- 894 名前：１３２人目の素数さん [03/12/02 23:38]
- 補題
Y = Spec(B) をアフィンスキームとし、f: X → Y をスキームの射と
する。B の有限個の元 g_i があり、D(g_i) が Y の被覆になって
いるとする。さらに、各 i に対して f^(-1)(D(g_i)) はアフィン
であるとする。このとき X はアフィンである。
証明
φ: B → Γ(X) を f に付随する環の準同型とする。
f はφにより一意に定まることに注意する。
つまり、f(x) は B → Γ(X) → O_x による O_x の極大イデアル
の逆像である。よって φ(g_i) = f_i とおけば、
f^(-1)(D(g_i)) = X_(f_i) である。
ここに、X_(f_i) = {x ∈ X; f_i(x) ≠ 0} であり、
f_i(x) は f_i の x における芽の 剰余体 k(x) = O_x/m_x における
剰余類を表す。
{D(g_i)} が Y の被覆であるから、{X_(f_i)} は X の被覆である。
{g_i} は単位イデアル A を生成するから、
Σ(g_i)(h_i) = 1 となる元 h_i が存在する。
よってΣφ(g_i)φ(h_i) = 1 となるから、
{f_i} は単位イデアル Γ(X) を生成する。
II Ex.2.17 (b) より X はアフィンである。
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