補題 B を平坦な A-代数とする。 C を A-代数とする。 B (x) C は 平坦な C-代数である。
証明 0 → N → M を C-加群の完全列とする。 これは、A-加群の完全列とも見なせるから、 0 → N (x) B → M (x) B は完全である。 N (x) (C (x) B) = N (x) B (同型) M (x) (C (x) B) = M (x) B (同型) より、 0 → N (x) (C (x) B) → M (x) (C (x) B) は完全である。
856 名前：１３２人目の素数さん [03/11/24 14:19]
補題 B を忠実平坦な A-代数とする。 C を A-代数とする。 B (x) C は 忠実平坦な C-代数である。
証明 B (x) C が平坦なことは>>855による。 N → M を C-加群の射とする。 0 → N (x) (C (x) B) → M (x) (C (x) B) が完全であるとする。 これは、0 → N (x) B → M (x) B が完全であることを意味する。 B は忠実平坦だから、0 → N → M は完全である。 よって、B (x) C は 忠実平坦である。
補題 k を分離代数的閉体とする。 即ち、k 上の分離代数的閉包は k と一致する。 X を 有限型の k-スキームとする。 X が既約とすると、X x K も既約である。 ここに、K は k の任意の拡大体であり、X x K は、X と Spec(K) の Spec(k) 上のファイバー積を表す。
証明 p: X x K → X を射影とする。 Spec(K) → Spec(k) は忠実平坦だから p も忠実平坦である(>>856)。 したがって、p は全射である。さらに >>862より p は開射である。 >>865 より各点 x ∈ X に対して、 f^(-1)(x) が既約なことを示せ ばよい。f^(-1)(x) = Spec(K (x) k(x)) だから、>>864 より f^(-1)(x) は既約である。
k を代数的閉体とし、k[x, y] を k 上の２変数多項式環とし、 Y = Spec(k[x, y]) とする。C を Y の既約かつ被約な １次元閉部分スキームとする。j: C → Y を標準射とする。 P を C の閉点とする。X = C - {P} とおく。 X は、C の開部分スキームである。h: X → C を標準射とする。 f = j h と置く。f: X → Y による X の像 f(X) は Y の閉集合でも 開集合でもない。
証明 f(X) = C - {P} が Y の閉集合であるとすると、それは C の閉集合 でもある。 C = (C - {P}) ∪ {P} であるから、C が既約であること に矛盾する。 C - {P} が Y の開集合であるとすると、C の関数体が Y の関数体と 一致することになり、C が１次元であることに矛盾する。 証明終
871 名前：１３２人目の素数さん [03/11/28 21:06]
II Ex. 3.15 (a) の解答
(i) → (ii) の証明 k~ を 体 k の代数的閉包, k_s を k の分離代数的閉包とする。 X x k~ を k_s 上のファイバー積とし、X x k_s を k 上の ファイバー積する。 X x k~ = (X x k_s) x k~ であり、(X x k_s) x k~ → X x k_s は 忠実平坦であるから全射である(>>856)。既約空間の連続写像による 像は既約だから、X x k_s は既約である。
(ii) → (iii) の証明 K_s を K の分離代数的閉包とする。k_s ⊆ K_s である。 X x K_s を k_s 上のファイバー積とし、X x k_s を k 上のファイバー積すると X x K_s = (X x k_s) x K_s である。 X x k_s は仮定より既約だから、>>867 より X x K_s も既約である。 X x K_s = (X x K) x K_s であるから、X x K も既約である。
定義 k を体とし、 A を k 代数とする。k の任意の拡大体 K に対して k 上のテンソル積 A (x) K が被約であるとき、 A は k 上分離的 であるという。
875 名前：１３２人目の素数さん [03/11/30 15:24]
補題 k を体とする。 分離的 k 代数の部分代数は分離的である。
証明 A を 分離的 k 代数とし、B をその部分代数とする。 定義より、k の任意の拡大体 K に対して A (x) K が被約である。 B (x) K は A (x) K の部分代数だから、被約である。
876 名前：１３２人目の素数さん [03/11/30 15:25]
補題 k を体とし、 A を k 代数とする。 A の部分代数で k 上有限生成なものすべてが分離的なら A も分離的である。
証明 x を A の元でベキ零とする。 k 上 x で生成された部分代数 k[x] は、x を含むから x = 0 である。
877 名前：１３２人目の素数さん [03/11/30 15:29]
補題 k を体とし、 A を k 代数とする。 k の任意の有限生成拡大体 K に対して k 上のテンソル積 A (x) K が被約であるなら A は k 上分離的 である。
証明 L を k の任意の拡大体とする。 x を A (x) L の元でベキ零とする。x = 0 を示せばよい。 x = Σ (a_i (x) x_i) と書ける。ここに、各 a_i は A の元であり、 各 x_i は L の元である。 K を k 上すべての x_i で生成される k の拡大体とする。 A (x) K は A (x) L に含まれると考えてよい。 x は A (x) K に含まれるベキ零元だから、仮定より x = 0 である。
878 名前：１３２人目の素数さん [03/11/30 15:30]
補題 k を体とし、 A を分離的 k 代数とする。 k の任意の拡大体 K に対して A (x) K は K上分離的である。
証明 L を K の任意の拡大体とする。(A (x) K) (x) L が被約であること を示せばよい。これは、A (x) L = (A (x) K) (x) L より明らか。
879 名前：１３２人目の素数さん [03/11/30 15:31]
補題 k を体とし、 K を k の拡大体で分離代数的とする。 K は k 代数として分離的である。
証明 補題より、K は k 上有限次と仮定してよい。 代数学の周知の定理より K = k[α] となる。 αの k 上の最小多項式を f(X) とすると、K = k[X]/(f(X)) と 見なせる。L を k 任意の代数拡大とする。 0 → (f(X)) → k[X] → K → 0 は k 加群の列として完全だから、 0 → (f(X)) (x) L → k[X] (x) L → K (x) L → 0 も完全である。 k[X] (x) L = L[X] だから、K (x) L = L[X] / (f(X)) と見なせる。 f(X) は L において重根を持たないから、 f(X) は、L[X] において互いに素な既約多項式 f_1, f_2, ... f_r の 積となる。よって、L[X] / (f(X)) = Π (L[X] / (f_i)) である。 各 L[X] / (f_i) は体だから L[X] / (f(X)) は被約である。
880 名前：１３２人目の素数さん [03/11/30 15:32]
定義 K が k の拡大体でその超越基 S を適当にとると、 K が k(S) 上分離代数的になるとき、K は k 上分離生成であると いい、S を分離的超越基という。
補題 k を体とし、 K を k の拡大体で分離生成とする。 K は k 代数として分離的である。
証明 L を k の任意の拡大体とする。 K (x) L = K (x) (k(S) (x) L) であり、 k(S) (x) L は L(S) の部分代数と見なせる。 よって K (x) L は K (x) L(S) の部分代数である。 K は k(S) 上分離代数的だから補題(>>879)より K (x) L(S) は 被約である。故に、K (x) L も被約である。
881 名前：１３２人目の素数さん [03/11/30 15:35]
補題 k を標数 p の体とする。k~ を k の代数的閉体とする。 k の元 x の k~ における p 乗根 x^(1/p) はただ一つ存在する。 k の元 x にその p 乗根 x^(1/p) を対応させる写像を f とする。 f は体の準同型である。f(k) = k^(1/p) と書く。 k^(1/p) は k を含む体である。 K を k の有限生成拡大体とする。 K (x) k^(1/p) が被約なら、K は k 上分離生成である。
証明 k の拡大体 K の部分体で k 上有限生成のものは補題(>>881)より 分離的なk 代数である。よって K も 分離的である。
883 名前：１３２人目の素数さん [03/11/30 15:39]
補題 被約なネーター環の全商環は有限個の体の直積である。
証明 A を被約なネーター環とする。 A の極小素イデアル全体を P_1, ..., P_r とする。 A の零イデアル (0) の任意の素因子を P とする。 A の非零元 x があって、Px = 0 となる。 A は被約だから、∩ P_i = 0 である。 よって、x は ある P_i に含まれない Px ⊆ P_i だから、P ⊆ P_i となる。 よって P = P_i である。 従がって、A の零因子全体の集合は ∪ P_i である。 ∪ P_i に含まれる素イデアルは P_1, ..., P_r のどれかである。 これより、A の全商環 Q はアルティン環であることがわかる。 さらに Q は被約であるから、有限個の体の直積である。
884 名前：１３２人目の素数さん [03/11/30 15:42]
補題 k を完全体とする。任意の被約な k 代数 A は分離的である。
証明 補題(>>876)より A は k 上有限生成としてよい。 A はネーター環で被約だから、その全商環 Q は、補題(>>883)より 有限個の体K_i の直積である。k の標数が 0 のときは、各 K_i は 分離生成だから、補題(>>880)より分離的代数である。 k の標数が 0 でないときは、補題(>>882)により、やはり各 K_i は 分離的代数である。よって、Q も分離的で、その部分代数 A も 分離的である。
885 名前：１３２人目の素数さん [03/11/30 15:51]
II Ex.3.15 (b) の解答
k~ を k の代数的閉包、 k_p を k の完全閉包(perfct closure) とする。 X のアフィン開被覆 {U_i} をとると、{U_i x K} は X x K の アフィン開被覆である。これと II Ex.2.3 (a) より X は k 上の アフィンスキーム Spec(A) と仮定してよい。
(i) → (ii) k_p ⊆ k~ だから A (x) k_p ⊆ A (x) k~ となり、 A (x) k_p は被約である。
(ii) → (iii) K_p を K の完全閉包(perfct closure) とする。 k_p ⊆ K_p と見なせる。 A (x) K = (A (x) k_p) (x) K_p であるから、補題(>>884)より、 A (x) K は被約である。
>>887 著作権の関係から問題の翻訳はしないことになった。 だけど、説明しておこう。 X を 体 k 上有限型のスキームとする。以下の(i),(ii),(iii)は 同値である。 (i) X x k~ は被約である。ここに、k~ は k の代数的閉包。 (ii) X x k_p は被約である。ここに、k_p は k の完全閉包である。 (iii) K を k の任意の拡大体とすると、X x K は被約である。
889 名前：１３２人目の素数さん [03/11/30 18:21]
>>885 ＞A (x) K = (A (x) k_p) (x) K_p であるから、補題(>>884)より、 ＞A (x) K は被約である。
以下のように訂正する。
A (x) K_p = (A (x) k_p) (x) K_p であるから、補題(>>884)より、 A (x) K_p は被約である。よって A (x) K_p の部分代数である A (x) K も被約である。
補題 X と Y をアフィンスキームとし、 f: X → Y を射とする。 Y の任意のアフィン開集合 U に対して、f^(-1)(U) は アフィンである。
証明 f^(-1)(U) は X と U の Y 上のファイバー積 X x U と見なせる ことから明らかである。
894 名前：１３２人目の素数さん [03/12/02 23:38]
補題 Y = Spec(B) をアフィンスキームとし、f: X → Y をスキームの射と する。B の有限個の元 g_i があり、D(g_i) が Y の被覆になって いるとする。さらに、各 i に対して f^(-1)(D(g_i)) はアフィン であるとする。このとき X はアフィンである。
証明 φ: B → Γ(X) を f に付随する環の準同型とする。 f はφにより一意に定まることに注意する。 つまり、f(x) は B → Γ(X) → O_x による O_x の極大イデアル の逆像である。よって φ(g_i) = f_i とおけば、 f^(-1)(D(g_i)) = X_(f_i) である。 ここに、X_(f_i) = {x ∈ X; f_i(x) ≠ 0} であり、 f_i(x) は f_i の x における芽の 剰余体 k(x) = O_x/m_x における 剰余類を表す。 {D(g_i)} が Y の被覆であるから、{X_(f_i)} は X の被覆である。 {g_i} は単位イデアル A を生成するから、 Σ(g_i)(h_i) = 1 となる元 h_i が存在する。 よってΣφ(g_i)φ(h_i) = 1 となるから、 {f_i} は単位イデアル Γ(X) を生成する。 II Ex.2.17 (b) より X はアフィンである。
895 名前：１３２人目の素数さん [03/12/02 23:42]
定義 f: X → Y をスキームの射とする。 Y の開被覆 {U_i} が存在し、各 U_i に対して f^(-1)(U_i) が アフィンとなるとき、f をアフィン射という。
補題 f: X → Y をアフィン射とする。 Y の任意のアフィン開集合 U に対して、f^(-1)(U) は アフィンである。
証明 y を U の点とする。y ∈ U_i となる i がある。 y ∈ W ⊆ U ∩ U_i となるアフィン開集合 W がある。 f^(-1)(W) は 補題(>>893)よりアフィンである。 W は D(h) の形であるとしてよい。ここに h は Γ(U) の元である。 y は U の任意の点であったから、このような D(h) 全体は U の被覆 となる。さらに U は準コンパクトだから、有限個の D(h_i) で U の被覆となるものが存在する。よって、補題(>>894)より f^(-1)(U) はアフィンである。
896 名前：１３２人目の素数さん [03/12/03 00:03]
S をスキームとし、X と Y を S-スキームとする。 X と Y の S 上のファイバー積を (X x Y)/S で表す。
補題 f: X → Y をアフィン射とする。 g: Z → Y をスキームの射とする。 射影 p: (X x Z)/Y → Z はアフィン射である。
証明 Y のアフィン開被覆 {U_i} をとる。g^(-1)(U_i) のアフィン開被覆 を {V_(i_α)} とする。 p^(-1)(V_(i_α)) = (f^(-1)(U_i) x V_(i_α))/U_iである。 f はアフィン射だから、f^(-1)(U_i) はアフィンである。 よって p^(-1)(V_(α_i)) もアフィンである。よって、p は アフィン射である。
897 名前：１３２人目の素数さん [03/12/03 00:04]
補題 f: X → Y を位相空間の連続写像とし、(V_i) をY の開被覆とする。 U_i = f^(-1)(V_i) とおく。各 i に対して f の U_i への制限を f_i とおく。各 i に対して f_i(U_i) が V_i の閉集合であり、 f_i が U_i から f(U_i) への位相同型写像であるとする。 このとき、f(X) は Y の閉集合であり、f は X から f(X) への 位相同型を与える。
証明 f(x) = f(y) とする。f(x) ∈ V_i となる V_i がある。 x と y は f^(-1)(V_i) に含まれる。よって、f_i(x) = f_(y) と なる。f_i は単射であるから、 x = y となり、f も単射である。 W を X の開集合で、x ∈ W とする。f(x) ∈ V_i となる V_i がある。 x ∈ W ∩ U_i であり、f_i が U_i から f(U_i) への位相同型写像 であるから、f(W ∩ U_i) は f(U_i) の開集合である。 f(W ∩ U_i) = f(U_i) ∩ V となる V_i の開集合 V がある。 f(X) ∩ V = f(U_i) ∩ V であるから、f(W ∩ U_i) は f(X) の 開集合である。よって、f は x の十分小さい近傍を f(x) の近傍に 写すから開写像である。 次に、f(X) は Y の閉集合であることを示す。 y ∈ Y - f(X) とする。y ∈ V_i となる V_i がある。 f(X) ∩ V_i は V_i の閉集合であるから、V_i - f(X) は V_i の 開集合である。y ∈ V_i - f(X) ⊆ Y - f(X) だから、Y - f(X) は Y の開集合である。
898 名前：１３２人目の素数さん [03/12/03 00:05]
補題 f: X → Y をスキームの射とし、(V_i) をY の開被覆とする。 各 i に対して f の f^(-1)(V_i) への制限 f_i: f^(-1)(V_i) → V_i が閉埋入とすると、f も閉埋入である。
証明 X の各点 x において O_f(x) → O_x が全射となることは明らか であるから、補題(>>897)よりわかる。
899 名前：１３２人目の素数さん [03/12/03 00:06]
補題 S をスキームとし、V を S の開部分スキームとする。 f: X → S と g: Y → S をスキームの射とし、f(X) ⊆ V g(Y) ⊆ V とする。このとき、(X x Y)/S は (X x Y)/V と同一視出来る。
証明 ファイバー積の定義から明らかである。
900 名前：１３２人目の素数さん [03/12/03 00:08]
補題 f: X → Y をスキームの射とし、(V_i) をY の開被覆とする。 U_i = f^(-1)(V_i) とおく。(U_i x U_i)/V_i は (X x X)/Y の 開被覆をなす。
証明 補題(>>899)より、(U_i x U_i)/V_i は (U_i x U_i)/Y と見なせる。 一方、(U_i x U_j)/Y は (X x X)/Y の開被覆をなす。 V_ij = V_i ∩ V_j とおき、U_ij = U_i ∩ U_j とおく。 (U_i x U_j)/Y = (U_ij x U_ij)/V_ij = (U_ij x U_ij)/Y と見なせ、(U_ij x U_ij)/Y は (U_i x U_i)/Y の開集合である。 よって、(U_i x U_i)/V_i は (X x X)/Y の開被覆である。
f: X → Y を有限射とする。 補題(>>903)より f は分離射である。 f は定義から有限型である。 よって、f が絶対閉射(universally closed) であることを 示せばよい。Ex.3.5.(b) (>>535) より、有限射は閉射である。 よって、g: Z → Y をスキームの射としたとき、 射影 p: (X x Z)/Y → Z が有限射であることを言えばよい。 補題(>>896)より、p はアフィン射であり、そこでの証明より p が有限射となることも明らかである。
h: X → (Y x Y)/S を f と g から得られる射とする。 Δ: Y → (Y x Y)/S を対角射とする。 Y は分離射だからΔ(Y) は (Y x Y)/S の閉部分スキームである。 Δ(Y) の h による逆像 h^(-1)(Δ(Y)) = (X x Δ(Y))/((Y x Y)/S) を 考える。これは X の閉部分スキームである。f と g は X の稠密な 開集合 U で一致するから、U ⊆ h^(-1)(Δ(Y)) である。 よって、位相空間として h^(-1)(Δ(Y)) = X である。 X は被約だから、スキームとしても h^(-1)(Δ(Y)) = X である。 これは、f = g を意味する。
928 名前：１３２人目の素数さん [03/12/06 23:03]
II Ex.4.3 の前半の解答
Δ: X → (X x X)/S を対角射とし、p, q : (X x X)/S を射影とする。 (U x V)/S = p^(-1)(U) ∩ q^(-1)(V) だから、 Δ^(-1)((U x V)/S) = Δ^(-1)(p^(-1)(U)) ∩ Δ^(-1)(q^(-1)(V)) = U ∩ V である。Δ は閉埋入だから、 Δ の制限射 U ∩ V → (U x V)/S も閉埋入である。 (U x V)/S はアフィンだから、U ∩ V もアフィンである。
929 名前：１３２人目の素数さん [03/12/07 04:59]
補題 S をスキームとし、X, Y をスキームとする。 f: X → S と g: Y → S をスキームの射とし、 q: (X x Y)/S → Y を射影とする。 f が全射なら q も全射である。
証明 y を Y の点とする。f は全射だから、f(x) = g(y) となる x ∈ X がある。s = g(y) と置くと、k(x) と k(y) は それぞれ k(s) の拡大体である。よって、(k(x) (x) k(y))/k(s) のある 極大イデアルによる剰余体を K とすれば、k(x) と k(y) は K の部分体と見なせる。 よって、S-スキームの射 Spec(K) → X と Spec(K) → Y が定義され、 Spec(K) → (X x Y)/S が得られる。この像を z とすれば、q(z) = y となる。
930 名前：１３２人目の素数さん [03/12/07 05:00]
補題 S をスキームとし、f: X → Y を S-スキームの射とする。 T → S をスキームの射とする。 g: (X x T)/S → (Y x T)/S を f により誘導される射とする。 f が全射であれば、g も全射である。
証明 (X x T)/S = (X x ((Y x T)/S))/Y だから、補題(>>929)より明らか である。
931 名前：１３２人目の素数さん [03/12/07 05:01]
補題 S をネータースキームとし、f: g(g^(-1)(F))を S-スキームの射とする。 Y は S 上有限型かつ分離的とする。 X が S 上固有で、f が全射とすると、Y も S 上固有である。
証明 T → S をスキームの射とする。 g: (X x T)/S → (Y x T)/S を f から誘導される射とし、 p: (X x T)/S → X と q: (Y x T)/S → T を射影とする。 F を (Y x T)/S の閉集合とする。 補題(>>930)より g は全射であるから、F = g(g^(-1)(F))となる。 X は S 上固有だからqg = p は閉写像である。 よって、q(F) = q(g(g^(-1)(F))) = p(g^(-1)(F)) は T の 閉集合である。即ち、Y → S は絶対閉射である。 Y は S 上有限型かつ分離的であるから固有である。
j: Z → X を標準射とする。 構造射 Z → S は Z → X → Y → S と分解し、仮定により 固有(proper) だから 本文の Corollary 4.8 (e) より、 fj: Z → Y は固有である。よって、f(Z) は Y の閉集合である。 f(Z) を像スキームと考えると、 Z → f(Z) は全射である。 f(Z) は Y の閉部分スキームだから、Y 上分離的かつ有限型である (本文の Corollary 4.6 (a) と Ex.3.13 (a))。 Y は、S 上分離的かつ有限型であるから、f(Z) も S 上分離的かつ 有限型である(本文の Corollary 4.6 (b) と Ex.3.13 (c))。 よって補題(>>931)より f(Z) は S 上固有である。
X の生成点をξとする。 R を K/k の付値環とし、t_1 をその生成点、t_0 をその唯一の閉点 とする。本文の Theorem 4.3 より、k-射 h: Spec(R) → X が存在 して h(t_1) = ξ となる。h(t_0) = x とおく。本文の Lemma 4.4 より、x は R の中心である。
936 名前：１３２人目の素数さん [03/12/07 16:14]
II Ex.4.5 (c) の前半の解答 即ち Ex.4.5 (a) の逆を証明する。
X の生成点をξとし、Δ: X → (X x X)/k を対角射とする。 Δ(ξ) = η とおく。η → η' を (X x X)/k における特殊化と する。{η} の閉包はΔ(X)の閉包と一致するから、η' が Δ(X) に 含まれることを示せばよい。Δ(ξ) = ηより k(η) ⊆ k(ξ) である。他方、ηの射影はξであるから、 k(ξ) ⊆ k(η) でも ある。よって、k(ξ) = k(η) である。{η} の閉包 Z に 被約スキームの構造を与え、そのη' における局所環をO_η'とする。 O_η' を支配する K の付値環 R が存在する(I Theorem 6.1A)。 よって、k-射 f: Spec(R) → Z で f(t_1) = η, f(t_0) = η' となるものが存在する。ここに、t_1 は R の生成点、t_0 は R の 唯一の閉点である。(X x X)/k から X への射影を p_1, p_2 とし、 p_1(η') = x_1, p_2(η') = x_2, (p_1)f = h_1, (p_2)f = h_2 とおく。h_1(t_1) = ξ, h_1(t_0) = x_1 であり、 h_2(t_1) = ξ, h_2(t_0) = x_2 である。 X の x_1, x_2 における局所環をそれぞれ O_x_1, O_x_2 とすれば、R は、O_x_1, O_x_2 を支配する。仮定より、x_1 = x_2 である。よって、Lemma 4.4 より、h_1 = h_2 となる。 よって、f(t_0) = η' はΔ(X)に含まれる。
937 名前：１３２人目の素数さん [03/12/12 11:35]
age
938 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/13 06:36]
このスレ、パフォーマンスとして面白いと思った。 頑張ｯﾃﾈ
939 名前：１３２人目の素数さん [03/12/13 17:37]
補題 X を体 k 上の有限型の整スキームとし、K をその関数体とする。 K/k の任意の付値環が一意に定まる中心を X 上に持てば X の 任意の既約かつ被約な閉部分スキーム Y に対しても同様のこと が成り立つ。即ち、Y の生成点を y としたとき、k(y) の任意の 付値環は、一意に定まる中心を Y 上に持つ。
証明 k(y) の任意の付値環を R とする。 Ex.4.5 (a) の逆が成り立つから、X は k 上分離的である。 よって、本文の Corollary 4.8 (a) より、Y も k 上分離的で ある。故に、Ex.4.5 (a) より R の中心の一意性が言える。 よって、R の中心が Y 上に存在することを示せばよい。 O_y を y における X の局所環とする。I章 Th. 6.1A より O_y はK/k のある付値環 S により支配される。S の剰余体を L とする。k(y) ⊆ L だから、再び I章 Th. 6.1A より R は L/k の付値環 R' により支配される。Φを標準写像 : S → L とし、T = Φ^(-1)(R') と置く。容易にわかるように T は K/k の付値環であり、T の剰余体は R' の剰余体と同一視 される。仮定より T は中心 z を X 上に持つ。O_z を z に おける X の局所環とする。O_z ⊆ T ⊆ S だから、S の 極大イデアル m(S) と O_z との交わりを q とすると、 q は、O_z の素イデアルである。 O_z の q による局所化 (O_z)q は S により支配される。 j: Spec(O_z) → X を標準射とし、j(q) = t と置くと、 (O_z)q は O_t と同一視される。S の中心は一意だから O_t = O_y である。これは、z が y の特殊化であることを 意味する。Φ': O_z → R' をΦの制限写像とする。Φ'の核は、 q である。Φ'(O_z) ⊆ Φ(T) = R' であり、 Φ'(O_z) = O_z/q ⊆ k(y) だからΦ'(O_z) ⊆ R である。 T は O_z を支配するから、R は O_z/q を支配する。 O_z/q は z の Y における局所環だから、補題が証明された。
940 名前：１３２人目の素数さん [03/12/13 17:40]
II Ex.4.5 (c) の後半の解答 即ち Ex.4.5 (b) の逆を証明する。
X → Spec(k) は、II Ex.4.5 (c) の前半より分離射であり、 仮定より有限型だから、これが絶対閉射であることを示せば よい。 Y を任意の k-スキームとする。 (X x Y)/k の任意の点を z とする。 x, y をそれぞれ z の X, Y への射影とする。 k(x), k(y) は、k(z) の部分体と見なせる。 y → y' を Y における特殊化とする。 {y} の閉包を被約スキームと考えたものを Z とする。 Z の y' における局所環を支配する k(z)/k の付値環を R とする。g: Spec(R) → Y を自然な射とする。 R と k(x) の交わりは、k(x)/k の付値環であるから、 補題(>>939)より、R は、X 上に中心 x' を持つ。 よって、射 f:Spec(R) → X が得られる。 f と g より、射 h: Spec(R) → (X x Y)/k が得られる。 Spec(R) の閉点を t としたとき、h(t) の Y への射影は y' である。 本文の Th. 4.7 の後半の証明と同様にして、これから、射影 (X x Y)/k → Y が閉射であることが出る。
941 名前：１３２人目の素数さん [03/12/13 19:20]
II Ex.4.5 (d) の解答
Γ(X, O_X) = ∩ O_x と見なせるから、Ex.4.5 (b) と Th. 4.11A より Γ(X, O_X) は, k の K における整閉包であることからわかる。
942 名前：１３２人目の素数さん [03/12/13 19:41]
II Ex.4.6 の解答 f は 固有射だから、f(X) は Y の閉集合である。 f(X) を被約スキームと考えると、f は X → f(X) → Y と 分解する。Corollary 4.8 より X → f(X) は固有である。 f(X) → Y は有限射だから、X → f(X) が有限射であることを 示せばよい。すなわち、f は支配的と仮定してよい。 X = Spec(A), Y = Spec(B) とする。f は支配的だから、 B ⊆ A と見なしてよい。X の関数体を K とする。 Th. 4.7 より、B を含む K/k の付値環は、A を含む。 Th. 4.11A より A は B の K における整閉包に含まれる。 即ち、 A は B 上整である。A は B 上有限型だから、B-加群 として有限生成である。よって、f は有限射である。
補題 S をスキーム、 f:X → Y を S-スキームの射とする。 Y が S 上分離的なら f のグラフ射 g: X → (X x Y)/S は閉埋入である。
証明 g: X → (X x Y)/S は、対角射 Y → (Y x Y)/Z の 基底拡大である。すなわち、以下の図示はファイバー積である。 X --> (X x Y)/S | | v v Y --> (Y x Y)/S
仮定より、対角射 Y → (Y x Y)/Z は閉埋入であり、閉埋入は 基底拡大で安定だから(Ex.3.11 (a))、g も閉埋入である。
948 名前：１３２人目の素数さん [03/12/18 21:56]
II Ex. 4.8 (d) の解答
f: X → X' と g: Y → Y' をスキームの射で性質Ｐを持つとする。 f x 1: X x Y → X' x Y は f: X → X' の基底拡大であり、 1 x g: X' x Y → X' x Y' は g: Y → Y' の基底拡大である。 よって、(c) より f x 1 も 1 x g も性質Ｐを持つ。 よって、(b) より f x g = (1 x g)(f x 1) も性質Ｐを持つ。
949 名前：１３２人目の素数さん [03/12/18 21:56]
II Ex. 4.8 (e) の解答
グラフ射Γ: X → (X x Y)/Z を考える。 q: (X x Y)/Z → Y を射影とする。 f: X → Y は f = qΓと分解する。 q: (X x Y)/Z → Y は gf: X → Z の基底拡大だから、仮定より 性質Ｐを持つ。一方、g: Y → Z は分離射だから、補題より、 Γは閉埋入である。よって、仮定よりΓも性質Ｐを持つ。 よって、Γと q の合成射 f も性質Ｐを持つ。
950 名前：１３２人目の素数さん [03/12/18 21:57]
II Ex. 4.8 (f) の解答 下の可換図式を考える。
X_red --> Y_red | | v v X -----> Y
X_red → X は閉埋入だから、仮定より性質Ｐを持つ。 よって、X_red → Y_red → Y も性質Ｐを持つ。 Y_red → Y は閉埋入だから分離射である。 よって (e) より性質Ｐを持つ。
証明 X → Y, Y → Z をそれぞれ射影射とする。 X → Y は X → P ｘ Y → Y と分解し、 Y → Z は Y → Q ｘ Z → Z と分解する。 ここに、P, Q は有理整数環上の射影空間であり、 X → P ｘ Y と Y → Q ｘ Z は共に閉埋入である。
補題(>>958)より、ある射影空間 R に対して、 閉埋入 P x Q → R が存在する。 下の可換図式を考える。
Ｘ → ＰｘＹ → ＰｘＱｘＺ → ＲｘＺ ↓ ↓ ↓ Ｙ → ＱＸＺ → ＱＸＺ ↓ Ｚ 中央の四角はファイバー積である。 Y → Q x Z は閉埋入であるから、P x Y → P x Q x Z も 閉埋入である。よって、上段の３個の射はすべて閉埋入である。 これから、X → Y と Y → Z の合成は X → R ｘ Z → Z と分解し、X → R ｘ Z は閉埋入だから 射影射である。
補題 f: X → Y をスキームの射とし、 Y' を Y の部分スキームとする。 射影 p: (X x Y')/Y → X は埋入(immersion)である。 p は位相空間として f^(-1)(Y') への同型を与える。
証明 以下の図式より、p は埋入 Y' → Y の基底拡大であるから、 埋入である。
（ＸｘＹ’）／Ｙ → Ｘ ↓ ↓ Ｙ’ → Ｙ
x を f^(-1)(Y') に属す点とする。 f(x) = y とおく。標準的な準同型 O_y → O_x は、体の準同型 k(y) → k(x) を誘導する。 これは、さらに射 Spec(k(x)) → Spec(k(y)) を誘導する。 これを標準射 Spec(k(y)) → Y' と合成して 射 Spec(k(x)) → Y' を得る。 これは、合成射 Spec(k(x)) → X → Y と一致する。 よって、ファイバー積の定義より、 射 Spec(k(x)) → (X x Y')/Y が存在する。 この射に対応する (X x Y')/Y の点を z とすれば、 p(z) = x である。よって、p の像は f^(-1)(Y') である。 p は埋入だから p は f^(-1)(Y') への位相同型である。
965 名前：１３２人目の素数さん [03/12/31 01:34]
補題 f: X → Y をスキームの射とし、 Y' を Y の部分スキームとする。 (X x Y')/Y → X を射影とする。 Z → X をスキームの射とする。 Z → X → Y が Z → Y' → Y と分解する為には Z → X が Z → (X x Y')/Y → X と分解することが必要十分 である。
証明 以下の可換図式とファイバー積の性質より明らかであろう。
（ＸｘＹ’）／Ｙ → Ｘ ↓ ↓ Ｙ’ → Ｙ
966 名前：１３２人目の素数さん [03/12/31 01:38]
補題 f: X → Y をスキームの射とし、 X' を X の f による 閉像(scheme-theoretic image)とする(II Ex. 3.11 (d))。 U を Y の開集合とする。f_U: f^(-1)(U) → U を f の制限射とする。f_U の閉像は X' ∩ U である。 ここで、X' ∩ U は X' の開部分スキームと見なす。
補題 S をスキームとし、X と Y を S 上射影的なスキームとする。 X と Y の直和は S 上射影的である。
証明 定義より構造射 X → S は X → P^n x S → S と分解する。 ここに、X → P^n x S は閉埋入。 同様に構造射 Y → S は Y → P^m x S → S と分解する。 補題(>967)より、P^n x S と P^m x S の直和は P^(n+m+1) x S の閉部分スキームに同型である。 よって X と Y の直和は S 上射影的である。
969 名前：１３２人目の素数さん [03/12/31 01:46]
補題 f: Spec(B) → Spec(A) を有限型の射とする。 f は準射影的である。
証明 B = A[b_1, ..., b_ n] とする。A[x_1,...,x_n] を A 上の 多項式環とすると、A-代数としての全射 A[x_1,...,x_n] → B が存在する。 これは、閉埋入 Spec(B) → Spec(A[x_1,...,x_n]) を誘導する。 一方、開埋入 Spec(A[x_1,...,x_n]) → Proj(A[y_0, y_1,...,y_n]) が 存在する。よって合成射 g: Spec(B) → Proj(A[y_0, y_1,...,y_n]) は埋入である。 g による Spec(B) の閉像を Y とすると、Spec(B) → Y は 開埋入であり、f: Spec(B) → Spec(A) は Spec(B) → Y → Spec(A) と分解し、Y → Spec(A) は射影的 である。よって、f は準射影的である。
970 名前：１３２人目の素数さん [03/12/31 01:47]
補題 X → Y を 準射影的な射とし、Y → Z を開埋入とする。 このとき、合成射 X → Z は準射影的である。
証明 X → Y は準射影的であるから、X → Y は X → Y' → Y と 分解する。ここに X → Y' は開埋入であり、Y' → Y は射影的 である。Y' → Y は射影的だから、Y' → P x Y → Y と分解する。ここに、 P は有理整数環上の射影空間 であり、Y' → P x Y は開埋入である。 ここで、次の可換図式を考える。
ＰｘＹ → Ｙ ↓ ↓ ＰｘＺ → Ｚ
これは、ファイバー積になっている。 X → Y → Z は X → Y' → P x Y → Y → Z と分解する。 これは、上記の可換図式より、X → Y' → P x Y → P x Z → Z に等しい。Y → Z は開埋入だから、P x Y → P x Z も開埋入 である。よって、X → Y' → P x Y → P x Z の合成射 X → P x Z は埋入である。よって、X → P x Z → Z の合成射 X → Z は準射影的である。
971 名前：１３２人目の素数さん [03/12/31 01:52]
Harstshorne II Ex. 4.10 の解答 Chowの補題 X をネータースキーム S 上固有なスキームとする。 このとき、S 上射影的なスキーム X' と射 g: X' → X 及び X の稠密な開集合 U で g は同型 g^(-1)(U) → U を誘導する ものが存在する。
(a) X は既約と仮定してよい。
証明 X はネーターだから有限個の既約成分 X_i を持つ。X_i を X の 被約な閉部分スキームと考える。仮定より、各 i に対してS 上 射影的なスキーム X'_i と射 g_i: X'_i → X_i 及び X_i の稠密 な開集合 U_i で g_i は同型 g_i^(-1)(U_i) → U_i を誘導する ものが存在する。X' を各 X'_i の直和とする。補題(>>968)より X' はS 上射影的である。g:X' → X を各 g_i から誘導される射 とする。 U'_i = {x ∈ U_i; x はどの X_j (j ≠ i)にも含まれない} とし、U を U'_i の合併集合とする。U'_i は空でないから U も 空ではない。V を X の空でない開集合とすると、V はある X_i と交わる。X_i は既約だからV は U'_i とも交わる。よって U は X で稠密である。i ≠ j なら U'_i と U'_j は交わらない からg が誘導する射 g^(-1)(U) → U は 同型 g_i^(-1)(U'_i) → U'_i の直和であり、やはり同型である。
972 名前：１３２人目の素数さん [03/12/31 01:54]
Harstshorne II Ex. 4.10
(b) X をネータースキーム S 上固有かつ既約なスキームとする。 X の有限個のアフィン開被覆 U_i で各 U_i に対して 開埋入 U_i → P_i が存在する。ここに各 P_i は S 上射影的 なスキーム。
証明 f: X → S を構造射とする。 S はネーターだからアフィン開集合 S_i による有限被覆を持つ。 f は有限型だから、f^(-1)(S_i) はアフィン開集合 U_ij による 有限被覆を持つ。補題より、U_ij → S_i は準射影的である。 よって、補題より U_ij → S も準射影的である。 U_ij → S の閉像を P_ij とすれば U_ij → P_ij は 開埋入であり、P_ij は S 上射影的である。 添え字集合を適当に変えて U_ij, P_ij を それぞれ U_i, P_i とすればよい。
973 名前：１３２人目の素数さん [03/12/31 11:32]
補題 f: X → Y をS-スキームの射とし、Y は X の f による閉像と なっているとする。Z を S 上分離的スキームとし、 g_1, g_2 : Y → Z をS-スキームの射で、(g_1)f = (g_2)f と すると、g_1 = g_2 となる。
証明 g_1, g_2 により h: Y → (Z x Z)/S が定まる。 Δ: Z → (Z x Z)/S を対角射とする。 Z は S 上分離的だからΔ(Z) は(Z x Z)/Sの閉部分スキームで ある。よってh^(-1)(Δ(Z))は Y の閉部分スキームである (>>964)。T = h^(-1)(Δ(Z)) とおく。
Ｔ → Δ（Ｚ） ↓ ↓ Ｙ → （ＺｘＺ）／Ｓ
(g_1)f = (g_2)f だから hf: X → Y → (Z x Z)/S は X → Δ(Z) → (Z x Z)/S と分解する。よって補題(>>965) より、f: X → Y は X → T → Y と分解する。 一方 Y は f の閉像だから T = Y となる。よって g_1 = g_2 である。
974 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/31 11:39]
で、おにいさん、それで空は飛べそうですか？
975 名前：１３２人目の素数さん [03/12/31 11:50]
補題 f: X → Y, g: Y → Z がスキームの射で、gf が埋入なら、 f も埋入である。
証明 Γ: X → (X x Y)/Z を f のグラフ射とし、 q: (X x Y)/Z → Y を射影とする。qΓ = f である。 次の可換図式を考える。
（ＸｘＹ）／Ｚ → Ｙ ↓ ↓ Ｘ → Ｚ
gf: X → Z は仮定より埋入だから q: (X x Y)/Z → Y も埋入 である。Γも埋入であるから qΓ = f も埋入である。
976 名前：１３２人目の素数さん [03/12/31 11:52]
Harstshorne II Ex. 4.10
(c) U_i, P_i は (b) (>>972)と同じものとする。 P = (P_1 x P_2 x ... x P_n)/S とおく。 U を 各 U_i の共通集合とし、 f: U → (X x P)/S を U → X と U → P_i から得られる射とする。 X' を U の f による閉像とする。 g: X' → X を X への射影、h: X' → P を P への射影とする。 このとき, h は閉埋入である。
証明 U → (X x P)/S → X は埋入だから、U → (X x P)/S も埋入 である(>>975)。 p_i: P → P_i を射影とする。V_i = (p_i)^(-1)(U_i) とおく。 まず、h^(-1)(V_i) が X' の被覆であることを証明する。 U_i は X の被覆だから、g^(-1)(U_i) は X' の被覆である。 よって、g^(-1)(U_i) ⊆ h^(-1)(V_i) を示せばよい。 (続く)
977 名前：１３２人目の素数さん [03/12/31 11:56]
Harstshorne II Ex. 4.10 (c) の証明の続き
U'_i = g^(-1)(U_i) とおく、 以下の図式が可換なことを示せばよい。
Ｕ'_i → Ｐ ↓ ↓ Ｕ_i → Ｐ_i
U'_i = X' ∩ (U_i x P)/S であり、f: U → (X x P)/S の 閉像はX' であり、f(U) ⊆ U'_i であるから、U → U'_i の 閉像は U'_i である。 よって以下の図式を考える。
h^(-1)(V_i) → V_i が閉埋入であることを示す。 Q_i を P_i を除いた残りの P_j の積とする。 V_i = (U_i x Q_i)/S であるから、 h^(-1)(V_i) = X' ∩ (X x U_i x Q_i)/S である。 (U_i x Q_i)/S → U_i → X のグラフを Z_i とする。 Z_i は (X x U_i x Q_i)/S の閉部分スキームであり、 その (U_i x Q_i)/S への射影は同型である。 X' ∩ (X x U_i x Q_i)/S は f(U) の (X x U_i x Q_i)/S に おける(部分スキームとしての)閉包であり、f(U) ⊆ Z_i で あるから、X' ∩ (X x U_i x Q_i)/S ⊆ Z_i である (スキームとしての包含)。 よって、X' ∩ (X x U_i x Q_i)/S → (U_i x Q_i)/S は閉埋入 である。 V_i の合併集合を V とする。 h^(-1)(V_i) は X' の被覆であるから、h(X') ⊆ V である。 h^(-1)(V_i) → V_i が閉埋入であるから、 X' → V は閉埋入であり、V → X は開埋入であるから h: X' → P は埋入となる。 一方、X' → S は 固有であるから、X' → P も固有であり、 h(X') は P の閉集合である。よって h は閉埋入である。
979 名前：１３２人目の素数さん [03/12/31 12:31]
Harstshorne II Ex. 4.10 の解答の続き (d) g^(-1)(U) → U は同型である。
証明 g^(-1)(U) = X' ∩ (U x P)/S は f(U) の (U x P)/S における （部分スキームとしての）閉包であることに注意する。 f(U) は U → P のグラフであるから、f(U) は (U x P)/S の 閉集合である。よって g^(-1)(U) = X' ∩ (U x P)/S = f(U) である。よって、g^(-1)(U) → U は同型である(逆の同型は f)。
...,､ - ､ ,､ ' ヾ 、 丶,､ -､ ／ ヽ ヽ ＼＼:::::ゝ ／ヽ/ i i ヽ .__.ヽ ヽ::::ヽ ヽ:::::l i. l ﾄ ヽ ヽ .___..ヽ 丶::ゝ r:::::ｲ/ l l. i ヽ ＼ ＼/ﾉﾉﾊ ヽ l:/ /l l. l i ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ', ', 'l. i ト l ﾚ'__ '"i:::::iﾞ〉l^ヾ |.i. l . l l lミ l ／r'!:::ヽ '‐┘ .} / i l l ／￣￣￣￣￣￣￣ l l l.ヾlヽ ゝヾ:ﾉ , !'" i i/ i＜ 今年も数学がんばってね iﾊ l (.´ヽ _ .／ ,' ,' ' | |l. l ｀ ''丶 .. __ イ ＼＿＿＿＿＿＿＿ ヾ! l. ├ｧ ､ ／ﾉ! / ｀ ‐- 、 ／ ヾ_ / ,,;'' /:i /,, ',. ｀ / ,,;'''／:.:.i
991 名前：１３２人目の素数さん [04/01/02 02:49]
補題 Kを体、v をその離散付値、L を K の有限次拡大体とする。 L の付値で v の拡大になっているものは離散付値である。
補題 Kを体、v をその離散付値、L を K の有限生成拡大体とする。 L の離散付値で v の拡張になっているものが存在する。
証明 A を K の付値環、m を A の極大イデアルとし、πをその生成元 とする。L の K 上の超越基を x_1, x_2, ..., x_n とする。 B = A[x_1, ...,x_n] とおく。 A は UFD だから B も UFDである(Gaussの定理)。 よってπは B の既約元であるから、πB は B の素イデアルで あり、B の πB による局所化 B_πB は離散付値環である。 B の商体を M とすると、B_πB は M の離散付値 w を 引き起こす。w は v の拡張である。 L は M の有限次拡大体だから補題より w は L の 離散付値に拡張される。
993 名前：１３２人目の素数さん [04/01/02 02:51]
補題 A を局所ネーター整域、m を A の極大イデアルとし、 K をその商体とする。m の生成元 x_1, x_2, ..., x_n を適当に とると、B = A[x_2/x_1, ..., x_n/x_1] としたとき、 mB = (x_1)Bとなり (x_1)B ≠ B となる。
証明 m の生成元 x_1, ..., x_n で 各 x_i が 0 でないものをとる。 Hartshorne I Th. 6.1A より K の付値環 R で A を支配する ものが存在する。v を R に付随する付値で G をその値群と する。g_i = v(x_i/x_1) と置く。g_k = min{g_1,...,g_n} と する。各 i に対して v(x_i/x_k) = g_i - g_k >= 0 である。 よって、x_i/x_k ∈ R であり、 A[x_1/x_k, ..., x_n/x_k] ⊆ R となる。 必要なら x_1, ..., x_n の番号を付け替えて x_k = x_1 と 仮定してよい。よって B ⊆ R である。R は A を支配するから R の極大イデアルは mB を含む。よって mB ≠ B である。 i ≧ 2 のとき、x_i ∈ (x_1)B だから mB = (x_1, x_2, ..., x_n)B ⊆ (x_1)B である。 逆の包含関係は明らかだから、mB = (x_1)B である。
994 名前：１３２人目の素数さん [04/01/02 03:05]
補題(Krull-Akizuki) A を１次元のネーター整域、K をその商体とする。 L を K の有限次拡大体とする。A の L における整閉包は Dedekind整域である。
証明は例えば、Bourbaki VII §2.5 を参照。
995 名前：１３２人目の素数さん [04/01/02 03:38]
Hartshorne Ex.4.11 (a) の解答
A を局所ネーター整域、m を A の極大イデアルとし、 K をその商体とする。L を K の有限生成拡大体とする。 補題(>>993)よりm の生成元 x_1, x_2, ..., x_n を適当に とると、B = A[x_2/x_1, ..., x_n/x_1] としたとき、 mB = (x_1)Bとなり (x_1)B ≠ B となる。 (x_1)B の極小素イデアルを p とする。 Harsthorne I Th.1.11A(Krullの単項イデアル定理)より B_p の 次元は１である。m ⊆ p であるから B_p は A を支配する。 補題(>>994)より B_p の K における整閉包 B~ は Dedekind整域である。B~ の任意の極大イデアルを M とする。 B~_M は離散付値環である。B_p ∩ M は B_p の極大イデアル である(Cohen-Seidenberg)から B~_M は B_p を支配する。 補題(>>992)より L の離散付値環で B~_M を支配、即ち A を支配するものが存在する。
