不等式への招待 第５章

1 名前：不等式ヲタ mailto:sage [2010/10/24(日) 23:56:56 ] ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める… 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 ----- 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ… 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ 過去スレ ・不等式スレッド （Part1）　 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/ ・不等式への招待 第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/ ・不等式への招待 第３章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/ ・不等式への招待 第４章　kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/ 過去スレのミラー置き場：cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/ まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/ 姉妹サイト（？） Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000 2 名前：不等式ヲタ mailto:sage [2010/10/24(日) 23:58:46 ] [1]　不等式，ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，シュプリンガー，2003年 　 　amazon.co.jp/o/ASIN/4431710566 [2]　不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版） [3]　不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年（絶版） [4]　不等式入門，渡部隆一，森北出版，2005年 　　 amazon.co.jp/o/ASIN/4627010494 [5]　不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年 　　 amazon.co.jp/o/ASIN/4627075812 [6]　不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年 　　 amazon.co.jp/o/ASIN/4894281740 [7]　数理科学 No.386 特集「現代の不等式」，サイエンス社，1995年8月号（絶版） [8]　数学トレッキングツアー第３章「相加平均≧相乗平均」，東京理科大学数学教育研究所，教育出版，2006年 　 　amazon.co.jp/o/ASIN/4316801988 [9]　数学オリンピック事典，数学オリンピック財団，朝倉書店、2001年 　 　amazon.co.jp/o/ASIN/4254110871 [10]　The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年 　　 amazon.co.jp/o/ASIN/052154677X [11]　数学セミナー 2009年 02月号，日本評論社，2009年 　 　www.amazon.co.jp/o/ASIN/B001O9UIZ8 [12]　大学への数学 2009年4月号-2010年3月号，東京出版 　　　　連載 「不等式の骨組み」 、栗田哲也、全12回、各4ページ [13]　Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach，Birkhaeuser Basel，2009年 　　 amazon.jp/dp/3034600496 3 名前：不等式ヲタ mailto:sage [2010/10/24(日) 23:59:53 ] 不等式の埋蔵地 [1]　RGMIA　rgmia.vu.edu.au/ [2]　Crux Mathematicorum Synopses　www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/ [3]　Maths problems　www.kalva.demon.co.uk/ [4]　Mathematical Inequalities & Applications　www.ele-math.com/ [5]　American Mathematical Monthly　www.maa.org/pubs/monthly.html [6]　Problems in the points contest of KoMaL　www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml [7]　IMO リンク集　imo.math.ca/ [9]　Mathematical Olympiads Correspondence Program　www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/ [10]　Mathematical Excalibur　www.math.ust.hk/excalibur/ [11]　MathLinks Contest　www.mathlinks.ro/Forum/contest.html [12]　MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE　www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_s... (要自動登録) [13]　Wolfram MathWorld　mathworld.wolfram.com/ [14]　GRA20 Problem Solving Group　www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.htm... [15]　American Mathematical Monthly Problems　www.mat.uniroma2.it/~tauraso/AMM/amm.html [16]　Journal of Inequalities and Applications www.hindawi.com/journals/jia/ 海外不等式ヲタの生息地 [1] Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics　jipam.vu.edu.au/ [2] MIA Journal　www.mia-journal.com/ [3] MathLinks Math Forum　www.mathlinks.ro/Forum/forum-55.html 4 名前：不等式ヲタ mailto:sage [2010/10/25(月) 00:03:24 ] >>2 姉妹サイト（？）に付け忘れました キャスフィ 高校数学板 不等式スレ　www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/ 　　　　　　 　　∧＿∧ 　　　　　　 　 （´Д｀　）　　　死んでお詫びを… 　　　　　 　　 / 　y/　 ヽ　　　　　　 　　　　Σ(m)二フ ⊂[_ノ 　　　　　 　 （ノノノ | | | l ） 　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ 5 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/10/25(月) 00:11:20 ] www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.html M1854、M1852、C934、C932 に(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ… 6 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/10/25(月) 04:04:00 ] >>5　読めぬぅ… 〔M1852.〕 f∈C^1([0,1]) で f(0) = f(1) = -1/6 とする。次を示せ。 　∫[0,1] {f '(x)}^2 dx ≧ 2∫[0,1] f(x)dx + (1/4), 等号は f(x) = (1/2)x(1-x) - 1/6. (Cezar Lupu e Tudorel Lupu (Romania)) 〔C934.〕 n個の辺からなる多角形を考え、その半周をsとおく。次を示せ。 　�農[1≦i<j≦n] (a_i)^2･(a_j)^2／{(a_i)^2 + (a_j)^2} ≦ {(n-1)/(n-2)^2}�納k=1,n] (s-a_k)^2, ここに、a_1, a_2, ……, a_n はn個の辺の長さ。(Jose Luis Diaz-Barrero (Spagna)) 〔C932.〕 f:[0,1]→R は連続函数で ∫[0,1] {f(x)}^3 dx =0 とする。次を示せ。 　∫[0,1] {f(x)}^4 dx ≧ (27/4){∫[0,1] f(x)dx}^4, 　　　　　　　　　　　　(Cezar Lupu e Tudorel Lupu (Romania)) www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.html 7 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/10/25(月) 10:01:52 ] >>6 文献[3]　不等式への招待 のP.145 あたりを参考に考えたが… 8 名前：１３２人目の素数さん [2010/10/27(水) 10:31:36 ] 猫に小判、まで読んだ。 9 名前：猫は火病 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2010/10/27(水) 16:03:54 ] 猫 10 名前：１３２人目の素数さん [2010/10/27(水) 23:33:42 ] 等差数列a[i],等比数列b[i]を考える 0<a[1]<a[2]<…<a[n] 0<b[1]<b[2]<…<b[n] a[1]=b[1],a[n]=b[n] を満たすとき Σ[i=1~n]a[i]≧Σ[i=1~n]b[i] 11 名前：１３２人目の素数さん [2010/10/28(木) 00:06:26 ] bk=(bn)^(k-1)/nb1 ak=(bn-b1)(k-1)/n+b1 12 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/10/31(日) 14:42:03 ] >>10 .　　　　　(n-k)個、　　　(k-1)個 a[k] =（a[1],…,a[1], a[n],…,a[n] の相加平均） b[k] =（b[1],…,b[1], b[n],…,b[n] の相乗平均） ∴　a[k] ≧ b[k], ぬるぽ 13 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/11/01(月) 10:58:38 ] >>6の積分の不等式を見ると それを証明できそうになくても フリーザやセルにボコられる前の 悟空のようにワクテカしてしまいます 14 名前：１３２人目の素数さん [2010/11/02(火) 21:15:33 ] 今年の東工大AO a,b,cを三角形の三辺の長さとするとき (a^2+b^2+c^2)/(ab+bc+ca) のとりうる値の範囲を求めよ 15 名前：１３２人目の素数さん [2010/11/02(火) 21:39:24 ] 大数の宿題 Aはxy平面上のx^2+y^2=1を動き Bはyz平面上のy^2+z^2=1を動き Cはzx平面上のz^2+x^2=1を動くとき AB^2+BC^2+CA^2のとりうる値の範囲を求めよ 16 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/11/02(火) 21:41:56 ] 三角関数を知っていれば どちらも解けそうですな。 17 名前：１３２人目の素数さん [2010/11/02(火) 21:57:04 ] A=(x,(1-x^2)^.5,0) B=(0,y,(1-y^2)^.5) C=((1-z^2)^.5,0,z) f=AB^2+BC^2+CA^2 fx=fy=fz=0 18 名前：１３２人目の素数さん [2010/11/02(火) 22:26:34 ] fx=Ax=(1,-2x(1-x^2)^-.5,0)=0,x=0,+/-1 (x,y,z)=(0+/-1,0+/-1,0+/-1) 19 名前：１３２人目の素数さん [2010/11/02(火) 22:29:58 ] 0,3 20 名前：１３２人目の素数さん [2010/11/02(火) 22:41:37 ] A、Bの焦点の楕円からCにMAXをとる。以下同文 21 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/11/03(水) 02:36:01 ] >>14 　1 ≦ (与式) < 2, 　(a^2 +b^2 +c^2) - (ab+bc+ca) = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧ 0, 　等号成立は a=b=c (正三角形)。 　2(ab+bc+ca) - (a^2 +b^2 +c^2) = (2ab -a^2 -b^2 +c^2) + (2bc -b^2 -c^2 +a^2) + (2ca - a^2 -c^2 +b^2) 　　　= { -(a-b)^2 + c^2} + { -(b-c)^2 + a^2) + { -(c-a)^2 + b^2} 　　　= (-a+b+c)(a-b+c) + (-b+c+a)(b-c+a) + (-c+a+b)(c-a+b) 　　　> 0, あるいは >>16 にしたがって 　2(ab+bc+ca) - (a^2 +b^2 +c^2) = (2ab -a^2 -b^2 +c^2) + (2bc -b^2 -c^2 +a^2) + (2ca - a^2 -c^2 +b^2) 　　　> {2ab･cos(C) -a^2 -b^2 +c^2} + {2bc･cos(A) -b^2 -c^2 +a^2} + {2ca･cos(B) -a^2 -c^2 +b^2} 　　　= 0, 　　　等号成立は一辺が → 0 のとき。 22 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/11/03(水) 04:19:14 ] >>6 〔C934.〕 　(a_i)^2 + (a_j)^2 - 2a_i･a_j = (a_i-a_j)^2 ≧ 0, より (左辺) ≦ (1/2)�納1≦i<j≦n] a_i･a_j ≦ {(n-1)/n}s^2,　　(*) 　�納k=1,n] (s-a_k)^2 = �納k=1,n] {s^2 -2s･a_k + (a_k)^2} 　　　= (n-4)s^2 + �納k=1,n] (a_k)^2 　　　≧ (n-4)s^2 + (4/n)s^2　　　　　　　　　　　(**) 　　　= (1/n)(n-2)^2･s^2, ∴　(右辺) ≦ {(n-1)/n}s^2, n辺多角形でなくても成立つ希ガス。 --------------------------------------------------- 〔補題〕　�� = �納1≦i,j≦n] (a_i-a_j)^2 ≧ 0,　より (*)　�納1≦i<j≦n] a_i･a_j = {2(n-1)/n}s^2 - (1/2n)�� ≦ {2(n-1)/n}s^2, (**)　�納k=1,n] (a_k)^2 = (4/n)s^2 + (1/n)�� ≧ (4/n)s^2, 23 名前：１３２人目の素数さん [2010/11/04(木) 23:59:21 ] f (0) = f(1)= 0 のとき ∫[0,1] {f'(x)}^2･dx ≧∫[0,1] {f(x)}^2 を示せ 〔M1852.〕と似てる 24 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/11/08(月) 01:08:45 ] >>23 〔Wirtingerの不等式〕 　f(x), f '(x) が [0,1] で連続のとき 　∫[0,1] {f'(x)}^2･dx ≧ (π^2)∫[0,1] {f(x)}^2 dx, 　等号成立は f(x) = c･sin(πx) のとき。 f(x) を sine級数でフーリエ展開して 　f(x) = �納k=1,∞) b_k sin(kπx), とおく。 　(右辺) = (π^2)�納k=1,∞) (1/2)(b_k)^2, 　f '(x) = π�納k=1,∞) k･b_k cos(kπx), 　(左辺) = (π^2) �納k=1,∞) (1/2)(k･b_k)^2, 25 名前：１３２人目の素数さん [2010/11/08(月) 18:20:11 ] >>23 初等的証明 f(0)=0 より f(x)=∫_[0,x] f'(t) dt と書ける． Schwarzの不等式とHo"lderの不等式より， |f(x)|≦ ∫_[0,x] |f'(t) | dt 　　　≦ { ∫_[0,x] 1^2 dt }^{1/2}・{∫_[0,x] |f' (t)|^2 dt}^{1/2}. 両辺自乗すれば， |f(x)|^2 ≦ x ∫_[0,x] |f' (t)|^2 dt． よって，x について 0 →1まで積分すれば， ∫_[0,1] |f(x)|^2 dx ≦ ∫_[0,1] x { ∫_[0,x] |f' (t)|^2 dt } dx. ここで、右辺を部分積分すれば， 右辺 = [ x^2/2・∫_[0,x] |f' (t)|^2 dt ]_[x=0]^1 - ∫_[0,1] x^2/2・|f' (x)|^2 dx 　　　= 1/2 ・∫_[0,1] |f' (t)|^2 dt - - ∫_[0,1] x^2/2・|f' (x)|^2 dx 　　　= 1/2 ・∫_[0,1] (1-x^2) |f' (x)|^2 dx 　　　≦1/2 ・∫_[0,1] |f' (x)|^2 dx 　　　≦∫_[0,1] |f' (x)|^2 dx よって、　　 　∫_[0,1] |f(x)|^2 dx ≦　∫_[0,1] |f' (x)|^2 dx が証明できた。 26 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/11/08(月) 19:08:21 ] >>25 すっげー、ネ申！ 27 名前：じゅー [2010/11/19(金) 00:53:54 ] ｷｬｽﾌｨ―修羅の刻―より。 正の実数a,b,cに対し次を満たす最大の実数kを求めよ。 {(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2 ≧k(ab+bc+ca)^3 できれば解き方も書いてほしいです。 非対称な部分の処理の仕方がわからないので教えて下さいって意味も込めて。 28 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/11/19(金) 13:47:12 ] シュワルツの不等式ｻｲｺｳ 29 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/11/21(日) 19:41:21 ] >>27 基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, とおくと、 　(a+2b)(b+2c)(c+2a) = 3st + (a-b)(b-c)(c-a) = 3st + ��, 非対称な部分 (a-b)(b-c)(c-a) = �� は正にも負にもなり得るので、 絶対値を押さえます。 〔補題〕　|�處 ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t), 詳細は [第３章.727, 737-739] へ。ミーラ置き場にあります... 30 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/11/21(日) 19:48:23 ] >>27 序でに解き方も書いておこう。 　(a+2b)(b+2c)(c+2a) - (3t)^(3/2) 　= 3st + �� - 3t√(3t) 　= 3t{s-√(3t)} + �� 　≧ (3t/2s)(s^2 -3t) - |�處　　　(← *) 　≧ (3/2 - 2/√3)(s^2 -3t)　　　(←補題) 　≧ 0,　　　　　　　　　　　　　(← **) *)　s-√(3t) = (s^2 -3t)/{s+√(3t)} ≧ (s^2 -3t)/2s, 〔補題〕　|�處 ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t), (略証) min(a,b,c) = m とおき、{a,b,c} = {m, m+x, m+x+y} とする。(x,y≧0) 然らば、　|�處 = xy(x+y),　s = 3m+2x+y,　t = 3m^2 + 2m(2x+y) + x(x+y),　s^2 -3t = x^2 +xy +y^2, ∴　t(s^2 -3t) - ((√3)/2)s|�處 = 3m^2･(x^2 +xy +y^2) + m･{4x^3 + 3(1-(√3)/2)xy(x+y) +2y^3} + x(x+y){x - ((√3 -1)/2)y}^2 ≧0, 等号成立は m=0 かつ x/y = (√3 -1)/2 のとき。 **)　s^2 -3t = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧ 0, 31 名前：じゅー [2010/11/22(月) 00:16:47 ] 巧妙ですね。 まず(a-b)(b-c)(c-a)を作るんですか?? あとは最小値とかを与えて計算?? |�處=xy(x+y)となるのは面白いですね。 32 名前：１３２人目の素数さん [2010/11/27(土) 23:50:59 ] [問題] f は区間 (a,b) (a<b) で C^2 級関数であるとき、 　∫_[a,b] |f′(x) |dx ≦ 54{ 1/(b-a)^2 ∫_[a,b] |f(x)|^2 dx 　　　　　　　　　　　　　　　 + (b-a)^2∫_[a,b] |f" (x)|^2 dx } が成立することを示せ。 33 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/02(木) 22:54:21 ] ｷｬｽﾌｨｰ からもう一題。（Σ計算-180) 〔問題〕 　a[1],a[2],･･･,a[n]≧0 　�納k=1,n] a[k] = S のとき 次を示せ。 (1)　�納k=1,n] a[k]^2 ≧ (1/n)S^2, (2)　�納k=1,n-1] a[k]a[k+1] ≦ (1/4)S^2, 34 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/06(月) 20:57:07 ] >>33　しょうがねぇなぁ… (3)　�納k=1,n-2] a[k]a[k+1]a[k+2] ≦ (S/3)^3, (4)　�納k=1,n-3] a[k]a[k+1]a[k+2]a[k+3] ≦ (S/4)^4, 　…　… 35 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/06(月) 23:51:02 ] >>33 （１）シュワルツの不等式より、 Ｓ＝�納k=1,n] 1・a[k]　≦ { �納k=1,n] 1^2 }^{1/2}・{ �納k=1,n] a[k]^2 }^{1/2} ＝ {ｎ}^{1/2}・{ �納k=1,n] a[k]^2 }^{1/2}． よって， 　　 Ｓ^2 ≦ n �納k=1,n] a[k]^2 が証明された。 36 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/09(木) 03:54:32 ] 不等式の『未解決』問題集ってどこかに無いかな？ フェルマー予想やポアカレ予想のような、不等式界における大予想、大問題 というのを知りたいね。 ついでに、このスレでチャレンジしてみるのも面白そう。 不等式の大予想、２ちゃんねるスレで解ける！ みたいに… どこかの本や問題集からの問題はやる気が失せる。 37 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/09(木) 03:58:53 ] 例えば、ラマヌジャン系の不思議な不等式に証明を与える（ないし、反例を与える）作業とか なんか良い文献ないかなあ 38 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/09(木) 05:43:22 ] Bateman [Ramanujan Book] ha dou?? 39 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/09(木) 10:04:33 ] nesbitの不等式って未解決の部分があるんじゃなかったっけ 40 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/09(木) 22:03:35 ] >>36 巡回和関係の不等式は見かけは簡単でも、未解決なのが結構あるそうだ。 Shapiroの巡回不等式もこの10年数年に解けたそうな。 （大関本ではまだ未解決になっている） 41 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/09(木) 22:07:06 ] >>39 Nsbittの不等式の一般化が Shapiroの巡回不等式。 だから現在では解決済み。 42 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/09(木) 22:18:31 ] Nesbittの不等式 www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/inequality/nesbitt.htm olympiads.mccme.ru/lktg/2010/5/5-1en.pdf 43 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/11(土) 15:07:40 ] >>42 思わずフルボッキしてしまった！ 44 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/12(日) 05:14:43 ] >>29-31 〔補題’〕a,b,c≧0 のとき　|�處 ≦ 2{s-√(3t)}t, 　等号成立は m=0 かつ x/y = 1/2 のとき。 45 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/12/12(日) 06:08:01 ] Shapiro's cyclic sum mathworld.wolfram.com/ShapirosCyclicSumConstant.html なお、λ = 1/3 としたものが [初代スレ.501] にある。 46 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/25(土) 18:03:31 ] 　 47 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/30(木) 19:09:27 ] [問題] A=(a_[ij]) を複素n次正方行列とし α_1,,, α_n を A の固有値（重複度込み）とする。 このとき、次の不等式を示せ。 　　�農[k=1,,n] |α_k|^2 ≦ �農[i,j=1,,,n] |a_[ij]|^2 また等号が成立するための必要十分条件は A が正規行列（A^* A = A A^*）である。 48 名前：１３２人目の素数さん [2010/12/30(木) 19:13:47 ] >>47 この不等式は「Shurの不等式」と呼ばれ線型代数の本などに載っていますが、 不等式の部分だけでも線型代数を使わない証明をして欲しいです。 49 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/03(月) 02:32:47 ] 〔問題961〕 自然数nに対して、 　Ｉ_n = ∫[0,(2n+1)π] {x･sin(x)/[n + sin(x)^2]} dx　とおく。 　(2n+1)π/(n+1) < I_n < (2n+1)π/n　を示せ。 www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1089455158/961-965 　casphy - 高校数学 −修羅の刻−【難問】 50 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/06(木) 23:40:15 ] a、b、c、dを正の定数とする。 不等式 s(1-a)-tb>0 -sc＋t(1-d)>0 を同時に満たす正の数s、tがあるとき、 2次方程式x^2-(a＋d)x＋(ad-bc)=0は-1<x<1の範囲に異なる2つの実数解をもつことを示せ。 51 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/09(日) 06:31:06 ] >>50 　f(x) = x^2 -(a+d)x +(ad-bc),　とおく。 　判別式 D = (a+d)^2 -4(ad-bc) = (a-d)^2 +4bc > 0, より、異なる2つの実数解をもつ。 　f((a+d)/2) = −(1/4)(a-d)^2 -bc < 0, また、題意より 　0 < a,d < 1, 　1-a > (t/s)b > 0, 　1-d > (s/t)c > 0, ∴　f(1) = (1-a)(1-d) -bc > 0, 　　f(a+d-1) = f(1) > 0, ∴　２実数解は a+d-1<x<(a+d)/2, および (a+d)/2<x<1 の範囲にある。 52 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/09(日) 14:17:45 ] www.math.ust.hk/excalibur/v15_n3.pdf P352など 　二 ｀丶、｀丶、_＼__＼〉ﾉﾉへ! `‐-、 二. ｀ヽ、 ミ￣　／⌒ｼ′） 二‐/,ｨ┐|=ミ=┘　,r‐'_二ﾆ....イ ‐ニ| i＜　 ｉ　,..-=ﾆ‐''＼　 /彡}　 　 www.math.ust.hk/excalibur/v15_n3.pdf 二‐ヽ ┘ ｜ 　 　 lヾ. } } / /リ ﾆ ‐'"/ 　 /　　　　|_{;)} ﾚ' /(（　　　Problem352などを見ると・・・・・ '　　/ 　 /　　 　 '"　` `ﾞ /　ｿ 　 /　　　　,　　　　　　Ｆ'′/　　 　なんていうか･･････その･･･ 　 ヽ.　　　　＼、 L`___l　　　　　 　 　＿＼ 　 　ヽ._>┘　　　　　　　　 下品なんですが･･････フフ･････ 　／了＼＿ノ 　◆（　　　　　　　　　　　　　　　　 勃起･･････しちゃいましてね･････････ 　門｜ 53 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/10(月) 11:49:13 ] >>52 〔Problem 352.〕 a,b,c>0, abc≧1　のとき　 　a/{√(bc)+1} + b/{√(ca)+1} + c/{√(ab)+1} ≧ 3/2, 　　　　　　　　　　　　　　　(P.H.O.Pantoja による) 　 Math. Excalibur, Vol.15, No.3, 2010/Oct.-Dec. 54 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/10(月) 11:53:48 ] >>53 　abc =k とおく。 　(左辺) = a^(3/2)/(√k + √a) + b^(3/2)/(√k + √b) + c^(3/2)/(√k + √c) 　　　　= F(a) + F(b) + F(c), ここに 　F(x) = x^(3/2)／(√k + √x) = x - √(kx) +k -(k√k)/(√k + √x), 　F '(x) = {3√(kx) + 2x}／{2(√k +√x)^2} > 0,　 (単調増加) 　F "(x) = {√k + (3/√x)}／{4(√k + √x)]^3} > 0,　(下に凸) よって 　(左辺) > 3F((a+b+c)/3)　　　(← Fは下に凸) 　　　　> 3F(k^(1/3)) 　　　　(← 相加･相乗平均) 　　　　= 3(√k)／{√k + k^(1/6)} 　　　　> 3/2,　　　　　　　　　　　　(← k≧1) 55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/10(月) 12:16:29 ] 〔Problem 357.〕 正の整数nに対し、次を満たす4整数 a,b,c,d が存在しないことを示せ。 　ad = bc, 　n^2 < a < b < c < d < (n+1)^2, 〔Problem 359.〕 次を満たすすべての実数(x,y,z)を求む。 　x+y+z ≧ 3, 　x^3+y^3+z^3 + x^4+y^4+z^4 ≦ 2(x^2+y^2+z^2), 　　　　　　　　　　　　　(M.Bataille による) www.math.ust.hk/excalibur/v15_n3.pdf 　Excalibur, Vol.15, No.3, 2010/Oct-Dec 56 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/11(火) 21:32:52 ] >>55 P.359. 　x^4 + x^3 - 2x^2 = (x^2 +3x +3)(x-1)^2 + 3(x-1) ≧ 3(x-1), 等号成立は x=1 のとき。 ∴　(左辺) - (右辺) ≧ 3(x+y+z-3) ≧ 0, ∴　題意の不等式が成立するのは (x,y,z)=(1,1,1) のみ。 57 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/12(水) 21:00:00 ] １＜ｍ＜ｎ。 ０≦ａ。 ｂ＝（ｎ−ｍ）ａ／（ｎ−１）。 ｃ＝（ｍ−１）ａ／（ｎ−１）。 ａ＝ｂ＋ｃ。 ｍａ＝ｂ＋ｎｃ。 ａ／ｍ≦ｂ＋ｃ／ｎ。 　（ｘ＋ｎ（１−ｘ））（ｘ＋（１−ｘ）／ｎ）＾２ ＝（２ｎ−２（ｎ−１）ｘ）（１＋（ｎ−１）ｘ）＾２／２ｎ＾２ ≦（（２ｎ＋２）／３）＾３／２ｎ＾２ ＝４（ｎ＋１）＾３／２７ｎ＾２。 58 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/14(金) 00:12:11 ] >>57 〔問題〕 nを自然数、 0≦x≦1 を実数とするとき、 　{x + n(1-x)}{x + (1-x)/n}^2 の最大値を求めよ。 hint: 　{x+n(1-x), [nx+(1-x)]/2, [nx+(1-x)]/2} の相加平均は (n+1)/3, 59 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/14(金) 05:00:00 ] １≦ｉ≦ｎ。 （ｉ−１）（ｉ−ｎ）≦０。 ｎ≦ｉ（ｎ＋１−ｉ）。 １／ｉ≦（ｎ＋１−ｉ）／ｎ。 　Σ（ｉａ（ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２ ≦Σ（ｉａ（ｉ））Σ（（（ｎ＋１−ｉ）／ｎ）ａ（ｉ））＾２ ＝Σ（ｉａ（ｉ））（（（ｎ＋１）／ｎ）Σ（ａ（ｉ））−（１／ｎ）Σ（ｉａ（ｉ）））＾２ ≦（４（ｎ＋１）＾３／２７ｎ＾２）Σ（ａ（ｉ））＾３。 60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/16(日) 05:00:00 ] 　Σ（ｉａ（ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２ ≦Σ（（ｎ＋１−ｎ／ｉ）ａ（ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２ ＝（（ｎ＋１）Σ（ａ（ｉ））−ｎΣ（ａ（ｉ）／ｉ））Σ（ａ（ｉ）／ｉ）＾２ ≦（４（ｎ＋１）＾３／２７ｎ＾２）Σ（ａ（ｉ））＾３。 61 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/16(日) 08:21:59 ] >>57-58　出題元： kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287678220/238 ,368 数オリスレ２０ kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1289917753/285-311 初等整数論の問題２ 62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/18(火) 22:52:05 ] x > 0 、 y > 0 、 0 < p < 1 のとき、 (x+y)^p < x^p + y^p を示せ 63 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/18(火) 23:01:47 ] >>62 成り立たねーぞボケ 64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/19(水) 01:21:33 ] >>63 ﾆﾔﾆﾔ… 65 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/19(水) 02:34:17 ] x^p+y^p-(x+y)^p x^p+t^p*x^p-(1+t)^p*x^p =x^p*(1+t^p-(1+t)^p) >0 66 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/19(水) 02:41:07 ] もっとエレガントに解かんかい 67 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/19(水) 05:52:11 ] >>62 私の粗末なコレクションを検索したところ、似たようなものがあった。 [1997早稲田大]----------------------------------------------------------- x、yを任意の正の数とし、p、qを 1/p + 1/q = 1 かつ p>1、q>1 をみたす有理数とする。 (1) (x+y)^2 ≦ px^2 + qy^2 を示せ (2) (x+y)^(1/p) < x^(1/p) + y^(1/p) を示せ ------------------------------------------------------------------------- これって、有理数という縛りは必要なのかな？ 不等式( ﾟ∀ﾟ)ﾊｧﾊｧ… 68 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/19(水) 05:54:57 ] >>65がわからん 69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/19(水) 07:18:39 ] 俺も>>63と>>65がわからん 70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/19(水) 07:57:18 ] >>63 >>66 口が悪いな、直したほうがいい 71 名前： ◆LANDAUL/nY [2011/01/19(水) 09:46:33 ] y=txとおいてるのかな 1+t^p-(1+t)^p>0の証明は f(t)とおいてp<1なのでf'(t)<0だから lim_{t→∞}f(t)>0 ということかな? (x^p+y^p)^(1/p)>x+y を示す x≧yとする (x^p+y^p)^(1/p)≧(x^p+x^p)^(1/p)=2^(1/p)*x>2x=x+x≧x+y 72 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/19(水) 10:07:52 ] コーシーか相加相乗しか認めんぞ 73 名前： ◆LANDAUL/nY [2011/01/19(水) 10:13:11 ] 普通に間違ってた 74 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/19(水) 11:02:41 ] >>71 x^p+y^p≦2*((x+y)/2)^p (x^p+y^p)^(1/p)≦2^(p-1)*(x+y) (x^p+y^p)^(1/p)<x+y 75 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/19(水) 22:23:25 ] 不等式に魅せられた高校生なんですけど[13]の書籍は体系だって不等式を学ぶのに有効ですか？ 76 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/19(水) 22:54:19 ] >>62, >>66, >>68-69, 　1-p > 0, 　x^p = x/{x^(1-p)} > x/(x+y)^(1-p), 　y^p = y/{y^(1-p)} > y/(x+y)^(1-p), 辺々たす。 (終) >>67 (1) 題意より (p-1)(q-1) = 1, 　　px^2 + qy^2 - (x+y)^2 = {x√(p-1) - y√(q-1)}^2 ≧ 0, (2) 上と同様。ただし p ⇔ 1/p 77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/23(日) 06:27:07 ] >>67 (x+y)^(1/p)*(x+y)^(1/q) = (x+y)^(1/p + 1/q) = x+y = x^(1/p + 1/q) + y^(1/p + 1/q) = x^(1/p)*x^(1/q) + y^(1/p)*y^(1/q) < x^(1/p)*(x+y)^(1/q) + y^(1/p)*(x+y)^(1/q) = {x^(1/p) + y^(1/p)}*(x+y)^(1/q) 両辺を (x+y)^(1/q) で割って (*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ、ﾊｧﾊｧ… 78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/28(金) 09:21:02 ] a、b、c が三角形の３辺の長さをなしながら変化するとき、 (a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) のとりうる値の範囲を求めよ 79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/28(金) 11:10:19 ] >>78 　1 ≦ (a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) < 2, (右側) 　(a^2 + b^2 + c^2) - (ab+bc+ca) = (1/2)(a-b)^2 + (1/2)(b-c)^2 + (1/2)(c-a)^2 ≧ 0, 　等号成立は a=b=c (正三角形) (左側) 　2(ab+bc+ca) - (a^2 + b^2 + c^2) = a(b+c-a) + b(c+a-b) + c(a+b-c) > 0, 80 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/28(金) 11:56:40 ] >>79 すっきりした証明ですね、(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ… 81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/28(金) 12:16:14 ] >>78 2011年度 東工大特別入試 第2問 [大学への数学2011年1月号P.P.56-57] 雑誌の模範解答は、３通り （解１） a+b+c = 2k を固定し、ab+bc+ca = t とおくと、 　(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) = 4k^2/t - 2 だから、tのとりうる値を考える 三角形の成立条件から、a<k、b<k、a+b<k なので、 aを 0<a<s の範囲で固定して、k-a < b < s の範囲で、 　t = - { b - (2k-a)/2 }^2 -3a^2/4 + ka + k^2 のとりうる値の範囲を求める （解２） x=b+c-a、y=c+a-b、z=a+b-c とおくと、x、y、z>0で 　(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) = (2/3){1 + 2/(1+3u)} ただし、u = (xy+yz+zx)/(x^2 + y^2 + z^2) uのとりうる値の範囲を考える （解３） a≦b≦cと設定して、cの関数とみて微分 (；´д｀) ﾊｧﾊｧ… 82 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/28(金) 19:29:45 ] 本番でa=1固定で b+c=k固定で動かした記憶 83 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/28(金) 22:46:10 ] 数学板で一番の良スレ 久しぶりに（気のせいか）上に上がってきたな sageなかったのか？ 84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/28(金) 23:10:08 ] >>83 お前と、82が上げたんだろうが！ 85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/28(金) 23:18:33 ] age、sage言ってる時点でじじいだから、頭がボケていても仕方ない。 86 名前：Fランク受験生 mailto:しらんよ [2011/01/29(土) 03:13:19 ] >>79 きれいなやりかたですね。 すこしきになるのは(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca)のとりうる範囲が[1,2] の中間の値を全部とるというのはどこで証明しているのでしょうか？ 87 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/29(土) 03:49:19 ] 投稿確認 ・投稿者は、投稿に関して発生する責任が全て投稿者に帰すことを承諾します。 ・投稿者は、話題と無関係な広告の投稿に関して、 相応の費用を支払うことを承諾します ・投稿者は、投稿された内容及びこれに含まれる知的財産権、 （著作権法第21条ないし第28条に規定される権利も含む）その他の権利につき （第三者に対して再許諾する権利を含みます。）、掲示板運営者に対し、 無償で譲渡することを承諾します。ただし、投稿が別に定める削除ガイドラインに該当する場合、 投稿に関する知的財産権その他の権利、義務は一定期間投稿者に留保されます。 ・掲示板運営者は、投稿者に対して日本国内外において無償で非独占的に複製、 公衆送信、頒布及び翻訳する権利を投稿者に許諾します。 また、投稿者は掲示板運営者が指定する第三者に対して、 一切の権利（第三者に対して再許諾する権利を含みます）を許諾しないことを承諾します。 ・投稿者は、掲示板運営者あるいはその指定する者に対して、 著作者人格権を一切行使しないことを承諾します。 88 名前：79 mailto:sage [2011/01/29(土) 04:17:32 ] >>86 　(a,b,c) = (1,1,c) とし、cを (0,1] で連続的に変化させてみる。 比の値がr (1≦r<2) となるのは c=r-√{(r-1)(r+2)} のとき。 89 名前：１３２人目の素数さん mailto:はは [2011/01/29(土) 04:24:56 ] f(a,b,c)＝(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca)は領域a>0,b>0,c>0 において連続である。 を証明すればいいんだけど、。。。 とちゅうでギャップが無いという保証がいる。 あたりまえであるようであまり意識しないもんだね。　一応多変数だからね 90 名前：Frank mailto:はは [2011/01/29(土) 04:34:05 ] >>88 わかりました。　ありがとうございます。 91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/29(土) 07:43:42 ] >>87 何が言いたい？ 92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/29(土) 12:32:18 ] 変なのがいろいろ湧きだしたな 無能は黙ってＲＯＭってろ！ 93 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/29(土) 16:15:09 ] >>88-89 　r = (1+1+c^2)/(1+c+c) = 1 + (3/4){(1+2c)/3 + 3/(1+2c) - 2} どう見ても連続････ 94 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/29(土) 16:25:14 ] 79+88　で満点というわけか？ 平均点はいくらぐらいなの？ 95 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/29(土) 17:20:31 ] 79+88のように優雅ではないが、力ごなしにやると Let define f(a,b,c)＝(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) let define ff(a,b,t)=f(a,b,(a^2+b^2-2 ab cos(t))^(1/2)) let define fff(s,t)=ff(1,s,t) for 0<t<Pi, 1>= s >=0:from symmetry and d(fff(s,t)z)/ds=(s-1){ ..positive...}==>monotone decreasing for s in [0,1] (for every t) so fff[1,t]={2+2-2cos(t)}/{1+2(2-2cos(t))^(1/2)}=(2+u^2)/(1+2u) here u=(2-2cos(t))^(1/2) g[u]=(2+u^2)/(1+2u) for 0<u<4 Easily we get 2=g[4]=g[0]>g[u]>=g[1]=1 And fff[0,t]=2 The answer is [1,2] 96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/29(土) 17:26:45 ] [1, 2) 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/29(土) 18:24:05 ] >>88-89 　r = (1+1+c^2)/(1+c+c) = 1 + (1-c)^2 /(1+2c), でも同じだが･････ 98 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/29(土) 19:12:30 ] >>81　2011年度 東工大特別入試 って普通の入試と違うの？ 99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/01/29(土) 20:04:17 ] >>98 よう知らんが、センター試験より前に試験があったようだ 100 名前：１３２人目の素数さん [2011/01/29(土) 20:48:59 ] うかれば東工大合格というわけ？

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