命題 G を群とする。 X を G-集合とする。 x を X の元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 m ≧ 2 を整数とする。 X が m 重推移的（>>382）であるためには G が X 上推移的で G_x が X - {x} 上 m - 1 重推移的であることが 必要十分である。
証明 必要性： >>383より G は X 上推移的である。 Y = X - {x} とおく。 a = (a_1、．．．、a_(m-1)) と b = (b_1、．．．、b_(m-1)) を Y^[m-1]（>>381）の任意の元とする。 a’= (a_1、．．．、a_(m-1)、x) b’= (b_1、．．．、b_(m-1)、x) とおく。 a’、b’∈ X^[m] である。 X は m 重推移的であるから σa’= b’となる σ ∈ G がある。 このとき σx = x であるから σ ∈ G_x である。 σa = b であるから G_x は Y 上 m - 1 重推移的である。
十分性： >>385より X の任意の元 y に対して G_y は X - {y} 上 m - 1 重推移的である。 a = (a_1、．．．、a_m) と b = (b_1、．．．、b_m) を X^[m] の任意の元とする。 σ(a_1、．．．、a_(m-1)、a_m) = (b_1、．．．、b_(m-1)、a_m) となる σ ∈ G_(a_m) がある。 τ(b_1、．．．、b_(m-1)、a_m) = (b_1、．．．、b_(m-1)、b_m) となる τ ∈ G_(b_1) がある。 よって、τσa = b よって、G は X 上 m 重推移的である。 証明終
