- 397 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/27(火) 00:32:57.63 ]
- 命題
X を空でない有限集合とする。
Y を X の空でない部分集合とする。
f：Sym(Y) → Sym(X) を>>394で定義した準同型とする。
このとき f(Alt(Y)) = {σ ∈ Alt(X)（>>392）；各 x ∈ X - Y に対して σx = x} である。
証明
H = {σ ∈ Alt(X)（>>392）；各 x ∈ X - Y に対して σx = x} とおく。
>>394より H = Alt(X) ∩ f(Sym(Y)) である。
よって、H = {σ ∈ f(Sym(Y))；sgn(σ) = 1} である。
τ ∈ Alt(Y) なら>>396より sgn(f(τ)) = sgn(τ) = 1
よって、f(τ) ∈ H
よって、f(Alt(Y)) ⊂ H
σ ∈ H なら σ = f(τ) となる τ ∈ Sym(Y) がある。
>>396より 1 = sgn(f(τ)) = sgn(τ)
よって、τ ∈ Alt(Y)
よって、H ⊂ f(Alt(Y))
以上から f(Alt(Y)) = H
証明終
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