- 447 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/28(水) 07:57:14.63 ]
- 命題
G を群とする。
X を推移的（過去スレpart5の107）な G-集合とする。
x を X の任意の元とする。
G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。
N を G の正規部分群とする。
このとき以下は同値である。
（1）N は X に推移的に作用する。
（2）G = N(G_x)
（3）G = (G_x)N
証明
（1) ⇒ （2）
任意の σ ∈ G に対して σx = τx となる τ ∈ N がある。
τ^(-1)σx = x だから τ^(-1)σ ∈ G_x
よって、σ ∈ τG_x ∈ N(G_x)
よって、G = N(G_x)
（2) ⇒ （1）
G は X に推移的に作用するから、任意の y ∈ X に対して y = σx となる σ ∈ G がある。
G = N(G_x) だから σ = τρ となる τ ∈ N、ρ ∈ G_x がある。
y = σx = τρx = τx
よって、N は X に推移的に作用する。
（2) ⇔ （3）
N が G の正規部分群であることから明らか。
証明終
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