- 449 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/28(水) 10:25:18.85 ]
- 命題
G を指数 p の基本アーベル群（>>406）とする。
|G| = p^n とする。
Aut(G) を G の自己同型群とする。
このとき Aut(G) は GL(n, Z/pZ)（>>444）に同型である。
ここで、Z は有理整数環である。
証明
>>409より G は Z/pZ 上の線型空間と見なされる。
G は Z/pZ 上の線型空間として (Z/pZ)^n と同型である。
(Z/pZ)^n を Z/pZ 上の n 次の列ベクトルの集合と見なす。
このとき GL(n, Z/pZ) は (Z/pZ)^n の Z/pZ 上の線型空間としての自己同型群と見なされる。
G の群としての自己同型は Z/pZ 上の線型空間としての自己同型である。
よって、Aut(G) は GL(n, Z/pZ) に同型である。
証明終
