- 535 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 16:26]
- >>489 の解答の続き
Hartshorne II Ex. 3.5
(b) 有限射は閉写像であることを示せ。即ち、任意の閉集合の
f による像は閉集合となる。
証明
f はアフィン射だから>>534の補題より X、Y を共にアフィンと
仮定してよい。
X = Spec(A)、Y = Spec(B) とする。
X の任意の閉集合 F をとる。
F = V(I) と書ける。ここで I は A のイデアル。
Ψを f に付随する射 B → A とする。
標準的な単射 B/Ψ^(-1)(I) → A/I が存在する。
f は有限射だから、A は B-加群として有限生成である。
従がって、A/I も B/Ψ^(-1)(I) -加群として有限生成である。
故に、A/I は、部分環 B/Ψ^(-1)(I) の上に整である。
Cohen-Seidenberg の定理から、Spec(A/I) → Spec(B/Ψ^(-1)(I))
は全射である。これは、f(V(I)) = V(Ψ^(-1)(I)) を意味する。
即ち、f は閉写像である。
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