命題 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 x を X のある元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 B を x を含むブロック（>>357）とする。 このとき H ={σ ∈ G；σB = B} は G_x を含む G の部分群である。
証明 σ を G_x の任意の元とする。 σx = x ∈ B であるから x ∈ σB ∩ B よって、>>365より B = σB よって、σ ∈ H である。 証明終
命題 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 x を X のある元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 H を G_x を含む G の部分群とする。 Hx = {ηx； η ∈ H} と書く。 このとき Hx は X のブロック（>>357）である。
証明 x ∈ Hx だから Hx は空でない。 σ ∈ G に対して σHx ∩ Hx ≠ φ とする。 σηx = ρx となる η、ρ ∈ H がある。 ρ^(-1)σηx = x だから ρ^(-1)ση ∈ G_x ⊂ H よって、σ ∈ ρHη^(-1) = H よって、σHx = Hx よって、>>367より Hx は X のブロックである。 証明終
命題 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 x を X のある元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 H を G_x を含む G の部分群とする。 Hx = {ηx； η ∈ H} と書く。 このとき H = {σ ∈ G； σHx = Hx } である。
証明 σ ∈ H のとき σHx = Hx である。
逆に σ ∈ G、σHx = Hx とする。 σηx = ρx となる η、ρ ∈ H がある。 ρ^(-1)σηx = x だから ρ^(-1)ση ∈ G_x ⊂ H よって、σ ∈ ρHη^(-1) = H
命題 G を群とする。 X を推移的な G-集合（過去スレpart5の77）とする。 x を X のある元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 B を x を含むブロック（>>357）とする。 >>369より H ={σ ∈ G；σB = B} は G_x を含む G の部分群である。 このとき B = Hx である。
証明 Hx ⊂ B であるから逆の包含関係を示せばよい。 y ∈ B を任意の元とする。 G は X に推移的に作用するから y = σx となる σ ∈ G がある。 y ∈ σB ∩ B だから σB = B である。 よって、σ ∈ H である。 よって、y = σx ∈ Hx である。 証明終
命題 G を群とする。 X を推移的な G-集合（過去スレpart5の77）とする。 x を含むブロック（>>357）全体の集合を Λ(x) とする。 G_x を含む G の部分群全体の集合を Γ(x) とする。 >>369より B ∈ Λ(x) に対して H = {σ ∈ G；σB = B} は Γ(x) に属す。 このとき B に H を対応させる写像 ψ：Λ(x) → Γ(x) は全単射である。
命題 G を群とする。 X を推移的な G-集合（過去スレpart5の77）で |X| ≧ 2 とする。 x を X の任意の元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 X が原始的（>>355）な G-集合であるためには G_x が G の極大部分群であることが必要十分である。
補題 G を群とする。 X を推移的（過去スレpart5の107）な G-集合とする。 m ≧ 2 を整数とする。 x と y を X の元とする。 G_x と G_y をそれぞれ x と y の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 G_x が X - {x} 上 m - 1 重推移的（>>382）なら G_y は X - {y} 上 m - 1 重推移的である。
証明 G は X 上推移的だから σx = y となる σ ∈ G がある。 z = (z_1、．．．、z_(m-1)) と w = (w_1、．．．、w_(m-1)) を (X - {y})^[m-1] の元とする。 z’= σ^(-1)z w’= σ^(-1)w とする。 z’、w’∈ (X - {x})^[m-1] だから τz’= w’となる τ ∈ G_x がある。 τσ^(-1)z = σ^(-1)w よって、στσ^(-1)z = w στσ^(-1) ∈ σG_xσ^(-1) = G_y よって、G_y は (X - {y})^[m-1] 上推移的である。 証明終
命題 G を群とする。 X を G-集合とする。 x を X の元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 m ≧ 2 を整数とする。 X が m 重推移的（>>382）であるためには G が X 上推移的で G_x が X - {x} 上 m - 1 重推移的であることが 必要十分である。
証明 必要性： >>383より G は X 上推移的である。 Y = X - {x} とおく。 a = (a_1、．．．、a_(m-1)) と b = (b_1、．．．、b_(m-1)) を Y^[m-1]（>>381）の任意の元とする。 a’= (a_1、．．．、a_(m-1)、x) b’= (b_1、．．．、b_(m-1)、x) とおく。 a’、b’∈ X^[m] である。 X は m 重推移的であるから σa’= b’となる σ ∈ G がある。 このとき σx = x であるから σ ∈ G_x である。 σa = b であるから G_x は Y 上 m - 1 重推移的である。
十分性： >>385より X の任意の元 y に対して G_y は X - {y} 上 m - 1 重推移的である。 a = (a_1、．．．、a_m) と b = (b_1、．．．、b_m) を X^[m] の任意の元とする。 σ(a_1、．．．、a_(m-1)、a_m) = (b_1、．．．、b_(m-1)、a_m) となる σ ∈ G_(a_m) がある。 τ(b_1、．．．、b_(m-1)、a_m) = (b_1、．．．、b_(m-1)、b_m) となる τ ∈ G_(b_1) がある。 よって、τσa = b よって、G は X 上 m 重推移的である。 証明終
定義（>>210の拡張） X を空でない有限集合とする。 G = Sym(X)（>>6）とする。 J = {i_1、．．．、i_r} を X の空でない部分集合で |J| = r とする。 σ ∈ G で σ(i_1) = i_2、．．．、σ(i_(r-1)) = i_r、σ(i_r) = i_1 となり X - J の各元 x に対して σ(x) = x となるものを G の巡回置換と呼び、 σ = (i_1、．．．、i_r) と書く。 r を σ の長さと呼ぶ。
命題 X を空でない有限集合とする。 Z を有理整数環とする。 {-1、1} を Z の乗法に関する可逆元からなる群とする。 G = Sym(X)（>>6）とする。 このとき準同型 ε：G → {-1、1} で G の任意の互換（>>240）σ に対して ε(σ) = -1 となるものが一意に存在する。
証明 |X| = n とする。 I = {1、．．．、n} とする。 f：X → I を任意の全単射とする。 σ ∈ G に fσf^(-1) ∈ Sym(I) を対応させることにより 同型 ψ：G → Sym(I) が得られる。 σ ∈ Sym(I) に sgn(σ)（>>230）を対応させる写像を sgn：Sym(I) → {-1、1} とする。 ε = sgnψ とおく。 G の任意の互換 σ に対して ψ(σ) は Sym(I) の互換だから>>232より ε(σ) = sgn ψ(σ) = -1 である。 >>222と同様に G の任意の元は互換の積として表されるからこのような ε は一意に決まる。 証明終
定義（>>235の拡張） X を空でない有限集合とする。 G = Sym(X)（>>6）とする。 σ ∈ G に sgn(σ)（>>6）を対応させる写像を sgn：G → {-1、1} とする。 sgn：G → {-1、1} は準同型であるから sgn の核 H は G の部分群である。 H を X 上の交代群と呼ぶ。 H は G の全ての偶置換（>>390）からなる。
命題 X を空でない有限集合とする。 |X| = n とする。 n ≧ 3 のとき Alt(X)（>>392）は X 上推移的（過去スレpart5の107）である。
証明 a と b を X の元とし a ≠ b とする。 n ≧ 3 だから c ∈ X - {a, b} がある。 σ = (a, b, c) を X 上の巡回置換（>>238）とする。 σ = (a, c)(a, b) ∈ Alt(X) である。 b = σa だから Alt(X) は X 上推移的である。 証明終
命題 X を空でない有限集合とする。 Y を X の空でない部分集合とする。 任意の τ ∈ Sym(Y)（>>6）に対して τ’∈ Sym(X) を次のように定義する。 x ∈ Y のとき τ’x = τx x ∈ X - Y のとき τ’x = x τ ∈ Sym(Y) に τ’∈ Sym(Y) を対応させる写像を f：Sym(Y) → Sym(X) とする。 このとき f は単射準同型であり、 f(Sym(Y)) = {σ ∈ Sym(X)；各 x ∈ X - Y に対して σx = x} である。
定義（>>235の拡張） X を空でない有限集合とする。 G = Sym(X)（>>6）とする。 σ ∈ G に sgn(σ)（>>389）を対応させる写像を sgn：G → {-1、1} とする。 sgn：G → {-1、1} は準同型であるから sgn の核 H は G の部分群である。 H を X 上の交代群と呼ぶ。 H は G の全ての偶置換（>>390）からなる。
命題 X を空でない有限集合とする。 |X| ≧ 3 のとき Alt(X)（>>392）は n - 2 重推移的（>>382）である。
証明 G = Alt(X) とする。 |X| = n とする。 n に関する帰納法を使う。 n = 3 のとき>>393より G は X 上推移的である。 n ≧ 4 とする。 x を X の元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 >>397より G_x は Alt(X - {x}) と同一視される。 よって、帰納法の仮定より G_x は n - 3 重推移的である。 >>393より G は X 上推移的である。 よって、>>386より G は n - 2 重推移的である。 証明終
命題 G を群とする。 X を 2 重推移的（>>382）な G-集合とする。 x を X の任意の元とする。 H を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 σ ∈ G - H とする。 このとき G = H ∪ HσH と直和分割される。
証明 >>393より G は X 上推移的である。 よって、過去スレpart5の121より X は G-集合として G/H と同型である。 よって、>>386より H は G/H - {H} 上推移的である。 よって、任意の τ ∈ G - H に対して τH = hσH となる h ∈ H がある。 τ ∈ HσH であるから G = H ∪ HσH である。 H ∩ HσH = φ であるからこれは G の直和分割である。 証明終
命題 G を群とする。 X を 2 重推移的（>>382）な G-集合とする。 x を X の任意の元とする。 H を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 σ ∈ G - H とする。 このとき G = H ∪ HσH と直和分割される。
証明 >>383より G は X 上推移的である。 よって、過去スレpart5の121より X は G-集合として G/H と同型である。 よって、>>386より H は G/H - {H} 上推移的である。 よって、任意の τ ∈ G - H に対して τH = hσH となる h ∈ H がある。 τ ∈ HσH であるから G = H ∪ HσH である。 H ∩ HσH = φ であるからこれは G の直和分割である。 証明終
命題 G を群とする。 X を 2 重推移的（>>382）な G-集合とする。 このとき X は原始的（>>355）な G-集合である。
証明 x を X の任意の元とする。 H を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 X は 2 重推移的だから |X| ≧ 2 である。 >>383より G は X 上推移的である。 よって、>>379より H が G の極大部分群であることを証明すればよい。 K を H を含む G の部分群で H ≠ K とする。 σ ∈ K - H とする。 >>400より G = H ∪ HσH と直和分割される。 K は H と HσH を含むから G = H である。 よって、H は G の極大部分群である。 証明終
補題 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 x を X の元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 H を G の正規部分群とする。 H は X 上正則（>>280）であるとする。 >>402より H は (G_x)-集合と見なされる。 このとき H と X は (G_x)-集合として同型である。
証明 写像 f：H → X を f(η) = ηx により定義する。 H は X に正則に作用するから f は全単射である。 よって、f が (G_x)-射であることを示せばよい。 σ ∈ G_x、η ∈ H のとき f(σησ^(-1)) = σησ^(-1)x = σηx = σf(η) よって、f は (G_x)-射である。 証明終
命題 G を群とする。 H を G の正規部分群とする。 K を H の特性部分群（>>404）とする。 このとき K は G の正規部分群である。
証明 σ ∈ G のとき τ(σ) を G の内部自己同型（過去スレpart5の749）とする。 H は G の正規部分群であるから τ(σ) は H の自己同型 φ(σ) を引き起こす。 φ(σ)(K) ⊂ K であるから τ(σ)(K) ⊂ K である。 よって、K は G の正規部分群である。 証明終
命題 G を有限群とする。 X を 2 重推移的（>>382）な G-集合とする。 H を G の正規部分群で X に正則（>>280）に作用するとする。 このとき H は基本アーベル群（>>406）である。 よって、|X| = |H| は素数冪である。
証明 |H| = |X| であり |X| ≧ 2 であるから |H| ≠ 1 である。 x を X の任意の元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 >>386より X - {x} は推移的な (G_x)-集合である。 よって、>>403より H - {1} は推移的な (G_x)-集合である。 よって、H - {1} の元は全て同じ位数 m である。 p を m の任意の素因子とすると H は位数 p の元をもつ。 よって、H - {1} の各元の位数は p である。 よって、Cauchyの定理（過去スレpart5の775）より H の位数は p の冪である。 Z(H) を H の中心（過去スレpart5の751）とすると過去スレpart5の781より Z(H) ≠ 1 である。 >>408より Z(H) は H の特性部分群（>>404）であるから>>405より G の正規部分である。 H は X に正則に作用するから Z(H) の X への作用は自明（>>352）ではない。 >>401より G は X に原始的（>>355）に作用する。 よって、>>353より Z(H) は X に推移的に作用する。 Z(H) ⊂ H であるから Z(H) における x の安定化部分群は 1 である。 よって、>>284より Z(H) は X に正則に作用する。 よって、|X| = |Z(H)| = |H| である。 よって、Z(H) = H である。 よって、H はアーベル群である。 よって、>>410より H は基本アーベル群である。 証明終
命題 G ≠ 1 を有限可解群（過去スレpart1の550）とする。 N を G の極小正規部分群（>>412）とする。 このとき N は基本アーベル群（>>406）である。
証明 過去スレpart1の565より N は可解群である。 よって、>>435より [N、N] ≠ N である。 >>429より [N、N] は N の正規部分群である。 N は G の極小正規部分群であるから [N、N] = 1 である。 よって、>>431より N はアーベル群である。 a ≠ 1 を N の元で位数 m とする。 p を m の任意の素因子とすると H は位数 p の元をもつ。 H = {x ∈ N；x^p = 1} とおく。 N はアーベル群であるから H は N の部分群である。 H は位数 p の元をもつから H ≠ 1 である。 >>410より H は基本アーベル群である。 H は明らかに N の特性部分群（>>404）である。 よって、>>405より H は G の正規部分群である。 N は G の極小正規部分群であるから H = N である。 証明終
命題 G を有限可解群（過去スレpart1の550）とする。 X を忠実（過去スレpart5の843）かつ原始的（>>355）な G-集合とする。 このとき |X| は素数冪である。
証明 G は X 上原始的だから X 上推移的で |X| ≧ 2 である。 よって、>>437より G ≠ 1 である。 よって、>>413より G は極小正規部分群（>>412）H を持つ。 H ≠ 1 だから>>438より H は X に推移的に作用する。 よって、過去スレpart5の122より |X| は |H| の約数である。 >>436より H は基本アーベル群（>>406）であるから |H| は素数冪である。 よって、|X| も素数冪である。 証明終
命題 G をアーベル群とする。 X を忠実（過去スレpart5の843）かつ推移的（過去スレpart5の107）な G-集合とする。 このとき X は正則（>>280）な G-集合である。
証明 x を X の任意の元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 >>284より G_x = 1 を証明すればよい。
G は X 上推移的であるから、任意の y ∈ X に対して y = σx となる σ ∈ G がある。 >>283より G_y = σ(G_x)σ^(-1) である。 G はアーベル群であるから G_x = G_y である。 よって、G_x = ∩{G_y； y ∈ G} G は忠実だから、この右辺 = 1 証明終
命題 G を有限可解群（過去スレpart1の550）とする。 X を忠実（過去スレpart5の843）かつ原始的（>>355）な G-集合とする。 H を G の極小正規部分群（>>412）とする。 >>436より H は基本アーベル群（>>406）である。 このとき H は X に正則（>>280）に作用する。 特に |X| = |H| である。
証明 H ≠ 1 だから>>438より H は X に推移的に作用する。 H はアーベル群であるから>>440より H は X に正則に作用する。 証明終
定義 A を必ずしも可換とは限らない環とする。 n ≧ 1 を整数とする。 A 上の n 次の正方行列全体のなす環を Mat(n, A) と書いた（過去スレpart1の814）。 Mat(n, A) の乗法に関する可逆元全体のなす群を A 上の一般線型群（general linear group over A）といい GL(n, A) と書く。
補題 G を群とする。 X を忠実（過去スレpart5の843）な G-集合（過去スレpart5の77）とする。 N を G の正規部分群とする。 N は X に推移的（>>281）に作用するとする。 x を X の任意の元とする。 H を G に関する x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 Int：G → Aut(G) を内部表現（過去スレpart5の749）とする。 σ ∈ H のとき Int(σ)(N) = N であるから Int(σ) は N の自己同型を引き起こす。 これを φ(σ) と書けば準同型 φ：H → Aut(N) が得られる。 このとき φ は単射である。
証明 σ ∈ Ker(φ) とする。 N は X に推移的に作用するから任意の y ∈ X に対して y = τx となる τ ∈ N がある。 一方、φ(σ) = 1 であるから任意の τ ∈ N に対して φ(σ)(τ) = στσ^(-1) = τ よって、στ = τσ よって、σy = στx = τσx = τx = y G は忠実だから σ = 1 証明終
命題 G を群とする。 N をその正規部分群で指数 p の基本アーベル群（>>406）とする。 |N| = p^n とする。 H を G の部分群とする。 G = NH、N ∩ H = {1} とする。 Int：G → Aut(G) を内部表現（過去スレpart5の749）とする。 σ ∈ H のとき Int(σ)(N) = N であるから Int(σ) は N の自己同型を引き起こす。 これを ψ(σ) と書けば準同型 ψ：H → Aut(N) が得られる。 このとき ψ が単射であれば G は AGL(n, Z/pZ) （>>446）の部分群に同型である。
命題 G を有限可解群とする。 X を忠実（過去スレpart5の843）かつ原始的（>>355）な G-集合とする。 >>439より |X| は素数冪 p^n である。 このとき G は AGL(n, Z/pZ) (>>446) の部分群に同型である。 ここで、Z は有理整数環である。
証明 N を G の極小正規部分群（>>412）とする。 >>436より N は基本アーベル群（>>406）である。 >>443より N は X に正則（>>280）に作用する。 よって、|X| = |N| = p^n である。 x を X の任意の元とする。 H を G に関する x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 >>447より G = NH である。 >>443より N は X に正則（>>280）に作用する。 よって、>>284より N ∩ H = 1 である。
Int：G → Aut(G) を内部表現（過去スレpart5の749）とする。 s ∈ H のとき Int(s)(N) = N であるから Int(s) は N の自己同型を引き起こす。 これを ψ(s) と書けば準同型 ψ：H → Aut(N) が得られる。 >>448より ψ は単射である。 よって、>>461より G は AGL(n, Z/pZ) の部分群に同型である。 証明終
命題（Galois） G を有限可解群とする。 X を素数次数（>>275）の忠実（過去スレpart5の843）かつ推移的（過去スレpart5の107）な G-集合（過去スレpart5の77）とする。 このとき G は AGL(1, Z/pZ) (>>446) の部分群に同型である。 ここで、Z は有理整数環である。
証明 >>363より G は X に原始的（>>355）に作用する。 よって、>>462より G は AGL(1, Z/pZ) の部分群に同型である。 証明終
命題 G を有限可解群（過去スレpart1の550）とする。 X を忠実（過去スレpart5の843）かつ原始的（>>355）な G-集合とする。 このとき G は唯一の非自明な（即ち単位群でない）アーベル正規部分群 H を持つ。 H は G の唯一の極小正規部分群（>>412）であり基本アーベル群（>>406）である。
証明 G は X 上原始的だから X 上推移的で |X| ≧ 2 である。 よって、>>437より G ≠ 1 である。 よって、>>413より G は極小正規部分群（>>412）N を持つ。 >>436より N は基本アーベル群である。 >>438より N は X に推移的に作用する。 >>440より N は正則に X に作用する。 よって、|N| = |X| である。
H ≠ 1 を G のアーベル正規部分群とする。 N = H を示せば良い。 >>438より H は X に推移的に作用する。 よって、>>440より H は正則に X に作用する。 よって、|H| = |X| である。 N は G の極小正規部分群だから H ∩ N = 1 または H ∩ N = N である。 H ∩ N = 1 なら HN は G のアーベル正規部分群であり |HN| = |H||N| = |X|^2 となる。 他方 NH は正則に X に作用するから |NH| = |X| である。 これは矛盾である。 よって、N ∩ H = H である。 よって、H ⊂ N である。 |H| = |N| = |X| であるから H = N である。 証明終
命題 Z を有理整数環とする。 p を素数とする。 G = AGL(1, Z/pZ) (>>446) とおく。 X = Z/pZ とおく。 G は Sym(X) の部分群である。 よって、X は忠実（過去スレpart5の843）な G-集合と見なせる。 このとき X は 2 重強推移的（>>465）な G-集合である。
証明 任意の b ∈ X に対して X 上の置換 x → x + b は 0 を b に写すから G は X に推移的に作用する。 H を G に関する 0 の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 H は X 上の置換 x → ax 全体からなる。 ここで a ∈ X - {0} である。 任意の x、y ∈ X - {0} に対して y = ax となる a ∈ X - {0} が存在する。 よって、H は X - {0} に推移的に作用する。 よって、>>386より G は X に 2 重推移的（>>382）に作用する。 a ∈ X - {0} に対して ax = x となる x ∈ X - {0} が存在するなら a = 1 である。 よって、>>284より X は 2 重強推移的な G-集合である。 証明終
