X → Spec(k) は、II Ex.4.5 (c) の前半より分離射であり、 仮定より有限型だから、これが絶対閉射であることを示せば よい。 Y を任意の k-スキームとする。 (X x Y)/k の任意の点を z とする。 x, y をそれぞれ z の X, Y への射影とする。 k(x), k(y) は、k(z) の部分体と見なせる。 y → y' を Y における特殊化とする。 {y} の閉包を被約スキームと考えたものを Z とする。 Z の y' における局所環を支配する k(z)/k の付値環を R とする。g: Spec(R) → Y を自然な射とする。 R と k(x) の交わりは、k(x)/k の付値環であるから、 補題(>>939)より、R は、X 上に中心 x' を持つ。 よって、射 f:Spec(R) → X が得られる。 f と g より、射 h: Spec(R) → (X x Y)/k が得られる。 Spec(R) の閉点を t としたとき、h(t) の Y への射影は y' である。 本文の Th. 4.7 の後半の証明と同様にして、これから、射影 (X x Y)/k → Y が閉射であることが出る。
