- 365 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/26(月) 09:10:43.74 ]
- 補題
G を群とする。
X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。
B を X の空でない部分集合とする。
任意の σ ∈ G に対して σB = B または σB ∩ B = φ とする。
Y = ∪{σB； σ ∈ G} とおく。
このとき以下が成り立つ。
（1）Y は X の G-部分集合（過去スレpart5の94）である。
（2）Y は σB、σ ∈ G の形の部分集合により直和分割される。
（3）x、y ∈ σB となる σ ∈ G があるとき x 〜 y と書けば
〜 は Y 上の G-不変（>>297）な同値関係である。
証明
（1）は自明である。
（2）
σ、τ ∈ G、σB ∩ τB ≠ φ とする。
τ^(-1)σB ∩ B ≠ φ だから τ^(-1)σB = B である。
よって、σB = τB である。
よって、Y は σB、σ ∈ G の形の集合に直和分割される。
（3）
上記より 〜 は Y 上の同値関係である。
x 〜 y のとき x、y ∈ σB となる σ ∈ G がある。
任意の τ ∈ G に対して τx、τy ∈ τσB であるから τx 〜 τy である。
証明終
|
 |
