- 867 名前：１３２人目の素数さん [03/11/28 00:17]
- 補題
k を分離代数的閉体とする。
即ち、k 上の分離代数的閉包は k と一致する。
X を 有限型の k-スキームとする。
X が既約とすると、X x K も既約である。
ここに、K は k の任意の拡大体であり、X x K は、X と Spec(K)
の Spec(k) 上のファイバー積を表す。
証明
p: X x K → X を射影とする。
Spec(K) → Spec(k) は忠実平坦だから p も忠実平坦である(>>856)。
したがって、p は全射である。さらに >>862より p は開射である。
>>865 より各点 x ∈ X に対して、 f^(-1)(x) が既約なことを示せ
ばよい。f^(-1)(x) = Spec(K (x) k(x)) だから、>>864 より
f^(-1)(x) は既約である。
