- 897 名前：１３２人目の素数さん [03/12/03 00:04]
- 補題
f: X → Y を位相空間の連続写像とし、(V_i) をY の開被覆とする。
U_i = f^(-1)(V_i) とおく。各 i に対して f の U_i への制限を
f_i とおく。各 i に対して f_i(U_i) が V_i の閉集合であり、
f_i が U_i から f(U_i) への位相同型写像であるとする。
このとき、f(X) は Y の閉集合であり、f は X から f(X) への
位相同型を与える。
証明
f(x) = f(y) とする。f(x) ∈ V_i となる V_i がある。
x と y は f^(-1)(V_i) に含まれる。よって、f_i(x) = f_(y) と
なる。f_i は単射であるから、 x = y となり、f も単射である。
W を X の開集合で、x ∈ W とする。f(x) ∈ V_i となる V_i がある。
x ∈ W ∩ U_i であり、f_i が U_i から f(U_i) への位相同型写像
であるから、f(W ∩ U_i) は f(U_i) の開集合である。
f(W ∩ U_i) = f(U_i) ∩ V となる V_i の開集合 V がある。
f(X) ∩ V = f(U_i) ∩ V であるから、f(W ∩ U_i) は f(X) の
開集合である。よって、f は x の十分小さい近傍を f(x) の近傍に
写すから開写像である。
次に、f(X) は Y の閉集合であることを示す。
y ∈ Y - f(X) とする。y ∈ V_i となる V_i がある。
f(X) ∩ V_i は V_i の閉集合であるから、V_i - f(X) は V_i の
開集合である。y ∈ V_i - f(X) ⊆ Y - f(X) だから、Y - f(X) は
Y の開集合である。
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