- 883 名前：１３２人目の素数さん [03/11/30 15:39]
- 補題
被約なネーター環の全商環は有限個の体の直積である。
証明
A を被約なネーター環とする。
A の極小素イデアル全体を P_1, ..., P_r とする。
A の零イデアル (0) の任意の素因子を P とする。
A の非零元 x があって、Px = 0 となる。
A は被約だから、∩ P_i = 0 である。
よって、x は ある P_i に含まれない
Px ⊆ P_i だから、P ⊆ P_i となる。
よって P = P_i である。
従がって、A の零因子全体の集合は ∪ P_i である。
∪ P_i に含まれる素イデアルは P_1, ..., P_r のどれかである。
これより、A の全商環 Q はアルティン環であることがわかる。
さらに Q は被約であるから、有限個の体の直積である。
