- 455 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/28(水) 12:55:37.91 ]
- 命題
G を群とし、N をその正規部分群、H をその部分群とする。
G = NH、N ∩ H = {1} とする。
Int：G → Aut(G) を内部表現（過去スレpart5の749）とする。
σ ∈ H のとき Int(σ)(N) = N であるから Int(σ) は N の自己同型を引き起こす。
これを ψ(σ) と書けば準同型 ψ：H → Aut(N) が得られる。
過去スレpart1の537より G の任意の元 σ は σ = xs、x ∈ N、s ∈ H と一意に書ける。
g に (x, s) ∈ (N⊿H)_ψ （>>452）を対応させる写像を λ：G → (N⊿H)_ψ とする。
このとき λ は群としての同型である。
証明
λ は全単射であるから λ が準同型であることを証明すればよい。
s ∈ H、x ∈ N のとき ψ(s)(x) = sxs^(-1) を x^s と書く。
σ、τ ∈ G とし、
σ = xs、x ∈ N、s ∈ H
τ = yt、y ∈ N、t ∈ H
とする。
στ = (xs)(yt) = x(sy)t = x(sys^(-1)s)t = x(y^s)st
よって、λ(στ) = λ(σ)λ(τ)
証明終
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