- 1 名前：１３２人目の素数さん [03/10/02 00:41]
- Grothendieckは代数幾何が大好きだったそうです。
- 2 名前：１３２人目の素数さん [03/10/02 00:46]
- そもそも座標環って考え方がうまいよね
- 3 名前：１３２人目の素数さん [03/10/02 01:05]
- 代数幾何は、何代もの数学者のエネルギーを吸い尽くしてきたんだね。
何代吸う気か、代数幾何？
- 4 名前：１３２人目の素数さん [03/10/02 01:30]
- 代数多様体上の点と座標環の極大イデアルが一対一に対応するんだもん
そりゃ代数多様体と極大イデアル全体の集合を同一視したくなるよね
だって多様体を有限生成ｋ代数として扱えるようになるもの
- 5 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/02 17:50]
- 代数幾何の下に何人の有能な数学者が眠っているんでしょうか？
人柱みたいなものなんですかね。
- 6 名前：１３２人目の素数さん [03/10/02 23:23]
- 極大イデアルっていうのもなんか中途半端だから
素イデアルまで拡張したくなるよね普通
そうすると代数多様体の点が増えて解析の方法が増えるけど
もはや代数多様体じゃなくなってるからスキームなんて対象が出てきたんだ
でもまだスキームを幾何学的な対象として扱うには不十分だったんだね
- 7 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/02 23:29]
- >>1=>>2=>>3=>>4=>>5=>>6?
- 8 名前：１３２人目の素数さん [03/10/02 23:34]
- 代数幾何が専門と言っている日本人研究者の半分は可換環の研究者なんだ
間違いない
- 9 名前：１３２人目の素数さん [03/10/02 23:35]
- 代数幾何の最も基本的かつ重要な対象は、代数体上定義された
非特異射影多様体だろう。
- 10 名前：１３２人目の素数さん [03/10/02 23:36]
- 良スレ保守
- 11 名前：i [03/10/02 23:39]
- >>7
1=2=4=6=i
- 12 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/02 23:40]
- あれだな、まるでブルーバックだね。
- 13 名前：１３２人目の素数さん [03/10/02 23:44]
- NT系だと比較的見る回数の少ないBSODのこと？
- 14 名前：１３２人目の素数さん [03/10/02 23:48]
- >>9
言い換えると、代数体係数（有理数係数としてもいい）の同次多項式達
の零点集合のことだ。素朴かつ具体的な対象である。
この定義自体は、何も抽象的訓練を必要としないで理解出来るもの。
- 15 名前：１３２人目の素数さん [03/10/02 23:50]
- >>8
ワラタ
>>1=>>11
面白いからもっと書け。
- 16 名前：１３２人目の素数さん [03/10/03 00:07]
- 代数幾何をやるには代数的方法、コホモロジー的方法だけなく
位相幾何的および複素解析的方法の知識が必須だろう。
- 17 名前：１３２人目の素数さん [03/10/03 00:07]
- .l''',! .r-、 .,､〟 .l''',! ./ｰ､,,,_ .r-，
.广''''″.¨ﾞﾞ! .,,,丿 {,,､､， .ｖ-lﾞ .!-ｒ/i､ 广''''″.¨ﾞﾞ! .!､, lﾞ | .｝ ,〟
.ﾞl---， ぃ" .| .| .| _,,{ﾞl .ヽ ヽ--i､ .ぃ" .,,,,,,,,二ｉ" .,..-" .ヽl、ﾞl
r---┘.―'i､ "',! ./ﾆﾆﾆ、 ￣| .Ｌ,,,,,ﾞl,,i´ .r---┘.―'i､ .| :,! | .l .|、
|＿＿ ._,,,,｝ ﾉ .| | lﾞ .／ ﾞ'i､ .|＿＿ ._,,,,｝ "''''ﾂ ./ "''ﾄ .|ﾞi､ ||、ﾞl
.,―-" | .ﾉ .lﾞ `"ﾞﾞﾞ'" ,i´,〟lﾞﾞ^'i､ | .,―-" | ../ `i､ lﾞ ,lﾞ | |.ﾞl.,ﾉ
.lﾞ .,,,,,, .＼ .lﾞ .lﾞ ,， .lﾞ .|.｝ | | .| / .,,,,,, .＼ ../ .,.i､ | lﾞ .lﾞ .| .,! .゛
| し,,lﾞ .、 ﾞ,! ,lﾞ ,lﾞ.i".ﾞﾞ'''''"! ﾞl .″.|.,!'''゛ lﾞ | .lﾞ,,,,lﾞ .、 ﾞ,! ,/｀／ .| ."'ﾞﾞl ./ .lﾞr┘,lﾞ
.ﾞl, .,/｀∪ ﾞ〃 .`ｰ--丿 .ﾞ'--ヽ{,,,.／ .ﾞl,, _/｀∪ .ﾞl.,i´ .!,_,,,／ .lﾞ../ | .,i´
- 18 名前：１３２人目の素数さん [03/10/03 00:09]
- >>1さん面白いのでもっと書いてください。
- 19 名前：１３２人目の素数さん [03/10/03 00:09]
- ＿＿＿
. |（･∀･）|
. |￣￣￣ ｼﾞｻｸｼﾞｴﾝ共和国
△
△ｌ |
＿＿△|_.田 |△＿＿＿＿＿
|__|__門_|__|＿＿＿＿＿|＿＿＿＿＿
- 20 名前：１３２人目の素数さん [03/10/03 00:24]
- >>19.
|（･∀･）|
. |￣￣￣ ｶﾝﾁｶﾞｲ共和国
△
△ｌ |
＿＿△|_.田 |△＿＿＿＿＿
|__|__門_|__|＿＿＿＿＿|＿＿＿＿＿
- 21 名前：１３２人目の素数さん [03/10/03 00:30]
- >>1
とても面白いです。
続編ｷﾎﾞﾝ。
- 22 名前：１３２人目の素数さん [03/10/03 00:37]
- 名スレの予感
- 23 名前：１３２人目の素数さん [03/10/03 00:43]
- グロタンディークはホモロジー代数と位相空間論しか知らなかったんだ
間違いない
- 24 名前：１３２人目の素数さん [03/10/03 00:49]
- ＞＞１を頃しにきますた。
- 25 名前：i [03/10/03 00:54]
- もうネタ切れ
- 26 名前：１３２人目の素数さん [03/10/03 01:08]
- >>1
彼との間がおかしくなってから彼に連絡を取りたくてずっと電話をしていたのに全然
連絡が取れなくて悩んでいました。
そしてこのスレを読みました。最初は半信半疑でしたが、読んでから一週間後に
なんと彼の方から電話をくれました。
本当に神様とこのスレのおかげです。
これからも信じて今までみたいに付き合っていけるようお願いしていこうと思います。
もちろん私も復活できるよう頑張りたいです。
とにかく今は感謝の気持ちでいっぱいです。
有難うございました。
- 27 名前：１３２人目の素数さん [03/10/03 02:30]
- >>1さん、楽しく読ませてもらいました。
次が楽しみです。
- 28 名前：i [03/10/03 23:20]
- specAを幾何学的な対象と捉えるにはどうしても位相空間じゃなきゃならない
だからspecAに位相を定義しようと考えてみたんだね
代数多様体にはザリスキ位相が入ってるから
これがそのまま極大イデアル全体の集合の位相になる訳だ
するとイデアルを元とする位相が定義できたからこれをそのままspecAにもってく
そしたらうまいことちゃんとspecAにも位相が定義できたんだね
これでspecAが位相空間になって幾何学的な対象っぽくなってきたよ
- 29 名前：１３２人目の素数さん [03/10/03 23:51]
- 数学者の９割は環を輪っかの意味だと思ってるんだ
間違いない
- 30 名前：コピペ [03/10/03 23:55]
- 環ってringでしょ
ringって輪って意味じゃなくてプロレスリングと同じ意味でのring
リングに～稲妻はしり～ってあったでしょ？そのring 競技場ね
つまりfieldみたいに野原で自由な感じじゃなくて
戦いとかがあって熱いんだよ ringは
わかった？環に輪なんて意味ないからね
ただの誤訳 簡単にだまされちゃだめだよ
- 31 名前：１３２人目の素数さん [03/10/04 00:02]
- >>1さんへの絶賛が続々と寄せられています。
●
1世代前のＣＰＵでも快適になりました。
（埼玉県／鎌田 信彦さん）[1]
●
自動設定機能が充実している。使い安さと、効果から多く のユーザーに幅広く受け入れられる。
（滋賀県／松本 淳さん）[2]
●
すべての動きが速くなったと体感しています。
（大阪府／西垣 猛さん）[3]
●
速い！！の一言。
（北海道／児玉 勝彦さん）[4]
●
驚速98から使っていますが、バージョンアップするたび にパソコンの速度が速くなっているような気がします。
（神奈川県／加藤 照美さん）[5]
●
パソコンがとても速くなり、大変満足しています
（静岡県／出口 幸治さん）[6]
●
大変満足しています。パソコン初心者から、上級者まで。 ユーザを選ばないところがｇｏｏｄです。驚速シリーズ、 これからも期待大です。
（広島県／世良 篤さん）[7]
●
驚速95から使用していますが，アクセスが早くなりいら いら感も少なく最初はＣＰＵクロック133Mhzを使用してい ましたがその時は快調でした。900mhzに
変更してからは少 しの間使用していませんでしたが，色々ソフトの数などが 増え，アクセスが遅くなり出し思い出し今回も購入しまし た。これでまた，少
し楽が出来ます。
（愛知県／梅田 友昭さん）[8]
- 32 名前：１３２人目の素数さん [03/10/04 11:04]
- >>30
君こそ間違ってるよ。もともと、代数のringは輪の意味から
名付けられたんだよ。ぐるっと回って元に戻るという意味。
ヒルベルトが名付けたじゃないかな。
代数的整数の環Z[α]を数環と名付けた。
何故そう名付けたか簡単に想像出来るだろ。
- 33 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/04 12:06]
- ｺﾋﾟﾍﾟにﾏｼﾞﾚｽ（ｒ
- 34 名前：１３２人目の素数さん [03/10/04 12:15]
- >>33
くやしまぎれ。ｗ
- 35 名前：１３２人目の素数さん [03/10/04 12:43]
- kを体。Aをk上有限生成の可換代数。
P^nをk上の射影空間、すなわちProj(k[X_0, ... X_n])。
Spec(A)からP^nへのk-morphisms全体,
Hom(Spec(A), P^n)を決定したいんですが。
わかる人、教えてくれませんか。
- 36 名前：１３２人目の素数さん [03/10/04 18:53]
- 誰か>>35に答えてやってくれ。
- 37 名前：１３２人目の素数さん [03/10/04 21:23]
- >>35
Hom(Spec(A), P^n)は、A上の階数１の射影加群で
階数n+1の自由加群A^(n+1)の直和因子となって
いるもの全体と1対１に対応する。
- 38 名前：i [03/10/05 02:28]
- 位相空間specAをどうやれば多様体と見なせるか
そのために多様体をより厳密に空間として定義する必要があったのかなあ
環付き空間なんて考え方が出てきたんです
それを可能にしたのが層みたい
- 39 名前：１３２人目の素数さん [03/10/05 04:23]
- 哲厨の香りが漂っています。
- 40 名前：１３２人目の素数さん [03/10/05 05:41]
- ここは>>35にすぐ答えられないような人が、代数幾何を語る
スレですか？
- 41 名前：１３２人目の素数さん [03/10/05 05:43]
- そうですが何か？
- 42 名前：１３２人目の素数さん [03/10/05 06:15]
- >>41
>>35に答えられないということは、代数幾何がよく分かってないと
いうことになる。よく分からないものを語って何が面白い？
- 43 名前：１３２人目の素数さん [03/10/05 07:51]
- X=Spec(A)というのは、任意の環BにX(B) = Hom(A, B)を対応
させる関手としてとらえるのが本質的な見方だろうな。
- 44 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/05 08:15]
- >>43
何が言いたいの？
それ以外の捉え方ってある？
- 45 名前：１３２人目の素数さん [03/10/05 08:28]
- >>44
それが分かってるんなら何故>>35に答えられないんだ？
- 46 名前：１３２人目の素数さん [03/10/05 09:59]
- >>38
環付き空間はGrothendieckの抽象代数幾何で
最初に出てきたわけじゃない。
多変数複素関数論でのカルタンが最初だろう。
- 47 名前：１３２人目の素数さん [03/10/05 16:44]
- >>37を誰か証明してください。
私には出来ません。
- 48 名前：１３２人目の素数さん [03/10/05 20:08]
- 昨日このスレを見つけました。
未熟ですが、代数幾何に興味を持つものです。
全部スレの内容も理解できていませんが、なんとなく感じが
つかめたような気になって大変嬉しいです。
>>1さん、その他の方々どうかこのスレを盛り立てていって
下さい。参加は出来るほど実力無いですが、楽しみに
読んでいますので。
- 49 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/05 21:04]
- 48の未来に幸あらんことを。
- 50 名前：48 mailto:sage [03/10/05 21:37]
- >>49
どうも、ありがとうございます。
- 51 名前：１３２人目の素数さん [03/10/06 00:16]
- 高2まではクラブ活動でのんびりしていたため、クラス35人中34位の成績でした。
高3になりK大学の農芸化学科への受験を決意しましたが、合格率ランクはD以下でした。
好きな数学をミミテックで学習したら問題がすんなり解け、他の科目にも取り組んだところ、
4ヶ月で全国統一模擬試験で偏差値15アップし先生もクラスメイトもびっくり。
ただ一人推薦で合格しました。
M・Aさん(高3女子)
母からすすめられ、初めは半信半疑でしたが、ミミテックを使ってみると不思議に頭に入る事が判り、
2週間、期末試験に向けて一生懸命学習したところ、いつも40点台、50点台だった私が英語87点
はじめ全ての科目80点台のクラス2位になりました。
S・Tさん(中3女子)
- 52 名前：i [03/10/06 01:45]
- 層というのはよくわからないが役に立つものらしい
というのが小平邦彦の層に対する最初の印象
確かに層というのは定義が天下りでいまいちピンとこないよね
でも実はとっても自然な考え方だったみたい
特に全体の構造がよくわからないものに対して局所的な写像を見てって
そこから全体を捉えようとするみたいな多様体の考え方には合致するんだろうね
層っていうのは全体にはとどいていない写像から全体の写像を構成できたりするんだね
局所的なものから大域的なものが得られる訳だ
局所的な情報から大域的な情報を得るってかっこいいよ
こんな感じで多様体上の写像を層として扱っていく感じになってきました
- 53 名前：コピペ [03/10/06 01:58]
- 位相空間Xの開集合U上の実数値連続関数全体をΓ(U)とする。
Γ(U)は自明に可換環（したがって加法に関してアーベル群）となる。
VをUに含まれる開集合とする。
制限写像: r[U, V]: Γ(U)→Γ(V)が自明に定義される。
r[U, V]は環の準同型になっている。
この制限写像はU ⊃ V ⊃ W のとき結合律を満たす。
この対応 U →Γ(U) と制限写像: r[U, V]の組を
X上の実数値連続関数のなす層という。
同様にXが微分可能多様体であれば微分可能関数のなす層が
定義される。さらにベクトル場や微分形式のなす層が定義される。
層はもっと一般的に定義されるが、ここで述べた例が最も典型的
な層の例である。もっと一般に開集合Uにたいしてアーベル群
Γ(U)が定義されて、さらに準同型r[U, V]: Γ(U)→Γ(V)が定義
され結合率が満たされるときこれを前層という。
これを層と言わないで前層というのは、上の例の層が満たす
局所性を必ずしも満たさないからである。局所性というのは、
各点の近傍における情報で大域的な情報が決まることを言う。
つまり：
U が開部分集合U_iの族の和集合となっていて、各U_iに
対してΓ(U_i)の元f_iが与えられていてるとする。
任意の添え字i, jに対して、制限写像Γ(U_i) → Γ(U_i ∩ U_ j)
とΓ(U_j) → Γ(U_i ∩ U_ j)が定義されているが、この写像
によるf_iとf_jの像が一致すると仮定する。
このときΓ(U)の元fが一意に存在して、fの Γ(U) → Γ(U_i)
による像がf_iとなる。
この性質を満たす前層を層と言う。
前層から自然に層が構成出来る。
もっと述べることは当然あるが、このへんでやめとこう。
- 54 名前：１３２人目の素数さん [03/10/06 12:49]
- スレタイなぜ
「大好きか？★代数幾何」
にしなかったんだろ？
- 55 名前：１３２人目の素数さん [03/10/06 21:39]
- >>53
それ俺(>>43, >>46その他)が書いた。我ながら良く書けてるな。
- 56 名前：１３２人目の素数さん [03/10/06 21:43]
- 道具ヲタと代数幾何の人の区別は可能ですか？
- 57 名前：１３２人目の素数さん [03/10/06 23:03]
- 特異点の解消って任意標数で解決したの？
石井志保子「特異点入門」に「最近解いたと主張する数学者が現れた」
みたいなこと書いてあったけど審査結果はどうだったの？
- 58 名前：１３２人目の素数さん [03/10/07 20:50]
- 誰か>>37を証明してやれ。あれは重要な結果だぞ。
いやしくも代数幾何をやる人間はあれを証明出来なきゃ駄目だ。
- 59 名前：１３２人目の素数さん [03/10/07 22:21]
- 使い古された煽りの手口ですね。
- 60 名前：１３２人目の素数さん [03/10/07 22:56]
- >>59
あれを煽りと思うのか。悲しいやつだ。
あれは非常にいい問題だよ。問題の為の問題ではない。
豊富な内容を持っている。しかも、難問ではない。
- 61 名前：１３２人目の素数さん [03/10/07 23:07]
- >>60
コピペ用にいただきますた
- 62 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/07 23:22]
- >>58
代数幾何をやらない人間なので答えおしえてください。
- 63 名前：１３２人目の素数さん [03/10/07 23:30]
- >>62
問題自体の意味は分かるのか？
例えば、Spec(A)とかProj(k[X_0,...,X_n])の意味。
- 64 名前：１３２人目の素数さん [03/10/07 23:30]
- >>58
代数幾何をやるダメ人間なので答えおしえてください。
- 65 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/07 23:31]
- >>63
なんとか意味はわかります。
- 66 名前：i [03/10/07 23:50]
- 誰かが考えました。
誰かは知らないんだけど
位相空間と層があればそれから多様体が構成できるんじゃない？
幾何学的な空間のとらえ方が少しずつ実体よりもその存在のあり方にシフトしてきました
周りとの関係っていうかね、実体の存在より関係の存在が先っていうか
えっと、考える故に我有りだっけ？そんなのと似てるかも
似てないか
- 67 名前：１３２人目の素数さん [03/10/07 23:54]
- ↑
詐欺に引っかかりやすいタイプ
- 68 名前：１３２人目の素数さん [03/10/07 23:57]
- >>65
Spec(A)上の可逆層とA上の階数１の射影加群が本質的には
同じものというのは？
- 69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/08 00:01]
- >>68
ピカール群とかいうやつですか？なんとなく聞いたことはあるという程度です。
ステートメントはみたことありますが証明をおったことはありません。
- 70 名前：１３２人目の素数さん [03/10/08 00:13]
- >>69
じゃあ基礎的なことからまったりと証明してやろう。
時間はかかるけどな。あせらず待て。
- 71 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/08 00:16]
- >>70
よろしくおながいします。気長にまちます。
- 72 名前：１３２人目の素数さん [03/10/08 20:14]
- じゃあ証明開始といくか。
基礎からいくから、かなり長いぞ。
今後、特別に断わらない限り、環と言ったら単位元を持つ
可換環とする。環準同型は単位元を単位元に写すものとする。
命題１
Xを環付き空間。Aを環とする。
Γ(X)をX上の大域切断のなす環とする。
このとき、Hom(X, Spec(A))とHom(A, Γ(X))は標準的に同型である。
証明せよ。
- 73 名前：１３２人目の素数さん [03/10/08 20:18]
- ↑同型というのはおかしいな。標準的な全単射が存在すると
置き換えてくれ。
- 74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/08 20:38]
- >>72
これにだれかが答えないと先にすすんでくれないの？
- 75 名前：１３２人目の素数さん [03/10/08 20:43]
- >>74
原則として誰かが答えるまで先に進まない。
そうしないと、諸君が理解してるかどうか分からないから。
- 76 名前：１３２人目の素数さん [03/10/08 20:53]
- 終了か(･∀･)、今後の展開はどっち？
- 77 名前：珍々 ◆0OHTCmYTPk [03/10/08 20:55]
- たかが多項式 されど多項式
- 78 名前：１３２人目の素数さん [03/10/08 20:56]
- >>72の訂正。スマン。
Xは局所環付き空間。Hom(X, Spec(A))は局所環付き空間としての射の集合。
- 79 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/08 21:06]
- >>78
やっぱり･･･めっちゃ考えたのに･･･
- 80 名前：１３２人目の素数さん [03/10/08 21:12]
- >>79
その考えは無駄じゃないよ。で答えは？
- 81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/08 21:14]
- >>75
答えいきつくまでにあと何ステップぐらいあるの？この原則だと答えみたい場合
ずっと２ｃｈ見続けて設問にづっと答えつづけないとダメだけどそんなの不可能なんですが。
あと２、３ステップですむんなら可能だけどそうじゃないならヘタしたら２、３週間つづけて
２ｃｈ漬けになってしまう。もしそれぐらいかかるならもう答えわかんなくてもいいし。
せめて何ステップで終わるのかだけでも先におしえてもらえません？
- 82 名前：１３２人目の素数さん [03/10/08 21:23]
- >>81
そうだな、端折れば５ステップ、丁寧にやれば１０ステップくらいかな。
丁寧なほうがいいだろ？
- 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/08 21:24]
- >>80
答えは結構めんどいんですが･･･
あたえられた環の準同型φ:A→Γ(X)に対し連続写像fをp∈Xにたいし合成写像
A→Γ(X)=O_X(X)→O_{X,p}によるO_{X,p}の極大イデアルの引き戻しをf(p)とする
写像とさだめる。つぎにspecA上の環の層の準同型f^#:O_specA→O_Xを
f^#(specA):O_specA(A)=A→O_X(X)=Γ(X)がφになるようなものとする。
（そのようなf^#の存在の証明は略。）
逆の対応は与えられた(f,f^#):(X,O)→(SpecA,O_SpecA)に対し
A=O_(specA)(specA)→f_*(specA)=O_X(X)=Γ(X)で定められる環準同型であたえられる。
この程度でいいすか？
- 84 名前：１３２人目の素数さん [03/10/08 21:39]
- >>83
まあいいだろ。各自、詳細を詰めてくれ。
定義１
Xを環付き空間とする。O_X 加群の層 F が局所的に階数１の自由層であるとき
可逆層という。
- 85 名前：１３２人目の素数さん [03/10/08 21:51]
- 後は明日の夜。期待して待ってくれ。
- 86 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/08 21:55]
- 乙です
- 87 名前：１３２人目の素数さん [03/10/09 20:21]
- 昨日の続きと行こう。
可逆層についての基本事項を述べる。
命題２(層の張り合わせ)
Xを位相空間とし{U_i}をXの開被覆とする。
各U_i上に層F_iが与えられており、任意のi,jに対して
同型ψ(i,j): F_i|U_i ∩ U_j → F_j|U_i ∩ U_j
が存在するとする。
さらに、任意のi,j,kに対してψ(j,k)ψ(i,j) = ψ(i,k)が
U_i ∩ U_j ∩ U_kで成り立つとする。
このとき、X上の層Fと同型η_i: F|U_i → F_iが存在し、
ψ(i,j) = η_j(η_i)^(-1)が成り立つ。
証明
開集合Uと各iに対して、U ∩ U_i上のF_iの切断s_i の列{s_i}で
s_j = ψ(i,j)(s_i) となるもの全体をF(U)とする。
対応 U → F(U) は層となり、これが求めるもの。
詳細は各自にまかす。
QED.
- 88 名前：１３２人目の素数さん [03/10/09 20:33]
- 命題３
Xを環付き空間とする。O_XのO_X加群としての自己同型群はΓ(X)の
可逆元全体のなす群Γ(X)^*と標準的に同型である。
証明は自明だろう。
Xを環付き空間とし、LをX上の可逆層とする。
定義によりXの開被覆{U_i}が存在し、各U_iで
LはO_Xと同型である。
この同型ψ_iを固定しておく。
i,jの任意の組に対してψ_jψ_i^(-1)は
Lの U_i ∩ U_j における同型を与える。
従って、命題３よりΓ(U_i ∩ U_j)^*の元が定まる。
これをθ(i,j)と書く。
i,j,kに対して、θ(j,k)θ(i,j) = θ(i,k) がU_i ∩ U_j ∩ U_k
で成り立つ。θ(i,i)はΓ(U_i) における単位元である。
命題４
逆に上の関係式を満たすθ(i,j)があると、X上の可逆層L
が定り、θ(i,j)は上記のように求めたものと一致する。
命題２から明らかだろう。
- 89 名前：１３２人目の素数さん [03/10/09 20:38]
- 命題５
Xを環付き空間とする。
1) L_1, L_2をX上の可逆層とする。
L_1とL_2のテンソル積L_1(x)L_2も可逆層である。
2)LをX上の可逆層とするとHom~(L, O_X)も可逆層である。
ここでHom~はHomの層。この層をL^と書く。
3) L(x)L^はO_Xと同型である。
これを証明せよ。
命題５からX上の可逆層の同型類はアーベル群をなすことが分る。
これをXのピカール(Picard)群といい、Pic(X)と書く。
- 90 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/09 21:05]
- .>>89
以下前層Fの層化をF~と書く。
―補題―
位相空間X上の前層Fとその層化F→F~についてある開集合Uが存在しF|Uが層であるなら
任意のV⊂UについてF(V)→F~(V)は同型。
∵層化の具体的表示F~(V)={s∈Π[p∈V]F_p|∃V=∪V_λ∃s_λ∈F(V_λ)∀p∈V_λs_p=(s_λ)_p}
をみれば(F|U)~=(F~)|Uがわかる。仮定よりF|U=(F|U)~。これから主張が成立。□
―命題５の証明―
1),2)X=∪U_λ=∪V_μをL_1|U_λ、L_2|V_μが自明層になるようにとる。
W=W_λμ=U_λ∩V_μ上で前層L_1(x)L_2|_W、Hom(L_1,L_2)|Wは層である。
ゆえに(L_1(x)L_2)~|W=(L_1(x)L_2)|W、Hom(L_1,L_2)~|W=Hom(L_1,L_2)|WであるがこれらはともにO|Wにひとしい。
3)前層の射f:L(x)Hom(L,O)→Oをa(x)f→f(a)でさだめられるものとする。L|W、Hom(L,O)|Wが自明になる
W上でこれは同型写像。補題よりL(x)Hom(L,O)|WとL(x)Hom(L,O)~|Wは同型なので主張が成立。
こんなもんでいいすか？
- 91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/09 21:16]
- >101 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:25 ID:D7EJP0Ux
>最近、元総連関係者から得た話として
>ある２ちゃんねらーからこのような情報が流れてきた。
>「日本国内の反北朝鮮・反韓国の言論に対して常に
>圧力がかけられているのに、なぜ２ちゃんねるだけは
>黙殺されているのか。これは、総連や民団に斡旋された
>東京の在日を、２ちゃんねるのプロ固定・プロ名無しと
>して就職させることの見返りなのである。
>また、プロ名無しが日本国内の地域間対立を
>煽ること、および最近では皇太子のアスキーアート
>を張り付けることも要請している。」
>102 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:26 ID:D7EJP0Ux
>さらに、
>「これだけではない。プロ名無しとして就職させた
>在日は、企業のデマを流し混乱を与える工作部隊でもある。
>そのためには、外部からの圧力をはねつけ規制の無い掲示板
>にしておいたほうが都合がいい。必然的に起こる朝鮮批判と
>デマによる日本批判なら、後者のほうがダメージは大きい。
>２ちゃんねるの言論の自由を、こういうスパイ活動にも巧みに利用してきたのだ。
>しかし、当事者同士の裁判となってこのような工作がばらされる危険性がある。
>しかし、匿名を傘に投稿者を秘匿しておけば心配は無い。
>管理人が訴状を受け取ることを公言していることの裏が
>これだ。管理人は工作の尻拭いさせられ、原告は
>訴訟したことの批判をうけ、叩きが一層激しくなるのだ。
>しかし、司法がこういう運営姿勢を認めなくなり、
>この工作からは手をひくようだ。それがひろゆきの
>運営方針の転換に現れた。その代わり嫌韓厨問題の提起
>や、管理人に職業右翼陰謀説を語らせるなど、別の工作にうって出てる。」
- 92 名前：１３２人目の素数さん [03/10/09 21:16]
- ＿＿＿
. |（･∀･）|
. |￣￣￣ ｼﾞｻｸｼﾞｴﾝ共和国
△
△ｌ |
＿＿△|_.田 |△＿＿＿＿＿
|__|__門_|__|＿＿＿＿＿|＿＿＿＿＿
- 93 名前：１３２人目の素数さん [03/10/09 21:48]
- >>73
集合の圏の同型は全単射
- 94 名前：１３２人目の素数さん [03/10/09 22:56]
- >>88
>i,jの任意の組に対してψ_jψ_i^(-1)は
>Lの U_i ∩ U_j における同型を与える。
O_XのU_i ∩ U_j における同型を与える、の間違いだった。
- 95 名前：１３２人目の素数さん [03/10/09 22:58]
- >>93
普通は全単射と言うな。まあどうでもいいが。
- 96 名前：１３２人目の素数さん [03/10/09 23:12]
- >>90
なんか難しく考えてないかな。1) なんか、O_X(x)O_XがO_Xと同型
であることを使えば自明なんだが。
でもまあいいや。
- 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/09 23:16]
- >>93,>>95
（bifunctorとして）同型、と言う方が、
ただの全単射より内容が深い。
標準的な、だけでは意味が不明確。
- 98 名前：１３２人目の素数さん [03/10/09 23:49]
- いよいよ本題に入る。
kを体とし、S = k[x_0,...,x_r]をk上の多項式環とする。
Sは、n次同次多項式のなすk-部分加群S_nの直和であり、次数環と考えられる。
S+ = S_1 + S_2 + ...とおく。S+はSの同次イデアルである。
Sの同次素イデアルでS+を含まないもの全体をProj(S)と書く。
同時イデアルIを含むProj(S)の元全体をV+(I)と書く。
D+(I) = Proj(S) - V+(I) と書く。D+(I) の形の部分集合を
開集合としてProj(S)は位相空間となる。
fをSの同次元としたとき、局所化環 S_fは、次数環となる。
つまり、aを同次元としたとき、a/f^n の次数をdeg(a) - n deg(f)
で定義する。S_fの0次部分のなす環をS_(f)と書く。
D+(f)にS_(f)を対応させてProj(S)に前層が定義される。
これの層化をProj(S)の構造層 O と定義する。
pをProj(S)の元としたとき、O_p は S_p の0次部分のなす環S_(p)
と同型である。fをS+の同次元としたとき、D+(f)はProj(S)の開集合
の基となる。D+(f)は局所環付き空間として
Spec(S_(f))と同型である。したがって、Proj(S)はスキームである。
このスキームを体k上のr次射影空間と呼び、P^r_kまたは単にP^rと書く。
- 99 名前：１３２人目の素数さん [03/10/09 23:57]
- >>97
百も承知してるんだが、それを言いだすと、随伴関手とか
言わなきゃならなくなる。今は面倒なのでさらっと流してる。
標準的全単射で間違いってことはない。
- 100 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/10 05:13]
- >101 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:25 ID:D7EJP0Ux
>最近、元総連関係者から得た話として
>ある２ちゃんねらーからこのような情報が流れてきた。
>「日本国内の反北朝鮮・反韓国の言論に対して常に
>圧力がかけられているのに、なぜ２ちゃんねるだけは
>黙殺されているのか。これは、総連や民団に斡旋された
>東京の在日を、２ちゃんねるのプロ固定・プロ名無しと
>して就職させることの見返りなのである。
>また、プロ名無しが日本国内の地域間対立を
>煽ること、および最近では皇太子のアスキーアート
>を張り付けることも要請している。」
>102 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:26 ID:D7EJP0Ux
>さらに、
>「これだけではない。プロ名無しとして就職させた
>在日は、企業のデマを流し混乱を与える工作部隊でもある。
>そのためには、外部からの圧力をはねつけ規制の無い掲示板
>にしておいたほうが都合がいい。必然的に起こる朝鮮批判と
>デマによる日本批判なら、後者のほうがダメージは大きい。
>２ちゃんねるの言論の自由を、こういうスパイ活動にも巧みに利用してきたのだ。
>しかし、当事者同士の裁判となってこのような工作がばらされる危険性がある。
>しかし、匿名を傘に投稿者を秘匿しておけば心配は無い。
>管理人が訴状を受け取ることを公言していることの裏が
>これだ。管理人は工作の尻拭いさせられ、原告は
>訴訟したことの批判をうけ、叩きが一層激しくなるのだ。
>しかし、司法がこういう運営姿勢を認めなくなり、
>この工作からは手をひくようだ。それがひろゆきの
>運営方針の転換に現れた。その代わり嫌韓厨問題の提起
>や、管理人に職業右翼陰謀説を語らせるなど、別の工作にうって出てる。」
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