- 865 名前：１３２人目の素数さん [03/11/27 23:52]
- 補題
f: X → Y を位相空間の連続写像とする。
f は以下の条件を満たすとする。
(1) f は全射で開写像である。
(2) 各点 y ∈ Y に対して f^(-1)(y) は既約である。
このとき、X は既約である。
証明
F_1, F_2 を X の閉集合とし、X = F_1 ∪ F_2 とする。
G_1 = {y ∈ Y; f^(-1)(y) ⊆ F_1}
G_2 = {y ∈ Y; f^(-1)(y) ⊆ F_2} とおく。
f は全射だから、Y - G_1 = f(X - F1) である。
f は開写像だから、G_1 は閉集合である。
同様に G_2 も閉集合である。
各点 y ∈ Yに対して f^(-1)(y) は既約であるから、
f^(-1)(y) は、F_1 または F_2 に含まれる。
従がって、Y = G_1 ∪ G_2 となる。
Y は既約だから、Y = G_1 または G_2 となる。
故に、 X = F_1 または F_2 となる。
