+x+y+z-2)
　　= (2xyz +2xy +x+y)^2 + (2xyz +2yz +y+z)^2 + (2xyz +2zx +z+x)^2　　(← 題意)
　　≧ 0,
　等号成立は (0,0,0)　(-1/2,-1/2,1) etc. のとき。
831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 03:58:42.26 ]: >>824
通分して、(1 + 1/(n-1))^(n-1)を括り出したまではいいが、その後が進マンボー

　　　　　　　　　　 /^i
　　　　　　　　　　　　　/:::::|
　　　　　　　　　＿＿/::::::::|
　　　　 ,. ‐' ´::::::::::::::::::::::::::ヽ:.､
　　　, ‐'´:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::ヽ:＼
.　　（:::(ｏ):::::::／i:::::::::::::::::::::::::::::::::i::::::i
　　ヽ　　　　￣　::::::::::::::::::::::::::::::|::::::l 進マンボー
　　　＼　　　　　　　　::::::::::::::::::ｉ::::::i
　　　　　`‐ ､　　　　　　　　::::::/::／
　　　　　　｀ー-- ､.......::／ '´
　　　　　　　　　　　 i:::::::|
　　　　　　　　　 i:::::::!
　　　　　　　　　　　　　ヽ:_|
832 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/21(水) 05:37:53.01 ]: かわゆす
833 名前：猫の育て方 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2011/12/21(水) 10:04:54.39 ]: その魚は実は寿司ネタとして喰えるのや。

猫
834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 11:50:38.85 ]: A(4)は
|2q 1|
|1 3q|
じゃないかと想像がつくやろ
ほしたらA(5)=4q A(4)-2q がどうなるかはピンと来てもおかしくないやろ
それにA(n)はちゃあんとn-2次の行列式で表せるわい
835 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 11:52:23.12 ]: あかん誤爆したわ
836 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 15:26:06.45 ]: >>387
> (3)　(a^2 +2)(b^2 +2)(c^2 +2)
> 　を 3つの対称式の平方和で表わせ。

>>389
> (a^2 + p^2)(b^2 + q^2)(c^2 +r^2) = (abc-aqr-pbr-pqc)^2 + (pbc+aqc+abr-pqr)^2,
> だと２つになるし･････

>>390
> 　p=q=r=√2 を入れて
> 　{abc-2(a+b+c)}^2 + (bc+ca+ab-2)^2 + (bc+ca+ab-2)^2,

390が分かりませぬ ('A`)
p=q=r=√2 を入れたら、 {abc-2(a+b+c)}^2 + (bc+ca+ab-2√2)^2 で止まって進マンボー！
837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 15:28:32.65 ]: ごめん、分かった
838 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/21(水) 23:19:52.06 ]: >>804-805

　{2n/(2n+1)}e < a_n < {(2n+1)/(2n+2)}e,
　{(2n+2)/(2n+1)}e < b_n < {(2n+1)/2n}e,
は同値

左側
　>>811 と相加相乗平均より
　{2√(n(n+1))／(2n+1)}e < e < g_n,
右側
　(1 - 1/k^2)^(k+1) > 1 -(k+1)/k^2 = (k^2 -k-1)/k^2,　(下に凸)
　a[k]/a[k-1] = (k+1)^k･(k-1)^(k-1)／k^(2k-1) > {2k/(2k-1)}･{(2k+1)/(2k+2)},
k = n+1～∞ について掛けて
　e / a[n] > (2n+2)/(2n+1),
　a[n] < {(2n+1)/(2n+2)}e,
839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/22(木) 00:35:36.85 ]: >>804-805
　g_n = √(a_n･b_n) とおくと >>838 より

　e < g_n < {(2n+1)/2√(n(n+1))}e < {1 + 1/(8n^2)}e,

>>824

　(与式) = √(n(n+1))･g_n - √((n-1)n)･g_(n-1)
　　　　= {√(n(n+1)) - √((n-1)n)}･e + O(1/n)
　　　　= 2n/{√(n(n+1)) + √((n-1)n)}･e + O(1/n)
　　　　= e + O(1/n)
　　　　→ e,　(n→∞)
840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/22(木) 23:16:14.96 ]: >>838 より

　e < g_n < {(2n+1)/2√(n(n+1))}e < {1 + 1/(8n(n+1))}e,

でござるよ。
もっとも、マクローリンを使えば一発だが...

　log(g_n) = (n + 1/2)log(1 + 1/n)
　　　= (n + 1/2){1/n - 1/(2n^2) +1/(3n^3) - …}
　　　= 1 + 1/(12n^2) -1/(12n^3) + 3/(40n^4) - …
　　　< 1 + 1/[12n(n+1)] - 1/[288(n^2)(n+1)^2] + …

∴　e < g_n < {1 + 1/[12n(n+1)]}e,
841 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 12:32:28.53 ]: >>840

　g_n = {1 + δ - (7/10)δ^2 + 1.0237δ^3 - …}e,
ここに、δ=1/[12n(n+1)],
842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 13:34:13.89 ]: >>824
lim[n→∞] { (n+1)^(n+1) / n^n - n^n / (n-1)^(n-1) }
= lim[n→∞] (1 + 1/(n-1))^(n-1) * { (2 + 2/n)*(1 - 1/(n^2))^(n-1) - 1/n Σ[k=1 to n] (1 - 1/(n^2))^(k-1) }
= e(2*1-1)
= e

(1 - 1/(n^2))^(n-1) = 1/{ (1 + 1/(n^2-1))^(n^2-1) }^(1/(n+1)) → 1/e^0 =1

1/n Σ[k=1 to n] (1 - 1/(n^2))^(k-1) → 1 になるのは、はさみうちナリよキテレツ！

　　　　　／/
　　　　／　/＿＿
　　　 / 　／　lim ＼　　ﾊﾟｶｯ！
　　　/.∩|::::　＼ .／ |
　　 /　| ||::::(●　(●.|_　　呼んだ？
　　/／| |ヽ::::....ワ....ノ／
　　"￣￣￣￣￣￣"
843 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 17:31:57.89 ]: >>824
F(x)=(x+1)^(x+1)/x^x　と置くと　(n+1)^(n+1)/n^n-n^n/(n-1)^(n-1)=F(n)-F(n-1)
f(x)=F'(x)={(x+1)^(x+1)/x^x}*log(1+1/x)　とすれば　F(n)-F(n-1)=∫[n-1,n]f(x)dx
a(x)=(1+1/x)^x　,b(x)=(1+1/x)^(x+1)　と置くと　f(x)=a(x)*log(b(x))=b(x)*log(a(x))
x>0のときa(x)は単調増加、b(x)は単調減少で、ともにx→∞でeに収束するので
a(x)<e<b(x)より、a(x)*log(e)<f(x)<b(x)*log(e)　すなわち　a(x)<f(x)<b(x)
1<n-1≦x≦nのとき　a(n-1)<f(x)<b(n-1)　なので
∫[n-1,n]a(n-1)dx<∫[n-1,n]f(x)dx<∫[n-1,n]b(n-1)dx
{1+1/(n-1)}^(n-1)<(n+1)^(n+1)/n^n-n^n/(n-1)^(n-1)<{1+1/(n-1)}^n
844 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 19:39:19.09 ]: (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(p^2 + q^2 + r^2 + s^2) を四平方の和で表せ

　　　＿＿＿
　　.／　 ≧　＼　　　上のほうで平方和に変形するのがあったような希ガス！
　　|:::: 　＼ .／　|　ﾊｧﾊｧ
　　|::::: (●　(● |　　　　　　　　　ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
　　ヽ::::... .∀....ノ／　　ﾁﾝ　☆
　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆
　|＼￣￣￣￣旦￣＼
　|　|￣￣￣￣￣￣￣|
　＼|　　愛媛みかん　|
　　￣￣￣￣￣￣￣
845 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 20:01:06.57 ]: >>841
　g_n = (1 +1/n)^(n +1/2)　より

　log(g_n) = (n +1/2)･log(1 +1/n)
　　　= 1 + Σ[k=1,∞) 1／{(2k+1)(2n+1)^k}
　　　= 1 + 1/{12(n +1/2)^2} + 1/{80(n +1/2)^4} + 1/{448(n +1/2)^6} + …
　　　= 1 +δ -(6/5)δ^2 +(72/35)δ^3 -(144/35)δ^4 + …
よって
　g_n = {1 + δ -(7/10)δ^2 +(43/42)δ^3 -(7961/4200)δ^4 + …}e,
ここに、δ=1/[12n(n+1)],
846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 20:25:17.98 ]: >>844
オイラに聞き給え、オイラに。オイラこそ汝らすべての四なれば…

en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_four-square_identity
mathworld.wolfram.com/EulerFour-SquareIdentity.html
sites.google.com/site/tpiezas/005b/
847 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 20:47:22.19 ]: 自演自重汁
848 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/23(金) 20:52:43.00 ]: (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(p^2 + q^2 + r^2 + s^2) を七平方の和で表せ

>>842
呼ばない...
849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 01:26:35.21 ]: >>846
(；´д｀) ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ…
850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 01:50:06.06 ]: >>848
どうやって７つに？

>>844
行列式で証明するのが線形代数の問題集に載っていたような
851 名前：( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！ mailto:sage [2011/12/24(土) 02:49:48.95 ]: A548
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201112&t=mat&l=en

A545、546
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201112&t=mat&l=en

B4376、4378
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201109&t=mat&l=en

A536、B4364、B4370、B4371
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201105&t=mat&l=en

A534、B4355
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201104&t=mat&l=en

B4342
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201103&t=mat&l=en

B4340
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201102&t=mat&l=en

B4321
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201012&t=mat&l=en

B4303、B4306、B4310
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201011&t=mat&l=en

B4296、B4297
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201010&t=mat&l=en

B4291
www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=201009&t=mat&l=en
852 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 03:11:41.99 ]: >>824　別解(?)

　(n+1)^(n+1)／(n^n) - (n^n)／(n-1)^(n-1)
　= {1 + 1/(n-1)}^n * {(n+1)(1 - 1/n^2)^n - (n-1)}
　= b[n-1] * {(n+1)(1 - 1/n^2)^n -(n-1)},
ここで↓を使う。

〔補題〕
　(n-1)/n < (1 - 1/n^2)^n < n/(n+1),
(略証)
(1+x)^n > 1 + nx （下に凸）より
　(1 - 1/n^2)^n > 1 - 1/n = (n-1)/n,
　{1 + 1/(n^2 -1)}^n > 1 + n/(n^2 -1) > (n+1)/n,
853 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 04:10:10.46 ]: >>850

コーシーの証明に出て来る「ラグランジュの恒等式」

>>1 まとめWiki → まとめページ → よく使う不等式 → コーシーの不等式 → 証明

mathworld.wolfram.com/LagrangesIdentity.html
854 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 07:32:59.66 ]: Problem A.

A.534.
　三角形の３辺が a,b and c で、対応する中線（medians）の長さはそれぞれ sa, sb and sc とする。
　このとき次を示せ。　sa･sb/(a^2+b^2) + sb･sc/(b^2+c^2) + sc･sa/(c^2+a^2) ≧ 9/8.

A.536.
　正の実数 a,b,c,d が a+b+c+d = abc+abd+acd+bcd を満たす。次を証せ。　>>477 >>507
　　(a+b)(c+d) + (a+d)(b+c) ≧ 4√{(1+ac)(1+bd)}.

A.545.
　Prove that whenever a>b>1 are integers such that a+b divides ab+1 and a+b and a-b divides ab-1,
then a < b√3.

A.546.
　次を示せ。
　1/{sin[π/(4k+2)]}^2 + 1/{sin[3π/(4k+2)]}^2 + …… + 1/{sin[(2k-1)π/(4k+2)]}^2 = 2k(k+1),
　（k=3:　B.4371.を参照。)

A.548.
　Prove that
　　Π[i=1,n] {1 + 1/(x1+…+xi)} + Π[j=1,n] {1 + 1/(xi+…+xn)} ≦ n+1,
holds for arbitrary real numbers x1,……,xn ≧1.
855 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 07:34:53.93 ]: B.4291.
　すべての正数 a,b,c について、a^b･b^c･c^a ≦ a^a･b^b･c^c,

B.4296.
　m_a、m_b は三角形の辺a、辺b から見た高さを表わす。
　a>b　ならば　a^2010 + (m_a)^2010 ≧ b^2010 + (m_b)^2010　を示せ。

B.4297.
　すべての実数x,yに対して　-1/2 ≦ (x+y)(1-xy)/{(1+x^2)(1+y^2)} ≦ 1/2　を証せ。

B.4303.
　長方形（正方形でない）をその対角線に沿って２つに折る。
　結果として生じる５角形の周長は、元の長方形の周長より短いことを証せ。

B.4306.
　方程式　16^(x^2 +y) + 16^(y^2 +x) = 1　を解け。

B.4310.
　a0,a1,…,an は正の数で、a(k+1) - ak ≧ 1 （k=0,1,…,n-1）とする。次を示せ。
　1 + (1/a0){1 +1/(a1-a0)}…{1 +1/(an-a0)} ≦ (1+1/a0)(1+1/a1)…(1+1/an),

B.4321.
　どんな三角形でも、次の不等式が成り立つことを証せ。
　　b／sin(γ + α/3) + c／sin(β + α/3) > (2/3)a／sin(α/3),
856 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 07:36:05.65 ]: B.4340.
　すべての正数 a1,a2,…,an に対して次の不等式が成り立つことを証せ。
　{a1/(a2+…+an)}^2 + {a2/(a3+･･･+a1)}^2 + …… + {an/(a1+…+a(n-1))}^2 ≧ n/(n-1)^2,

B.4343.
　a,b は正の数を表わし、a^3 + b^3 =1 とする。a^2 +ab +b^2 -a-b >0 を示せ。

B.4355.
　正数 x,y,z の積が1ならば、次式を証せ。
　　(z^3 +y^3)/(x^2 +xy +y^2) + (x^3 +y^3)/(y^2 +yz +z^2) + (y^3 +z^3)/(z^2 +zx +z^2) ≧ 2,

B.4370.
　頂点A,B,C,の対辺の長さを a,b,c とする。BC=a, CA=b, AB=c,
内心をIとおき、AI=u, BI=v, CI=w とおく。このとき次を示せ。
　(a+b+c)(1/u+1/v+1/w) ≦ 3(a/u + b/v + c/w),　　　　>>477 >>480

B.4371.
　1/{sin(π/14)}^2 + 1/{sin(3π/14)}^2 + 1/{sin(5π/14)}^2 = 24,
を示せ。（A.536を参照。）　　　　　　　　　　　　　　　　　>>492

B.4376.
　x,y は負でない数ならば、次式を証せ。
　x^4 + y^3 + x^2 + y + 1 > (9/2)xy,

B.4378.
　pは正の素数とする。
　方程式 x^3･y^3 + x^3･y^2 - x^2･y^3 + x^2･y^2 -x +y = p+2 を解け。
857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 08:31:18.57 ]: B.4297.
　(1+x^2)(1+y^2) = (x+y)^2 + (1-xy)^2 ≧ 2|(x+y)(1-xy)|,

B.4306.
　x = y = -1/2,

B.4343.
　a^2 +ab +b^2 -a -b = (a^3 + b^3)/(a+b) +2ab -a -b
　　　= {1/(a+b) +(a+b) -2} + 2(1-a)(1-b) > 0,

B.4376.
　相加・相乗平均で。
　x^4 + x^2 + 1 ≧ 3x^2,
　y^3 + y ≧ 2y^2,
　(左辺) ≧ 3x^2 + 2y^2 ≧ (2√6)xy > (9/2)xy,
858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 08:57:05.85 ]: >>853
成程そのまんまでしたね（恥…

　|
　8 ＜ｻﾝｸｽ
　'`
　￣
859 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 16:06:27.63 ]: B4303
三角不等式より。
長方形をABCDとし
BCで折るとする。AD,BCの交点をEとする
AB+BC+CD+DA
=AB+CD+AE+CE+(BE+DE)
＞AB+CD+AE+CE+BC
860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 16:52:29.17 ]: B.4355.
　チェビシェフより
　(左辺) ≧ (x^3 +y^3)/(x^2 +xy+y^2) + (y^3 +z^3)/(y^2 +yz+z^2) + (z^3 +x^3)/(z^2 +zx+z^2)
　　　≧ (x+y)/3 + (y+z)/3 + (z+x)/3　　　(← *)
　　　= 2{(x+y+z)/3},
以下、相加･相乗平均で簡単。

*)　x^2 +xy +y^2 = 3(x^2 -xy +y^2) -2(x-y)^2 ≦ 3(x^2 -xy +y^2),
861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/24(土) 22:36:08.92 ]: B.4310.
nについての帰納法による。

n=0 のときは等号成立。

n≧1 のとき
　a_k - a_0 ≧ k,　　(← 題意)
左辺を A_n とおくと、
　A_n = 1 + (1/a0)Π[k=1,n] {1 + 1/(a_k - a_0)}
　　　≦ 1 + (1/a0)Π[k=1,n] (1 + 1/k)
　　　=　1 + (n+1)/a0,
よって
　A_{n+1} = 1 + (A_n - 1){1 + 1/(a(n+1) - a0)}
　　　= A_n･(1 + 1/a{n+1}) - a0{a_(n+1)/a0 - A_n}/{a(n+1)･(a(n+1) - a0)}
　　　≦ A_n･(1 + 1/a{n+1}) - a0{1 + (n+1)/a0 - A_n}/{a(n+1)･(a(n+1) - a0)}
　　　≦ A_n･(1 + 1/a{n+1}),
862 名前：859 mailto:sage [2011/12/25(日) 11:06:38.95 ]: BCで折るんじゃなくてBDで折るんだった;;;
863 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/26(月) 16:31:30.91 ]: B.4297
↑a=(1,x),↑b=(1,-y)とし
↑a,↑bのなす角度をθとすると
(x+y)(1-xy)/{(1+x^2)(1+y^2)}=sinθ･cosθ
864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/26(月) 16:45:47.03 ]: >>863

\vec{a}・\vec{b} / |\vec{a}|・|\vec{b}| = cosθで、あとの奴らは何でござる蟹？
865 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/26(月) 21:43:19.42 ]: Letx, y, z>0 with xyz=1.
Prove that x^3+y^3+z^3+6≧(x+y+z)^2
866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/26(月) 21:56:48.42 ]: >>864
　x = tanξ,　y = tanη とおくと、
　θ = ξ + η,
　tanθ = tan(ξ+η) = (x+y)/(1-xy),　　(加法公式)
そこで
　cosθ = cosξ･cosη - sinξ･sinη
　　　　= (1-xy)･cosξ･cosη,
　sinθ = sinξ･cosη + cosξ･sinη
　　　　= (x+y)･cosξ･cosη,
を辺々掛けて右辺に
　(cosξ)^2 = 1/{1 + (tanξ)^2} = 1/(1+x^2),
　(cosη)^2 = 1/{1 + (tanη)^2} = 1/(1+y^2),
を使ったでご猿。
867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/26(月) 22:16:26.36 ]: >>866
なんと！そんなやり方が…
　　＿＿＿　
.／　　≧　＼　
|:::: 　＼ .／　|　
|::::: (●　(● |　＜ナルホドナー！
ヽ::::... .ワ.....ノ
　　( つ旦O　　　 ,.-、　　 ,.-、　　,.-、
　　と＿)_) 　　　(,,■)　　(,,■)　　(,,■)
868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/27(火) 00:09:48.53 ]: >865
僕の考えてたこととは違ってたりして勉強になりますた。
ありがとうございます。m(__)m
863の者ですが、
A(1,x),B(1,-y)とすると
x+y=2△OAB (Oは原点)
となります。
2△OAB=|↑a||↑b|sinθ
ってことを考えてました。
869 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/27(火) 04:40:53.32 ]: 蟹、猿、おにぎり…、なるほどな
870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/28(水) 23:56:03.00 ]: >>498

0 < a,b ≦ c,d としても一般性を失わない。
題意により ab ≦ 1 ≦ cd,
また、a+b+c+d ≧ 2√(ab) +c+d ≧ 2√(ab) + 2/√(ab) ≡ t とおくと t ≧ 4,

左辺を g(a,b,c,d) とおくと
　g(a,b,c,d) - g(√(ab), √(ab),c,d)
　=　(√a - √b)^2･{1/ab - 9/[(a+b+c+d)(2√ab +c +d)]}
　≧ (√a - √b)^2･{1/ab - 9/(t^2)}
　≧ (√a - √b)^2･(1 - 9/16) ≧ 0,　　　　>>508
∴　a=b の場合を考えれば十分。以下、数セミ（2012/01）と同様。

　s ≡ a+b+c+d ≧ 2a + 2√(cd) = 2a + 2/a ≡ t とおくと t≧4,
(左辺) = 2/a + (c+d)/cd + 9/s
　　　= 2/a + (a^2)(s-2a) + 9/s
　　　= 2/a -2a^3 + (a^2･s + 9/s) ≡ f(s),
sの変域は [t,∞) で、極小となるのは s = 3/a のとき。

(i)　a ≧ 1/√2 のとき、t≧3/a,
　f(s) ≦ f(t) = t + 9/t
　　　= 25/4 + (t-4)(t - 9/4)/t
　　　≧ 25/4,

(ii) a ≦ 1/√2 のとき、t≦3/a,
　f(s) ≧ f(3/a) = 2/a +6a -2a^3　　(aについて単調減少)
　　　= 9/√2 + (1/√2 - a) + (2/a)(1/√2 - a)^2･{2 -(√2)a -a^2},
　　　≧ 9/√2 > 25/4,
871 名前：１３２人目の素数さん [2011/12/29(木) 18:30:34.49 ]: > 789 (790, 800, 801,
次の命題の(2)のn=2の場合と, (1)でm=n=1の場合を合わせると得られます.

命題. m, n は非負整数, r は2以上の整数,
x,y,z≧0 とするとき, 以下の不等式が成立する.
(1) x^(m+n) + y^(m+n) + z^(m+n) ≧ x^m y^n + y^m z^n + z^m x^n
(2) x^(n+2) y + y^(n+2) z + z^(n+2) x ≧ xyz(x^n + y^n + z^n)
(3) x^(n+r) y^r + y^(n+r) z^r + z^(n+r) x^r
≧ xyz(x^(n+r-2) y^(r-1) + y^(n+r-2) z^(r-1) + z^(n+r2) x^(r-1))

証明は, 並べ替え不等式や, 重み付きAM-GM不等式を使うだけです.

斉次交代不等式は, 斉次対称不等式と異なり, Muirheadの不等式等が
使えなくて, 時々, 不等式の形が弱くなります.
> 770 に3変数3～5次斉次対称不等式の話を書いたけど,
3変数6～8次斉次対称不等式についても似たような定理(もっとステートメントが
長い)があって, 大体それで解決できてしまいますが,
5次以上の3変数斉次交代不等式のほうは, あまり強力な一般論がありません.
872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/29(木) 19:47:35.43 ]: ｷｬｽﾌｨ高校数学板
不等式ｽﾚより
743 じゅー [2011/12/29(木) 16:01:06]

出題です�

実数 a,b,c,d,e,f が�
ae + bf + cd + af + bd + ce =0�
ad + be + cf + de + ef + fd = 0�
a^2 + b^2 + c^2 = 1�
d^2 + e^2 + f^2 + 2ab + 2bc + 2ca = 2�
を満たすとき�
|ae + bf + cd - af - bd - ce|�
の最大値を求めて下さい。�
考え方もよければお願いします。�
873 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/29(木) 19:51:21.65 ]: スマホの2ch mateとかゆーので書き込むと
文字化け(？)するのか...
874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/30(金) 04:48:34.62 ]: >>871 (3)

・並べ替え（チェビシェフ）:
Σ(乱順序積) ≧ Σ(逆順序積) より
　x{x^(n+r-1)･y^r} + y{y^(n+r-1)･z^r} + z{z^(n+r-1)･x^r} ≧ {x^(n+r-1)･y^r}z + {y^(n+r-1)･z^r}x + {z^(n+r-1)･x^r}y,

・　x^(n+r)･y^r を{(n^2+nr+r^2) -r-n}個、y^(n+r)･z^r をr個、z^(n+r)･x^r をn個でAM-GM。
875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/30(金) 05:00:25.30 ]: >>823 >>825

Problem 372. の Solution を貼っておこう....

　abc=1 ゆえ、例によって a=z/y, b=x/z, c=y/x とおく。

　(左辺) = y^2／[z(z+y) +x(x+y)] + z^2／[x(x+z) +y(y+z)] + x^2／[y(y+x) +z(z+x)]
　　≧ (x^2 +y^2 +z^2)^2／{y^2･[z(z+y) +x(x+y)] + cyclic}　（← コーシーまたは重み付きAM-HM)
　　= (x^2 +y^2 +z^2)^2／{xy(x+y)^2 +yz(y+z)^2 +zx(z+x)^2}
　　= {(1/2)(x^2 -y^2)^2 +3(xy)^2 + cyclic}／{xy(x+y)^2 +cyclic}
　　= 3/4 + {(5/16)(x^2 -y^2)^2 + (3/16)(x-y)^4 + cyclic}／{xy(x+y)^2 +cyclic},
　　≧ 3/4,

*)
　(x^2 -y^2)^2 = (x+y)^2･(x-y)^2 = 4xy(x-y)^2 + (x-y)^4,
　(xy)^2 = (1/4)xy(x+y)^2 -(1/4)xy(x-y)^2,
876 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/30(金) 05:24:30.98 ]: >>791-794
www.youtube.com/watch?v=k45IJSI_BLA
　Bunchin師匠の独演会
877 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/30(金) 06:22:02.22 ]: >>823

Problem 377.
　nは正の整数とする。
　i=1,2,･･･,n に対して z_i および w_i は複素数で、次を満たす:
　ε1, ε2,････,εn = ±1 のすべて（2^n とおり）の組合せについて、
　| Σ[i=1,n] εi･z_i | ≦ | Σ[j=1,n] εj･w_j |,
が成り立つ。次式を証せ。
　Σ[i=1,n] |z_i|^2 ≦ Σ[j=1,n] |w_j|^2,
878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/12/31(土) 06:13:08.99 ]: >>877

　条件式は (両辺) ≧0 だから、2乗しても成り立つ。すなわち、
　{Σ[i=1,n] εi･zi}{Σ[j=1,n] εj･(zj)~} ≦ {Σ[i=1,n] εi･wi}{Σ[j=1,n] εj･(w_j)~},
Σ[j=1,n] εj･(wj)~},
　Σ[i=1,n][j=1,n] εi･εj･zi･(zj)~ ≦ Σ[i=1,n][j=1,n] εi･εj･wi･(wj)~,
εのすべて(2^nとおり）の組合せについて加えると、
　εi･εj → 2^n　(i=j)
　　　　　→ 0　　(i≠j) 　（±1が同数あるから）
となり、i=j だけが残る。よって
　Σ[i=1,n] zi･zi~ ≦ Σ[j=1,n] wj･wj~,
879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/01(日) 04:29:42.89 ]: C.1043. (201009)
　f(x) = (x+a)^2 /{(a-b)(a-c)} + (x+b)^2 /{(b-c)(b-a)} + (x+c)^2 /{(c-a)(c-b)},
の値を求めよ。ここに a,b,c は相異なる実数である。

K.266. (201011)
　bd > 0 のとき、(a+c)/(b+d) は a/b と c/d の中間にある。
　bd < 0 のとき、(a+c)/(b+d) は a/b と c/d の外側にある。
880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/01(日) 04:39:55.40 ]: 年明け早々簡単すぎた .... orz

(略解)
C.1043.
　f(x) ={(c-b)(x+a)^2 + (a-c)(x+b)^2 + (b-a)(x+c)^2} /{(a-b)(b-c)(c-a)} = 1,
　または f(-a) = (b-a)/(b-c) + (c-a)/(c-b) = 1, f(-b) = 1, f(-c) = 1, から。

K.266.
　{(a/b) - (a+c)/(b+d)}{(a+c)/(b+d) - (c/d)} = (ad-bc)^2／{bd(b+d)^2},

B.4306.
相加･相乗平均で
　(左辺) = 16^(x^2 + y) + 16^(y^2 + x)
　　≧ 16^{(x^2 + y + y^2 + x)/2 + 1/4}
　　=　16^{(1/2)(x + 1/2)^2 + (1/2)(y + 1/2)^2}
　　≧ 16^0
　　= 1,
等号条件から x = y = -1/2,

B.4340.
　a1 + a2 + ･･･ + an = s とおく。
　φ(x) = {x/(s-x)}^2 = {s/(s-x) - 1}^2　は x<s で下に凸。
881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/03(火) 08:06:41.12 ]: >>865

　(x+y+z)/3 = A,　(xyz)^(1/3) = G　とおく。　A-G ≧ 0,

(左辺) - (右辺) = 9{A^3 + (x-A)(y-A)(z-A)} - 9AAG
　　= 9AA(A-G) + 9(x-A)(y-A)(z-A)
　　= 9AA(A-G) + 9{2A^3 -(xy+yz+zx)A +xyz}
　　= 9AA(A-G)/4 + (9/4)(2A+G)(A-G)^2 + (3/4)F1(x,y,z)
　　≧ 0,
ここに
　F1(x,y,z) = x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y)
　　　　　　= (x+y+z)^3 -4(x+y+z)(xy+yz+zx) + 9xyz ≧ 0,　(Schur)
ぬるぽ
882 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/03(火) 20:12:43.06 ]: 02-01-0014 安藤哲哉 (千葉大理) ] 3 変数斉次巡回不等式と代数曲面
mathsoc.jp/meeting/shinshu11sept/talklist/talkList_02.pdf#search=

これ気にならん？ ('A`)プケラ
883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/04(水) 00:09:32.16 ]: >>882

■射影幾何学における２つの定理
www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/666_p3.htm

「代数曲線・代数曲面入門」新装版－複素代数幾何の源流－
安藤哲哉（著）
出版社：(有)数学書房 (2011/01)
判型: A5判、496頁、
定価: 7350円
ISBN-10: 490334262X
ISBN-13: 978-4903342627
www.sugakushobo.co.jp/903342_62_mae.html
日本人初のフィールズ賞受賞者小平邦彦先生をはじめ多くの日本人数学者が貢献した複素代数幾何学への入門書。
定義・命題・定理・証明などの修正、および誤植の訂正をして新装版として出版。

「代数曲線・代数曲面入門」－複素代数幾何の源流－
安藤哲哉（著）
出版社: 白揚社 (2007/02)
判型：A5判、478頁、22cm
定価：7350円
ISBN-10: 4826931077
ISBN-13: 978-4826931076
安藤哲哉
1959年愛知県瀬戸市生まれ。岐阜県(旧)明智町出身。1982年東京大学理学部数学科卒業。同大学院を経て、1986年千葉大学講師。千葉大学理学部情報・数理学科助教授。理学博士(東京大学)、専門は代数幾何学。(BOOK)
884 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/06(金) 19:22:20.17 ]: > 882
その話の内容の2/3は下に書いてあります。
www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/ineq.pdf
残りの1/3の内容は、暇を見つけてタイプします。
日本語のメモ程度のものはタイプしてありますが、UPするにはどうも。
885 名前：あのこうちやんは始皇帝だった mailto:shikoutei@chine [2012/01/06(金) 19:29:55.16 ]: >>884

　お前は、定職に就くのが、先決だろが！！！！！！！！！！
886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/08(日) 05:57:33.72 ]: 難しい…、ｺﾞｸﾘ
887 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/10(火) 23:35:14.84 ]: 〔補題〕
a,b,c が実数のとき
　|(a-b)(b-c)(c-a)| ≦ {1/(3√6)}{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}^(3/2),
888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/11(水) 00:36:08.04 ]: >>887

(略証)
bはaとcの中間にある、としてもよい。
　(a-b)(b-c)(c-a) = ⊿ とおくと
　|⊿| ≦ (1/4)(|a-b|+|b-c|)^2 |c-a| = (1/4)|c-a|^3,
ところで、
　(c-a)^2 = (1/3){2(a-b)^2 + 2(b-c)^2 - (a-2b+c)^2} + (2/3)(c-a)^2
　　≦ (2/3){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}
　　=　(4/3)(s^2 -3t),

なお、a,b,c ≧ 0 のときは
　|⊿| ≦ 0.227083346211･s(s^2 -3t),

www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/744-745 , 527
　高校数学 - 不等式
889 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/11(水) 22:07:10.38 ]: >>887

　⊿^2 = {(a-b)(b-c)(c-a)}^2
　　　 = (1/54){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}^3 - (1/27){(2a-b-c)(2b-c-a)(2c-a-b)}^2,
　　　 = (4/27)(s^2 -3t)^3 - (1/27){(3a-s)(3b-s)(3c-s)}^2,
890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/11(水) 22:28:53.84 ]: 889すげっ。
メモメモ...φ(．．)
891 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/15(日) 04:08:40.30 ]: >>887-889

　(2a-b-c)/3 = a - s/3 = a ',
　(2b-c-a)/3 = b - s/3 = b ',
　(2c-a-b)/3 = c - s/3 = c ',
と置くのがいいらしいヨ

casphy - 高校数学 - 不等式 - 749
892 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/15(日) 23:37:42.81 ]: おもしろいね
893 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/15(日) 23:49:34.37 ]: 〔補題〕
　a,b,c ≧ 0
　⊿ = (a-b)(b-c)(c-a),
のとき
　|⊿| ≦ {(a+b+c)^3 -27abc}/(6√3),

casphy - 高校数学 - 不等式 - 748-750
894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/20(金) 14:45:56.52 ]: 最近知った不等式と言えば「小澤の不等式」 ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
mainichi.jp/select/science/news/20120116k0000m040090000c.html
895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/21(土) 03:12:10.06 ]: >>894

ja.wikipedia.org/wiki/不確定性原理#小澤の不等式
896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/22(日) 17:12:30.47 ]: 落ちたのかと思った ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
897 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/22(日) 22:36:25.33 ]: いや落ちてたでしょ
898 名前：１３２人目の素数さん [2012/01/22(日) 22:56:54.51 ]: a<b<c
rr2r=2r^3
3^3b^3-27(b^2-r^2)b=27r^2b/6*3^.5=4.5r^2b/3^.5
899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/23(月) 23:53:25.33 ]: ふたばから
x^y+y^x>1
x,y>1を示せ

対数とか取らずに解いて欲しいですね
900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/23(月) 23:54:14.95 ]: 既出
901 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/24(火) 01:34:42.06 ]: >>899
過去ログを見たまえ
902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/24(火) 01:45:26.56 ]: x=y=1/2
903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/28(土) 00:35:32.84 ]: a、b、c >0 のとき、a^3/(a+b)^2 + b^3/(b+c)^2 + c^3/(c+a)^2 ≧ (a+b+c)/4

さいきん立読み中に見かけた問題だが、既出な伊予柑 ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/28(土) 00:42:37.07 ]: >>899
むしろ対数を取って証明する方法を知りたい

さあ、改造手術の時間です！
a、b >0に対して、 a^a + b^b ≧ a^b + b^a > 1

( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
905 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/28(土) 00:54:02.62 ]: >>903
a^3/(a+b)^2≧(2a-b)/4から示す
906 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/01/28(土) 01:40:14.79 ]: >>905
どこから出てくるん、その発想
907 名前：名無しさん [2012/01/30(月) 21:15:10.90 ID:AiSkvLuw]: >>903
ではでは、次はどんな方法で？
a、b、c >0 のとき、a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a) ≧ (a+b+c)/2

一般化はできますか？ ( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
a、b、c >0 のとき、a^(n+1)/(a+b)^n + b^(n+1)/(b+c)^n + c^(n+1)/(c+a)^n ≧ (a+b+c)/？
908 名前：名無しさん [2012/01/30(月) 21:17:38.49 ID:AiSkvLuw]: 専ブラから書き込めなかったので、落ちたのかと思ったぜ…
IDが出てるし、何が起こったのだ ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
909 名前：名無しさん [2012/01/30(月) 21:30:41.60 ID:xfpFxcpO]: まじだ
910 名前：名無しさん [2012/01/30(月) 21:34:49.65 ID:qQ0NhdK4]: >>907
a、b、c >0 のとき、a^(n+1)/(a+b)^n + b^(n+1)/(b+c)^n + c^(n+1)/(c+a)^n ≧ (a+b+c)/2^n
911 名前：名無しさん mailto:sage [2012/01/30(月) 21:44:24.85 ID:???]: >>907
a^2/(a+b)≧(3a-b)/4から示す
912 名前：名無しさん mailto:sage [2012/01/30(月) 21:58:49.60 ID:???]: >>911
どこから捻り出すのか教えて栗々ﾎﾟﾝﾎﾟﾝ ( ﾟ∀ﾟ)！
913 名前：名無しさん mailto:sage [2012/01/30(月) 22:01:11.43 ID:???]: そのコツが分かれば、a^4/(a+b)^3 + b^4/(b+c)^3 + c^4/(c+a)^3 でも作れる鴨
914 名前：名無しさん mailto:sage [2012/01/30(月) 22:32:37.59 ID:???]: a、b、c >0 のとき、a^(n+1)/(a+b)^n + b^(n+1)/(b+c)^n + c^(n+1)/(c+a)^n ≧ (a+b+c)/2^n

( ﾟ∀ﾟ) しゅっびどぅっび～
915 名前：名無しさん mailto:sage [2012/01/30(月) 22:41:55.32 ID:???]: >>912
a^2/(a+b)≧(xa+(1-x)b)/2
から上手くなってくれるように調整
2a^2≧xa^2+ab+(1-x)b^2
(a-b)((2-x)a+(1-x)b)≧0
からx=3/2だとうまくいくなーと
916 名前：名無しさん mailto:sage [2012/01/30(月) 22:52:48.88 ID:???]: >>915
ぐぬぬ…、なるほどな～
そうやって理詰めで作り出すんですね～ヽ('A`)ノ

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