- 358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2011/05/09(月) 02:53:53.07 ]
- >>325
対称式なので、いつものように a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおいて通分する。
(左辺) = {(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca) + [(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]}／{(a+b)(b+c)(c+a)}
= {(s^2 -2t)t + (t^2 -2su)}／(st-u)
= {2(s^2 -2t)t/3 + (s^2 -2t)t/3 + (t^2 -2su)}／(st-u)
≧ {2(s^2 -2t)t/3 + (9/32t)(st-u)^2}／(st-u) (←補題)
≧ {(√3)/2}√(s^2 -2t) (←相加･相乗平均)
= (右辺),
〔補題〕
(s^2 -2t)t/3 + (t^2 -2su) ≧ (9/32t)(st-u)^2,
(略証)
(左辺) - (右辺) = (1/3)(t^2 -3su) + (7/144)s(st-9u) + (1/288t){(st)^2 -81u^2} ≧0,
しかし、基本対称式を使うやり方は、どうもマンドクセ.....
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