- 879 名前：１３２人目の素数さん [03/11/30 15:31]
- 補題
k を体とし、 K を k の拡大体で分離代数的とする。
K は k 代数として分離的である。
証明
補題より、K は k 上有限次と仮定してよい。
代数学の周知の定理より K = k[α] となる。
αの k 上の最小多項式を f(X) とすると、K = k[X]/(f(X)) と
見なせる。L を k 任意の代数拡大とする。
0 → (f(X)) → k[X] → K → 0 は k 加群の列として完全だから、
0 → (f(X)) (x) L → k[X] (x) L → K (x) L → 0 も完全である。
k[X] (x) L = L[X] だから、K (x) L = L[X] / (f(X)) と見なせる。
f(X) は L において重根を持たないから、
f(X) は、L[X] において互いに素な既約多項式 f_1, f_2, ... f_r の
積となる。よって、L[X] / (f(X)) = Π (L[X] / (f_i)) である。
各 L[X] / (f_i) は体だから L[X] / (f(X)) は被約である。
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