- 451 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/28(水) 11:53:16.56 ]
- 命題
N と H を群とする。
Aut(N) を N の自己同型群とする。
ψ：H → Aut(N) を準同型とする。
s ∈ H、x ∈ N のとき ψ(s)(x) を x^s と書く。
直積集合 N×H に次のような演算を入れる。
(x, s)(y, t) = (x(y^s), st)
このとき N×H は群となる。
証明
((x, s)(y, t))(z, u) = (x(y^s), st)(z, u) = (x(y^s)z^(st), stu)
(x, s)((y, t)(z, u)) = (x, s)(y(z^t), tu) = (x(y(z^t))^s, stu) = (x(y^s)z^(st), stu)
よって、((x, s)(y, t))(z, u) = (x, s)((y, t)(z, u))
よって、N×H は結合律を満たす。
(x, s)(1, 1) = (x(1^s), s) = (x, s)
(1, 1)(x, s) = (1(x^1), s) = (x, s)
よって、(1, 1) は N×H の単位元である。
(x, s) の逆元を求めてみよう。
(x, s)(y, t) = (1, 1) とする。
(x(y^s), st) = (1, 1)
よって、x(y^s) = 1、st = 1
よって、y^s = x^(-1)、t = s^(-1)
よって、y = (x^(-1))^(s^(-1)
よって、(y, t) = ((x^(-1))^(s^(-1), s^(-1)) である。
これが (x, s) の逆元であることは次のように確かめられる。
(x, s)((x^(-1))^(s^(-1), s^(-1)) = (1, 1)
((x^(-1))^(s^(-1), s^(-1))(x, s) = (1, 1)
証明終
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