- 993 名前：１３２人目の素数さん [04/01/02 02:51]
- 補題
A を局所ネーター整域、m を A の極大イデアルとし、
K をその商体とする。m の生成元 x_1, x_2, ..., x_n を適当に
とると、B = A[x_2/x_1, ..., x_n/x_1] としたとき、
mB = (x_1)Bとなり (x_1)B ≠ B となる。
証明
m の生成元 x_1, ..., x_n で 各 x_i が 0 でないものをとる。
Hartshorne I Th. 6.1A より K の付値環 R で A を支配する
ものが存在する。v を R に付随する付値で G をその値群と
する。g_i = v(x_i/x_1) と置く。g_k = min{g_1,...,g_n} と
する。各 i に対して v(x_i/x_k) = g_i - g_k >= 0 である。
よって、x_i/x_k ∈ R であり、
A[x_1/x_k, ..., x_n/x_k] ⊆ R となる。
必要なら x_1, ..., x_n の番号を付け替えて x_k = x_1 と
仮定してよい。よって B ⊆ R である。R は A を支配するから
R の極大イデアルは mB を含む。よって mB ≠ B である。
i ≧ 2 のとき、x_i ∈ (x_1)B だから
mB = (x_1, x_2, ..., x_n)B ⊆ (x_1)B である。
逆の包含関係は明らかだから、mB = (x_1)B である。
|
 |
