- 1 名前：不等式ヲタ mailto:sage [2010/10/24(日) 23:56:56 ]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
過去スレのミラー置き場：cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
- 29 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/11/21(日) 19:41:21 ]
- >>27
基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, とおくと、
(a+2b)(b+2c)(c+2a) = 3st + (a-b)(b-c)(c-a) = 3st + ⊿,
非対称な部分 (a-b)(b-c)(c-a) = ⊿ は正にも負にもなり得るので、
絶対値を押さえます。
〔補題〕 |⊿| ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t),
詳細は [第３章.727, 737-739] へ。ミーラ置き場にあります...
- 30 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2010/11/21(日) 19:48:23 ]
- >>27
序でに解き方も書いておこう。
(a+2b)(b+2c)(c+2a) - (3t)^(3/2)
= 3st + ⊿ - 3t√(3t)
= 3t{s-√(3t)} + ⊿
≧ (3t/2s)(s^2 -3t) - |⊿| (← *)
≧ (3/2 - 2/√3)(s^2 -3t) (←補題)
≧ 0, (← **)
*) s-√(3t) = (s^2 -3t)/{s+√(3t)} ≧ (s^2 -3t)/2s,
〔補題〕 |⊿| ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t),
(略証)
min(a,b,c) = m とおき、{a,b,c} = {m, m+x, m+x+y} とする。(x,y≧0)
然らば、 |⊿| = xy(x+y), s = 3m+2x+y, t = 3m^2 + 2m(2x+y) + x(x+y), s^2 -3t = x^2 +xy +y^2,
∴ t(s^2 -3t) - ((√3)/2)s|⊿| = 3m^2･(x^2 +xy +y^2) + m･{4x^3 + 3(1-(√3)/2)xy(x+y) +2y^3} + x(x+y){x - ((√3 -1)/2)y}^2 ≧0,
等号成立は m=0 かつ x/y = (√3 -1)/2 のとき。
**) s^2 -3t = (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} ≧ 0,
- 31 名前：じゅー [2010/11/22(月) 00:16:47 ]
- 巧妙ですね。
まず(a-b)(b-c)(c-a)を作るんですか??
あとは最小値とかを与えて計算??
|⊿|=xy(x+y)となるのは面白いですね。
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