- 222 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 07:07:22.41 ]
- >>217の修正
命題
G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
G の任意の元は互換（>>215）の積として表される。
証明
n に関する帰納法による。
n = 1 のときは任意の元は 0 個の互換の積として表される。
n ＞ 1 とする。
σ を G の任意の元とする。
σ(n) = n なら σ は {1、．．．、n - 1} 上の対称群の元と見なされる。
よって、帰納法の仮定より互換の積として表される。
σ(n) = m、n ≠ m とする。
τ を互換 (n, m) とする。
τσ(n) = n だから τσ は {1、．．．、n - 1} 上の対称群の元と見なされる。
よって、帰納法の仮定より τσ は 互換の積として表される。
τ^2 = 1 だから σ = (ττ)σ = τ(τσ)
よって、σ は 互換の積として表される。
証明終
