- 958 名前：１３２人目の素数さん [03/12/23 13:37]
- 補題
r, s > 0 を整数とし、P^r, P^s, P^(rs + r + s) を有理整数環
上の射影空間とする。
閉埋入 (P^r x P^s)/Z → P^(rs + r + s) が存在する。
証明
(r + s)-変数の多項式環 Z[x_0, ..., x_r, y_0, ..., y_s]
において、{x_iy_j; 0 ≦ i ≦ r, 0 ≦ j ≦ s} で生成される
部分環 C = Z[x_iy_j; 0 ≦ i ≦ r, 0 ≦ j ≦ s] を考える。
各 x_iy_j の次数を１と定義することにより、C は次数付き環と
なる。(r+1)(s+1) 個の変数で生成される多項式環
D = Z[z_ij; 0 ≦ i ≦ r, 0 ≦ j ≦ s] を考える。
z_ij に x_iy_j を対応させることにより、環の準同型
D → C が得られる。これは次数を保ち、全射である。
よって、Ex.3.12 (a) より閉埋入 Proj(C) → Proj(D) が
得られる。これと補題(>>957)よりわかる。
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